A reta real

Prévia do material em texto

Fundamentos de 
Análise Matemática
Material Teórico
A reta real 
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Francisco Augustin Machado Echalar
Revisão Textual:
Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos
• Introdução
• Segmentos comensuráveis
• Segmentos incomensuráveis
• A crise dos incomensuráveis
• Os cortes de Dedekind
• Exercícios de fixação
 · Trabalhar as noções de medidas de segmentos comensuráveis 
e incomensuráveis, e discutir a solução dada à crise dos 
incomensuráveis. Discutir a construção dos números reais por meio 
dos cortes de Dedekind.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
A reta real 
Seja bem-vindo(a) às nossas discussões sobre Fundamentos de Análise Matemática!
Saiba que esta disciplina tem como propósito aprofundar sua compreensão da Lógica, ao 
mesmo tempo em que discute com maior rigor conceitos relacionados aos números reais e 
ao cálculo, oferecendo-lhe contato com as discussões mais recentes dessa área; além de lhe 
proporcionar momentos de leitura – textual e audiovisual – e reflexão sobre os temas que 
serão aqui discutidos, contribuindo com sua formação continuada e trajetória profissional.
Esta disciplina está organizada em seis unidades, cujo eixo principal será o 
desenvolvimento lógico do cálculo, ou seja, que dê conta do significado e das técnicas de 
demonstração, das regras de inferência da lógica, da compreensão das especificidades 
dos números reais quando comparados com outros campos numéricos, de como essas 
especificidades permitem compreender o estudo de limites de sequências e séries e 
finalmente definir de modo rigoroso conceitos como continuidade de funções, derivadas 
e integrais. É o que você encontrará nas próximas unidades.
Ademais, perceba que a disciplina em ensino a distância pode ser realizada em qualquer lugar 
em que você tenha acesso à Internet e a qualquer horário. Entretanto, normalmente com a 
correria do dia a dia, não nos organizamos e deixamos para o último momento o acesso ao 
estudo, o que implicará o não aprofundamento do material trabalhado ou, ainda, a perda dos 
prazos para o lançamento das atividades solicitadas.
Assim, organize seus estudos de maneira que entrem na sua rotina. Por exemplo, você 
poderá escolher um dia ao longo da semana ou um determinado horário para todos os 
dias ou alguns dias e determinar como o “momento do estudo”.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de 
discussão, bem como realize as atividades de sistematização, as quais o(a) ajudarão a verificar 
o quanto absorveu do conteúdo: são questões objetivas que lhe pedirão resoluções coerentes 
ao apresentado no material da respectiva Unidade para, então, prepará-lo(a) para a realização 
das respectivas avaliações. Tratando-se de atividades avaliativas, se houver dúvidas sobre a 
resposta correta, volte a consultar as videoaulas e leituras indicadas para sanar tais incertezas.
Lembre-se: você é responsável pelo seu processo de estudo. Por isso, aproveite ao máximo 
esta vivência digital!
ORIENTAÇÕES
UNIDADE A reta real 
Contextualização
O tema da unidade é a reta numérica, ou reta real. Você já sabe: a cada ponto 
da reta está associado um número real e vice-versa. Mas por quê? Que ideias estão 
por trás disso?
A ideia é bastante simples e a apresentamos desde já: a cada ponto associamos 
o número cujo módulo corresponde à distância daquele ponto até a origem. Se o 
ponto está do lado positivo da origem, o número é positivo; se o ponto está do 
lado negativo, o número associado é negativo. Seja, por exemplo, um ponto que 
está a uma distância de 1,2 m da origem, no lado negativo da reta. A esse ponto 
associamos o número – 1,2.
No sentido oposto, a cada número associamos um ponto tal que (a) a distância 
desse ponto à origem da reta corresponde ao módulo do número; e (b) esse ponto 
está do lado positivo se o número é positivo, do lado negativo se o número é 
negativo, ou coincide com a origem se o número é o zero.
Parece tudo muito simples, não? Bem, mas o que é distância?
Vamos entender distância como a medida do segmento que une o ponto em 
questão à origem.
Ótimo, e o que é medida?
Como entender a medida de um segmento quando sabemos que essa medida é 
uma dízima periódica?
Como entender a medida de um segmento quando ela é um número irracional?
Um erro comum de aluno é achar que dízimas, decimais infinitas são 
números aproximados, números imprecisos. No entanto, você vai ver que eles 
correspondem a algo bem concreto: medidas de segmentos. Então como entender 
essa “imprecisão” aparente?
Bem, é disso que trataremos nesta unidade.
6
7
Introdução
Nesta unidade, vamos procurar inicialmente relacionar os números reais com 
pontos de uma reta. A partir das questões relacionadas com essa associação, 
apresentaremos uma construção dos números reais a partir dos racionais. Todo 
nosso discurso tratará dos números reais não negativos. Quando tratarmos de 
algo que apresente diferenças entre o que acontece para os números negativos 
e para os números não negativos, diremos isso explicitamente e procuraremos 
explicar a diferença.
Conjunto dos números reais positivos:  + = ∈ >{ }* x x: 0
Conjunto dos números reais não negativos:  + = ∈ ≥{ }x x: 0
Conjunto dos números reais não positivos:  − = ∈ ″{ }x x: 0≤
Conjunto dos números reais negativos:  − = ∈ <{ }* x x: 0
Antes de mergulhar no assunto, não custa nada relembrar algumas ideias sobre 
retas e figuras afins. A primeira é que a reta é infinita, não tem começo nem fim. 
Qualquer traço reto que desenhemos, representa apenas uma parte da reta. A 
segunda, é que não definimos reta. Reta é um ente primitivo. A terceira é que se 
por um único ponto podemos passar infinitas retas diferentes, dados dois pontos 
diferentes, só uma reta passa por eles (ver Figura 1).
r1
r2
r3
r4
A
In�nitas retas pelo
ponto A
(a) (b)
Uma única reta por
A e B
A B
r
Figura 1 – (a) Retas que passam por 1 ponto. (b) Única reta que passa por dois pontos
A partir da ideia de reta, definimos duas outras figuras: semirreta e segmento 
de reta.
A reta é infinita, não tem começo nem fim. Um ponto na reta divide a reta em 
duas partes, duas semirretas. Uma semirreta tem uma origem, mas não tem fim. O 
ponto O marcado na reta r (ver Figura 2) a divide em duas semirretas. A primeira 
tem origem em O e passa por P1. A segunda tem origem em O e passa por P2.
7
UNIDADE A reta real 
P2
P1
O
r
Figura 2 – Há duas semirretas definidas pelo ponto O sobre r. A primeira tem 
origem em O e passa por P1. A segunda tem origem em O e passa por P2
Dois pontos definem também um segmento de reta. Ao contrário da reta e 
da semirreta, um segmento tem começo e tem fim. Ou seja, dados dois pontos 
diferentes A e B, eles podem ser usados para definir a reta que passa por eles, ou 
então para definir uma das semirretas que começa em um deles e passa pelo outro, 
ou ainda um segmento de reta que começa em um deles e termina no outro.
Relembrados esses conceitos de geometria, vamos procurar discutir outra ideia 
que vocês já conhecem: a ideia de medida. Medimos para poder quantificar alguma 
propriedade, alguma característica. A Figura 3 ilustra a medição de um comprimento 
com auxílio de uma régua. Observe que o processo de medição direta implica uma 
comparação entre o objeto que está sendo medido e uma escala. Essa escala (na 
figura, a régua) consiste na repetição justaposta de uma referência, a unidade de 
medida. No trecho mostrado da régua, observamos 75 traços em sequência. Eles 
representam 74 repetições justapostas de uma unidade de medida: o milímetro. Se 
considerarmos apenas os traços maiores, aparecem um total de 8, representando 
7 repetições de uma outra unidade de medida: o centímetro.
Figura 3 – Medição de um comprimento com auxílio de uma régua
Fonte: wikihow.com
Observe o objeto que é medido na Figura 3. O comprimento dele é 7  cm. 
A ideia por trás disso é que se alinharmos um adjacente ao outro, na mesma 
reta, 7 segmentos de comprimento 1 cm, teremos um segmentocom o mesmo 
comprimento do objeto, que será 7 vezes a unidade de medida (1 cm). Partiremos 
dessa ideia de medida: medir um segmento é determinar quantas vezes uma unidade 
de medida cabe nesse segmento.
Para encerrar essa parte introdutória, vamos falar do que dá para fazer com 
apenas um compasso e uma régua não graduada, isto é, um instrumento que nos 
permite traçar linhas retas, mas não permite medir comprimentos. Com essas 
8
9
ferramentas é possível verificar se dois segmentos têm o mesmo comprimento ou 
se um é maior do que o outro. Com auxílio do compasso, basta transportar um 
sobre o outro. Do mesmo modo, podemos superpor segmentos numa reta. Veja 
que isso torna o processo de medida de um segmento uma operação bem concreta. 
Medir um comprimento é, então, com o auxílio de um compasso e uma régua não 
graduada, justapor cópias adjacentes de um segmento unitário, colocando o início 
da 1ª cópia coincidente com um dos extremos do objeto medido, até que o final de 
alguma cópia coincida com o outro extremo do objeto. O número de cópias usadas 
representa o resultado da medida.
Muitas vezes a unidade usada não cabe um número inteiro de vezes. Por 
exemplo, para medir a altura de uma pessoa adulta, frequentemente teremos o 
seguinte resultado: se usarmos a unidade 1 m, 1 cópia é insuficiente, pois a pessoa 
mede mais que 1 m, e 2 cópias é demais, pois a pessoa mede menos que 2m. 
Por isso usamos um submúltiplo do metro: o centímetro, que nada mais é que um 
centésimo do metro. Para determinar submúltiplos da unidade usada, precisamos 
de um procedimento com compasso e régua não graduada para dividir qualquer 
segmento em n partes iguais.
Como é possível com uma régua e um compasso dividir um segmento qualquer em n 
partes iguais?
Ex
pl
or
Lembre-se do Teorema de Tales, basta usá-lo como base. A Figura 4 ilustra
o processo.
Figura 4 – Exemplo de divisão de um segmento em n partes iguais com auxílio do Teorema de Tales
Teorema de Tales: se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, 
então a razão entre quaisquer dois segmentos determinados em uma das transversais é 
igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.
Ex
pl
or
Observe a Figura 4. Queremos dividir o segmento AB em 9 partes iguais. A partir 
de uma de suas extremidades (na figura, o ponto A), puxamos uma reta transversal 
r. Na reta r, com o compasso centrado em A (ponto do segmento que queremos 
9
UNIDADE A reta real 
dividir), marcamos o ponto P1. Mantendo a mesma abertura do compasso, com 
ele centrado em P1, marcamos P2. Usando P2 como centro, marcamos P3, e assim 
por diante até P9. Desse jeito, definimos na reta r 9 segmentos consecutivos, 
todos de mesmo tamanho: AP1, P1P2, P2P3,..., P7P8, P8P9. Unimos, então, P9 
com B (a extremidade do segmento a ser dividido que ainda não foi usada). Em 
seguida, traçamos paralelas a BP9 passando por P1, P2, P3, ..., P7, P8. Desse modo, 
determinamos no segmento AB os pontos Q1, Q2, Q3,..., Q7, Q8. Esses pontos 
definem os segmentos AQ1, Q1Q2, Q2Q3, ..., Q7Q8, Q8B. Pelo teorema de Tales, 
a razão entre quaisquer desses segmentos é igual à razão entre os segmentos 
correspondentes na reta r. Isto é, são todos iguais. Em outras palavras, os pontos 
Q1, Q2, Q3,..., Q7, Q8 dividem o segmento AB em 9 partes iguais.
Segmentos comensuráveis
Vamos usar as ferramentas descritas na introdução para associar os pontos da 
reta a números. Continuamos seguindo a Profa. Ripoll (2004) nessa abordagem. 
Começamos com uma reta horizontal (apenas para facilitar a linguagem). Marcamos 
nela um segmento δ. Esse segmento não pode ter comprimento 0. Esse segmento será 
a unidade de medida. Chamaremos a extremidade esquerda desse segmento de O.
Vamos definir agora a medida de um segmento. Sejam A e B dois pontos 
quaisquer da reta e AB o segmento que os une. A medida do segmento AB será 
representada por |AB|. Usando a mesma notação, a medida do segmento unitário 
δ será |δ|. Consequentemente, |δ| = 1.
Vamos representar como mAB o segmento que corresponde a m∈ 
cópias adjacentes de AB justapostas, conforme ilustrado na Figura 5. Então, 
é razoável escrever que a medida desse segmento é m vezes a medida de AB: 
|mAB| = m|AB|
AK BK K - enésia cópia do segmento AB
A1
A2 B2
A3 B3 ......
B1 Am-1
Am
mAB
Bm
Bm-1
Figura 5 – exemplo de mAB como m cópias justapostas, adjacentes de AB
Vamos agora associar números naturais a pontos da reta (cf. RIPOLL, 2004). 
Para isso, seja uma reta horizontal. Sobre essa reta, marcamos um ponto O, a 
origem, e definimos um segmento unitário δ; podemos marcar pontos à direita 
de O, que chamaremos de P(n), onde n é o número de repetições de δ usadas. 
10
11
Ou seja, OP n n( ) = δ. Consequentemente, a medida do segmento OP(n) é o 
número n, pois:
OP n n n n n( ) = = = =δ δ. .1
Ou seja, para cada número natural n temos na semirreta à direita de O um ponto 
P(n) associado, de tal forma que n é a medida de OP(n). Isso está representado na 
Figura 6. Na figura também está indicado o P(0) que corresponde a zero repetições. 
Logo, |OP(0)| = 0 e P(0) coincide com a origem O.
P(0) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) P(7)
Figura 6 – Pontos obtidos com a repetição n vezes do segmento unitário δ: n = 0 repetições 
à P(0) = O; n = 1 repetição à P(1); n = 2 repetições à P(3); ... ; n repetições à P(n)
Quando a unidade de medida não cabe um número exato de vezes no objeto 
medido, dissemos acima que usamos como unidade um submúltiplo da unidade 
δ. Ou seja, em vez de usar para a medida o segmento δ, usaremos um outro, 
correspondente à divisão de δ em m parte iguais.
Seja AB um segmento cuja medida é maior que 1m e menor que 2m. A unidade 
metro (nosso δ) é inadequada; usaremos a unidade centímetro. O segmento de 
comprimento 1 cm será chamado de u. O resultado é tal que u =
1
100
δ . Suponhamos 
que essa unidade u cabe extamente 175 vezes no segmento AB, isto é, AB = 175u. 
A medida dessa pessoa, então, é 175, usando a unidade u. Usando a unidade 
original δ, fica assim:
AB u u= = = = =175 175 175
1
100
175
1
100
175
100
δ δ. .
Ou seja, se colocarmos esse segmento (com auxílio da régua e compasso) na 
reta de tal modo que o ponto A coincida com a origem O, o ponto B será associado 
à fração 
175
100
.
Para generalizar isso, usamos o conceito de segmentos comensuráveis. Dois 
segmentos AB e CD são comensuráveis se existe uma mesma unidade s que os 
mede. Isto é, o segmento s cabe um número exato de vezes em AB e um número 
exato de vezes em CD. Isto é, se existem n e m naturais tais que AB = ns e CD 
= ms. Dizemos, então, que AB e CD estão na razão n/m. A Figura 7 ilustra um 
exemplo disso. O segmento CD é menor que AB, mas não “cabe” um número 
exato de vezes nele. Usamos, então, como unidade de medida o segmento EF. Pela 
figura, você vê que AB = 8EF e CD = 5EF. Ou seja, AB e CD estão na razão 8/5.
11
UNIDADE A reta real 
A B
AB
CD
8
5
C D E F
=
Figura 7 – Exemplos de segmentos comensuráveis
Fonte: Ávila (2006, p. 19)
O Prof. Geraldo D’Ávila mostra no artigo “Eudoxo, Dedekind, números reais e ensino de 
Matemática” que se existe u tal que AB = ns e CD = ms, então a associação de AB e CD 
com a razão n/m está bem definida. 
O artigo está disponível aqui: http://goo.gl/wJDxTp
Ex
pl
or
Suponhamos que CD é o segmento unitário δ. Então, temos que
CD = =δ 1
Além disso, se existe m natural tal que CD = ms, então:
CD ms m s= =
Logo
m s =1
Ou seja,
s
m
=
1
Isto é, a medida dessa unidade, a fração m-ésima da unidade. Se m = 1, s é o 
próprio segmento unitário δ.
Vejamos agora o segmento AB, que estamos supondo comensurável com CD, 
isto é, que existe n tal que AB = ns:
AB ns n s= =
Substituindo na expressão acima o resultado anterior:
AB n s n
m
n
m
= = =.
1
12
13
Isto é, se o segmento AB é comensurável com o segmento unitário δ, existe 
alguma fração m-ésima de δ tal que a medida de AB é a fração n
m
.
Expressando isso de outro jeito, qualquer que seja um segmento AB,se 
colocarmos o segmento AB sobre a reta numérica de tal forma que A coincida 
com a origem e B fique à direita de A, o ponto B vai corresponder a uma fração 
n/m, se e somente se AB é comensurável com δ.
Pode ser colocada, então, a pergunta: todo e qualquer segmento é comensurável 
com a unidade, qualquer que seja ela?
• Pode parecer que sim, pois parece razoável pensar que sempre é possível 
encontrar uma fração da unidade suficientemente pequena que caiba um 
número inteiro de vezes no segmento que está sendo medido.
• Se a resposta for afirmativa, isso significa que a medida de qualquer segmento 
é dada por um número racional.
No entanto, a resposta é negativa; por mais contraintuitivo que isso seja, existem 
segmentos para os quais não é possível encontrar uma unidade que meça os dois, 
isto é, que caiba um número exato de vezes em cada um dos dois.
Uma consequência disso é que, ainda que os números racionais sejam 
infinitos, eles não são suficientes para medir todos os segmentos de reta, nem, 
o que é equivalente, para rotular todos os pontos da reta. Um exemplo disso é 
o lado de um quadrado e sua diagonal. Não é possível encontrar uma unidade 
de medida que caiba um número exato de vezes nos dois. Se tomamos uma que 
cabe exatamente n vezes no lado, ela não cabe um número exato de vezes na 
diagonal. Se tomamos uma unidade que cabe exatamente n vezes na diagonal, 
ela não cabe um número exato de vezes no lado. Não é possível encontrar uma 
mesma unidade, por menor que seja, que caiba um número exato de vezes tanto 
na diagonal como no lado do quadrado. É o que demonstramos a seguir.
Segmentos incomensuráveis
Como dissemos, a seguir demonstramos que o lado de um quadrado e sua 
diagonal são incomensuráveis, isto é, não é possível encontrar uma mesma unidade, 
por menor que seja, que caiba um número exato de vezes tanto na diagonal como no 
lado do quadrado. Reproduziremos a demonstração disponível em Ávila (1984). Essa 
demonstração é por contradição. Começamos supondo que existe um segmento que 
mede tanto o lado como a diagonal e mostramos que isso leva a um absurdo.
Considere o quadrado de diagonal AB = δ e lado AC = l mostrado na Figura 8. 
Estamos, então, supondo que existe um segmento s que cabe um número exato de 
vezes em δ e um número exato de vezes em l, isto é, existem n e m naturais tais 
que δ = ns e l = ms. Obviamente, s é menor que δ ou l, mas tem um tamanho 
determinado, finito.
13
UNIDADE A reta real 
AC
D
B
E
F
Figura 8 – Figura para demonstração que o lado de um quadrado e sua diagonal são incomensuráveis
Devemos, agora, marcar na diagonal AB o ponto D de tal modo que |AC| = 
|AD|. Fazemos isso com auxílio do compasso. Puxamos uma perpendicular a AB 
por D. O ponto de encontro dela com CB é o ponto E. Considere os triângulos 
ACE e ADE. Ambos são retângulos. Ambos têm a mesma hipotenusa AE. E têm 
AC = AD. Consequentemente, pelo teorema de Pitágoras, são iguais os outros 
catetos CE = DE.
Considere agora o triângulo BDE. Ele é retângulo, pois o ângulo BDEˆ é reto. 
Ele é isóceles, pois o ângulo DBE

=
π
4
, já que AB é diagonal do quadrado maior. 
Consequentemente, BD = DE. Ou seja, por essas construções, temos:
Resultado 1:
δ δ λ= = + → = +AB AD BD BD
Resultado 2:
λ λ= = + = + → = +BC BE EC BE BD BE BD
Partimos da hipótese de que existe s tal que δ = ns e l = ms. Substituindo isso 
primeiro no resultado 1, temos:
δ λ σ σ σ= + → = + → = −( )BD n m BD BD n m
Ou seja, se s cabe um número exato de vezes em AB e em AC, então também 
cabe um número exato de vezes em BD, pois (n – m) é um número inteiro. Fazendo 
as substituições agora no resultado 2, temos:
λ σ σ σ= + → = + −( ) → = −( )BE BD BE n m BE m n2
Ou seja, se s cabe um número exato de vezes em AB e em AC, então também 
cabe um número exato de vezes em BE, pois (2m – n) é um número inteiro. Em 
outras palavras, se existe s que cabe um número exato de vezes em AB e AC, 
14
15
esse mesmo s cabe também um número exato de vezes em BE e BD. Ora, BE 
e BD são a diagonal e o lado do quadrado BDEF. Esse quadrado foi obtido por 
nossa construção. Podemos repetir o processo e chegar a um quadrado menor 
ainda. Para esse quadrado, teremos o mesmo resultado acima: se s cabe um 
número exato de vezes em AB e em AC, então também cabe um número exato 
de vezes no lado e na diagonal desse novo quadrado. E isso não importa quantas 
vezes repitamos o procedimento. Ora, isso é absurdo. Como dissemos acima, 
se s existe, tem um comprimento determinado, finito. Vai chegar uma hora em 
que as dimensões do quadrado serão menores que s. Logo, s não existe. Não é 
possível que haja um segmento que permita medir simultaneamente o lado de um 
quadrado e sua diagonal.
Já na Unidade I havíamos mostrado que não é possível representar a medida 
da diagonal de um quadrado como uma fração. Aqui temos o complemento a 
essa afirmação. Se o lado e a diagonal fossem comensuráveis, a razão entre suas 
medidas seria uma fração. Eles não são comensuráveis; consequentemente, a razão 
entre eles não é uma fração.
A crise dos incomensuráveis
Nas palavras do Prof. Ávila (1988):
“A descoberta dos incomensuráveis representou, no século V a.C., uma derrota para 
os pitagóricos. De fato, para eles o número era a essência de tudo. Eles acreditavam 
na possibilidade de explicar todos os fenômenos do mundo sensível em termos dos 
números e de suas relações, tanto na Geometria como na Música, na Astronomia ou 
na Física, enfim, o número seria a essência última do ser e de todos os fenômenos. Mas 
por número eles entendiam apenas o que chamamos hoje de “números naturais”, ou 
inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, .... Nem as frações eram números, já que elas apareciam 
como relações entre grandezas da mesma espécie. Agora que haviam sido descobertas 
grandezas incomensuráveis, estava claro que os números (naturais) eram insuficientes 
até mesmo para definir a razão entre duas grandezas, o que se constituía num sério 
entrave à Filosofia Pitagórica.
A resposta adequada a essa crise foi o trabalho de Eudoxo sobre proporções. 
O problema concretamente era o seguinte: dados dois segmentos não comensuráveis, 
o que significa a razão entre eles?
Se os segmentos são comensuráveis, a razão entre eles é dada por uma fração. 
Isso está ótimo. Os gregos sabiam trabalhar com números inteiros e suas razões. A 
questão era os segmentos incomensuráveis. A abordagem de Eudoxo é pragmática. 
Ela não procura associar números a razões de segmentos não comensuráveis. No 
entanto, os segmentos existem, e o trabalho de Eudoxo diz como trabalhar com 
proporções que os envolvem, isto é, como escrever a igualdade de duas razões 
mesmo que nenhuma delas possa ser associada a um número.
15
UNIDADE A reta real 
Leia um pouco sobre a vida do matemático Eudoxo de Cnido no portal Só Matemática. 
Disponível em: http://goo.gl/G7nc66Ex
pl
or
Partimos da seguinte ideia: se dois segmentos AB e CD são comensuráveis, 
existem n e m naturais tais que nAB = mCD. Quando AB e CD são incomensuráveis, 
essa igualdade nunca vai ocorrer, isto é, não é possível encontrar n e m naturais tais 
que nAB = mCD.
No entanto, dados dois números n e m, sempre podemos testar quais das seguintes 
afirmações são verdadeiras: (I) nAB > mCD; (II) nAB = mCD; (III) nAB < mCD. 
Evidentemente, se o resultado for II, isso indica que AB e BC são comensuráveis. 
Esse teste é usado para definir a igualdade de duas razões.
Dados quatro segmentos AB, CD, EF e GH, dizemos que eles estão na mesma proporção, 
isto é, que AB está para CD assim como EF está para GH (AB:CD = EF:GH), se, quaisquer que 
sejam os números naturais m e n,
nAB mCD nEF mGH
nAB mCD nEF mGH
nAB mCD nEF mGH
> ⇔ >
= ⇔ =
< ⇔ <
Ex
pl
or
Apenas no caso de segmentos comensuráveis ocorrerá a igualdade e a razão 
entre os segmentos será associada a uma fração. Nos outros casos, a razão entre 
segmentos não era associada a um número (atualmente seria associada a um 
número irracional), mas esses testes permitem determinarse os segmentos são 
proporcionais ou não.
Os cortes de Dedekind
A abordagem de Eudoxo para a crise dos irracionais pode ser entendida do 
seguinte modo: primeiro testamos todas as frações m/n para ver em quais casos 
nAB > mCD. Isso faz com que dividamos as frações em duas classes (ÁVILA, 
1988): AI) classe das frações tais que nAB > mCD; AII) classe das nAB < mCD. 
Em seguida, testamos todas as frações m/n para ver em quais casos nEF > mGH. 
Isso faz com que dividamos as frações em duas novas classes: A’I) classe das frações 
tais que nEF > mGH; A’II) classe das nEF < mGH. (ÁVILA, 1988). A igualdade 
de duas razões implica a coincidência das classes A1 e A’1 e A2 e A’2. Isto é, a 
cada razão entre segmentos, Eudoxo associa um par de classes A1 e A2. Segundo 
Ávila (1988), é esse par de classes que o matemático alemão Richard Dedekind, no 
século XIX, chamará de corte e irá usar para definir o número real.
16
17
Conheça um pouco mais do trabalho do matemático alemão Richard Dedekind lendo os 
seguintes textos: 
MATEMÁTICA. Dedekind: a fundamentação dos números reais.
Disponível em: http://goo.gl/QRtDbX
INVESTIGAÇÃO INFORMAL. Dedekind e os números reais.
Disponível em: http://goo.gl/Vc21fa
Ex
pl
or
Segundo Ávila (2006), quando Dedekind teve que ensinar Cálculo, “percebeu a 
falta de uma fundamentação adequada para os números reais, principalmente 
quando teve de provar que uma função crescente e limitada tem limite”. Como 
resultado de seu estudo dos números reais, Dedekind, inspirado no trabalho de 
Eudoxo sobre as proporções, definiu o conceito de corte.
Assim, em 1887, ele escreve: “[...] e se interpretamos número como razão de duas 
grandezas, há de se convir que tal interpretação já aparece de maneira bem clara na 
célebre definição dada por Euclides sobre igualdade de razões. Aí reside a origem de 
minha teoria [...] e muitas outras tentativas de construir os fundamentos dos números 
reais”. (ÁVILA, 2006, p. 45).
Dedekind partiu da ideia que mencionamos acima: o procedimento de Eudoxo 
divide o conjunto dos números racionais em dois subconjuntos. Por exemplo, o 
racional ¾ efetua um corte em . De um lado temos o conjunto E (de esquerda) 
com todos os racionais que são menores que ¾ (e estão à esquerda de ¾ na reta). 
De outro, temos o conjunto D (de direita) com todos os racionais que são maiores 
que ¾ (e estão à direita de ¾ na reta). O mesmo vale para qualquer racional r; ele 
divide os demais números racionais no conjunto E dos números menores do que r 
e no conjunto D dos números maiores do que r (r pode ser incluído como o maior 
elemento de E ou o menor elemento de D – aqui sempre o incluiremos como 
elemento de D). Ou seja: D x x r= ∈ ≥{ } : , e E x x r= ∈ <{ } : .
Além desses cortes não problemáticos, há outros cortes. Vejamos como isso 
funcionaria no caso de um número irracional velho conhecido: 2 . Esse número 
também pode ser usado para fazer um corte em . O conjunto E incluirá todas 
as frações que são menores que 2 . Evidentemente, em E estão o zero e todas 
as frações negativas. Em particular, estão as seguintes frações, todas menores que
2 :1
1
14
10
141
100
1414
1000
, , , ,... O conjunto D associado a esse corte incluirá todas as frações 
que são maiores que 2 . Em particular, estão as seguintes frações, todas maiores 
que 2 : 2
1
15
10
142
100
1415
1000
, , , ,...
A diferença desse corte para um corte racional (p.ex., o do ¾) é que esse corte 
não tem elemento de separação em . Isto é, o conjunto E x x= ∈ <{ } : 2 não tem 
máximo e o conjunto D x x= ∈ ≥{ } : 2 não tem mínimo (a igualdade em 
x ≥ 2 nunca ocorre).Segundo Ávila (2006), “no modo de ver de Dedekind, 
o número irracional 2 deve ser criado como elemento de separação entre os 
conjuntos desse corte.” Dedekind generaliza esse procedimento do seguinte modo:
17
UNIDADE A reta real 
1. Dá uma definição de corte de maneira geral, no conjunto Q dos números racionais.
2. Postula que todo corte tem elemento de separação. Como dissemos, 
colocaremos sempre o elemento de separação em D. Ou seja, Dedekind 
postula que D terá sempre um elemento mínimo.
3. Em alguns cortes o elemento de separação é uma fração. Estes dão origem 
aos números racionais.
4. Os cortes cujos elementos de separação não são fração dão origem aos 
números irracionais.
Corte de Dedekind, ou, simplesmente, corte, é todo par (E, D) de conjuntos não vazios de 
números racionais, cuja união seja , e tais que todo elemento de E seja menor que todo 
elemento de D. (ÁVILA, 2006).
Ex
pl
or
Segundo Dedekind (apud ÁVILA, 2006), a existência de cortes em  sem 
elemento separador mostra que  é descontínuo. A descontinuiade de  é 
eliminada pela inclusão dos irracionais. O resultado, o conjunto dos números reais, 
constitui um contínuo numérico.
Reveja com carinho o que foi dito até agora.
Primeiro define-se corte. Observe que essa definição não inclui nada que já não 
existisse anteriormente em relação aos racionais.
Em seguida, diz-se o seguinte: todo corte tem elemento de separação; aqueles 
que não forem racionais são outro tipo de número real, os irracionais, mas são 
números reais. Isso corresponde à “criação” ou “construção” dos números reais 
como uma ampliação dos racionais.
A tarefa agora é mostrar que os cortes têm as mesmas propriedades, a mesma 
estrutura do conjunto dos números reais.
Fazer essa análise implica definir a soma e a multiplicação de cortes, e a relação de 
ordem. Em seguida, deve-se usar essas definições para provar as propriedades usuais 
dos números reais, sem criar conflitos com o que está estabelecido para . Ávila (2006) 
apresenta parte dessas discussões e indica outras fontes. Uma fonte interessante é o 
livro da Profa. Ripoll (2011), Números racionais, reais e complexos, em que ela 
encaminha essa discussão visando aos alunos do curso de licenciatura.
Como ilustração, apresentamos aqui a definição da relação de ordem, isto é, 
como identificar quando dois números reais (dois cortes) são iguais e quando um é 
maior do que o outro.
Definição (ÁVILA, 2006):
Sejam α e β dois números reais quaisquer, caracterizados pelos cortes que determinam no 
conjunto . Assim, α = (E1, D1) e β = (E2, D2). Dizemos que α = β se E1 = E2 e α < β se 
E1 é um subconjunto próprio de E2.
18
19
Se α e β são racionais e α < β, isso significa que todas as aproximações por falta 
de α (conjunto E1) são também aproximações por falta de β. Mas há aproximações 
por falta de β que são maiores do que todas as aproximações por falta de α. Isso 
está de acordo com o que se entende por α < β em .
Por exemplo, seja α = 2/3, isto é, os conjuntos E1 e D1 são dados por 
E x x1
2
3
= ∈ <




 : e D y y1
2
3
= ∈ ≥




 : ; seja β = 3/4, isto é, os conjuntos E2 e D2 
são dados por E x x2
3
4
= ∈ <




 : e D y y2
3
4
= ∈ ≥




 : . Olhando apenas os cortes, 
podemos concluir que α < β a partir do fato de que E E1 2⊂ .
Uma segunda ilustração das questões levantadas pela ideia de que os cortes são 
números reais é a definição de soma de números reais.
Dados os números reais α = (E1, D1) e β = (E2, D2), defi nimos sua soma α + β como sendo o corte (E, 
D), onde E x y x E y E= + ∈ ∈{ }: ,1 2 e D é o conjunto dos demais números racionais.E
xp
lo
r
Dada essa definição, devemos mostrar que o resultado (E, D) é de fato um corte. 
Isto é, devemos mostrar que a soma de dois números reais é um número real. Para 
isso, precisamos mostrar que E e D são conjuntos não vazios e que se x E∈ e 
y D∈ , então x y< .
Começamos mostrando que E ≠ E ≠ ∅ . Como α e β são cortes, então necessaria-
mente E1 ≠ E ≠ ∅ e E2 ≠ E ≠ ∅ . Ou seja, existe pelo menos um x que é elemento de E1 e 
um y que é elemento de E2. Consequentemente, E tem pelo menos 1 elemento, 
o resultado da soma x+y.
Mostramos agora que D ≠ E ≠ ∅ . Como α e β são cortes, então necessariamente
D1 ≠ E ≠ ∅ e D2 ≠ E ≠ ∅ . Ou seja, existe pelo menos um w que é elemento de D1 e um t que 
é elemento de D2. A somaw+t necessariamente pertence a D, pois w é maior que 
qualquer elemento x de E1, e t é maior que qualquer elemento y de E2. Logo, w+t é maior 
que qualquer elemento de E. Consequentemente, w+t pertence a D e D não é vazio.
A última etapa é mostrar que todo elemento de D é necessariamente maior que 
todo elemento de E. Faremos isso por redução ao absurdo, isto é, consideraremos 
a existência de dois elementos para os quais isso não acontece e deduziremos daí 
um absurdo ou uma contradição (cf. Ávila, 2006, p. 60).
Sejam x ∈E e y ∈ D. Nossa hipótese de trabalho é que x > y. Então, existe um 
número a tal que x = y +a, com a > 0. Ou seja, y = x – a (lembrando que y pertence 
a D e x a E). Por outro lado, como x ∈ E, pela definição de E existem m ∈ E1 e n ∈ 
E2, tais que x = m + n. Substituindo isso na expressão anterior, temos: y = m + n – a. 
Podemos rearranjar isso do seguinte modo: y = (m – a) + n. Ora, se m ∈ E1 então 
m a E−( )∈ 1 . Além disso, n ∈ E2. Consequentemente, y é a soma de um elemento de 
E1 e de um elemento de E2. Logo, y E, o que é absurdo, pois partimos da ideia de 
19
UNIDADE A reta real 
que y pertence a D, que é definido como o conjunto dos racionais que não pertencem 
a E. Consequentemente, devemos aceitar que x < y, como queríamos provar.
Em sequência, devemos mostrar que a soma de cortes, tal como definida, tem 
as propriedades da soma do corpo dos racionais: elemento neutro, comutatividade, 
associatividade, existência de oposto. Devemos em seguida definir o produto de 
dois cortes e mostrar que essa operação é fechada sobre o conjunto de todos os 
cortes, e que tem as propriedades que se espera: elemento neutro, comutatividade, 
associatividade, existência de inverso, e finalmente a distributividade do produto em 
relação à soma.
Um outro aspecto que deve ser considerado é o seguinte: se somamos dois 
números racionais r e s, a soma dos cortes relacionados com r e com s resulta 
no corte relacionado com r+s?; se multiplicamos dois números racionais r e s, o 
produto dos cortes relacionados com r e com s resulta no corte relacionado com 
rs?; se o racional r é maior que o racional s, o corte relacionado com r é maior do 
que o corte relacionado com s? Pode-se provar que a resposta às três perguntas 
é sim. Isso quer dizer que é absolutamente indiferente trabalhar diretamente com 
os racionais ou com os cortes que têm racionais como elemento separador. Não é 
preciso distinguir o número racional 2,5 do corte (E,D) que tem 2,5 como elemento 
separador. Podemos tratar  simplesmente como um subconjunto de  .
Para encerrar esta parte, chamamos a atenção para uma diferença entre  e 
 . Como dissemos anteriormente, a existência de cortes em  sem elemento 
separador mostra que  é descontínuo. Dedekind demonstrou o teorema que leva 
seu nome e que diz que se definirmos cortes de números reais, todos os cortes 
assim obtidos terão elemento separador. Nas palavras do Prof. Ávila (2006, p. 60):
[Como decorrência do teorema de Dedekind] não vai mais acontecer o que acontecia 
antes com os cortes de números racionais, muitos dos quais não tinham elemento 
separador e davam origem aos números irracionais. Dizemos, pois, que o conjunto dos 
números reais é um corpo completo [...]
Além dos livros da Profa. Ripoll e do Prof. Ávila, na Web você pode encontrar um 
encaminhamento dessas demonstrações e discussões no site do Prof. Rogério Fajardo, 
da USP.
Disponível em: http://goo.gl/b2A3qU
Você encontra uma apresentação disso também na monografia de mestrado 
profissionalizante (Universidade Federal da Paraíba) de Kerly Pontes.
Disponível em: http://goo.gl/rr4rcx.
Ex
pl
or
20
21
Feita toda essa discussão, para encerrar o capítulo falta definir como associar 
números irracionais a medidas de segmentos incomensuráveis com a unidade de 
medida. Relembremos nossa discussão anterior.
Dada uma reta, que escolhemos horizontal, marcamos um ponto O, definindo 
duas semirretas, uma para a direita e outra para a esquerda. Associamos a semirreta 
direita aos números positivos. Tudo o que dissemos e diremos sobre a relação entre 
pontos dessa semirreta e elementos de + pode ser estendido à relação entre 
pontos da semirreta esquerda e elementos de _. Definimos em seguida uma 
unidade de medida δ, e um conceito de medida de segmento: a medida de um 
segmento corresponde ao número de vezes em que cópias da unidade de medida 
ou de um dos seus submúltiplos cabem no segmento medido. Com a unidade δ 
conseguimos marcar pontos P à direita de O tais que o comprimento OP é dado 
por um número inteiro. Com submúltiplos dessa unidade, obtidos por meio de 
aplicações convenientes do Teorema de Tales, conseguimos marcar pontos P à 
direita de O tais que o comprimento OP é dado por um número racional.
O problema surgiu com segmentos incomensuráveis com δ. Mostramos que há 
segmentos que são incomensuráveis com a unidade. Isso quer dizer algo bem concreto. 
Tomando o exemplo estudado, não é possível encontrar um segmento, por menor que 
seja ele, que caiba um número exato de vezes no lado e na diagonal do quadrado. Se 
couber um número exato de vezes no lado, não caberá na diagonal, e vice-versa.
O trabalho de Eudoxo indica um caminho de como medir esses segmentos, por 
aproximações. O trabalho de Dedekind mostra que faz sentido definir o limite dessas 
aproximações como um número, um número real. Também mostrou que os números 
racionais podem ser considerados como um subconjunto próprio dos reais.
Em resumo, a cada ponto P da reta numérica pode ser associado um número 
real e vice-versa. Essa associação se baseia no conceito de medida. O número real 
está associado à medida do segmento OP. Se o ponto está à direita da origem, é a 
própria medida, pois é um número real positivo. Caso contrário, é um número real 
negativo cujo módulo é a medida do segmento OP.
Importante!
A Profa. Ripoll (2004) discute detalhadamente como relacionar as medidas dos segmentos 
à expansão decimal dos números associados a eles. Apresentamos parte disso na videoaula 
que segue no Material Complementar.
Importante!
21
UNIDADE A reta real 
Exercícios de fixação
1) O que diferencia segmentos comensuráveis de segmentos incomensuráveis?
2) Mostre que o uso como unidade de medida de submúltiplos de δ resulta em 
medidas correspondentes a números racionais.
3) Apresente um argumento para o fato de que ainda que possamos, com 
o auxílio do Teorema de Tales, dividir tanto a diagonal como o lado do 
quadro em, por exemplo, dez partes iguais, isso não implica que eles 
sejam comensuráveis.
4) Na demonstração por absurdo da incomensurabilidade do lado e da diagonal 
do quadrado, em dado momento mostramos que os segmentos BE e BD 
(Figura 8) são comensuráveis. Explique por que isso leva a um absurdo.
5) Explique qual é a importância do Teorema de Dedekind.
Soluções
1) Dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe uma mesma unidade 
s que os mede. Isto é, o segmento s cabe um número exato de vezes em AB e um 
número exato de vezes em CD. Quando isso não acontece os segmentos são ditos 
incomensuráveis.
2) Seja o segmento s tal que δ = qs, onde q é um inteiro positivo. Isto é, o 
segmento s é um q-ésimo do segmento unitário δ. Em termos de medidas, isso se 
traduz do seguinte jeito: δ σ σ σ= → = → =q. .1 1q
q
Se usamos s para medir um segmento qualquer AB, isso quer dizer que existe 
um número inteiro positivo p tal que AB = ps. Em termos de medidas, isso fica do 
seguinte jeito: AB p p
q
p
q
= = =. .σ
1
, que nada mais é do que uma fração, pois p e q 
são números inteiros.
22
23
3) Para que dois segmentos sejam comensuráveis, deve haver uma unidade de 
medida que meça OS DOIS. Se dividirmos o lado em 10 partes iguais, obtemos um 
segmento que cabe 10 vezes no lado, mas não vai caber um número exato de vezes 
na diagonal. Se dividirmos a diagonal em 10 partes iguais, obtemos um segmento 
que cabe 10 vezes na diagonal, mas não vai caber um número exato de vezes no 
lado. Colocando números:se o lado mede 1 m, ao dividi-lo em dez partes iguais, 
cada parte medirá 0,1 m, ou 10 cm. Num quadrado de lado 1 m, sua diagonal 
mede 2  m, isto é, 1,414213... m ou 141,4213... cm. Claramente o segmento 
de 10 cm não cabe um número exato de vezes na diagonal, isto é, não existe k 
inteiro tal que 10k = 141,4213... Façamos o mesmo raciocínio para a diagonal: 
se a dividimos em 10 partes, cada parte mede 
2
10 , isto é, 0,1414213... m. Não 
existe nenhum número inteiro p tal que 1 m =p. 2
10
.
4) Lembre-se da tese: AB e AC são incomensuráveis. Lembre-se da hipótese 
de trabalho: AB e AC são comensuráveis. A partir daí concluímos que BE e BD são 
comensuráveis e, mais ainda, são comensuráveis com AB e AC, tendo a mesma 
unidade de medida s. Ora, o mesmo processo que, partindo do quadrado original, 
levou-nos ao quadrado BDEF, menor que o quadrado original, pode nos levar, a 
partir de BDEF, a um terceiro quadrado menor ainda, mas também com a diagonal e 
o lado comensuráveis e podendo ser medidos por s. Esse processo pode ser repetido 
inúmeras vezes, o que é um absurdo, pois vai chegar um momento em que os lados 
do quadrado serão menores que s e ainda assim poderiam ser medidos por s.
5) O Teorema de Dedekind afirma que todo corte de números reais possui 
um número real como elemento separador. Primeiro lembremos que os números 
reais foram construídos como cortes de números racionais: havia cortes que tinham 
elemento separador e havia cortes que não tinham elemento separador. Dedekind, 
então, ampliou o conjunto numérico de tal maneira que todo corte de racionais 
tenha um elemento separador. O Teorema de Dedekind afirma que se construirmos 
cortes de números reais, não será necessário ampliar mais uma vez o conjunto 
numérico, pois todo corte de números reais tem um elemento separador. Isso se 
traduz na completude dos reais.
23
UNIDADE A reta real 
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Videoaulas
Sobre segmentos comensuráveis:
https://goo.gl/jZVgGj
Sobre segmentos não comensuráveis:
https://goo.gl/RwJfeQ
Sobre medidas de segmentos:
https://goo.gl/XcwA1e
Segmentos comensuráveis, incomensuráveis e os números reais:
https://goo.gl/FFx5Tq
Sobre cortes de Dedekind:
https://goo.gl/lNk6Qv
24
25
Referências
ÁVILA, Geraldo. Grandezas incomensuráveis e números irracionais. Revista do 
Professor de Matemática. Nº. 5. 1984.
ÁVILA, Geraldo. Eudoxo, Dedekind, números reais e ensino de Matemática. Revista 
do Professor de Matemática. Nº. 7. 1988. Artigo disponível em: <http://www.
ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/avila/rpm7.pdf>. Acesso em: 05 nov. 2015.
ÁVILA, Geraldo. Análise matemática para licenciatura. 3ª ed. São Paulo: 
Blücher, 2006.
RIPOLL, Cydara Cavedon. A construção dos números reais no ensino 
fundamental e médio. II Bienal da SBM. Salvador – BA, 25 a 29 de outubro 
de 2004. Texto disponível em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M54.pdf>. 
Acesso em: 17 out. 2015.
RIPOLL, Cydara Cavedon. Números racionais, reais e complexos. 2ª ed. Porto 
Alegre: Editora da UFRGS, 2011.
25