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AULA 23 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO: PROF. PAULO AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DEFINIÇÕES: Para os ângulos agudos, temos as seguintes definições das funções trigonométricas: • hipotenusa opostocateto seno = • hipotenusa adjacentecateto seno =cos • adjacentecateto opostocateto gente =tan ou seno seno gente cos tan = • opostocateto adjacentecateto angente =cot , seno seno angente cos cot = ou tagente angente 1 cot = • adjacentecateto hipotenusa ante =sec ou seno ante cos 1 sec = • opostocateto hipotenusa ante =seccos ou seno ante 1 seccos = a b sen =a a c =acos c b tg =a b c g =acot c a =asec b a =aseccos . a 90o-a A B C a b c Observação: Das definições acima, temos: ( ) a b sen =-= aa 090cos ( ) a c sen =-= aa 090cos ÂNGULOS NOTÁVEIS Os ângulos de 300, 450 e 600 são utilizados com muita freqüência e por isso convém memorizá-los. Para isto temos uma tabela que resume esses valores: 300 450 600 sen 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tg 3 3 1 3 OUTRAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Na trigonometria temos uma relação muito importante chamada: RELAÇÃO FUNDAMENTAL 12cos2 =+ aasen ÔÓ Ô Ì Ï -= -= aa aa 22 22 cos1 1cos sen sen Relações auxiliares: aa 22 sec1 =+tg aa 22 seccoscot1 =+ g Exemplos: 1) Calcule o seno, o cosseno , a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de a na figura seguinte: Resolução: Inicialmente vamos calcular a hipotenusa. a2 = 72 + 242 fi a2 = 625 \ a = 25 Então, temos: 25 77 =fi= aa sen a sen 25 24 cos 24 cos =fi= aa a 25 7 =atg 7 25 cot =ag 24 25 sec =a 7 25 seccos =a 2) Uma pessoa sobe uma rampa de 10m de comprimento e se eleva verticalmente 5m. Qual o ângulo que a rampa forma com o plano horizontal? Resolução: a A B C a 7 24 .q 10m 5m Seja q a medida do ângulo procurado. Então, temos: 030 2 1 10 5 =\=fi= qqq sensen 3) Um observador enxerga uma montanha segundo um ângulo a. Caminhando 420m em direção à montanha, passa a enxergá-la segundo um ângulo b. Calcule a altura da montanha, sabendo que 2 1 =atg e 3 2 =btg . Resolução: Observe, na figura, que: 2 3 3 2 h x x h tg =fi==b (1) 4202 2 1 420 +=fi= + = xh x h tga (2) De (1) e (2) temos: 2h - 2 3h = 420 840420 2 =fi= h h Resposta: 840m. 4) Simplificando a fração senx x2cos1- , obteremos: Resolução: == - senx xsen senx x 22cos1 senx a b h 420m x EXERCÍCIOS: 1) Calcule o seno, cosseno e a tangente de a e de b na figura a seguir: 2) (Vunesp) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, faz um ângulo de 300 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe esta rampa inteira eleva-se verticalmente: a) 17m b) 10m c) 15m d) 5m e) 8m 3) (Fuvest) Calcule x indicado na figura. 4) (U.F.Viçosa) Satisfeitas as condições de existência, a expressão x gx xsen E seccos. cot 1 2 ˜˜ ¯ ˆ ÁÁ Ë Ê - = , é idêntica a: a) senx b) cosx c) 1 d) 0 e) secx . a A B C a 5 12 b . x y 300 600 100m 5) Se 00<x<900 e 2 1 =senx , então o valor da expressão E = cossecx + cosx.tgx é: a) 2 5 b) 2 3 c) 2 1 d) 3 6 f) 1 Resolução dos exercícios: 1) 5 12 13 5 cos, 13 12 12 5 13 12 cos, 13 5 13169125 2222 === === =fi=fi+= bbb aaa tgesen tgesen aaa 2) Observe a figura: mx xx sen 10 202 1 20 300 =fi=fi= Resposta: b 3) Observe, na figura, que: 33600 yx y x y x tg =fi=fi= (1) ( ) 31003 1003 3 100 300 +=fi + =fi + = yx y x y x tg (2) De (1) e (2) temos: .30 0 20m x ( ) 310033 += yy 35050 =fi= xy Resposta: .350 m 4) x senx senx x x x gx xsen E cos 1 . cos cos seccos. cot 1 22 ==˜˜ ¯ ˆ ÁÁ Ë Ê - = Resposta : b 5) 0 00 30 2 1 900 =fi Ô˛ Ô ˝ ¸ = << x senx x portanto, 3 3 2 3 cos,2 1 seccos ==== tgxex senx x Assim: 2 5 2 1 2 3 3 . 2 3 2 =+=+=E Resposta: a
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