PROVAS-anteriores-CN

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SUMÁRIO
Colégio Naval
MateMática
colégio Naval - 2010/2011 ................................................................................... 4
colégio Naval - 2011/2012 .................................................................................... 6
colégio Naval - 2012/2013 ................................................................................... 9
colégio Naval - 2013/2014 ................................................................................ 12
colégio Naval - 2014/2015 ................................................................................ 15
colégio Naval - 2015/2016 ................................................................................ 18
colégio Naval - 2016/2017 ................................................................................ 21
colégio Naval - 2017/2018 ................................................................................. 24
colégio Naval - 2018/2019 ................................................................................ 28
líNgua portuguesa
colégio Naval - 2010/2011 ................................................................................ 32
colégio Naval - 2011/2012 ................................................................................. 36
colégio Naval - 2012/2013 ................................................................................ 39
colégio Naval - 2013/2014 ................................................................................ 43
colégio Naval - 2014/2015 ................................................................................ 47
colégio Naval - 2015/2016 ................................................................................ 50
colégio Naval - 2016/2017 ................................................................................ 54
colégio Naval - 2017/2018 ................................................................................. 58
colégio Naval - 2018/2019 ................................................................................ 62
História
colégio Naval - 2010/2011 ................................................................................ 66
colégio Naval - 2011/2012 ................................................................................. 68
colégio Naval - 2012/2013 ................................................................................ 69
colégio Naval - 2013/2014 ................................................................................ 71
colégio Naval - 2014/2015 ................................................................................ 72
colégio Naval - 2015/2016 ................................................................................ 74
CN/EPCAR
COLETÂNEA DE PROVAS
colégio Naval - 2016/2017 ................................................................................ 75
colégio Naval - 2017/2018 ................................................................................. 78
colégio Naval - 2018/2019 ................................................................................ 80
geografia
colégio Naval - 2010/2011 ................................................................................ 82
colégio Naval - 2011/2012 ................................................................................. 84
colégio Naval - 2012/2013 ................................................................................ 86
colégio Naval - 2013/2014 ................................................................................ 88
colégio Naval - 2014/2015 ................................................................................ 90
colégio Naval - 2015/2016 ................................................................................ 91
colégio Naval - 2016/2017 ................................................................................ 93
colégio Naval - 2017/2018 ................................................................................. 95
colégio Naval - 2018/2019 ................................................................................ 97
QuíMica
colégio Naval - 2010/2011 .............................................................................. 100
colégio Naval - 2011/2012 ............................................................................... 101
colégio Naval - 2012/2013 .............................................................................. 102
colégio Naval - 2013/2014 .............................................................................. 103
colégio Naval - 2014/2015 .............................................................................. 104
colégio Naval - 2015/2016 .............................................................................. 106
colégio Naval - 2016/2017 .............................................................................. 107
colégio Naval - 2017/2018 ............................................................................... 108
colégio Naval - 2018/2019 ...............................................................................109
física
colégio Naval - 2010/2011 .............................................................................. 110
colégio Naval - 2011/2012 ................................................................................ 112
colégio Naval - 2012/2013 .............................................................................. 113
colégio Naval - 2013/2014 .............................................................................. 115
colégio Naval - 2014/2015 ............................................................................... 117
colégio Naval - 2015/2016 .............................................................................. 119
colégio Naval - 2016/2017 .............................................................................. 120
colégio Naval - 2017/2018 ............................................................................... 122
colégio Naval - 2018/2019 .............................................................................. 123
Biologia
colégio Naval - 2010/2011 .............................................................................. 125
colégio Naval - 2011/2012 ............................................................................... 127
colégio Naval - 2012/2013 .............................................................................. 129
colégio Naval - 2013/2014 .............................................................................. 131
colégio Naval - 2014/2015 .............................................................................. 132
colégio Naval - 2015/2016 .............................................................................. 134
colégio Naval - 2016/2017 .............................................................................. 136
colégio Naval - 2017/2018 ............................................................................... 137
colégio Naval - 2018/2019 .............................................................................. 139
4
MATEMÁTICA
COLÉGIO NAVAL / 2010
QUESTÃO 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja ABC um triângulo com lados AB = 15, AC = 12 e BC = 
18. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que PC=3AP. Tomando 
Q sobre BC, entre B e C, tal que a área do quadrilátero APQB 
seja igual a área do triângulo PQC, qual será o valor de BQ?
(A) 3, 5
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 8, 5
QUESTÃO 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam p(x) = 2x2010 - 5x² - 13x+7 e q(x) = x²+x+ 1. Tomando 
r(x) como sendo o resto na divisão de p(x) por q(x), o valor 
de r(2) será:
(A) -8
(B) -6
(C) -4
(D) -3
(E) -2
QUESTÃO 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Tem-se o quadrado de vértices ABCD com lados medindo 
'k'cm. Sobre AB marca - se M, de modo que AM = BM
3
̶ ̶ ̶ . SendoN o simétrico de B em relação ao lado CD, verifica-se que MN 
corta a diagonal AC em P. Em relação à área ABCD, a área do 
triângulo PBC equivale a:
(A) 18%
(B) 24%
(C) 27%
(D) 30%
(E) 36%
QUESTÃO 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
No conjunto dos inteiros positivos sabe-se que 'a' é primo 
com ´b´ quando mdc (a, b) = 1.
Em relação a este conjunto, analise as afirmativas a seguir.
I - A fatoração em números primos é única.
II - Existem 8 números primos com 24 e menores que 24.
III- Se (a+b)² = (a+ c)² então b=c
IV - Se a < b, então a.c < b.c
Quantas das afirmativas acima são verdadeiras?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
QUESTÃO 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Estudando os quadrados dos números naturais, um aluno 
conseguiu determinar corretamente o número de soluções 
inteiras e positivas da equação 5x² + 11y² = 876543. Qual foi 
o número de soluções que este aluno obteve?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
QUESTÃO 6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semicircunferên-
cia, traçada internamente ao quadrado, com diâmetro CD, e T 
a semicircunferência tangente ao lado AB em A e tangente à K.
Nessas condições, o raio da semicircunferência T será
(A) 5L
6
̶ ̶ ̶
(B) 4L
5
̶ ̶
(C) 2L
3
̶ ̶ ̶
(D) 3L 
5
̶ ̶ ̶
(E) L
3
̶ ̶ ̶
QUESTÃO 7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere o conjunto de todos os triângulos retângulos.
Sendo h a altura relativa à hipotenusa, quantos elementos, 
nesse conjunto, tem altura igual a √154
̶ ̶ ̶ ̶ h²?
(A) Infinitos.
(B) Mais de dezesseis e menos de trinta.
(C) Mais de quatro e menos de quinze.
(D) Apenas um.
(E) Nenhum.
QUESTÃO 8 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja 'x' um número real. Define -se x como sendo o maior 
inteiro menor do que ext, ou igual a 'x'. Por exemplo, 2,7 ; 
- 3,6 ; 5 são, respectivamente, igual a 2; - 4 e 5. A solução 
da igualdade x + 2x = 6 é o intervalo a; b). O valor de a+ b é:
(A) 15
4
̶ ̶ ̶
(B) 9
2
̶ ̶
(C) 11
2
̶ ̶ ̶
MaTEMÁTiCa • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • COLÉGIO NAVAL
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
5
(D) 133
̶ ̶ ̶
(E) 175
̶ ̶ ̶
QUESTÃO 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
ABC é um triângulo equilátero. Seja P um ponto do plano 
de ABC e exterior ao triângulo de tal forma que PB intersecta 
AC em Q (Q está entre A e C) . Sabendo que o ângulo APB é 
igual a 60o, que PA = 6 e PC = 8, a medida de PQ será:
(A) 24
7
̶ ̶ ̶
(B) 23
5
̶ ̶
(C) 196
̶ ̶ ̶
(D) 3314
̶ ̶ ̶
(E) 11
4
̶ ̶ ̶
QUESTÃO 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A diferença entre um desconto de 50% e dois descontos 
sucessivos de 30% e 20% sobre o valor de R$ 40.000 é um 
valor inteiro:
(A) múltiplo de 7.
(B) múltiplo de 9.
(C) múltiplo de 12.
(D) ímpar .
(E) zero, pois os descontos são iguais .
QUESTÃO 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam A, B e C conjuntos tais que: A = { 1, { 1,2), { 3} }, B = 
{1, (2),3} e C = { { 1),2,3). Sendo X a união dos conjuntos (A-C) 
e (A-B), qual será o total de elementos de X?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
QUESTÃO 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
No conjunto dos números reais, o conjunto solução da 
equação 4√ (2x + 1)4 = 3x+ 2
(A) é vazio.
(B) é unitário.
(C) possui dois elementos.
(D) possui três elementos.
(E) possui quatro elementos.
QUESTÃO 13 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sabe-se que p(x) = acx4 + b(a+ c)x3 + (a² + b² + c²) x² + b(a+c) 
x + ac é um produto de dois polinômios do 2º grau e que os 
números a, b, c são reais não nulos com (b² - 4ac) positivo. 
Nessas condições, é correto afirmar que:
(A) há apenas um valor de x tal que p (x) = 0
(B) há apenas dois valores de x tais que p (x) = 0
(C) há apenas três valores de x tais que p(x.)= 0
(D) há quatro valores de x tais que p (x) = 0
(E) não há valores de x tais que p (x) = 0
QUESTÃO 14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos no-
táveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado 
que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é 'k', pode-se 
concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será
(A) 
5k
2
̶ ̶ ̶
(B) 
4k
3
̶ ̶
(C) 
4k
5
̶ ̶ ̶
(D) 
k
2
̶ ̶ ̶
(E) 
k
3
̶ ̶ ̶
QUESTÃO 15 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dois números reais não simétricos são tais que a soma de 
seus quadrados é 10 e o quadrado de seu produto é 18. De 
acordo com essas informações, a única opção que contém 
pelo menos um desses dois números é:
(A) {x ∈ ℜ| -1 ≤ x ≤ 1}
(B) {x ∈ ℜ | 1 ≤ x ≤ 3}
(c) {x ∈ ℜ | 3 ≤ x ≤ 5}
(D) {x ∈ ℜ | 5 ≤ x ≤ 9}
(E) {x ∈ ℜ| 7 ≤ x ≤ 9}
QUESTÃO 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
No sistema , a quantidade de solu-
ções inteiras para 'x' e 'y' é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) infinita.
QUESTÃO 17 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
No conjunto dos números reais, qual será o conjunto 
solução da inequação ?
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
6
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 18 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere o sistema abaixo nas variáveis reais x e y, sendo 
a e b reais.
Nessas condições, qual será o valor de (x² - y²)6?
(A) a3b6 (D) a3b6 
(B) a8b6 (E) a4b6
(C) a6b2
QUESTÃO 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam p e q números reais positivos tais que 
. Qual o valor mínimo do produto pq?
(A) 8040 (D) 1005 
(B) 4020 (E) 105
(C) 2010
QUESTÃO 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
No conjunto 'R' dos números reais, qual será o conjunto 
soluçao da equação ?
(A) R
(B) R - (-1; 1)
(C) R - [ -1; 1]
(D) R - (-1; + 1)
(E) R - [ -1; 1)
COLÉGIO NAVAL / 2011
QUESTÃO 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
É correto afirmar que o número 52011 + 2.112011 é múltiplo de:
(A) 13
(B) 11
(C) 7
(D) 5
(E) 3
QUESTÃO 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A solução real da equação 7 8 9
x-1 x+1 x²-1̶ ̶ ̶ ̶ - ̶ ̶ ̶ ̶ = ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 
 é um divisor de:
(A) 12
(B) 14
(C) 15
(D) 16
(E) 19
QUESTÃO 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A soma das raízes de uma equação do 2º grau é √2 
e o produto dessas raízes é 0,25. Determine o valor de 
a³ - b² - 2ab²
a² - b²̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 
 sabendo que ‘a’ e ‘b’ são as raízes dessa 
equação do 2º grau e a > b, e assinale a opção correta.
a) 1
2
̶ ̶ ̶
b) √3 - 2
4
̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
c) -1
d) √2 + 1
4
̶ ̶ ̶
e) √2 - 1
4
̶ ̶ ̶
QUESTÃO 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam ‘a’, ‘b’ e ‘c’ números reais não nulos tais que 
 1 1 1
 ab bc ac
̶ ̶ ̶ + ̶ ̶ ̶ + ̶ ̶ ̶ = p, a b c a b cb a a c c b
̶ ̶ + ̶ ̶ + ̶ ̶ + ̶ ̶ + ̶ ̶ + ̶ ̶ = q e ab+ ac + 
bc=r. O valor de q² + 6q é sempre igual a:
a) 
p² r² + 9
4̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
b) p² r² - 912̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
c) p² r² - 9
d) p² r² - 104r̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
e) p² r² - 12p
QUESTÃO 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A quantidade de soluções reais e distintas da equação 
3x³ - √33x³ + 97 = 5 é:
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
7
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 5
(E) 6
QUESTÃO 6 •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Num paralelo grama ABCD de altura CP = 3, a razão AB
BC
 ̶ ̶ ̶ ̶ = 2
. Seja ‘M’ o ponto médio de AB e ‘P’ o pé da altura de ABCD 
baixada sobre o prolongamento de AB, a partir de C. Sabe-
-se que a razão entre as áreas dos triângulos MPC e ADM é 
2 + √3
2
̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ = ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶S(MPC)
S(ADM)
 . A área do triângulo BPC é igual a:
A) 15√3
2
̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
B) 9√3
2
̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
C) 5√32
̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
D) 3√3
2
̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
E) √3
2
̶ ̶ ̶ ̶
QUESTÃO 7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
O valor de
 
√90,5 x 0,333...+ 7√ 4 x √ 0,0625 - ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶(3,444... + 4,555...)3√64 é:
A) 0
B) √2
C) √3 - 2
D) √2 - 2
E) 1
QUESTÃO 8 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dado um quadrilátero convexo em que as diagonais são 
perpendiculares, analise as afirmações abaixo.
I – Um quadrilátero assim formado sempre será um 
quadrado.
II – Um quadrilátero assim formado sempre será um 
losango.
III – Pelo menos uma das diagonais de um quadrilátero 
assim formado divide esse quadrilátero em dois triângulos 
isósceles.
Assinale a opção correta.
(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(C) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
(D) Apenas a afirmativa II e III são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
QUESTÃO 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir
terra continental
Mar
A
B
C
D
M
P
A figura acima mostra, num mesmo plano, duas ilhas 
representadas pelos pontos ‘A’ e ‘b’ e os pontos ‘C’, ‘D’, ‘M’ 
e ‘P’ fixados no continente por um observador. Sabe-se que 
AĈ B = AD̂B = AP̂ D = 30º , ‘M’ é o ponto médio de CD = 10m 
e que PM = 10m é perpendicular a CD. Nessas condições, a 
distância entre as ilhas é de:
(A) 150m
(B) 130m
(C) 120m
(D) 80m
(E) 60m
QUESTÃO 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Numa pesquisa sobre leitores dos jornais A e B, constatou-
-se que 70% lêem o jornal A e 65% lêem o jornal B. Qual o 
percentual máximo dos que lêem os jornais A e B?
(A) 35% 
(B) 50% 
(C) 65% 
(D) 80% 
(E) 95%
QUESTÃO 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise as afirmações abaixo referentes a números reais 
simbolizados por ‘a’, ‘b’ ou ‘c’.
I – A condição a . b . c > 0 garante que ‘a’, ‘b’ e ‘c’ não são, simul-
taneamente, iguais a zero, bem como a condição a² + b² + c² ≠ 0.
II – Quando o valor absoluto de ‘a’ é menor do que b > 0, 
é verdade que –b < a < b.
III – Admitindo que b > c, é verdadeiro afirmar que b² > c².
Assinale a opção correta.
(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(C) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
(D) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
8
c) 6√ 4826807
d) 4√ 331776
e) 6√ 148035889
QUESTÃO 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A expressão 3√ − (x −1)6 é um número real. Dentre os nú-
meros reais que essa expressão pode assumir, o maior deles é:
(A) 2
(B) √2 −1
(C) 2 − √2
(D) 1
(E) 0
QUESTÃO 17 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam A = [72011, 112011] e B = {x ∈ R/x = (1-t) . 72011 + t . 
112011 com t ∈ [0,1]}, o conjunto A – B é:
(A) A ∩ B
(B) B – {112011}
(C) A – {72011}
(D) A
(E) Æ
QUESTÃO 18 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Um aluno estudava sobre polígonos convexos e tentou 
obter dois polígonos de ‘N’ e ‘n’ lados (N ≠ n), e com ‘D’ e ‘d’ 
diagonais, respectivamente, de modo que N – n = D – d. A quan-
tidade de soluções corretas que satisfazem essas condições é:
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) Indeterminada.
QUESTÃO 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere a figura
A
B
C
M
P
Q 2b
4c
b
3a
c
a
QUESTÃO 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura abaixo
ETAPA 4
ETAPA 3
ETAPA 2
ETAPA 1
A figura representada foi construída por etapas. A cada eta-
pa, acrescenta-se pontos na horizontal e na vertical, com uma 
unidade de distância, exceto na etapa 1, iniciada com 1 ponto.
Continuando a compor a figura com estas etapas e bus-
cando um padrão, é correto concluir que:
(A) cada etapa possui quantidade ímpar de pontos e a 
soma desses ‘n’ primeiros ímpares é n².
(B) a soma de todos os números naturais começando do 
1 até ‘n’ é sempre um quadrado perfeito.
(C) a soma dos pontos das ‘n’ primeiras etapas é 2n² – 1.
(D) cada etapa ‘n’ tem 3n – 2 pontos.
(E) cada etapa ‘n’ tem 2n + 1 pontos.
QUESTÃO 13 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
O número real 3√ 26 - 15 √3 é igual a:
a) 5 - √3
b) √ 7 - 4√3
c) 3 - √2
d) √ 13 - 3√3
e) 2
QUESTÃO 14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 A divisão do inteiro positivo ‘N’ por 5 tem quociente ‘q1’ 
e resto 1. A divisão de ‘4q1’ por 5 tem quociente ‘q2’ e resto 
1. A divisão de ‘4q2’ por 5 tem quociente ‘q3’ e resto 1. Final-
mente, dividindo ‘4q3’ por 5, o quociente é ‘q4’ e o resto é 1. 
Sabendo que ‘N’ pertence ao intervalo aberto (621, 1871), a 
soma dos algarismos de ‘N’ é:
(A) 18 
(B) 16
(C) 15 
(D) 13 
(E) 12
QUESTÃO 15 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Assinale a opção que apresenta o único número que NÃO 
é inteiro:
a) 6√ 1771561
b) 4√ 28561
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
9
COLÉGIO NAVAL / 2012
QUESTÃO 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Para x = 2013, qual é o valor da expressão (- 1)6x – (- 1)x-3 
+ (- 1)5x – (- 1)x+3 – (- 1)4x – (- 1)2x?
(A) – 4
(B) – 2
(C) 0
(D) 1
(E) 4
QUESTÃO 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise as afirmativas a seguir.
I) 9,1234 > 9,1234
̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
II) 
222221 555550
222223 555555
̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ > ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
III) √ 0,444 ... = 0,222 ...
IV) 2³√ 27 = 640,5
Assinale a opção correta.
(A) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(C) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(D) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
(E) Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras.
QUESTÃO 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 Um trapézio isósceles tem lados não paralelos medindo 
10√3. Sabendo que a bissetriz interna da base maior contém 
um dos vértices do trapézio, qual é a área desse trapézio?
(A) 75 √3
(B) 105 √3
(C) 180 √3
(D) 225 √3
(E) 275 √3
QUESTÃO 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Os números (35041000)7, (11600)7 e (62350000)7 estão na 
base 7. Esses números terminam, respectivamente, com 3, 2 
e 4 zeros. Com quantos zeros terminará o número de base 
decimal n = 212012, na base 7?
(A) 2012
(B) 2013
(C) 2014
(D) 2015
(E) 2016
QUESTÃO 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
No retângulo ABCD, o lado BC = 2AB. O ponto P está sobre 
o lado AB e 
AP 3
PB 4 ̶ ̶ ̶ ̶ = ̶ ̶ . Traça-se a reta PS
↔ com S no interior de 
ABCD e C ∈ PS↔. Marcam-se, ainda M ∈ AD e N ∈ BC de modo 
que MPNS seja um losango. O valor de 
BN
AM
 ̶ ̶ ̶ é:
A razão 
S(MPQ)
S(ABC)̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ , entre as áreas dos triângulos MPQ e 
ABC, é:
a) 712
̶ ̶ ̶
b) 512
̶ ̶ ̶
c) 7
15
̶ ̶ ̶
d) 8
15
̶ ̶ ̶
e) 78
̶ ̶ ̶
QUESTÃO 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a ilustração a seguir.
PEÇA I PEÇA II
2
2
2
1
1
1
1
Qual a quantidade mínima de peças necessárias para re-
vestir, sem falta ou sobra, um quadrado de lado 5, utilizando 
as peças acima?(A) 12
(B) 11
(C) 10
(D) 9
(E) 8
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
10
A figura acima apresenta um quadrado ABCD de lado 2. 
Sabe-se que E e F são, os pontos médios dos lados DC e CB, 
respectivamente. Além disso, EFGH também formam um 
quadrado e I está sobre o lado GH, de modo que GI = GH/4. 
Qual é a área do triângulo BCI?
(A) 7/8
(B) 6/7
(C) 5/6
(D) 4/5
(E) 3/4
QUESTÃO 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Determine, no conjunto dos números reais, a soma dos 
valores de x na igualdade:
1 2
= 1
1 + ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶X
X² - 3
X - ̶3̶X
(A) – 2/3
(B) – 1/3
(C) 1
(D) 2
(E) 11/3
QUESTÃO 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Em dois triângulos, T1 e T2, cada base é o dobro da respec-
tiva altura. As alturas desses triângulos, h1 e h2, são números 
ímpares positivos. Qual é conjuntos dos valores possíveis de 
h1 e h2, de modo que a área T1 + T2 seja equivalente à área de 
um quadrado de lado inteiro?
(A) ∅
(B) unitário
(C) finito
(D) {3,5,7,9,11,...}
(E) {11,17,23,29,...}
QUESTÃO 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Qual é o total de números naturais em que o resto é o 
quadrado do quociente na divisão por 26?
(A) zero.
(B) dois.
(C) seis.
(D) treze.
(E) vinte e cinco.
QUESTÃO 13 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Na fabricação de um produto é utilizado o ingrediente A 
ou B. Sabe-se que 10 quilogramas (kg) do ingrediente A pro-
duz o mesmo efeito que 100kg do ingrediente B. Se a soma 
de x kg do ingrediente A com y kg do ingrediente B é igual a 
44000 gramas, então:
(A) 3/7
(B) 3/11
(C) 5/7
(D) 5/11
(E) 7/11
QUESTÃO 6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
O número N = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . (...) . (k – 1) . k é formado pelo 
produto dos k primeiros números naturais não-nulos. Qual 
é o menor valor possível de k para que N
717
 ̶ ̶ ̶ seja um número 
natural, sabendo que k é ímpar e não é múltiplo de 7?
(A) 133
(B) 119
(C) 113
(D) 107
(E) 105
QUESTÃO 7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Qual é o menor valor positivo de 2160x + 1680y, sabendo 
que x e y são números inteiros?
(A) 30
(B) 60
(C) 120
(D) 240
(E) 480
QUESTÃO 8 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Um número N inteiro possui exatamente 70 divisores. 
Qual é o menor valor possível para |N + 3172|?
(A) 2012
(B) 3172
(C) 5184
(D) 22748
(E) 25920
QUESTÃO 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
A B
F
G
C
I
H
ED
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
11
QUESTÃO 18 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Somando todos os algarismos até a posição 2012 da re-
presentação decimal da fração irredutível 7
5 e, em seguida, 
dividindo essa soma por 23, qual será o resto dessa divisão?
(A) 11
(B) 12
(C) 14
(D) 15
(E) 17
QUESTÃO 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sabendo que n é natural não-nulo, e que x # y = xy, qual é 
o valor de (-1)n4+n+1 + 
2#(2#(2#2))
((2#2)#2)#2
(A) 127
(B) 128
(C) 255
(D) 256
(E) 511
QUESTÃO 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
2k 3k
x
z
y
Na figura acima, sabe-se que k > 36°. Qual é o menor valor 
natural da soma x + y + z + t, sabendo que tal soma deixa resto 
4, quando dividida por 5, e resto 11, quando dividida por 12?
(A) 479°
(B) 539°
(C) 599°
(D) 659°
(E) 719°
A) yx = 260
B) √ x . y = 5√10
C) 10√ yx = 256
D) 4√ xy = 20
E)√ ̶ ̶ = 2 √5
y
x
QUESTÃO 14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja P(x) = 2x2012 + 2012x + 2013. O resto r(x) da divisão de 
P(x) por d(x) = x4 + 1 é tal que r(– 1) é:
(A) – 2
(B) – 1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
QUESTÃO 15 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Uma divisão de números naturais está representada a 
seguir.
D d
qr
D = 2012 é o dividendo, d é o divisor, q é o quociente e r 
é o resto. Sabe-se que 0 ≠ d = 21 ou q = 21.
Um resultado possível para r + d ou r + q é:
(A) 92
(B) 122
(C) 152
(D) 182
(E) 202
QUESTÃO 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja a3b – 3a2 – 12b2 + 4ab3 = 287. Considere que a e b são 
números naturais e que ab > 3. Qual é o maior valor natural 
possível para a expressão a + b?
(A) 7
(B) 11
(C) 13
(D) 17
(E) 19
QUESTÃO 17 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sabendo que A = 
5√3 - 2√12 - √32 + √50
3 + √6
 , qual é o valor 
de 6√ A7
A2 ?
a) 5√ 34
b) 7√ 36
c) 8√ 35
d) 10√ 37
e) 12√ 35
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
12
QUESTÃO 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dada a equação (2x + 1)² (x + 3)(x - 2) + 6 = 0, qual é a soma 
das duas maiores raízes reais desta equação?
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4
QUESTÃO 6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise a figura a seguir.
A D
CB
P
6
6
A figura acima exibe o quadrado ABCD e o arco de circun-
ferência APC com centro em B e raio AB = 6.
Sabendo que o arco AP da figura tem comprimento 3π5 , é correto afirmar que o ângulo PCD mede:
a) 36° 
b) 20° 
c) 28° 
d) 24° 
e) 20°
QUESTÃO 7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Qual é o valor da expressão 
[ ](30,333...)27 + 217 - 5√239 + 3√ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ - (3√3)³³4487
7√ 92
?
a) 0,3 
b) 
3√3
c) 1 
d) 0 
e) – 1
QUESTÃO 8 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise as afirmativas abaixo, em relação ao triângulo ABC.
I – Seja AB = c, AC = b e BC = a. Se o ângulo interno no 
vértice A é reto, então a² = b² + c².
II – Seja AB = c, AC = b e BC = a. Se a² = b² + c², então o 
ângulo interno no vértice A é reto.
III – Se M é ponto médio de BC e BC 2
AM = ̶ ̶ ̶ ̶ , ABC é retângulo.
IV – Se ABC é retângulo, então o raio do seu círculo inscrito 
COLÉGIO NAVAL / 2013
QUESTÃO 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
S ejam P = 
1
31 + ̶ ̶ ̶( ) 151 + ̶ ̶ ̶( ) 171 + ̶ ̶ ̶( ) 191 + ̶ ̶ ̶( ) 
1
111 + ̶ ̶ ̶( ) e Q = ( )151 - ̶ ̶ ̶ ( )171 - ̶ ̶ ̶ ( )191 - ̶ ̶ ̶ ( )1111 - ̶ ̶ ̶ . Qual 
é o valor de √ ̶ ̶ PQ ?
a) √2
b) 2 
c) √5 
d) 3 
e) 5
QUESTÃO 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sabendo que ABC é um triângulo retângulo de hipotenusa 
BC = a, qual é o valor máximo da área de ABC?
a) a² √2 4
b) 
a²
4
c) 
3a² √2
 4
d) 
3a²
 4
e) 
3a²
 4
QUESTÃO 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere um conjunto de 6 meninos com idades diferen-
tes e um outro conjunto com 6 meninas também com idades 
diferentes. Sabe-se que, em ambos os conjuntos, as idades 
variam de 1 ano até 6 anos. Quantos casais podem-se formar 
com a soma das idades inferior a 8 anos?
a) 18 
b) 19 
c) 20 
d) 21 
e) 22
QUESTÃO 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja A ∪ B = { 3,5,8,9,10,12 } e B ∩CAX = { 10,12 } onde A 
e B são subconjuntos de X, e CAX é o complementar de A em 
relação a X. Sendo assim, pode-se afirmar que o número 
máximo de elementos de B é:
a) 7 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 3
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
13
QUESTÃO 13 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja ABC um triângulo acutângulo e “L” a circunferência 
circunscrita ao triângulo. De um ponto Q (diferente de A e 
de C) sobre o menor arco AC de “L” são traçadas perpendi-
culares às retas suportes dos lados do triângulo. Considere 
M, N e P os pés das perpendiculares sobre os lados AB, AC e 
BC, respectivamente. Tomando MN = 12 e PN = 16, qual é a 
razão entre as áreas dos triângulos BMN e BNP?
a) 
 3
 4
b) 
 9
16
c) 89
d) 
25
36
e) 
36
49
QUESTÃO 14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sabe-se que ortocentro H de um triângulo ABC é interior 
ao triângulo e seja Q o pé da altura relativa ao lado AC. Prolon-
gando BQ até o ponto P sobre a circunferência circunscrita ao 
triângulo, sabendo-se que BQ = 12 e HQ = 4, qual é o valor QP?
a) 8 
b) 6 
c) 5,5 
d) 4,5 
e) 4
QUESTÃO 15 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise a figura a seguir.
C D
E
B
P
6
15º
α
A
Na figura acima, a circunferência de raio 6 tem centro em 
C. De P traça-se os segmentos PC, que corta a circunferência 
em D, e PA, que corta a circunferência em B. Traça-se ainda 
os segmentos AD e CB, com insterseção em E. sabendo que 
o ângulo APC é 15° e que a distância do ponto C ao segmento 
de reta AB é 3 √2 , qual é o valor do ângulo α?
a) 75° 
b) 60° 
c) 45° 
d) 30° 
e) 15°
pode ser igual a três quartos da hipotenusa.
Assinale a opção correta.
a) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
c) Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
e) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.
QUESTÃO 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Assinale a opção que apresenta o conjunto solução da 
equação 
(-3)
 ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ -1 = 0
√x² - 4
 no conjunto dos números reais.
a) {− √13, √13} 
b) {√13} 
c) {− √13} 
d) {0} 
e) ∅
QUESTÃO 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja a, b, x, y números naturais não nulos. Se a . b = 5, 
k = ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ 
2(a-b)²
2(a-b)² e x² - y² = 5√ k , qual é o algarismo das unidades do 
número (yx – xy)?
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
e) 8
QUESTÃO 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sabe-se que a média aritmética da soma dos algarismos 
de todos os números naturais desde 10 até 99, inclusive, é k. 
Sendo assim, pode-se afirmar que o número 1 k é:
a) natural.
b) decimal exato.
c) dízima periódica simples.
d) dízima periódica composta.
e) decimal infinito sem período.
QUESTÃO 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Uma das raízes da equação do 2° grau ax² + bx + c = 0, com 
a, b, c pertencentes ao conjunto dos números reais, sendo a ≠ 
0, é igual a 1. Se b – c = 5a então, bc em função de a é igual a:
a) – 3a2 
b) 2a 
c) 2a3a 
d) 1 ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
(2a)3a
e) 1 ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
2(3a) a(3+a)
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
14
solução desta desigualdade, que são menores do que 81 ̶ ̶ ̶
4
, é:
a) 172 
b) 170 
c) 169 
d) 165 
e) 157
QUESTÃO 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere que ABCD é um trapézio, onde os vértices são 
colocados em sentido horário, com bases AB = 10 e CD = 22. 
Marcam-se na base AB o ponto P e na base CD o ponto Q, tais que 
AP = 4 e CQ = x. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros APQD e 
PBCQ são iguais. Sendo assim, pode-se afirmar que a medida x é:
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 15 
e) 16
QUESTÃO 17 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 O maior inteiro “n”, tal que n² + 37 ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶
n + 5
 também é inteiro, 
tem como soma dos seus algarismos um valor igual a:
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14
QUESTÃO 18 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dado que a e b são números reais não nulos, com b ≠ 4ª, e 
que 5 - 2b² ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ = 4a + b
4a - b
{ 21 + ̶ ̶ ̶ = 5ab , qual é o valor de 16a4b2 – 8a3b3 + a2b4?
a) 4 
b) 1 ̶ ̶ ̶18
c) 1 ̶ ̶ ̶12
d) 18 
e) 1 ̶ ̶ ̶4
QUESTÃO 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sabendo que 2x . 34y+x . (34)y é o menor múltiplo de 17 que 
pode-se obter para x e y inteiros não negativos, determine o 
número de divisores positivos da soma de todos os algarismos 
desse número, e assinale a opção correta.
a) 12 
b) 10 
c) 8 
d) 6 
e) 4
QUESTÃO 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere, no conjunto dos números reais, a desigualdade 
2x² - 28x + 98 ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ̶ ≥ 0
x - 10
. A soma dos valores inteiros do conjunto 
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
15
(D) 352
(E) 13√6
2
QUESTÃO 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja ABC um triângulo retângulo de hipotenusa 26 e perí-
metro 60. A razão entre a área do círculo inscrito e do círculo 
circunscrito nesse triângulo é , aproximadamente:
(A) 0,035
(B) 0,055
(C) 0,075
(D) 0,095
(E) 0,105
QUESTÃO 6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere que ABC é um triângulo retângulo em A, de 
lados AC=b e BC=a, Seja H o pé da perpendicular traçada de 
A sobre BC, e M o ponto médio de AB, se os segmentos AH e 
CM cortam-se em P, a razão APPH sera igual a:
a) a²b²
̶ ̶ ̶
b) a³b²
̶ ̶ ̶
c) a²b³
̶ ̶ ̶
d) a³b³
̶ ̶ ̶
e) ab
̶ ̶ ̶
QUESTÃO 7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Se a fração irredutível pq
̶ ̶ ̶ é equivalente ao inverso do número 
525
900 , então o resto da divisão do período da dízima 
q
p+1 por 5 é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
QUESTÃO 8 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Um número natural N, quando dividido por 3, 5, 7 ou 11, 
deixa resto igual a 1. Calcule o resto da divisão de N por 1155, 
e assinale a opção correta.
(A) 17
(B) 11
(C) 7
(D) 5
(E) 1
COLÉGIO NAVAL / 2014
QUESTÃO 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja x um número real tal que x + 3
x
 = 9. Um possível valor 
de x - 3
x
 é √a . Sendo assim, a soma dos algarismos "a" será:
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 14
(E) 15
QUESTÃO 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere que as pessoas A e B receberão transfusão de san-
gue. Os aparelhos utilizados por A e B liberam, em 1 minuto, 19 e 
21 gotas de sangue, respectivamente, e uma gota de sangue de 
ambos os aparelhos tem 0,04ml. Os aparelhos são ligados simul-
taneamente e funcionam ininterruptamente até completarem 
um litro de sangue. O tempo que o aparelho de A levará a mais 
que o aparelho de B será, em minutos, de aproximadamente:
(A) 155
(B) 165
(C) 175
(D) 185
(E) 195
QUESTÃO 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A solução real da equação √x + 4 + √x - 1 = 5 é:
(A) múltiplo de 3.
(B) par e maior do que 17.
(C) ímpar e não primo.
(D) um divisor de 130.
(E) uma potência de 2.
QUESTÃO 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe as figuras a seguir.
Uma dobra é feita no retângulo 10 cm x 2 cm da figura I, ge-
rando a figura plana II. Essa dobra esta indicada pela reta suporte 
de PQ. A área do polígono APQCBRD da figura II, em cm², é :
(A) 8√5
(B) 20
(C) 10√2
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
16
Com essas informações pode-se afirmar que o numero 
(x-y) 6z
̶ ̶ ̶ é:
(A) ímpar e maior do que três.
(B) inteiro e com dois divisores.
(C) divisível por cinco.
(D) múltiplo de três.
(E) par e menor do que seis.
QUESTÃO 13 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Suponha que ABC seja um triângulo isósceles com lados 
AC=BC, e que "L" seja a circunferência de centro "C", raio 
igual a ”3" e tangente ao lado AB. Com relação à área da su-
perfície comum ao triângulo ABC e ao círculo de "L", pode-se 
afirmar que:
(A) não possui um valor máximo.
(B) pode ser igual a 5π.
(C) não pode ser igual a 4π.
(D) possui um valor mínimo igual a 2π.
(E) possui um valor máximo igual a 4,5π.
QUESTÃO 14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere que N seja um número natural formado apenas 
por 200 algarismos iguais a 2, 200 algarismos iguais a 1 e 2015 
algarismos iguais a zero. Sobre N, pode-se afirmar que:
(A) se forem acrescentadosmais 135 algarismos iguais a 
1, e dependendo das posições dos algarismos, N poderá ser 
um quadrado perfeito.
(B) independentemente das posições dos algarismos, N 
não é um quadrado perfeito.
(C) se forem acrescentados mais 240 algarismos iguais a 
1, e dependendo das posições dos algarismos, N poderá ser 
um quadrado perfeito.
(D) se os algarismos da dezena e da unidade não forem 
iguais a 1, N será um quadrado perfeito.
(E) se forem acrescentados mais 150 algarismos iguais a 
1, e dependendo das posições dos algarismos, N poderá ser 
um quadrado perfeito.
QUESTÃO 15 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A equação K²x - Kx = K² - 2K - 8 + 12x, na variável x, é im-
possível. Sabe-se que a equação na variável y dada por 3ay 
+ 
a-114y
2 = 
17b+2
2 admite infinitas soluções. Calcule o valor 
de ab+K4 , e assinale a opção correta.
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) 4
(E) 5
QUESTÃO 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere o operador matemático '*' 1 que transforma o 
número real X em X + 1 e o operador ' ® ' que transforma o 
número real y em 
1
y+1 .
Se ©{* [*( © {©[* (©{*1})]})] = 
a
b
̶ ̶ ̶ , onde a e b são primos 
entre si, a opção correta é:
(A) ab
̶ ̶ ̶ = 0 ,2 7 2 7 2 7 2 7 . . .
(B) b
a
̶ ̶ ̶ = 0 , 2 7 0 2 7 0 2 . . .
(C) 2ab
̶ ̶ ̶ = 0 ,5 4 0 5 4 0 5 4 0 . . .
(D) 2b + a — 94
(E) b - 3a = 6
QUESTÃO 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise as afirmativas abaixo.
I) Se 2x = A, Ay = B, Bz = C e Ck = 4096, então x - y - z - k = 12
II) tm + (tm)p = (tm)(1 + (tm)p - 1) para quaisquer reais t, m e 
p não nulos
III) rq + rqw = (rq)(1+rq(w-1)) para quaisquer reais q, r e w não 
nulos
IV) Se (10100)x ê um número que tem 200 algarismos, 
então x é 2
Assinale a opção correta.
(A) Apenas as afirmativas I e II são falsas.
(B) Apenas as afirmativas III e IV são falsas.
(C) Apenas as afirmativas I e III são falsas.
(D) Apenas as afirmativas I, II e IV são falsas.
(E) Apenas as afirmativas I, III e IV são falsas.
QUESTÃO 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere a equação do 2 o grau 2014x²-2015x-4029 = 0. 
Sabendo-se que a raiz não inteira é dada por ab
̶ ̶ ̶ , onde "a" 
e "b" são primos entre si, a soma dos algarismos de "a+b" é:
(A) 7
(B) 9
(C) 11
(D) 13
(E) 15
QUESTÃO 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sobre os números inteiros positivos e não nulos x, y e zf 
sabe-se:
I) x ≠ y ≠ z
II) 
III) 
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
17
QUESTÃO 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
Na figura, o paralelogramo ABCD tem lados 9cm e 4cm. 
Sobre o lado CD estã marcado o ponto R, de modo que CR 
= 2cm; sobre o lado BC está marcado o ponto S tal que a 
área do triângulo BRS seja 136 da área do paralelogramo; e o ponto P é a interseção do prolongamento do segmento RS 
com o prolongamento da diagonal DB . Nessas condições, é 
possível concluir que a razão entre as medidas dos segmentos 
de reta DPBP vale:
(A) 13,5
(B) 11
(C) 10,5
(D) 9
(E) 7,5
QUESTÃO 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A equação x³-2x²-x+2=0 possui três raízes reais. Sejam p 
e q números reais fixos, onde p é não nulo. Trocando x por 
py+q, a quantidade de soluções reais da nova equação é:
(A) 1
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
QUESTÃO 17 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere que ABC é um triângulo acutângulo inscrito em 
uma circunferência L. A altura traçada do vértice B intersecta 
L no ponto D. Sabendo-se que AD=4 e BC=8, calcule o raio de 
L e assinale a opção correta.
(A) 2√10
(B) 4√10
(C) 2√5
(D) 4√5
(E) 3√10
QUESTÃO 18 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sabendo que 20144 = 16452725990416 e que 20142 = 
4056196, calcule o resto da divisão de 16452730046613 por 
4058211, e assinale a opção correta,
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 5
(E) 6
QUESTÃO 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sobre o lado BC do quadrado ABCD, marcam-se os pon-
tos "E" e "F" tais que BEBC = 
1
3 e 
CF
BC = 
1
4 . Sabendo-se que os 
segmentos AF e ED intersectam-se em nP", qual é, aproxima-
damente, o percentual da área do triângulo BPE em relação 
à área do quadrado ABCD?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
18
COLÉGIO NAVAL / 2015
QUESTÃO 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja S a soma dos valores inteiros que satisfazem a ine-
quação . Sendo assim, Pode-se afirmar que:
(A) S é um número divisíel por 7.
(B) S é um número primo.
(C) S² é divisível por 5.
(D) √S é um número racional.
(E) 3S+1 é um número ímpar.
QUESTÃO 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dado o sistema nas variaveis x e v, pode-
-se afirmar que:
(A) existe a ∈ tal que o sistema S não admite 
solução para qualquer número real C.
(B) existe o ∈ tal que o sistema S não admite 
solução para qualquer número real C .
(C) se a = e c = 9, o sistema S não admite solução.
(D) se a ≠ e c = -9, o sistema S admite infinitas soluções.
(E) se a = e c = -9, o sistema S admite infinitas soluções.
QUESTÃO 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja k = onde cada um dos números 
9999.. .997 e 9999.. .994, são constituídos de 2015 algarismos 
9. Deseja-se que i√k seja um número racional. Qual a maior 
potência de 2 que o índice i pode assumir?
(A) 32
(B) 16
(C) 8
(D) 4
(E) 2
QUESTÃO 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Para capinar um terreno circular plano, de raio 7m, uma 
máquina gasta 5 horas. Quantas horas gastará essa máquina 
para capinar um terreno em iguais condições com 14m de raio?
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
(E) 30
QUESTÃO 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Para obter o resultado de uma prova de três questões, 
usa-se a média ponderada entre as pontuações obtidas em 
cada questão. As duas primeiras questões tem peso 3,5 e a 
3ª, peso 3. Um aluno que realizou essa avaliação estimou que:
I - sua nota na Ia questão está estimada no intervalo 
fechado de 2,3 a 3,1; e
II - sua nota na 3ª questão foi 7.
Esse aluno quer atingir média igual a 5,6. A diferença da 
maior e da menor nota que ele pode ter obtido na 2ª questão, 
de modo a atingir o seu objetivo de média é
(A) 0,6
(B) 0,7
(C) 0,8
(D) 0,9
(E) 1
QUESTÃO 6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Qual a medida da maior altura de um triângulo de lados 
3, 4, 5?
(A) 
12
5
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 203
QUESTÃO 7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
A figura acima representa o trajeto de sete pessoas num 
treinamento de busca em terreno plano, segundo o método 
"radar”. Nesse método, reúne-se um grupo de pessoas num 
ponto chamado de "centro" para, em seguida, fazê-las andar 
em linha reta, afastando-se do "centro". Considere que o 
raio de visão eficiente de uma pessoa é de 100m e que π =3.
Dentre as opções a seguir, marque a que apresenta a quan-
tidade mais próxima do mínimo de pessoas necessárias para 
uma busca eficiente num raio de 900m a partir do "centro" 
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
19
seja a mesma, está no conjunto:
(A) {1,2,3}
(B) {4,5,6}
(C) {7,8,9}
(D) {10,11,12}
(E) {13,14,15}
QUESTÃO 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja n um número natural e © um operador matemático 
que aplicado a qualquer número natural, separa os algaris-
mos pares, os soma, e a esse resultado, acrescenta tantos 
zeros quanto for o número obtido. Exemplo: ©(3256)= 2 + 6 
= 8, logo fica: 800000000. Sendo assim, o produto [©(20)]* 
[©(21)] . [©(22)] . [©(23)] . [©(24)] ... [©(29)] possuirá uma 
quantidadede zeros igual a:
(A) 46
(B) 45
(C) 43
(D) 41
(E) 40
QUESTÃO 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Na multiplicação de um número k por 70, por esquecimen-
to, não se colocou o zero à direita, encontrando-se, com isso, 
um resultado 32823 unidades menor. Sendo assim, o valor 
para a soma dos algarismos de k é:
(A) par.
(B) uma potência de 5.
(C) múltiplo de 7.
(D) um quadrado perfeito.
(E) divisível por 3.
QUESTÃO 13 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja ABC um triângulo de lados medindo 8, 10 e 12, Sejam 
M, N e P os pés das alturas traçadas dos vértices sobre os lados 
desse triângulo. Sendo assim, o raio do círculo circunscrito 
ao triângulo MNP é:
e pelo método "radar".
(A) 34
(B) 29
(C) 25
(D) 20
(E) 19
QUESTÃO 8 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Num semicírculo S, inscreve-se um triângulo retângulo 
ABC. A maior circunferência possível que se pode construir 
externamente ao triângulo ABC e internamente ao S, mas 
tangente a um dos catetos de ABC e ao S, tem raio 2. Sabe-
-se ainda que o menor cateto de ABC mede 2. Qual a área 
do semicírculo?
(A) 10π
(B) 12,5π
(C) 15π
(D) 17, 5π
(E) 20π
QUESTÃO 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja x um número real tal que x³ + x² + x + x-1 + x-2 + x-3 + 2 
= 0. Para cada valor possível de x, obtém-se o resultado da 
soma de x² com seu inverso. Sendo assim, o valor da soma 
desses resultados é:
(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) 1
QUESTÃO 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
A figura acima é formada por círculos numerados de 1 a 9. 
Seja "TROCA" a operação de pegar dois desses círculos e fazer 
com que um ocupe o lugar que era do outro. A quantidade 
mínima S de "TROCAS" que devem ser feitas para que a soma 
dos três valores de qualquer horizontal, vertical ou diagonal, 
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
20
Seja ABC um triângulo retângulo de hipotenusa 6 e com 
catetos diferentes. Com relação à área "S" de ABC, pode-se 
afirmar que:
(A) será máxima quando um dos catetos for 3√2 .
(B) será máxima quando um dos ângulos internos for 30°.
(C) será máxima quando um cateto for o dobro do outro.
(D) será máxima quando a soma dos catetos for 
(E) seu valor máximo não existe.
QUESTÃO 17 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam A = {1, 2, 3, ..., 4029, 4030} um subconjunto dos 
números naturais e B ⊂ A, tal que não existem x e y, x ≠ y, 
pertencentes a B nos quais x divida y. O número máximo de 
elementos de B é N. Sendo assim, a soma dos algarismos de 
N é:
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
QUESTÃO 18 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
o número de divisores positivos de 102015 que são múltiplos 
de 102000 é:
(A) 152
(B) 196
(C) 216
(D) 256
(E) 276
QUESTÃO 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dado que o número de elementos dos conjuntos A e B 
são, respectivamente, p e q, analise as sentenças que seguem 
sobre o número N de subconjuntos não vazios de AUB.
I - N = 2p + 2q - 1
II - N = 2pq-1
III - N = 2p+q - 1
IV - N = 2p - 1, se a quantidade de elementos de A∩B é p,
Com isso, pode-se afirmar que a quantidade dessas afir-
mativas que são verdadeiras é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
QUESTÃO 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
No triângulo isósceles ABC, AB = AC = 13 e BC = 10. Em AC 
marca-se R e S, com CR = 2x e CS = x. Paralelo a AB e passando 
por S traça-se o segmento ST, com T em BC. Por fim, marcam-
QUESTÃO 14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
ABC é um triângulo equilátero. Seja D um ponto do plano de 
ABC, externo a esse triângulo, tal que DB intersecta AC em E, 
com E pertencendo ao lado AC. Sabe-se que BÂD= A
^
C D = 90°. 
Sendo assim, a razão entre as áreas dos triângulos BEC e ABE é:
QUESTÃO 15 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja ABCD um quadrado de lado "2a" cujo centro é "O" . Os 
pontos M, P e Q são os pontos médios dos lados AB, AD e BC, 
respectivamente. O segmento BP intersecta a circunferência 
de centro "O" e raio "a" em R e, também OM, em "S" . Sendo 
assim, a área do triângulo SMR é:
QUESTÃO 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
21
COLÉGIO NAVAL / 2016
QUESTÃO 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dado o polinómio axk + 2x² - t , com (a,k, t)∈ N , a < k e sa-
bendo que P(l)= 0, P(-2)= 51, determine a soma dos algarismos 
do número w = t15 (a-1)20 e, a seguir, assinale a opção correta.
(A) 20
(B) 15
(C) 10
(D) 8
(E) 5
QUESTÃO 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise as afirmativas abaixo:
(I) Se 
(II) Se 
(III) Se 
Assinale a opção correta.
(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira,
(B) Apenas a afirmativa III é verdadeira,
(C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras,
(D) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras,
(E) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
QUESTÃO 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam as operações ∴ e # definidas no conjunto dos 
inteiros positivos, tais que x ∴ y = 2x + y e x#y = x² + xy — 1. 
Determine o sucessor do número resultante da expressão 
[(1#3)1#2] ∴ [(1#2)#(2#1)].
(A) 523
(B) 524
(C) 525
(D) 526
(E) 527
QUESTÃO 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Uma placa será confeccionada de modo que o emblema 
da empresa seja feito de um metal que custa R$ 5,00 o centí-
metro quadrado. O emblema consiste em três figuras planas 
semelhantes que lembram três árvores. Para as bases dessas 
"árvores", constroem-se segmentos de reta proporcionais a 
3, 4 e 5. Se o custo da maior árvore do emblema ficou em 
R$800,00, qual o valor, em reais, de todo o emblema?
(A) 1600
(B) 1500
-se U, P e Q, simétricos de T, S e R, nessa, ordem, e relativo à 
altura de ABC com pé sobre BC. Ao analisar a medida inteira x 
para que a área do hexágono PQRSTU seja máxima, obtém-se:
(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) 1
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
22
(D) 18
(E) 20
QUESTÃO 8 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Três pessoas, A, B e C, que fizeram uma prova de múltipla 
escolha tiveram o seguinte resultado: A acertou 50% das 
questões, respondendo corretamente 9 das 15 primeiras e 
1/5 das questões restantes; B acertou 20% do total mais 3 
questões e C 30% do total menos uma questão. Com relação 
à quantidade de acertos, podemos afirmar:
(A) A > B+C
(B) A-B = 2C
(C) A+B < 2C+3
(D) 2B+1 = A+C
(E) 2A-B>3C
QUESTÃO 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere uma circunferência de centro "0" e raio "r". 
Prolonga-se o diâmetro AB de um comprimento BC de me-
dida igual a "r" e, de "C", traça-se uma tangente que toca a 
circunferência em "D". A perpendicular traçada de "C", a BC, 
intersecta a reta que passa por "A" e "D" em "E". Sendo assim, 
a área do triângulo ODE em função do raio é:
QUESTÃO 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam x e y números reais tais que xy = 2√3 . Sendo assim, 
o valor mínimo de x8 +y8 é:
(A) mútiplo de 18.
(B) um número primo.
(C) divisível por 5.
(D) divisível por 13.
(E) par maior que 300.
QUESTÃO 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 Seja p(x) = x² - 2016x - 2017 um polinómio com "x" real, 
tal que p (60002) = k. Sendo assim, o valor de p (-57986) é:
(A) k
(C) 1200
(D) 1120
(E) 1020
QUESTÃO 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Adão, Beto e Caio uniram-se num mesmo investimento e 
combinaram que, em janeiro de cada ano, repartiriamo lucro 
obtido em partes diretamente proporcionais ao tempo de 
investimento e ao valor investido. Adão investiu R$ 10.000,00 
há nove meses; Beto R$ 15.000,00; Caio R$12.000,00 há cinco 
meses. Se o lucro é de R$ 54.000,00, o maior recebimento 
será de:
(A) R$ 10.000,00
(B) R$ 12. 000,00
(C) R$ 15. 000,00
(D) R$ 18. 000,00
(E) R$ 24. 000,00
QUESTÃO 6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere as divisões de números naturais, em que D é 
o divisor. A soma de todos os restos possíveis e pares dessas 
divisões é 182. Sabendo que D é ímpar e múltiplo de 3, o 
resto da divisão de [(2 + 0 + 1 + 5)2016 + [(2 + 0 + 1 + 6).2016]2015 
por D é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 15
(E) 16
QUESTÃO 7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
A figura acima exibe nove pontos que são vértices, ou 
pontos médios de lados, ou centro de um mesmo quadrado. 
Esses pontos devem ser conectados com segmentos de reta, 
de modo que cada ponto seja extremidade de, no máximo, 
dois segmentos de reta. Deseja-se que a soma dos com-
primentos de todos os segmentos de reta, assim traçados, 
seja a maior possivel. 0 valor mais próximo dessa soma, em 
centímetros, é :
(A) 10
(B) 11
(C) 15
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
23
(B) 2k+1
(C) k²
(D) 3k²-1
(E) 5-k²
QUESTÃO 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
O c o n j u n t o s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o x + 1 = 
 em R, conjunto dos números reais, é:
(A) R.
(B) [-1, ∞[.
(C) R - [-1,∞[.
(D) [0,∞[.
(E) 
QUESTÃO 13 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 Calcule o valor de
x = e assinale a 
opção correta,
(A) 216
(B) 220
(C) 224
(D) 226
(E) 227
QUESTÃO 14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 Um retângulo de lados medindo 6cm e 10cm deve ser 
dividido em triângulos retângulos que tenham pelo menos 
um lado com medida representada por um número inteiro. 
Quaisquer que sejam dois desses triângulos, eles terão, no má-
ximo, um lado em comum. A maior quantidade de triângulos 
retângulos que se pode obter, nas condições apresentadas é:
(A) menor do que 80.
(B) exatamente 80.
(C) maior do que 80 e menor do que 240.
(D) exatamente 240.
(E) maior do que 240.
QUESTÃO 15 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise as afirmativas abaixo:
I - Todo triângulo retângulo de lados inteiros e primos 
entre si possui um dos lados múltiplo de "5".
II - Em um triângulo retângulo, o raio do circulo inscrito é 
igual ao perímetro do triângulo menos a hipotenusa.
III- Há triângulos que não admitem triângulo órtico, ou 
seja, o triângulo formado pelos pés das alturas.
IV - O raio do circulo circunscrito a um triângulo retângulo 
é o dobro da hipotenusa.
Assinale a opção correta.
(A) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras.
(C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
(D) Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
QUESTÃO 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Na divisão exata do número k por 50, uma pessoa, distrai-
damente, dividiu por 5, esquecendo o zero e, dessa forma, 
encontrou um valor 22,5 unidades maior que o esperado. Qual 
o valor do algarismo das dezenas do número k?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
QUESTÃO 17 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 S e ja "A" o c o njunto s o lu ç ão da ine quaç ão 
 no universo dos números reais, R. 
0 conjunto R-A é:
(A) {-1,+1}.
(B) ]-1,+1] .
(C) [-1,+1] .
(D) ]-∞,+1],
(E) ]-1,∞[.
QUESTÃO 18 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir:
ABCD é um paralelogramo. E e F estão sobre os lados desse 
paralelogramo de tal forma que AE = CF = x < AD. Sendo assim, 
baseado na figura acima, assinale a opção correta.
(A) Qualquer reta que intersecte dois lados de um parale-
logramo o divide em dois polígonos de mesma área.
(B) Qualquer reta que intersecte dois lados de um para-
lelogramo o divide em dois polígonos de mesmo perímetro.
(C) A área de um trapézio é o produto de sua base média 
pela sua altura.
(D) O dobro da soma dos quadrados das medidas dos lados 
paralelos de um trapézio é igual à soma dos quadrados das 
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
24
medidas de suas diagonais.
(E) Para todo x, o segmento de reta EF é metade do seg-
mento de reta AB.
QUESTÃO 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja o quadrado ABCD de lado 2. Traça-se, com centro no 
ponto M, médio do lado AB, uma semicircunferência de raio 
2 que intersecta os lados BC e AD, respectivamente, em "E" 
e "F". A área da superfície externa à semicircunferência e que 
também é interna ao quadrado, é igual a:
Dado π = 3
(A) 3 - √3
(B) 2 - √3
(C) 3 + √3
(D) 2 + √3
(E) 3 - √2
QUESTÃO 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dados os conjuntos A={f,g,h,k}, B={g,h,k}, C = {f,g} e sa-
bendo que X é construído a partir das seguintes informações:
I - X ⊂ A ∪ B ∪ C.
II - X ∩ C = {f}
III- B-X = {g,h}
Pode-se afirmar que:
(A)[(A-X) ∪ C] - B = {f, g}
(B) [(X-A] ∩ C] = {f, g, k}
(C) [{A-B)∪X]-C = {g, h}
(D) [X ∩ (A-B)] ∪ C = {g, h, k}
(E) [{A-X) ∩ (B-X)] = {g, h}
COLÉGIO NAVAL / 2017
QUESTÃO 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Dois aumentos consecutivos de i% e 2i% correspondem 
a um aumento percentual igual a
(A) (i + i²)%
(B)
 
3i +
 
i²
50
(C) (2i)² %
(D)
 
3i +
 
2i
100
(E) (3i)%
QUESTÃO 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sobre o sistema pode-se afir-
mar que o valor de
(A) y² é 169
900
(B) x4 é 13
30
(C) x é √3³
(D) y é zero
(E) x³ é 6
QUESTÃO 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise a figura a seguir,
Pelo centro O do quadrado de lado √6 cm acima, traçou- 
se a circunferência que corta o lado BC nos pontos P e Q.
O triângulo OPQ tem área √32 cm². Sendo assim, é correto 
afirmar que o raio dessa circunferência, em cm, é igual a
(A) 1
(B) √2
(C) √3
(D) 
2√2
2
(E)
 
√3
2
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
25
QUESTÃO 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
A figura acima exibe um total de n peças idênticas de 
um quebra cabeça que, resolvido, revela uma coroa circular. 
Sabe-se que 6 cm é a menor distância entre as circunferências 
concêntricas pontilhadas da figura e que o raio da menor 
dessas circunferências é igual a 9cm. Se a área de cada peça 
é (12π)cm², é correto afirmar que n é igual a
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 12
(E) 15
QUESTÃO 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
é correto afirmar que o valor de 
x está no intervalo
(A) 0,1 < x < 0,2
(B) 0,2 < x < 0,3
(C) 0,3 < x < 0,4
(D) 0,4 < x < 0,5
(E) 0,5 < x < Ò,6
QUESTÃO 6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
A figura acima representa o trapézio escaleno de altura 
6cm, com base menor medindo 13cm, um dos ângulos in-
ternos da base maior medindo 75° e lado transversal oposto 
a esse ângulo igual a 12cm. Qual é a área, em cm², desse 
trapézio?
(A) 120
(B) 118
(C) 116
(D) 114
(E) 112
QUESTÃO 7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
O produto das idades de quatro irmãos é 180. Além disso, 
todos os irmãos têm idades diferentes. Se o mais vetho tem 
menos de 12 anos,é correto afirmar que a maior soma possível 
dessas quatro idades é igual a
(A) 16
(B) 19
(C) 20
(D) 22
(E) 25
QUESTÃO 8 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
A figura acima mostra um triângulo isósceles ABC, com 
BÂC = 36° e AB = AC = 1m , a bissetriz internade B corta AC 
em D. Por D, traçam-se as distâncias até AB e até BC, deter-
minando os pontos E e F, respectivamente. Sendo assim, é 
correto afirmar que o valor do produto é 
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
26
QUESTÃO 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam a,b e c números reais tais que a² + b² + c² - 4a + 2b 
- 2c + 6 = 0, Sobre a, b e c são feitas as seguintes afirmações:
I- ab < ba.
II- cba = 1.
III- b(-a) = (-c)b.
IV- a > b > c.
Sendo assim, é correto afirmar que a quantidade de afir-
mativas verdadeiras é
(A) 0 
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
QUESTÃO 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere um losango ABCD de lado igual a 5cm, diagonais 
AC e BD, e ângulo interno BÂD = 120°. Sabe- se que um ponto 
M sobre o lado AB está a 2cm de A enquanto um ponto N 
sobre o lado BC está a 3cm de C. Sendo assim, a razão entre 
a área do losango ABCD e a área do triângulo de vértices 
MBN é iguai a
(A)
 
15
2
(B) 
21
4
(C)
 
25
3
(D)
 
32
5
(E)
 
49
4
QUESTÃO 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 Observe a figura a seguir.
A figura acima apresenta o quadrilátero ABCD, com ân-
gulos retos internos nos vértices B e D, AB = 3cm, AD = 2cm 
e CD = 2AD. Nessas condições, pode-se afirmar que
(A) AC < BD e AC + BD < 10 cm
(B) AC > BD e AC + BD < 10 cm
(C) AC - BD e AC + BD < 10 cm
(D) AC > BD e AC + BD < 6 cm
(E) AC < BD e AC + BD < 6 cm
QUESTÃO 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
O número h tem 241 algarismos e h = (z • w)x. o MDC 
(x,25), com x natural, resolvido pelo algoritmo das divisões 
sucessivas de Euclides, gera o esquema a seguir:
Sendo assim, é correto afirmar que a soma x+y+z+w é igual a
(A) 274
(B) 224
(C) 199
(D) 149
(E) 99
QUESTÃO 13 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 Considere # o operador matemático que associa a raiz 
quadrada do menor quadrado perfeito maior que a soma das 
parcelas envolvidas, isto é, 3 #8 = √6 =4 porque o menor qua-
drado perfeito maior que a soma (3+8=11) é 16 e sua raiz qua-
drada é 4. Assim.se x = {5#[6#(7#8)]}2#11 e y = {[(5#6)#7]#8}3#5, 
é correto afirmar que o valor de x#y é
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 14
(E) 15
QUESTÃO 14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam os conjuntos A = {9, 27, 45,..., 423, 441}, B = {18, 
36, 54,..., 432, 450}, C = (3, 9, 15,..., 141, 147} e D = {6, 12, 18, 
.... 144, 150}. Define-se PK como sendo o produto de todos 
os elementos do conjunto K. Nas condições apresentadas, 
é correto afirmar que a expressão . 243-10. é igual a:
(A) 1000
(B) 500
(C) 100
(D) 10
(E) 1
QUESTÃO 15 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Os números x e y per tencem ao conjunto C = 
{17,20,23,26,...,2018} e são tais que x > y. Sendo assim, pode-
-se concluir que 2017 ∙ 2x + 8y, na divisão por 7, deixa resto
(A) 0 
(B) 1
(C) 3
(D) 4
(E) 5
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
27
QUESTÃO 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja "x" real tal que Sendo assim, o 
valor de é igual a
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
(E) -1
QUESTÃO 17 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 Analise as afirmativas a seguir.
I- Sejam a, b e c os lados de um triângulo, com c > b ≥ a. 
Pode-se afirmar que c² =a² +b² se, e somente se, o triângulo 
for retângulo.
II- Se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes in-
ternas dos ângulos agudos formam entre si um ângulo de 
45° ou 135°.
III- O centro de um círculo circunscrito a um triângulo 
retângulo está sobre um dos catetos.
IV- O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante 
dos lados do triângulo.
Assinale a opção correta.
(A) Somente I e II são verdadeiras.
(B) Somente II e III são verdadeiras.
(C) Somente I e IV são verdadeiras.
(D) Somente I, II e IV são verdadeiras.
(E) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.
QUESTÃO 18 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Um triângulo isósceles ABC tem base BC = 16 cm e lados 
congruentes AB = AC = 17 cm. O raio do circulo inscrito ao 
triângulo ABC em cm é igual a:
(A)
 
32
15
(B) 
24
5
(C)
 
35
8
(D)
 
28
5
(E)
 
17
4
QUESTÃO 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja o número real x tal que W = x + 21. Sendo 
assim, qual o valor de x para que W seja mínimo?
(A) 3√6
(B) 
3√6
8
(C) 7√9
(D) 
2√6
3
(E) 6√6
QUESTÃO 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sabendo que 5k = 561 + 22p e = 17 + 2P, o valor de 
pk - kp
pk + kp 
é igual a:
(A)
 
7
11
(B) 
19
35
(C)
 
17
145
(D)
 
11
127
(E)
 
13
368
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
28
COLÉGIO NAVAL / 2018
QUESTÃO 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere os três operadores matemáticos #, Δ e □ tais 
que a#b = ab, aΔb = a
b
 e a□b□c = a+b+c. Sabendo que 'x' é 
um número real, pode-se afirmar que o valor máximo inteiro 
que a expressão [2(x# 2)□8 x□23]Δ[2(x# 2)□8x□11] assume é:
(A) 7 
(B) 6
(C) 5
(D) 4
(E) 3
QUESTÃO 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja ABC um triângulo equilátero de lado 3. Exteriormente 
ao triângulo, constroem-se três quadrados, sempre a partir 
de um lado do triângulo ABC, ou seja, no quadrado Q1( AB 
é um lado; no Q2, BC é um lado; e no Q3, AC é um lado. Com 
centro no baricentro “G” do triângulo ABC, traça-se um cír-
culo de raio 3. A medida da área da parte do círculo que não 
pertence a nenhum dos quadrados Q1, Q2 e Q3, e nem ao 
triângulo ABC é igual a:
(A) 2π
(B) 3π
(C) 5π
(D) 7π
(E) 12π
QUESTÃO 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere as afirmações a seguir.
I- Seja P o conjunto dos números naturais pares positivos P 
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}. A soma de parcelas distintas, formada 
pelos inversos dos elementos de P, desde 2 até ‘m', com m ∈ 
P, terá como resultado um número inteiro.
II- Se x é um número real e x < 0, então √x² = -x.
III- A medida da corda determinada por uma reta numa 
circunferência é menor ou igual à medida do seu diâmetro.
Essas afirmações são, respectivamente:
(A) Falsa - Falsa - Verdadeira
(B) Verdadeira - Falsa - Verdadeira
(C) Falsa - Falsa - Falsa
(D) Falsa - Verdadeira - Verdadeira
(E) Verdadeira - Verdadeira - Verdadeira
QUESTÃO 4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Os elementos do conjunto X são números naturais distin-
tos formados apenas por algarismos iguais a 1, ou seja, X = {1, 
11, 111, 1111, 11111, ...}, onde o maior elemento é formado 
por 2018 algarismos iguais a 1. Sabendo que 111111=15873x7, 
determine a quantidade de elementos do conjunto X que são 
divisíveis por 7 e marque a opção correta.
(A) 128
(B) 256
(C) 336
(D) 446
(E) 512
QUESTÃO 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
Essa figura representa um triângulo equilátero, inscrito 
numa circunferência maior, e circunscrito a uma outra cir-
cunferência menor de raio igual a 2cm, onde destacou- se 
a região com ângulo central de 120°. Sendo assim, é correto 
afirmar que a área total correspondente à parte sombreada 
mede, em cm²:
(A)
 
10π
3
(B) 
15π
4
(C)
 
16π
3
(D)
 
17π
5
(E)
 
13π
3
QUESTÃO 6 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
O maior valor inteiro de ‘k’ para que x² + 2018x + 2018k 
= 0 tenha soluções reais é:
(A) 2018
(B) 1010
(C) 1009
(D) 505
(E) 504
QUESTÃO 7 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Seja A o conjunto formado pelos pares (x,y), onde x e y são 
inteiros positivos tais que 2x+3y = 2018. Sendo assim, é cor-
reto afirmar que a quantidade de elementos do conjunto A é:
(A) 256
(B) 336
(C) 512
(D) 640
(E) 720
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
29
QUESTÃO 8• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Analise a figura a seguir.
Essa figura representa o paralelogramo ABCD,cujas me-
didas dos lados são AB=CD=3cm, BC=AD=4cm e Â=60°. Do 
vértice D traça-se a altura DH relativa ao lado AB.que encontra 
a diagonal AC no ponto I. Determine, em cm, a medida Dl e 
marque a opção correta.
A)
 
6√3
5
(B) 
7
3
(C)
 
5√3
3
(D)
 
9
5
(E)
 
2√3
3
QUESTÃO 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
As equações na incógnita 'x' dadas por ax + b = 0 e ax² + bx 
+ c = 0 , onde ‘a1, ‘b' e ‘c’ são números reais e a≠0, possuem 
uma única raiz em comum. Sabendo que ‘m’ e ‘n’ são as raízes 
da equação do 2° grau, marque a opção que apresenta o valor 
da soma m2018 +n2018.
A)
 
c
b 
2018
(B) 
ab
c 
2018
(C)
 
c
a 
2018
(D)
 
bc
a 
2018
(E)
 
b
a 
2018
QUESTÃO 10 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere a expressão (20182018)2018, que é potência de 
uma potência. É correto afirmar que o último algarismo do 
resultado dessa expressão é:
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8
QUESTÃO 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Sejam os números naturais 'm' e 'n’, tais que 0 < m ≤ 2018 
e . Dentre as opções a seguir, marque 
a que apresenta o resultado de 10nm.
(A) 250
(B) 360
(C) 380
(D) 420
(E) 540
QUESTÃO 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
Ela exibe um esboço da visão lateral do projeto de cons-
trução de um palco para um evento na cidade de Angra dos 
Reis. Para simplificar, o projeto irá considerar que a altura de 
uma pessoa é 1,6m. Do chão ao piso do palco terá 2,4m de 
altura e os 5m em destaque no palco é a região em que um 
artista, em pé, pode se deslocar durante seu show, A grade 
de segurança é colocada a uma distância 'd' do palco de modo 
que uma pessoa, em pé, encostada nessa grade, consiga ver 
ao menos a metade da altura do artista, em qualquer lugar 
dos 5m destacados no palco, se o artista estiver também de 
pé. Nessas condições, o valor de ‘d’ está no intervalo:
(A) 0 < d ≤ 2
(B) 2 < d ≤ 4 
(C) 4 < d ≤ 6
(D) 6 < d ≤ 8
(E) 8 < d ≤ 10
QUESTÃO 13 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Um fazendeiro possui 'x' galinhas e ração estocada su-
ficiente para ‘n’ dias. Sabe-se que cada galinha consome a 
mesma quantidade de ração diariamente. No final de ‘t’ dias 
(1 < t < n), o fazendeiro adquire outras ‘k' galinhas, sendo que 
cada nova galinha consome o triplo da ração diária que uma 
das ‘x’ galinhas anteriores consome. Supondo que não houve 
renovação no estoque de ração e que, além de alimentar 
todas as galinhas conforme suas necessidades diárias, nenhu-
ma foi retirada do galinheiro, marque a opção cuja sentença 
permite obter a quantidade de dias y que faltam para acabar 
o estoque atual de ração deste fazendeiro.
(A) (3k + 1)y = n - t
(B) (3k + 1)y = 2n - t
MATEMÁTICA COLÉGIO NAVAL
30
(C) (2k + 3)y = 3n -t
(D) (2k + 1)y = 3n - t
(E) (3k + 3)y = 2n - t
QUESTÃO 14 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Um triângulo retângulo ABC é reto no vértice A, o ângulo 
C mede 30°, a hipotenusa BC mede 1cm e o segmento AM é 
a mediana relativa à hipotenusa. Por um ponto N, exterior ao 
triângulo, traçam-se os segmentos BN e NA, com BN // AM e 
NA // BM. A área, em cm2, do quadrilátero AN BC é:
(A)
 
√3
16
(B) 
3√3
8
(C)
 
√3
8
(D)
 
√3
4
(E)
 
3√3
16
QUESTÃO 15 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A quantidade de soluções inteiras da inequação 1
x²-4
 + 
2
x+2 ≥ 1 é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
QUESTÃO 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Observe a figura a seguir.
O triângulo ABC acima é equilátero de lado igual a 2cm. 
BDEF é um retângulo de medidas 2cm x 5cm. Além disso, A, 
B e D estão alinhados. Sendo assim, é correto afirmar que a 
medida do segmento GB, em centímetros, é:
(A)
 
20
5+4√3
(B) 
11
4+2√3
(C)
 
8
3+√3
(D)
 
15
5+2√3
(E)
 
13
4+5√3
QUESTÃO 17 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
 Seja ABCD um quadrado de lado L, em que AC é uma de 
suas diagonais. Na semirreta BC, onde B é a origem, marca-se 
E de tal modo que BC = CE. Seja H a circunferência de centro 
em C e raio L, e P 0 ponto de interseção de AE com a circun-
ferência H. Sendo assim, é correto afirmar que 0 segmento 
DP tem medida igual a:
(A)
 
L√10
5
(B) 
3L√10
10
(C)
 
2L√5
5
(D)
 
2L√10
5
(E)
 
L √5
10
QUESTÃO 18 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Considere os dois números naturais 'a' e ‘b’,ambos for-
mados por dois algarismos. Sabe-se que a • b = 2160 e que 
0 máximo divisor comum de ‘a’ e ‘b’ é 12. Sendo assim, é 
correto afirmar que, ao se dividir a diferença positiva entre 
‘a’ e ‘b’ por 11, encontra-se resto igual a:
(A) 9
(B) 6
(C) 5
(D) 2
(E) 1
QUESTÃO 19 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
A idade de cada um dos três filhos de um adulto, incluindo 
os dois filhos gêmeos, é representada por números inteiros. 
A soma das idades é igual a 21 e o produto igual a 320. Se 
colocarmos em forma de potência a maior idade e a menor 
idade deles, de tal modo que a maior seja a base da potência 
e a menor seja o expoente, está correto afirmar que ela terá 
o mesmo resultado do que:
(A) 310
(B) 59
(C) 213
(D) 38
(E) 215
COLÉGIO NAVALMATEMÁTICA
31
QUESTÃO 20 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Os números reais e positivos 'x’ e y são tais que x² + y² = 
21 e (x-y)² = 9. Nessas condições, determine o valor de 16p, 
onde ‘P’ é o produto das possíveis soluções da expressão 
(A) 1
(B) 
1
2
(C)
 
3
4
(D)
 
1
16
(E)
 
1
8
32
PORTUGUÊS
COLÉGIO NAVAL / 2010
Quando a rede vira um vício
Com o título "Preciso de ajuda", fez-se um desabafo aos 
integrantes da comunidade Viciados em Internet Anônimos: 
"Estou muito dependente da web. Não consigo mais viver 
normalmente. Isso é muito sério". Logo obteve resposta de um 
colega de rede. "Estou na mesma situação. Hoje, praticamente 
vivo em frente ao computador. Preciso de ajuda." O diálogo 
dá a dimensão do tormento provocado pela dependência 
em Internet, um mal que começa a ganhar relevo estatístico, 
à medida que o uso da própria rede se dissemina. Segundo 
pesquisas recémconduzidas pelo Centro de Recuperação para 
Dependência de Internet, nos Estados Unidos, a parcela de 
viciados representa, nos vários países estudados, de 5% (como 
no Brasil) a 10% dos que usam a web - com concentração na 
faixa dos 15 aos 29 anos. Os estragos são enormes.
Como ocorre com um viciado em álcool ou em drogas, 
o doente desenvolve uma tolerância que, nesse caso, o faz 
ficar on-line por uma eternidade sem se dar conta do exa-
gero. Ele também sofre de constantes crises de abstinência 
quando está desconectado, e seu desempenho nas tarefas 
de natureza intelectual despenca. Diante da tela do compu-
tador, vive, aí sim, momentos de rara euforia. Conclui uma 
psicóloga americana: "O viciado em internet vai, aos poucos, 
perdendo os elos com o mundo real até desembocar num 
universo paralelo - e completamente virtual".
Não é fácil detectar o momento em que alguém deixa de 
fazer uso saudável e produtivo da rede para estabelecer com 
ela uma relação doentia, como a que se revela nas histórias 
relatadas ao longo desta reportagem. Em todos os casos, a 
internet era apenas "útil" ou "divertida" e foi ganhando um 
espaço central, a ponto de a vida longe da rede ser descrita 
agora como sem sentido. Mudança tão drástica se deu sem 
que os pais atentassem para a gravidade do que ocorria. 
"Como a internet faz parte do dia a dia dos adolescentes e o 
isolamento é um comportamento típico dessa fase da vida, a 
família raramente detecta o problema antes de ele ter fugido