Complementos de Física Unid I

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Autor: Prof. Ranyere Deyler Trindade
Colaboradoras: Profa. Valéria de Carvalho
 Profa. Marisa Rezende Bernardes
 Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Complementos de Física
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Professor conteudista: Ranyere Deyler Trindade
Ranyere Deyler Trindade é graduado e mestre em Física pela Universidade Federal de Goiás (UFG) e doutorando em 
Física pela Universidade Estadual de Campinas. É professor do Ensino Superior desde 2008.
Trabalhou na área de Física Estatística com ênfase em simulação computacional. Ainda com foco em computação, 
atuou nas áreas de Física da Matéria Condensada e Física Aplicada. Foi professor assistido por dois anos e meio pela 
Unicamp e atualmente é professor pela UNIP no ensino presencial e a distância.
Possui publicações em anais de congressos no Brasil e livros em nossa língua, estando sempre envolvido com 
trabalhos na área de Matemática diretamente ligados à Física.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
T833c Trindade, Ranyere Deyler.
Complementos de física. / Ranyere Deyler Trindade. – São 
Paulo: Editora Sol, 2014.
168 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-049/14, ISSN 1517-9230.
1. Expansão térmica. 2. Termodinâmica. 3. Circuitos elétricos. I. 
Título. 
CDU 53
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Rose Castilho
 Juliana Maria Mendes
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Sumário
Complementos de Física
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 TRABALHO E ENERGIA .....................................................................................................................................9
1.1 Forças constantes e trabalho unidimensional .............................................................................9
1.2 Unidades de medida do trabalho ................................................................................................... 11
1.3 Trabalho de uma força variável ...................................................................................................... 15
1.4 Energia ...................................................................................................................................................... 17
1.4.1 Energia cinética e sua relação com o trabalho ........................................................................... 18
1.5 Energia potencial .................................................................................................................................. 21
1.5.1 Energia potencial gravitacional e sua relação com o trabalho ............................................ 22
1.5.2 Energia potencial elástica ................................................................................................................... 24
1.6 Energia mecânica e conservação de energia ............................................................................ 25
2 MOMENTO LINEAR.......................................................................................................................................... 33
2.1 Impulso ..................................................................................................................................................... 34
2.2 Conservação do momento ............................................................................................................... 37
2.3 Colisões ..................................................................................................................................................... 41
2.3.1 Colisões simples ....................................................................................................................................... 41
2.3.2 Colisões em série ..................................................................................................................................... 41
2.3.3 Colisão elástica ........................................................................................................................................ 42
2.3.4 Colisão inelástica .................................................................................................................................... 43
Unidade II
3 TERMOLOGIA ..................................................................................................................................................... 49
3.1 Termometria ........................................................................................................................................... 49
3.1.1 Escalas de temperatura ........................................................................................................................ 50
3.2 Calorimetria ............................................................................................................................................ 54
3.2.1 Conceito de calor .................................................................................................................................... 54
3.2.2 Calor específico........................................................................................................................................ 55
3.2.3 Equação da Calorimetria ..................................................................................................................... 56
3.2.4 Capacidade térmica ............................................................................................................................... 56
3.2.5 Equilíbrio térmico ................................................................................................................................... 58
3.2.6 Calor sensível e calor latente ............................................................................................................. 60
3.2.7 Transições de fase ................................................................................................................................... 60
3.2.8 Propagação de calor .............................................................................................................................. 64
4 EXPANSÃOTÉRMICA ...................................................................................................................................... 65
4.1 Dilatação linear ..................................................................................................................................... 65
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4.2 Dilatação superficial ............................................................................................................................ 67
4.3 Dilatação volumétrica ........................................................................................................................ 69
4.4 Dilatação de líquidos .......................................................................................................................... 70
Unidade III
5 TERMODINÂMICA............................................................................................................................................ 74
5.1 Teoria Cinética dos Gases .................................................................................................................. 74
5.2 Equações de estado ............................................................................................................................. 74
5.2.1 Primeiro caso – Temperatura e pressão constantes ................................................................. 75
5.2.2 Segundo caso – Temperatura e número de moléculas constante ...................................... 75
5.2.3 Terceiro caso – Pressão e número de moléculas constantes ................................................ 76
5.3 Trabalho .................................................................................................................................................... 78
5.4 Primeira Lei da Termodinâmica ...................................................................................................... 80
5.5 Transformações termodinâmicas ................................................................................................... 81
5.5.1 Transformação isocórica ou isométrica (V constante) ............................................................ 81
5.5.2 Transformação isobárica (P constante) .......................................................................................... 84
5.5.3 Transformação isotérmica (T constante) ....................................................................................... 86
5.5.4 Transformação adiabática ................................................................................................................... 88
6 A CARGA ELÉTRICA E A ELETROSTÁTICA ................................................................................................ 91
6.1 Quantização da carga elétrica ........................................................................................................ 92
6.2 Lei de Coulomb ...................................................................................................................................... 93
6.3 Campo elétrico ...................................................................................................................................... 97
6.3.1 Campo elétrico de uma carga pontual .......................................................................................... 98
6.4 Potencial elétrico ................................................................................................................................106
6.5 Campo elétrico e potencial ............................................................................................................111
Unidade IV
7 CORRENTE ELÉTRICA E LEI DE OHM ......................................................................................................116
7.1 Corrente elétrica .................................................................................................................................116
7.2 Resistores ...............................................................................................................................................117
7.3 Lei de Ohm ............................................................................................................................................120
7.4 Associação de resistores em série ................................................................................................121
7.5 Associação de resistores em paralelo .........................................................................................123
7.6 Associação mista ................................................................................................................................125
7.7 Potência elétrica .................................................................................................................................128
7.7.1 Energia elétrica e o Efeito Joule .................................................................................................... 132
8 CIRCUITOS ELÉTRICOS E AS LEIS DE KIRCHHOFF .............................................................................134
8.1 Leis de Kirchhoff .................................................................................................................................134
8.1.1 DDP dos resistores ............................................................................................................................... 137
8.1.2 DDP da fonte de tensão .................................................................................................................... 138
8.2 Geradores ...............................................................................................................................................145
8.2.1 Potência útil do gerador ................................................................................................................... 148
8.2.2 Rendimento do gerador .................................................................................................................... 149
8.3 Receptores .............................................................................................................................................154
8.3.1 Curva característica do receptor ................................................................................................... 155
8.3.2 Rendimento do receptor ................................................................................................................... 155
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APRESENTAÇÃO
A disciplina Complementos de Física tem como base do seu conteúdo tópicos da Física Clássica. 
Trata-se de uma abordagem mais avançada, tendo como pré-requisito o conhecimento prévio de 
Cálculo e de Física básica.
O foco de estudo dessa disciplina é em Dinâmica, Termologia e Eletricidade. Para abordar tais 
assuntos, apresentaremos um material teórico sucinto e que não tem a pretensão de grandes inovações, 
mas sim de apresentar – de maneira clara e sistemática – o conteúdo previsto.
Ao final desta disciplina é esperado que o aluno desenvolva um senso crítico mais apurado no 
que diz respeito a fenômenos físicos. Será capaz de uma análise crítica na resolução de problemas. 
Isso se torna uma ferramenta importante também no curso de matemática, uma vez que a física e a 
matemática estão diretamente ligadas e que, inclusive, o cálculo diferencial e integral foi desenvolvido, 
simultaneamente, por Leibniz e Newton.
INTRODUÇÃO
Esta disciplina, diferentemente das demais matérias do curso, caracteriza-se por ser bastante 
envolvente, permitindo ao aluno rápida inserção em seu conteúdo, principalmente por focar, neste 
instante, um dos ramos da Física mais tradicionalmente estudadosnos colégios de Ensino Médio: a 
Mecânica Clássica.
Não é nossa pretensão formar especialistas em Física, pois não se trata de uma licenciatura nessa 
área. Objetivamos, sim, trazer conhecimento suficiente que permita ao futuro professor o domínio de 
ferramentas matemáticas, além de um amplo espectro de aplicações, que visem ao enriquecimento de 
suas aulas. É nosso objetivo que, ao se capacitar nesta disciplina, o futuro docente domine plenamente 
tratamentos gráficos, algébricos, trigonométricos etc. e, com isso, esteja preparado para responder aos 
questionamentos dos alunos.
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Unidade I
1 TRABALHO E ENERGIA
Muitas vezes escutamos os termos trabalho e energia. A palavra trabalho, na maioria das vezes, 
causa confusão entre os estudantes de Física. Por esse motivo, vamos utilizar a parte inicial deste tópico 
para entender melhor o seu significado. Usamos o termo trabalho para nos referirmos, por exemplo, à 
quantidade de energia que foi transferida a um sistema pela aplicação de uma força sobre um objeto 
com a intenção de deslocá-lo ao longo de uma trajetória. Portanto, só iremos observar trabalho nos 
casos em que o objeto sofrer deslocamento. Se aplicarmos uma força que não é suficiente para mover 
o objeto, então diremos que o trabalho é nulo nesse sistema. Vamos imaginar que aplicamos uma 
força sobre um bloco com o objetivo de deslocá-lo sobre uma superfície lisa e, dessa forma, podemos 
desprezar a existência da força de atrito entre o bloco e a superfície.
1.1 Forças constantes e trabalho unidimensional
Imagine, em um primeiro caso, que desejamos deslizar um bloco de massa m ao longo de uma 
trajetória horizontal pela aplicação de uma força F constante que é paralela ao plano, movendo o bloco 
da posição inicial X0 até sua nova posição X. Iremos observar dessa maneira uma variação da posição do 
bloco, representada por ∆X = X – X0.
F
Peso Normal
X0 X
∆X
Figura 1 – Deslocamento unidimensional de um bloco de massa m pela 
aplicação de uma força F com a mesma direção e o mesmo sentido do movimento
Definimos trabalho W como a força F aplicada sobre o bloco para realizar o deslocamento representado por 
∆X ao longo da trajetória horizontal unidimensional e podemos representá-lo matematicamente pela Equação 1.1:
 W=F.∆X (Eq. 1.1)
Trabalho = Força x Deslocamento
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Unidade I
Uma segunda possibilidade é acionar o movimento do bloco pela aplicação de uma força F que 
forma um ângulo θ com o plano horizontal.
F
Peso Normal
θ
Figura 2 – Aplicação de uma força F com inclinação θ em relação ao plano horizontal
Nesse caso, apenas a componente horizontal da força F deve ser levada em consideração no cálculo 
do trabalho realizado. Essa componente horizontal da força F será identificada na figura a seguir como Fx..
F
Peso Normal
θ Fx
Fy
Figura 3 – Decomposição da força F em suas componentes horizontal Fx e vertical Fy
Ao analisarmos o triângulo formado, na figura anterior, entre as forças F (em vermelho) e Fx (em 
rosa), podemos concluir que a força Fx representa o cateto adjacente ao ângulo θ. Dessa maneira, essa 
figura pode ser analisada e, se aplicarmos trigonometria, chegaremos à conclusão de que a componente 
de força Fx pode ser determinada pelo produto da força F e do cosseno do ângulo formado entre essa 
força e o plano horizontal θ. Então teremos que:
Fx = F.cosθ
A equação do trabalho (Eq. 1.1) poderia ser reescrita de forma mais adequada para representar 
apenas a sua dependência em relação à componente Fx. Logo:
W=Fx.∆X
Dessa forma, chegamos à expressão que nos permitirá o cálculo do trabalho realizado para deslocar 
o bloco pela aplicação de uma força inclinada, indicada na equação:
W=F.∆X.cosθ
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É importante notar a existência de uma componente Fy na vertical e perceber que esta não contribui 
para o deslocamento do bloco sobre o plano horizontal, não devendo ser considerada nos cálculos para 
determinação do trabalho realizado.
Da equação anterior, podemos perceber que, como a força é uma grandeza vetorial e o deslocamento 
também é, essa forma é a de um produto escalar, dado pelo produto do módulo dos dois vetores vezes 
o cosseno do ângulo entre eles. Logo, podemos escrever o trabalho na forma final, dada por:
 W F X=
� � ��
.D (Eq. 1.2)
Como a força F foi considerada constante durante o deslocamento do bloco, suas componentes Fx e 
Fy também se mantêm com valores constantes ao longo da trajetória representada por ∆X. Assim, não 
ocorreu variação de intensidade, direção ou sentido de Fx.
O trabalho realizado no sistema proposto em nosso exemplo pode ser representado em um gráfico, 
no qual temos a variação da posição relacionada a uma força constante aplicada sobre o bloco na 
horizontal, ou seja, ao longo do eixo x. Entenderemos que o trabalho é representado geometricamente 
como a área formada abaixo da linha que representa a força aplicada e limitada entre os valores X0 e X, 
como apresentado na figura que segue.
Fx
F
x0 x x
∆x
Área
Figura 4 – Representação geométrica do trabalho realizado para deslocar o bloco
1.2 Unidades de medida do trabalho
Antes de aprendermos como determinar o trabalho em outras situações, vamos verificar quais são 
suas unidades de medida?
Ao verificarmos a equação que utilizamos para representar o trabalho, iremos observar que as 
dimensões do trabalho são as dimensões de força e de distância. No Sistema Internacional (SI), teremos:
[Trabalho] = [Força] . [Distância]
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Unidade I
Lembrando que no SI:
[1 joule] = [1 Newton] . [1 metro]
1 J = 1 N . m
Ou seja, no sistema internacional a unidade do trabalho é o joule.
No sistema inglês, a unidade de trabalho é a libra-pé (representado por ft.lb). Não é difícil 
estabelecer a relação entre os sistemas de unidades. Aqui, iremos apenas indicar que o fator de 
conversão entre eles é:
1 J = 0,738 ft.lb
Exemplo 1. Uma força de 15 N foi aplicada sobre uma caixa com massa m que desliza sobre uma 
superfície lisa e sem atrito. Essa caixa foi empurrada em linha reta por três metros. Represente o trabalho 
realizado para empurrar a caixa (a) no sistema internacional e (b) no sistema inglês.
Solução:
W = F . ∆x
W = 15 N . 3 m
W = 45 N . m = 45 J (a)
• Como 1 J = 0,738 ft.lb, podemos realizar uma regra de três simples para fazer a conversão dos 
45 J para o equivalente em ft.lb. Logo:
1 J ----------- 0,738 ft.lb
45 J ----------W
Ou seja, W = 45 . 0,738
W= 33,21 ft.lb (b)
Exemplo 2. Aplica-se uma força de 100 N, inclinada 60° em relação à linha horizontal, em um corpo 
de massa m = 10 kg. O coeficiente de atrito entre a superfície e o corpo vale µ = 0,5. Sabendo que a 
força F coloca o sistema em movimento, o trabalho realizado pela força resultante, para uma distância 
de 2 m, vale:
(Adotar g = 10 m/s²)
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
F
Fx
Fy
Peso Normal
θ
fat
Figura 5 – Forças atuantes sobre um bloco 
que desliza sobre uma superfície horizontal
Solução:
No eixo y teremos a ação das forças Fy e Normal, ambas apontando para cima, e o peso do corpo, 
apontando em direçãoao centro da Terra. Como o bloco não se desloca na vertical, a somatória das 
forças é nula. Assim, analisando o eixo y, teremos:
Normal + Fy – P = 0
Normal = P – Fy
Normal = m.g – F.senθ
Normal = (10) . (10) – (100).sen(60)
Normal = 13,4N
Devemos lembrar que a força resultante R, que provoca o deslocamento horizontal do bloco sobre o 
plano de apoio, é aquela que resulta da somatória de todas as outras forças que existem na horizontal. 
Então, a resultante será a soma de forças no eixo x:
R for as=∑ ç
Nesse exemplo, temos duas forças existentes ao longo do eixo x. A força de atrito fat e a componente 
vertical da força, Fx.
R = Fx – fat
R = F. cosθ – µ.Normal
R = (100).cos(60) – (0,5).(13,4)
R = 43,3N
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Unidade I
Então, o trabalho realizado pode ser calculado como produto da força R pela distância de dois 
metros.
W = R.d
W = (43,3).(2)
W = 86,6 N.m =86,6 J
Exemplo 3. O gráfico a seguir representa a variação de uma força aplicada sobre um objeto em 
função do deslocamento deste. Assim, o trabalho realizado pela força aplicada da posição x = 2 m até 
a posição x = 8 m é dado por:
F(N)
x(m)
120
40
2 8
Figura 6 
Solução:
Como vimos, o trabalho é dado pela área embaixo da curva da força, em função do deslocamento do 
objeto. Assim, o trabalho será numericamente igual à área do trapézio de base menor 40 N, base maior 
120 N e altura 6 m:
40N
120N
6m
Figura 7 
A
b B h
A=
+( )
→ =
+( )⋅
=
2
40 120 6
2
480
τ = 480J
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1.3 Trabalho de uma força variável
Nesta unidade vimos como determinar o trabalho quando uma força constante é aplicada para 
deslocar um objeto ao longo de uma trajetória linear. Mas o que aconteceria se tivéssemos agora a 
aplicação de forças que variam em intensidade ao longo da trajetória?
Como a intensidade da força varia ao longo da trajetória entre os pontos x1 e x2, dizemos que a 
força varia com a posição do objeto que está sendo deslocado. O gráfico apresentado na figura a seguir 
nos permite interpretar geometricamente o trabalho realizado pelo sistema. Nesse gráfico, dividimos 
o intervalo definido entre os valores de x1 e x2 em intervalos menores, formando retângulos abaixo 
da linha que representa a intensidade da força que está sendo aplicada nas várias posições do objeto. 
Quanto menores forem esses retângulos, melhor será seu posicionamento abaixo da linha e melhor será 
o resultado na terminação do trabalho realizado. À medida que o número de retângulos aumenta, suas 
larguras vão se tornando cada vez menores. A soma das áreas de todos os retângulos irá representar 
a área total da região definida abaixo da linha que representa a intensidade das forças aplicadas para 
deslocar o objeto do ponto x1 até o ponto x2.
Fx
F(N)
x1 x2
∆xi
x(m)
Figura 8 – Interpretação geométrica do trabalho devido à aplicação de força variável
Assim como vimos no exemplo anterior, essa área é a representação geométrica do trabalho, que 
pode ser calculado por meio da somatória das áreas de cada retângulo. Essa somatória é representada 
pelo cálculo da seguinte integral.
 ÁREA W F dx
x
x
x= = ∫
1
2
. (Eq. 1.3)
O que nos dá a forma geral do trabalho na sua forma integral:
W F dx
x
x
= ∫
1
2� ���
.
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Unidade I
Se analisarmos o trabalho realizado para comprimir uma mola, iremos concluir que quanto mais 
ela se comprime, maior é a força que deve ser aplicada, tendo assim uma variação da intensidade da 
força aplicada. Também podemos visualizar, como exemplo, um carro andando em uma pista reta e 
plana com o motorista variando a aceleração, pisando no acelerador ou no freio (YOUNG; FREEDMAN, 
2007). Concluímos assim que, se as forças aplicadas variam, a força resultante também varia ao longo 
da trajetória.
Exemplo 4. Um bloco de massa de 2 kg está preso a uma mola e apoiado sobre uma superfície plana, 
lisa e horizontal. A força necessária para comprimir ou alongar a mola pode ser calculada por meio da 
lei de Hooke Fx = k.x, onde x representa a deformação da mola, medida a partir do seu comprimento 
natural. O valor k é chamado constante elástica da mola e vale 200 N/m. A mola está comprimida até a 
posição x1 = – 5 cm. Determine o trabalho efetuado pela mola quando o bloco se deslocar da posição x1 
até atingir seu comprimento natural em x2 = 0 (TIPLER, 1995).
Fx
Peso Normal
X1 = –5 cm
X2 = 0
∆X
Figura 9 – Movimento de um bloco acionado por uma mola comprimida
Solução:
Para determinar o valor do trabalho, iremos utilizar a integral (Eq. 1-3), que representa o cálculo do 
trabalho realizado pela mola.
W F dx
x
x
x= ∫
1
2
.
Nesse caso, devemos lembrar que a força Fx é dada pela lei de Hooke e, fazendo a substituição na 
integral, teremos:
W k x dx
x
x
= −∫
1
2
. .
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Como – k é constante, podemos retirá-la do símbolo de integral, reescrevendo a expressão:
W k x dx
x
x
= − ∫
1
2
.
Integrando a expressão encontraremos:
W k
x x
= − −



.
2
2
1
2
2 2
W
k
x x= − −( )2 22 12.
Lembramos que é necessário converter os valores de x dados no problema para metros, no 
Sistema Internacional, visto que estes foram dados em centímetros. Logo, como x1 = – 5 cm, 
teremos que x1 = – 0,05 m.
Realizando as substituições dos valores dados de k, x1 e x2, podemos calcular o trabalho realizado 
pela mola. Logo:
W = − − −( )( )2002 0 0 052 2. ,
W = 0,25 J
Dica: quando estivermos analisando o trabalho realizado por um sistema, será conveniente verificar 
se existe uma componente da força que move o objeto na mesma direção em que o movimento é 
realizado. Se isso acontecer, o trabalho que a força faz sobre o objeto será positivo, como nesse exemplo. 
O trabalho também pode ser negativo, mas isso não fica tão evidente no nosso exemplo. Se a força 
que move o objeto tiver um componente na direção oposta ao movimento, o trabalho realizado pelo 
objeto será negativo. Seria o que acontece quando você está carregando uma caixa e em determinado 
momento a coloca no chão. Ao colocar a caixa no chão, a força que seus braços exercem sobre ela é 
direcionada para cima, mas o movimento da caixa está direcionado para baixo, em direção ao piso.
1.4 Energia
Definiremos agora o conceito de Energia. Basicamente, podemos dizer que a energia é a capacidade 
de certo objeto realizar trabalho. Contamos com diversos tipos de energia nas quais, durante a evolução 
de um sistema, pode haver a conversão entre os tipos de energia. Não há criação nem destruição de 
energia, apenas conversão entre os diferentes tipos. Quando soltamos um objeto de certa altura, como 
iremos ver mais adiante, este possui uma energia potencial gravitacional. Ao abandonarmos o objeto, 
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Unidade I
este começa a perder altura (energia potencial) e a ganhar energia cinética (como veremos, esta é 
relacionada com a velocidade do objeto). Quando empurramos um objeto sobre uma superfície com 
atrito, este vem a parar, sugerindo, à primeira vista, que a energia do objeto se “destruiu”. O que ocorre, 
na verdade,é uma conversão da energia cinética do objeto em energia térmica (podemos perceber que, 
ao atritar uma superfície, esta se esquenta), em energia sonora etc. Logo, a energia não se perde, mas 
se transforma em outro tipo.
Manteremos o foco em dois tipos importantes de energia: a energia potencial, que no nosso caso 
será a potencial gravitacional e elástica; e a energia cinética. Definiremos e exemplificaremos com 
detalhes cada uma delas nos próximos subtópicos.
1.4.1 Energia cinética e sua relação com o trabalho
Quando você empurra ou puxa um objeto, aplicando sobre ele uma força constante, ele só irá se 
movimentar se a força aplicada for maior que as forças que fazem oposição, ou seja, que oferecem 
resistência ao movimento, como a força de atrito e a força gravitacional. Ao se movimentar, esse objeto 
terá certa velocidade. Dizemos então que tal objeto em movimento adquiriu energia cinética, que é a 
energia que um corpo tem devido ao seu movimento, sendo assim capaz de realizar trabalho.
Vamos tomar como exemplo uma partida de golfe em miniatura. Suponhamos que, ao chegar a 
determinado buraco, a bola de golfe deva primeiro passar por um looping, como ilustrado pela figura a 
seguir:
Figura 10 – Bola de golfe entrando em looping
A bola entrará no looping com uma velocidade, ou seja, com certa quantidade de energia cinética. 
Vamos imaginar que, ao chegar ao topo do círculo, a bola pare por um instante. Nesse momento em 
que a bola está parada, sua velocidade é nula, ou seja, não há energia cinética. Digamos que a bola de 
golfe tenha 10 J de energia cinética no momento em que entra no círculo para realizar o looping e que, 
para chegar ao topo, tenha sido necessário um trabalho de 10 J. Como a bola irá se elevar em relação ao 
solo, quando atingir o topo e entrar em repouso, passará a possuir energia potencial correspondente 
ao trabalho realizado, ou seja, sua energia potencial será de 10 J. Porém, como a bola está a certa 
altura, ela deverá cair e dar continuidade ao movimento, completando a volta no círculo. Isso fará 
a energia potencial ser novamente convertida em energia cinética. O valor correspondente a 10 J de 
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energia cinética quando a bola está em movimento ou os mesmos 10 J quando está parada no topo são 
devidos ao fenômeno que os físicos chamam de conservação de energia. Porém, para determinarmos 
a equação que relaciona trabalho e energia cinética, vamos continuar utilizando o exemplo em que um 
corpo qualquer se move ao longo do eixo x, em um movimento horizontal e unidimensional.
Vimos até aqui que podemos calcular o trabalho realizado por uma força ao deslocar um objeto por 
certa distância. Quando várias forças estiverem atuando sobre o corpo simultaneamente, o trabalho 
total poderá ser determinado pela somatória dos trabalhos de cada uma das forças como se estivessem 
atuando isoladamente sobre o corpo. Em outras palavras, o trabalho total pode ser calculado utilizando-se 
a força resultante Fx que atua sobre o corpo no deslocamento do ponto x1 ao ponto x2, conforme vimos 
anteriormente por meio da Equação 1.3.
W F dx
x
x
x= ∫
1
2
.
Ou seja:
W = Fx.∆x
O trabalho total da força resultante realizada sobre um corpo por forças externas está relacionado à 
mudança de posição de um corpo e também à velocidade do corpo (YOUNG; FREEDMAN, 2007). Quando 
aplicarmos uma força sobre um objeto e este se mover com certa velocidade, então teremos efetuado 
trabalho sobre esse corpo. Se a força resultante Fx for constante, então poderemos afirmar que sua 
aceleração é constante também. Se recordarmos nesse ponto a Segunda Lei de Newton, segundo a qual 
a alteração da quantidade de movimento de um corpo é proporcional à força motora impressa e se dá 
na direção da linha reta na qual a força é aplicada, poderemos então escrever a equação da Segunda 
Lei de Newton adaptada para a força resultante Fx que irá ser utilizada na adaptação da Equação 1.3, 
apresentada anteriormente, substituindo o valor Fx.
Como acabamos de comentar, Fx=m.ax, seguindo as definições da Segunda Lei de Newton. Nessa 
equação temos m representando a massa do corpo e ax é a aceleração deste ao longo do eixo x. Ao 
substituirmos a equação da Segunda Lei de Newton na equação do trabalho, teremos:
 W = m.ax.∆x (Eq. 1.4)
Lembramos que desejamos escrever uma equação que relacione o trabalho com a energia cinética. 
Como fazermos tal relação? Conforme acabamos de ver, se o corpo está sofrendo a ação de uma força 
constante e, por consequência, também possui uma aceleração constante, ao analisarmos o tipo de 
movimento descrito pelo objeto, iremos concluir que se trata de um movimento uniformemente 
variado. Então, podemos usar a equação proposta por Evangelista Torricelli, em que é possível calcular 
a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado sem conhecermos o 
intervalo de tempo em que o objeto permaneceu em movimento. A equação de Torricelli é apresentada 
a seguir:
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Unidade I
 v v a xf i x
2 2 2= + . .D (Eq. 1.5)
Nessa equação, vf representa a velocidade final, e vi é a velocidade inicial. Ao isolarmos o termo ax.Dx, 
iremos chegar a:
a x
v v
x
f i.D = −
2 2
2
Realize agora a substituição dessa equação obtida da Equação 1.5 naquela obtida a partir da lei de 
Newton e da equação do trabalho (Eq. 1.4). Vamos demonstrar a seguir em duas etapas. Na primeira, 
realizamos a substituição do termo ax.Dx, e na segunda realizamos a multiplicação da massa pelos 
termos dentro dos parênteses.
W m
v vf i
=
−



.
2 2
2
W m v m vf i= −
1
2
1
2
2 2. . .
Logo, encontramos uma equação que relaciona o trabalho e a velocidade. Se considerarmos que no 
momento inicial o objeto está em repouso, ou seja, vi = 0, então poderemos simplificar a equação:
 W m vf=
1
2
2. (Eq. 1.6)
A equação encontrada para representar o trabalho em função da velocidade de deslocamento do corpo é 
idêntica àquela que representa, por definição, a energia cinética de qualquer corpo em movimento, dada por:
E m vC =
1
2
2.
Em outras palavras, o trabalho que você realiza na aceleração de um objeto torna-se a energia 
cinética desse objeto.
Sugestão: leia novamente o exemplo da bola de golfe executando o looping na pista de minigolfe e 
observe, na explicação, essa relação entre energia cinética e o trabalho realizado para colocar um corpo 
em movimento.
Exemplo 5. Você acaba de ser contratado pela Agência Espacial Brasileira (AEB) para uma missão 
do Programa Nacional de Atividades Espaciais (PNAE). Sua missão é colocar um satélite com massa de 
800 kg em órbita. O satélite está em uma estação espacial e, para ser colocado em órbita, você deve 
aplicar-lhe uma força de 1.600 N na direção do movimento, deslocando o satélite pelo menos 2 metros 
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de distância em relação à estação espacial para um lançamento seguro. Qual será a velocidade que o 
satélite irá atingir, tomando como referência a estação espacial?
Solução:
Como o satélite será colocado em movimento, entendemos que é necessário realizar trabalho. 
Partindo dessa ideia, vamos usar a equação:
W = F.∆x.cosθ
Nesse caso, a força que você irá exercer para empurrar o satélite estará na mesma direção e no 
mesmo sentido do deslocamento, portanto o ângulo da aplicação da força é q = 0°. Realizando as 
substituições na fórmula do trabalho:
W = (1600).(2).cos(0º)W = 3200J
O satélite irá se movimentar com certa energia cinética que entendemos como igual ao trabalho 
realizado para dar início ao movimento, ou seja, 3.200 J de energia cinética. Lembrando que:
E m vC =
1
2
2.
Realizando as substituições na equação anterior e isolando a velocidade, encontraremos:
3200
1
2
800 2= ( ). .v
v2
3200
400
=
v = 2,83m/s
Importante lembrar que as forças também podem fazer um trabalho negativo. Imagine que, em uma 
próxima missão, você tivesse de reduzir a velocidade do satélite pela metade, aplicando uma força no 
sentido contrário ao seu movimento. O satélite perderia energia cinética, o que significaria a realização 
de um trabalho negativo sobre ele.
1.5 Energia potencial
Já mencionamos o termo energia potencial. Este foi mencionado no exemplo em que tínhamos uma bola 
de golfe descrevendo uma trajetória circular dentro de um looping. Foi comentado que, em um dado instante, 
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Unidade I
poderíamos imaginar que, após a entrada da bola no looping, ela deveria atingir uma altura máxima e, por um 
pequeno intervalo de tempo, era considerada parada. Foi nesse instante que mencionamos a existência de uma 
energia potencial da bola. Vamos verificar mais detalhadamente neste tópico o que é energia potencial e como 
esta se relaciona com o trabalho. Verificaremos duas diferentes formas de energia potencial. A primeira delas é 
chamada de energia potencial gravitacional, que é a forma de energia potencial relacionada a variações na altura 
do objeto, como o que ocorre com a bola no minigolfe no momento em que ela se eleva do solo até certa altura 
ao passar pelo looping. A segunda forma de energia potencial a ser considerada é a energia potencial elástica, 
acumulada sobre uma corda ou sobre o corpo de uma mola.
1.5.1 Energia potencial gravitacional e sua relação com o trabalho
Ao falarmos em energia potencial gravitacional (EPG) estamos nos referindo a uma força que está 
relacionada à ação da gravidade sobre um corpo. Tal energia poderá ser calculada se conhecermos a 
massa do corpo e sua altura h em relação a um referencial. Essa energia irá nos indicar qual o potencial 
do corpo capaz de realizar trabalho. Se você estivesse segurando um livro a certa altura e o soltasse, 
sabemos que este cairia. A força gravitacional se encarrega de deslocar o livro da altura de suas mãos, 
ganhando velocidade até chegar ao solo, e é essa força que realiza o trabalho. Outra questão importante 
a ser levada em consideração é o fato de a força gravitacional se encaixar em uma classe chamada 
forças conservativas. As forças conservativas são aquelas que não dependem da trajetória percorrida 
pelo objeto deslocado, dependendo apenas das posições inicial e final.
Para demonstrarmos a relação entre o trabalho e a energia potencial gravitacional, vamos imaginar 
um objeto que esteja elevado de uma altura h em relação ao solo, conforme ilustrado na figura a seguir.
g
Peso = m.g
h
Figura 11 – Ação da força-peso sobre um bloco elevado a uma altura h em relação ao solo
Usaremos a mesma equação do trabalho vista anteriormente, mas, nesse caso, como o bloco foi 
deslocado na vertical, realizamos o estudo em relação ao eixo y, chamando assim de Fy a força necessária 
para elevar o bloco até a altura h.
W F dy
h
y= ∫
0
.
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Como estamos trabalhando na vertical, a força Fy que atua sobre o corpo é o próprio peso, e assim, 
mais uma vez, utilizaremos as definições da Segunda Lei de Newton.
W P dy
h
= ∫
0
.
W m gdy
h
= ∫
0
. .
Como a massa m e a aceleração da gravidade g são valores constantes, podemos retirá-las da integral.
W m g dy
h
= ∫. .
0
Ao integrar a expressão, teremos a variação da posição em relação ao eixo y ocorrendo a partir do 
referencial zero até uma altura h, resultando na equação (Eq.1.7) que nos possibilita determinar o trabalho.
 W = m.g.h (Eq. 1.7)
A equação encontrada é exatamente igual àquela que, por definição, representa a energia potencial 
de um corpo de massa m elevado em certa altura h a partir de um referencial zero, indicada na equação 
(Eq.1.8).
 EPG = m.g.h (Eq. 1.8)
Assim, entendemos que a variação da energia potencial entre duas alturas, h1 e h2, é o trabalho 
necessário para deslocar verticalmente o corpo da altura inicial até uma posição final, não importando 
a trajetória.
W = m.g.∆h
Exemplo 6. Caminhando em uma praia, Júnior encontra um coqueiro e decide matar a sede com 
água de coco. Com o auxílio de um bambu, Júnior derruba um coco de 1,5 kg, que cai de uma altura de 
25 m até atingir o solo. Qual é o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o coco até que este 
atinja o solo?
Solução:
Vamos utilizar na solução desse problema a Equação 1.8. Lembramos nesse ponto que, como já foi 
mencionado, a energia potencial gravitacional é igual ao trabalho realizado. Considere g = 10 m/s2.
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Unidade I
EPG = W = m.g.h
W = (1,5).(10.(25)
W = 375J
Nesse caso, o coco se movimenta para baixo na mesma direção de ação da força gravitacional. Por 
esse motivo, o trabalho realizado é positivo, conforme discutido anteriormente.
Dica sobre o sinal do trabalho: quando um objeto é arremessado para cima, sua altura h aumenta. 
Como sua massa e a aceleração da gravidade são constantes, sua energia potencial aumenta. Porém, 
durante a subida, o objeto está realizando movimento no sentido contrário à ação da força gravitacional, 
que o puxa para baixo. Assim, durante a subida, o trabalho é considerado negativo. Essa observação 
pode ser expressa pela seguinte relação:
∆EPG = –W
1.5.2 Energia potencial elástica
Vimos, no Exemplo 3, como determinar o trabalho de um bloco se deslocando sobre uma superfície 
plana. O bloco do exemplo em questão tinha seu movimento acionado por uma mola comprimida. 
Neste subtópico, iremos demonstrar a relação entre o trabalho W e a energia potencial contida na mola, 
chamada energia potencial elástica EPE.
Para que possamos esticar ou comprimir uma mola, é necessária a aplicação de uma força. Podemos 
verificar que o módulo da força aplicada é diretamente proporcional à deformação da mola. Dessa 
maneira, a força pode ser escrita como:
FMola = k.x
Essa relação é conhecida como lei de Hooke, onde x representa o valor da deformação sofrida pela mola, 
seja para comprimi-la ou para alongá-la. O valor k é uma constante de proporcionalidade chamada constante 
elástica da mola, ou constante de deformação elástica. Tal constante nos permite uma análise da quantidade 
de força que poderá ser exercida por unidade de comprimento sem que a mola sofra deformação irreversível.
Imagine que um bloco de massa m está apoiado sobre uma superfície horizontal e preso a uma 
parede por uma mola, conforme ilustrado na figura a seguir.
Fmola 
Figura 12 – Bloco com movimento acionado por força de uma mola
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Como fizemos anteriormente, usaremos agora a equação que define o trabalho como sendo a força 
F aplicada sobre um objeto para deslocá-lo em uma distância x. Nesse caso, a força em questão é a força 
elástica da mola FMola.
W F dx
x
Mola= ∫
0
.
Lembrando que a força FMola é definida pela lei de Hooke. Então, fazendo a substituição na equação 
anterior, teremos:
W k x dx
x= ∫
0
. .
Sendo k uma constante, podemos retirá-la do símbolo da integral definida.
W k x dx
x
= ∫
0
.
Ao integrar essa expressão, chegaremos à equação que nos permite determinar o trabalho realizado 
pela mola para movimentar o bloco.
W k x=
1
2
2.
Tal equação nos permite calcular o trabalho realizado pela mola, ou seja, sua energia potencial 
elástica (EPE).
 
E k xPE =
1
2
2.
 (Eq. 1.9)
1.6 Energia mecânica e conservação de energia
Quando falamos em energia mecânica (EM), estamos nos referindo à soma de todas as energias que 
atuam sobre cada uma das partes do sistema que está sendo analisado. Em outras palavras, energia 
mecânica é a soma das energias potenciais (sejam elas elásticas ou gravitacionais) e da energia cinética 
dos objetos que fazem parte do sistema. Assim:
EM = EC + EP
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Unidade I
Como as leis da Física determinam que em um sistema físico isolado a quantidade de energia 
permanece constante, então:
EM = EC + EP = constante
Para entendermos a conservação da energia mecânica, vamos utilizar como exemplo um bloco em 
queda livre, como representado na figura a seguir. O corpo é abandonado, a partir do repouso, de uma 
altura h, caindo até atingir o solo. Não pode haver atrito, pois, caso contrário, a energia mecânica 
não seria conservada. Inicialmente, o corpo possui apenas energia potencial gravitacional. A partir do 
momento em que o corpo é abandonado, ele passa a ganhar velocidade e a perder altura. A energia 
potencial gravitacional diminui, pois a altura está diminuindo. Ao mesmo tempo, a energia cinética 
aumenta, ao passo que o bloco em queda ganha velocidade. A força que realiza trabalho, nesse caso, é 
a força gravitacional, que puxa o bloco em direção ao solo.
h
B
A
Figura 13 – Bloco em queda livre a partir de uma altura h
Embora a energia potencial esteja diminuindo, observamos que a energia cinética está aumentando. 
Dessa forma, a energia mecânica total permanece constante durante todo o movimento do corpo que 
está em queda.
Como essa força é conservativa, o trabalho realizado é igual à diminuição da energia potencial do 
sistema e também igual ao aumento da energia cinética do sistema. A soma da energia cinética com a 
energia potencial é o que chamamos de energia mecânica total (EM).
Exemplo 7. Um bloco de massa m = 5 kg é abandonado, a partir do repouso, de uma altura h = 2 m. 
Considerando que não há atrito entre o bloco e o ar e que g = 10 m/s², calcule:
a) A energia potencial no ponto A.
b) A máxima velocidade que o bloco atinge imediatamente antes de bater no solo.
Solução:
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
h
B
A
Figura 14 
Quando o bloco está posicionado em A, temos apenas a energia potencial EA. Não é observada 
energia cinética na situação inicial, pois o bloco está parado. Como:
EA = m.g.h
Serão necessárias apenas a substituição dos dados do problema e sua multiplicação.
EA = (5).(10).(2)
Encontramos assim o valor da energia potencial no ponto A.
EA = 100J (a)
A energia total do sistema se conserva, ou seja, toda a energia potencial se transformará em energia 
cinética. O corpo atingirá a máxima velocidade quando a energia cinética for igual à energia potencial, 
e, nesse caso, a energia potencial é aquela definida pela posição do objeto no ponto A. Então,
EC = EP = EA
Podemos, assim, escrever de forma simplificada EC = EP no momento em que o corpo atinge a 
máxima velocidade. Logo:
1
2
2m v m gh. . .=
Como a massa do bloco aparece nos termos dos dois lados da igualdade, podemos simplificar a 
equação dividindo-a pelo valor m.
1
2
2v gh= .
Vamos isolar a velocidade v passando ½ para o outro lado da igualdade e extraindo a raiz quadrada 
da expressão.
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Unidade I
v gh= 2. .
Substituindo a altura h e a aceleração da gravidade g:
v = ( )2 10 2. .( )
v = 40
v
m
s
b= 6 32, ( )
Exemplo 8. Um bloco é empurrado contra uma mola, comprimindo-a em 0,02 m. Ao abandonar o 
bloco, a mola volta ao seu comprimento natural, fazendo o bloco deslocar-se. Considerando que não há 
atrito, que k = 1000 N/m, g = 10 m/s² e a massa m = 1 kg, calcule:
a) A energia potencial da mola.
b) A máxima velocidade que o bloco atinge.
c) A máxima altura h atingida pelo bloco.
Fmola 
h
Figura 15 – Bloco acionado por mola em uma rampa
Solução:
Imagine que, inicialmente, estamos segurando o bloco para que a mola permaneça comprimida. 
Nesse caso, como a mola está comprimida, ela possui uma quantidade de energia potencial elástica 
acumulada sobre seu corpo e, ao voltar para seu comprimento natural, fornece a energia total do sistema 
que irá colocar o bloco em movimento. Ao abandonarmos o bloco, a mola volta a seu comprimento 
normal, empurrando o bloco. Este ganha velocidade e sobe a rampa. Toda a energia potencial da mola 
se transformará em energia cinética, e toda a energia cinética se transformará em energia potencial 
quando o bloco atingir certa altura máxima h.
Primeiramente, iremos calcular a energia potencial da mola, sabendo-se que:
E k xMola =
1
2
2.
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Substituindo os valores de constante elástica k e o tamanho da mola comprimida x dados no 
problema, teremos:
EMola = ( )12 1000 0 02
2.( , )
EMola = 0,2J (a)
Quando liberarmos o bloco, toda a energia potencial da mola irá se converter em energia cinética, fazendo que 
o bloco ganhe velocidade e entre na rampa. Então, a energia potencial da mola se converte em energia cinética.
EC = EMola
1
2
0 22. . ,m v J=
Assim, poderemos calcular qual a velocidade máxima do bloco, o que ocorrerá quando toda a energia 
da mola tiver sido convertida em energia cinética. Para isso, iremos isolar a velocidade passando para o 
outro lado da igualdade o valor ½ e a massa m do bloco e então iremos extrair a raiz quadrada da expressão.
v
m
=
2 0 2. ,
Faremos agora a substituição da massa m = 1,0 kg, encontrando a velocidade máxima do bloco.
v =
2 0 2
1 0
. ,
,
v
m
s
b= 0 63, ( )
A energia da mola se converte em energia cinética, que, por sua vez, se converte em energia potencial 
no momento em que o bloco entra na rampa e atinge uma altura máxima h. Dessa maneira, na altura 
máxima, o bloco para, e toda a energia no sistema agora está na forma de energia potencial gravitacional.
EP = EC = EMola
Logo, no ponto onde a altura é máxima, EP = 0,2 J. Se:
EP = EMola
m.g.h = EMola
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Unidade I
Podermos isolar o valor de h que representa a altura máxima do bloco na rampa.
h
E
mp
Mola
=
.
Substituindo os valores de EMola, m e p, encontraremos a altura máxima h:
h = ( )
0 2
1 0 10
,
, .( )
h = 0,02m (c)
Exemplo 9. Um pequeno bloco de massa m é abandonado, a partir do ponto A, deslizando sem 
atrito no trilho. Qual deve ser a altura h para que o corpo consiga fazer o looping quando a força normal 
for igual ao peso?
h
A
B
R
Figura 16 – Bloco deslizando sobre trilho inclinado para fazer o looping
Inicialmente, o corpo possui somente energia potencial gravitacional quando está localizado no 
ponto A. Após o bloco ser abandonado, sua energiapotencial vai se transformando em energia cinética. 
A energia potencial vai diminuindo devido à diminuição da altura h, ao passo que a energia cinética vai 
aumentando, visto que o bloco ganha velocidade na descida. Quando o corpo se encontra na base do 
looping, possui somente energia cinética. O ponto crítico acontece quando o corpo passa pelo topo da 
volta identificado como ponto B na figura anterior. Para que ele consiga realizar uma volta completa, 
a força centrípeta FC deve ser, pelo menos, igual ao peso. Como o bloco se apoia no trilho, devemos 
também considerar a reação normal.
B
Peso
Normal
Fc
Figura 17 
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Então:
FC = Peso + Normal
Passaremos a apresentar a força de reação Normal com a letra N. Cuidado para não fazer confusão 
com as simbologias, pois essa letra também é utilizada para representar a unidade de medida de força 
no Sistema Internacional, o newton.
Reescrevendo a expressão, temos:
FC = P + N
Podemos calcular a força centrípeta utilizando a definição de força a partir da Segunda Lei de 
Newton.
F = m.a
Nesse caso, como o movimento é circular, adaptamos a equação da Segunda Lei de Newton para que 
a aceleração considerada seja a centrípeta, definida pela Equação 1.10 a seguir.
 a
v
R
=
2
 (Eq. 1.10)
Onde v é a velocidade do bloco e R é o raio da trajetória circular. Se substituirmos a Eq. 1.10 na 
Segunda Lei de Newton, iremos encontrar a equação para a força centrípeta.
F m
v
RC
= .
2
Vamos considerar que, no momento em que o bloco atinge o ponto B no topo do looping, o valor da 
normal seja exatamente igual ao peso do bloco. Assim:
FC = P + N = 2.P
Logo, podemos substituir a força centrípeta e o peso por suas definições.
FC = 2.P
m v
R
m g
.
. .
2
2=
Como a massa m do bloco aparece dos dois lados da igualdade, podemos dividir ambos os termos 
pelo valor m para eliminá-lo da expressão.
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Unidade I
v
R
g
2
2=
Vamos isolar o quadrado da velocidade e deixar reservada a Equação 1.11
 v2 = 2.g.R (Eq. 1.11)
Como a energia se conserva, podemos considerar a energia no ponto A igual à energia no ponto B:
EMA = EMB
Ao analisarmos o ponto A, iremos concluir que neste ponto só existe energia potencial gravitacional 
relacionada à altura h. Em B, temos energia potencial relacionada à altura do looping, que, nesse caso, 
é representada por duas vezes o raio R do círculo e possui também energia cinética, visto que o bloco 
passa pelo ponto B com velocidade definida pela Equação 1.11. Dessa maneira:
EPA = EPB + ECB
Onde EPA é a energia potencial gravitacional no ponto A, EPB é a energia potencial gravitacional 
no ponto B e ECB é a energia cinética no ponto B. Substituindo as respectivas definições na equação 
anterior, teremos:
m gh m g R m v. . . . . .= +2
1
2
2
Todos os termos da expressão anterior apresentam dependência do valor da massa m do bloco. Se 
dividirmos os dois lados da expressão pelo valor m, este será eliminado, e, assim, simplificamos para a equação:
gh g R v. . . .= +2
1
2
2
Como havíamos determinado anteriormente a Equação 1.11, que nos permite o cálculo de v², 
podemos substituir v² por 2 . g . R:
gh g R gR. . .( . . )= +2
1
2
2
Todos os termos da expressão anterior apresentam relação com o valor da aceleração da gravidade g. Se 
dividirmos os dois lados da expressão pelo valor g, este será eliminado, e, assim, simplificamos para a equação:
h R R= +2
1
2
2.
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Resolvendo a multiplicação entre ½ e 2, e somando os termos da expressão, chegaremos à relação 
entre a altura a partir da qual o bloco deve ser abandonado para cumprir uma volta no looping, com 
base no tamanho do raio do looping em questão.
h = 3.R
2 MOMENTO LINEAR
Momento linear, ou quantidade de movimento, pode ser entendido como uma medida que indica a 
resistência ou dificuldade de alterar o movimento de um corpo. Vamos, por exemplo, imaginar que um carro 
e um caminhão estão em uma estrada, em linha reta, com a mesma velocidade. A força necessária, no mesmo 
intervalo de tempo, para parar o caminhão é maior do que no caso do carro, pois o caminhão possui maior 
massa. Podemos definir o momento linear como o produto da massa pela velocidade do corpo:
  p m v= . (Eq. 2.1)
Onde 

p é o momento linear e 

v é a velocidade, ambos apresentados como grandezas vetoriais, pois 
possuem intensidade, direção e sentido.
No Sistema Internacional, a unidade de momento é o quilograma-metro por segundo (kg.m/s).
Originalmente, Newton apresentou a segunda lei com base em quantidade de movimento, dizendo 
que: A alteração da quantidade de movimento é diretamente proporcional à força motora aplicada 
sobre um corpo e se dá na direção da linha reta na qual aquela força está sendo aplicada.
Como a alteração da quantidade de movimento irá depender da força que é aplicada, seja para 
colocar o objeto em movimento ou para pará-lo, levando-se em conta que essa força ou a resultante 
de um conjunto de forças é aplicada por certo intervalo de tempo, Newton apresentou sua segunda lei 
da seguinte maneira:


F
dp
dtR
=
Partindo dessa definição, podemos substituir nessa equação o momento linear 

p por sua definição. 
Assim, teremos:


F
d
dt
m vR = .( . )
Como a massa do objeto é constante, podemos retirá-la da derivada, resultando em:


F m
dv
dtR
=
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Unidade I
Vale lembrar que a aceleração de um corpo é a taxa de variação da sua velocidade em função do 
tempo, ou seja, dv dt

/ . Assim, podemos substituir tal expressão pela aceleração 

a , representada como 
uma grandeza vetorial, pois possui intensidade, direção e sentido. Logo, a Segunda Lei de Newton é:


F m aR = .
Em um conjunto de forças que são aplicadas sobre um corpo, estas se somam para colocá-lo em 
movimento ou em repouso. O mesmo acontecerá ao analisarmos todos os momentos lineares que 
estejam atuando sobre o corpo.
2.1 Impulso
Como acabamos de ver, o momento linear 

p de qualquer objeto que se comporte como um ponto 
material não irá variar, a menos que uma força externa atue sobre esse objeto. É a chamada Lei da 
Inércia, ou Primeira Lei de Newton. Para que ocorra a alteração da quantidade de movimento, faz-se 
necessária a aplicação de uma força externa que empurre o objeto em questão.
O impulso pode ser entendido como uma força aplicada durante um intervalo de tempo. Um exemplo 
muito comum de impulso é o que acontece quando chutamos uma bola. A força exercida pelo chute faz 
a bola entrar em movimento, ou mudar sua trajetória, se já estiver em movimento.
A força impulsiva atua em um intervalo de tempo e é dominante. Por esse motivo, pode ser 
considerada como a força resultante agindo na bola. Então, da Segunda Lei de Newton:


F
dp
dtR
=
Que pode ser escrita da seguinte maneira:
dp F dtR


= .
Vamos integrar essa equação, passando pelas seguintes etapas:
p
p
t
t
Rdp F dt
1
2
1
2
∫ ∫=  .
Como estamos trabalhando com a força resultante tendo valor constante, iremos retirar 

FR da 
integral.
p
p
R
t
t
dp F dt
1
2
1
2
∫ ∫= 
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Integrando a equação, obtemos a equação a seguir, indicando uma variação do momento linear 
como uma função da variação do tempo:
p2 – p1 = F.(t2 – t1)
Podemos representar as diferenças matemáticas dessa expressão como suas variações, sendo 
assim: ∆p = p2 – p1 = F.(t2 – t1) e ∆t = t2 – t1. Essas variações podem ser substituídas na equação 
anterior, assim:
∆p = F.∆t
Como o impulso I pode ser definido como a variação do momento:
I = ∆p
Logo, temos que:
 I = F.∆t (Eq. 2.2)
A equação anterior apresenta F como uma força constante. Devemos lembrar que uma força pode 
ser, na verdade, o resultado da somatória de várias outras forças. Então, torna-se mais conveniente, por 
questões de representação matemática mais convencional, que a definição matemática mais correta do 
impulso seja representada como indicado na Equação 2.2:
 I F dt
t
t
= ∫
1
2

. (Eq. 2.2)
No Sistema Internacional, a unidade de impulso é newtons-segundo (N.s).
Exemplo 10. Uma bola de massa 0,2 kg é lançada contra uma parede. Ela colide com a 
parede com velocidade de 30 m/s, retornando com velocidade de 20 m/s. Considerando que a 
trajetória da bola é horizontal e que o tempo de contato da parede com a bola é de 0,010 s, 
determine:
a) O impulso sofrido pela bola na colisão.
b) A força que a parede exerce sobre a bola durante a colisão.
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Unidade I
Antes do impacto Após o impacto
Vida Vvolta
x
y
x
y
Figura 18 – Bola antes e depois de colisão com uma parede vertical
Solução:
Como mencionamos no enunciado do exercício, a velocidade da bola é diferente antes e depois da 
colisão. Por esse motivo, primeiro calculamos o impulso usando a variação do momento.
Vejamos o que acontece com o momento na situação inicial, antes de a bola colidir com a parede 
vertical. Chamaremos de situação inicial, ou Situação 1.
p1 = m.vIda
Substituindo a massa da bola e a velocidade de ida, indicadas no enunciado deste exemplo, teremos:
p1 = (0,2).(–30)
Note que a velocidade da bola, quando esta vai em direção à parede, foi indicada com valor negativo, 
pois a velocidade é uma grandeza vetorial, e, nesse caso, o objeto move-se no sentido negativo do eixo 
x, conforme indicado pela figura anterior. Logo, o momento linear é:
p1 = –6kg.m/s
Vejamos agora o que acontece com o momento na situação final, após a colisão da bola com a 
parede. Chamaremos de situação final, ou Situação 2.
p2 = m.vvolta
Vamos agora substituir a massa da bola e a velocidade de volta, indicadas no enunciado deste 
exemplo. Nesse caso, a velocidade é representada de forma positiva, pois a bola se move no sentido 
positivo ao longo do eixo de referência.
p2 = (0,2).(20)
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
O momento final:
p2 = 4kg.m/s
Podemos então calcular o impulso, que, como vimos, é definido como a variação entre o momento 
inicial e o final. Logo, teremos:
I = ∆p = p2 – p1
I = 4 – (–6)
 I kg
m
s
=10 . (a)
Da definição de impulso:
I = F∆t
Então, a força que a parede exerce sobre a bola durante a colisão pode ser calculada com essa 
equação. Vamos isolar a força F e então:
F
I
t
=
D
Substituindo o impulso calculado e o intervalo de tempo dado no exemplo, teremos:
F =
10
0 010,
A força que a parede exerce sobre a bola é:
F = 1000N
Até este ponto, vimos como lidar com impulso e momento linear de uma partícula. A próxima etapa 
é entender e aprender como avaliar um sistema composto por mais de uma partícula.
2.2 Conservação do momento
Ao analisarmos um sistema de n partículas fechado e isolado, ou seja, sem a ação de forças externas, 
teremos um sistema onde o momento linear total (

P ) não poderá variar. Nesse caso, dizemos que a 
força externa resultante 

Fres e o impulso 

I são nulos. Essa observação é o que conhecemos como Lei da 
Conservação do Momento Linear.
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Unidade I
Dessa maneira, se imaginarmos um sistema composto por n partículas, por exemplo, no qual cada partícula 
possui sua própria massa e realiza movimento com uma velocidade própria, então entenderemos que cada 
uma dessas partículas possui a sua própria quantidade de movimento bem-definida, ou seja, cada partícula 
possui seu próprio momento linear. Nesse sistema, as partículas podem interagir umas com as outras e também 
podem sofrer a ação de forças externas. Nesse caso, o sistema irá possuir um momento linear total 

P , que 
representa a somatória de todos os momentos de cada uma das n partículas que compõem esse sistema. Como 
o momento linear é uma grandeza vetorial, o momento total 

P é o resultado de uma soma vetorial. Levamos em 
consideração a intensidade, a direção e o sentido de cada um dos momentos das partículas individuais. Assim,

   
P p p p pn= + + +…+1 2 3
Logo, temos:

   
P m v m v m v m vn n= + + +…+1 1 2 2 3 3
O conceito de momento linear é fundamental quando ocorre interação entre dois ou mais corpos. 
Vamos estudar um sistema contendo duas partículas para demonstrar de maneira simplificada o que 
discutimos até aqui.
Um corpo de massa m1 move-se inicialmente com velocidade 

v i1 . Esse corpo colide com um segundo corpo 
com massa m2 e velocidade 

v i2 . O sistema é composto pelos dois corpos, e também vamos supor que nenhuma 
força externa age sobre eles. Após a colisão,m1 move-se com velocidade 

v f1 e, m2, com velocidade 

v f2 .
Conforme discutimos, a quantidade de movimento do sistema composto é dada pela somatória dos 
momentos de cada um dos corpos, e assim teremos o momento linear total do sistema:

 
P p p= +1 2
Na Segunda Lei de Newton, temos que:
F
dp
dtR
�� �
=
Como a força resultante que age sobre os corpos antes e depois da colisão é zero, então:
dp
dt

= 0
Logo, a quantidade de movimento é constante. Dessa maneira, podemos escrever que a quantidade 
de movimento inicial do sistema é igual à quantidade de movimento final do sistema.
 
P Pi f=
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Também é importante entender que momento linear de um sistema e energia do sistema são coisas 
diferentes e não devem ser confundidas. As duas grandezas apresentam propriedades conservativas, ou 
seja, existe a conservação do momento linear, assim como existe a conservação de energia. Mas, em um 
dado sistema, observar a conservação do momento linear não implica que a energia desse sistema esteja 
se conservando também.
Outra observação importante é o fato de as equações para se determinar o momento linear serem 
vetoriais. Assim, cada equação equivale a três equações, pois poderemos analisar o momento linear de 
um objeto em três dimensões por meio de um sistema de coordenadas cartesianas x, y e z. Isso nos leva 
a observar que, dependendo das maneiras pelas quais as forças existentes no sistema estiverem atuando 
sobre as partículas, poderemos observar a conservação do momento em determinada direção, enquanto 
constatamos variação do momento linear em outras direções.
Exemplo 11. Dois corpos, A e B, interagem sem interferência de forças externas. Após a interação, 
o corpo B adquire velocidade vB =1 m/s. Sabendo que a massa de A é mA = 10 kg e a de B é mB = 20 kg, 
determine:
a) O momento linear dos corpos.
b) A velocidade adquirida por A após a interação.
A B
Antes
A B
Depois
Figura 19 – Após a interação entre os corpos A e B, ambos se 
deslocam com suas respectivas massas, velocidades e momentos lineares
Solução:
Para resolver o problema, basta lembrar-se da Lei da Conservação do Momento:
 
P Pi f=
Vamos escrever a expressão com base nos valores de momento linear inicial e final para os corpos 
A e B.
   
p p p piA iB fA fB+ = +
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Unidade I
Vamos substituir, na expressão anterior, a definição de momento linear em cada um dos termos.
m v m v m v m vA iA B iB A fB B fB
   
+ = +
Como no momento inicial os corpos A e B estão em contato, possuem a mesma velocidade e nesse 
instante os blocos não estão se deslocando, teremos as velocidades iniciais nulas.
Dessa maneira:
m m m v m vA B A A B B+( ) = +.( )0  
Substituindo vB, mA e mB, que foram dados no enunciado deste exemplo, encontraremos a velocidade de A:
10 20 1 0( ) + ( ) =. .( )vA
 VA = –2m/s (b)
Note que o objeto A se desloca com velocidade negativa, ou seja, desloca-se para a esquerda, indo 
contra o sentido da posição tomada como referencial, seguindo a orientação do sistema cartesiano em 
relação ao eixo x.
Agora podemos calcular o momento de cada corpo. Como conhecemos a massa e a velocidade do corpo A:
 
p m vA A A=

pA = ( ) −10 2.( )
 

p kgm sA = −20 . / (a)
Podemos repetir a mesma sequência para determinar o momento linear do corpo B:
 
p m vB B B=

pB = ( ) ( )10 2.
 

p kgm sB = 20 . / (b)
Comentário: embora não tenha sido solicitada a determinação do momento total, já havíamos 
comentado que, em um sistema isolado, o momento linear total seria nulo, o que se confirmou neste 
exemplo:

 
P p pA B= +
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Logo:

P = −( ) + ( )20 20

P = 0
2.3 Colisões
Até aqui, vimos que o momento 

p de um corpo qualquer que se comporte como uma partícula em 
um sistema isolado e fechado não pode variar. Só irá ocorrer variação na quantidade de movimento do 
corpo se uma força externa atuar sobre o corpo em questão. Podemos imaginar então o que aconteceria 
com esse corpo se fosse empurrado por uma força externa. Digamos que uma bola de futebol esteja 
indo em direção a um jogador com uma determinada velocidade e que, em dado instante, ela seja 
chutada por esse jogador no sentido contrário ao movimento. Ocorreu nesse instante o que chamamos 
de colisão entre o pé do jogador e a bola.
Em uma colisão, dois corpos se aproximam, interagem e se afastam. Antes e depois da colisão, os 
corpos se deslocam com velocidade constante, com as velocidades iniciais diferentes das finais. O que 
procuramos, geralmente, é descobrir as velocidades finais, desde que as iniciais sejam conhecidas. O 
evento pode estar relacionado a uma única colisão (colisão simples) ou a uma sequência de colisões 
(colisões em série).
2.3.1 Colisões simples
Na verdade, dizemos que houve uma colisão simples quando um único contato ou interação se 
dá entre dois corpos. Esse contato gera o impulso que interfere no movimento de pelo menos um dos 
objetos. Já discutimos o impulso, portanto já discutimos colisões simples no subtópico 2.1 e já vimos 
uma colisão simples quando estudamos o Exemplo 10. Sugerimos que voltem a esse subtópico em caso 
de dúvidas.
2.3.2 Colisões em série
Quando um corpo é atingido por uma sequência de colisões, ocasionadas pelo impacto de vários 
projéteis, dizemos que esse corpo sofreu colisões em série. Cada uma destas irá exercer uma força sobre o 
corpo. Desejamos, neste subtópico, tratar da determinação de uma força média Fmed que é exercida sobre 
uma superfície durante um intervalo de tempo ∆t, dentro do qual um número n de colisões aconteceu.
Vamos tomar como exemplo uma máquina capaz de arremessar bolas de tênis de maneira constante. 
Imagine que a máquina seja posicionada para atirar bolas contra uma parede, que todas as bolas possuam 
a mesma massa m e que, arremessadas pela máquina, viajem com a mesma velocidade v, logo possuem 
a mesma quantidade de movimento mv. Ao tocar a parede, cada uma das bolas irá sofrer uma variação 
na sua quantidade de movimento devido à colisão sofrida. Dessa maneira, identificaremos a variação 
da quantidade de movimento, ou quantidade de momento linear por ∆p. Por questões de simplificação 
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Unidade I
matemática, temos as bolas de tênis arremessadas ao longo do eixo x e, assim, não precisaremos nos 
preocupar, neste exemplo, com possíveis movimentos realizados em outras direções. Como as colisões 
ocorrem durante o intervalo de tempo ∆t, teremos a variação total do momento linear associada às n 
colisões, ou seja, n∆p.
Existem dois tipos de colisões: elásticas e inelásticas. Na colisão elástica, a energia cinética se 
conserva, ou seja, ela permanece igual antes e depois da colisão. Na colisão inelástica, a energia cinética 
total do sistema se altera quando ocorre a colisão, ficando a energia cinética inicial do sistema diferente 
da energia cinética final. Vamos estudar de forma mais detalhada cada uma delas.
2.3.3 Colisão elástica
Se uma colisão for perfeitamente elástica, ocorrerá a conservação total da energia cinética, ou seja, 
a energia cinética total permanecerá a mesma antes e depois da colisão.
Antes e depois da colisão, no caso de uma colisão elástica, temos também a conservação do momento. 
Somente a velocidade dos corpos se altera depois da interação. Podemos ter, por exemplo, dois corpos, A e B, 
indo da esquerda para a direita. Como o corpo A tem maior velocidade, acaba batendo no corpo B. O que temos 
é a mudança de velocidade dos corpos. O corpo B passa a ter uma velocidade maior, e o corpo A, uma menor.
 
A
Antes da colisão
 
B
vA vB 
A
Depois da colisão
 
B
vA vB
Figura 20 – Após a colisão entre os corpos A e B, ambos se deslocam com 
velocidades diferentes das iniciais, mas o momento total permanece o mesmo
O momento se conserva:
PFinal = PInicial
Os momentos inicial e final do sistema dependem da velocidade e da massa dos dois corpos:
mAvFA + mBvFB = mAv0A + mBv0B
mBvFB + mBv0B = mAv0A – mAv0A
Colocando as massas em evidência:
 mB.(vFB – vFB – v0B) = mA.(v0A–vFA) (Eq. 2.4)
Sabemos também, no caso das colisões elásticas, que a energia cinética inicial e a final do sistema 
se conservam. Dessa maneira,
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2
1
2
1
2
1
2
2 2
0
2
0
2m v m v m v m vA F A B FB A A B B. . . .+ = +
m v m v m v m vB FB B B A A A F A. . . .
2
0
2
0
2 2
− = −
m v v m v vB FB B A A F A.( ) .( )
2
0
2
0
2 2
− = −
 
m v v v v m v v v vB FB B FB B A A F A A F A.( ).( ) .( ).( )+ − = + −0 0 0 0 (Eq. 2.5)
Dividindo a Equação 2.5 pela Equação 2.4,
m v v v v
m v v
m v v v v
m
B FB B FB B
B FB B
A A F A A F A
.( ).( )
.( )
.( ).( )+ −
−
=
+ −0 0
0
0 0
AA A F A
v v.( )0 +
Chegaremos à seguinte relação:
v v v vFB B F A A+ = +0 0
Que pode ser escrita assim:
 
v v v vFB F A A B− = −0 0 (Eq. 2.6)
Nos problemas que envolvem colisões elásticas, fica mais fácil