Trigonometria no triângulo retângulo 2020

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Trigonometria
no triângulo
13retângulo
Introdução
Observe a figura abaixo.
1.96 m
Uma escada com seis degraus está apoiada, em C,
num muro de 2 m de altura.
A distancia entre dois degraus vizinhos é 40 cm.
Logo, o comprimentQÀa escada é 2,80 m.
A distancia da base da escada (B) à base do muro
(A) é 1,96 m, aproximadamente.
0 triângulo ABC formado é retângulo em em que
AB e AC são os catetos e BC é a hipotenusa.
Ao meio-dia, com o sol a pino, um pedreiro sobe
a escada, degrau por
degrau.
A sombra de seu
pé no chão também vai
mudar de posição.
Vamos ver como
esse exemplo simples
nos permite tirar con-
clusóes importantes em
Matemática.
Relações entre triângulos retângulos semelhantes
A figura ao lado mostra a situação anterior, de
maneira simplificada:
posições do pé do pedreiro: CI, %, C), C e C
posições da sombra do pé no chão: At,
os triângulos BA,ct, BA,cz, etc. são todos
semelhantes entre si. Observe a razão:
altura do pé
Atc, A2C2 A,c,
BC,
distArcia percorrida
12041
AC 2,00 = 0,71429
BC 2,80
Podemos observar que a altura do pé do pedreiro
em relação ao chão é diretamente proporcional à
distância que ele percorreu na escada.
Temos também a razão:
distancia da sornbra base da escada
BA 1 96
BCI BC 2,80
percorrida
Da mesma forma, a distância da sombra do pé do
-,pedreiro à base da escada é ditetamente proporcional
distância que ele percorreu na escada.
Temos, ainda:
ç altura do pé
Aac
... 1,02041
BA 1,96
distancia da sombra à base da escada
em que A altura do pé do pedreiro em relação ao chão é
, diretamente proporcional à distancia da sombra do
ro sobe seu pé à base da escada.
Acabamos de ver que, fixado o angulo (i) que a
escada faz com o chão, as razóes:
cateto oposto a Ê cateto adjacente a
potenusa
cateto oposto a Ê
cateto adjacente a Ê
Razões trigonométricas
Sendo dado um ângulo agudo Ê, vamos construir
um triângulo ABC retángulo em A e que tenha Ê como
um de seus ângulos. c
a b
Chama-se seno de um ângulo agudo a razão entre o
cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa:
sen Ê = — (sen Ê lê-se: "seno de Ê")
dependem do tamanho do tr{Anguto considera-
do. Em qualquer dos triângulos BAIA, BAA, BAIC
etc. essas razões valem, respectivamente: 0,71429;
0,70000; 1,02041.
Esses números estão diretamente ligados à medida
do angulo Ê.
Se colocarmos a escada em outra posição, como
mostra a figura, formando com o chão outro ângulo, Ê,
encontraremos as seguintes razões:
cateto oposto a fr _ 2,00
0,83333
ipotenusa
cateto adjacente a 
Ipotenusa
cateto oposto a fr
cateto adjacente a 
1 33- - 0,55417
= = 1,50376
1,33
c
1,33 m
Para cada angulo agudo Ê, essas trés razões, que
só dependem da medida do angulo b, vão agora receber
um nome.
Chama-se cosseno de um ângulo agudo a razão entre
o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa:
cos Ê — (cos Ê lê-se: acosseno de Ê")
a
Chama-se tangente de um ângulo agudo a razão
entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente
ao ângulo:
tg Ê = — (tg Ê lê-se: "tangente de Ê")
c
0 seno, o cosseno e a tangente de um ângulo são
chamados razões trigonométricas desse ângulo.
12051
Exemplo 1 Exemplo 3
Considerando o exemplo inicial com o trilngulo
formado pela escada, pelo muro e peto chlo,
temos:
1,96 m
2,00sen
2,80
1,96COS — 0,70000
2,80
2 ' . - 1,02041
1,96
Exemplo 2
Agora vamos considerar a escada apoiada no
muro, conforme a segunda posição apresentada:
M,33m
2,00
Sen
.2,40
cos Ê = — 0,55417
2,40
2,00
e. 1,50376
1,33
.âlfà
*uio os a o
No trilnguto abaixo, temos:
hipotenusa
cos ô r, cateto adjacente 
a 
hipotenusa
cateto oposto a Ê
cateto adjacente a 
AC
íc
_ AB
E - — - 0,75
AB 4
No exemplo acima, o angulo também é agudo.
Calculemos as razões trigonométricas de t..
ABsen = — = 0,80
BC
AC
cos = — — 0,60
BC
1,33
AC 3
"0382
| 206 |
Calcular o.cossenode cada angulo agudo do 3; Calcular o séng e@cossenokiê cáda?ngvtô agudo
triangulo retangulo DEF.cujos catetos medem — dg quê
FE 5 cm eFD =
'f Soluçao:
'Primeiro calculambs a hipotenusa:
TemoS: ,
'catetó adja¿enie' a b
hipotenusa
-cateto ád atente a ecos
hipotenusa
- = 0,75
agudo.
Observação
Os ângulos agudos de um triângulo retangulo são complementares. Se um deles tem 
medida x, o outro
tem medida (90 0 — x). 0 exercício anterior constitui um exemplo da seguinte 
propriedade:
rcícios
termine sen x nos casos:
a)
b)
15
12
2 Determine cos x nos casos:
a)
b)
12
12071
3. Obtenha tg x nos casos: 5
a)
12 6.
b)
12
7.
15
4. Calcule sen à, cos etg no triângulo a seguir.
13
No mesmo triângulo do exercício anterior, calcule:
sen e tge.
Calcule a medida da hipotenusa RS do trlSngu-
Io retangulo da figura. Em seguida, determine
sen â, cos â e tg S.
16 12
Na figura abaixo, determine x e,em segulda,calcule
sen â,tg e sen e.
17
Relações entre as razões trigonométricas
As razões trigonométricas de um mesmo ângulo
têm relações entre si. Veja:
sen Ê = então b = a • sen
cos então c = a • cos Ê
De acordo com o teorema de Pitágoras, temos:
b2 + c2 = az (a • sen + (a • cos =
— az • senz + az • cos2 Ê = az
xerçíciqs
.tç*o•
12081
Portanto:
senz É + cos2 Ê = 1
sen
Se calcularmos o quociente , teremos:
cos É
sen a = —=tgñ
cos
Portanto:
tg sen Ê
cos Ê
um angulo agudo e tg x calcular sen
cos xl
Solyao:
x e'éos x devém Ser númetbs Posittvog 
• 
men6res.
nine
"mo, dá:
calcule
xercícios
Se x é um angulo agudo e cos x 0,9744, calcule
sen x e tg x.
9. um triângulo ABC, retangulo emA,de hipotenusa
1 S cm, sabe-se que sen — —
Determine:
a) o cateto AC x;
b) o outro cateto;
c) cosÔetgÓ;
.os: d) sen ecoseetge.
x)14
i5 • cos i x + cos i x — s 16 cos 2 x
COS
10. triangulo RST,reOnguloem R. tem RS IO cm
e tg Determine RT x.
I I. um triangulo hipotenusa
25 cm, sabe-se que sen e Determine:
a) o cateto AB; c) cos Cetgd-;
b) o outro cateto: d)
12 e é um angulo agudo e sen a = calcule
COS CL
13.Se é um angulo agudo e cos p = calcule
tg P.
Seno, cosseno e tangente de 45 
0
Na figura inicial temos um quadrado de lado e. Ao
traçarmos sua diagonal (que mede 0,7), indicamos um
triângulo retángulo, como mostra a segunda figura.
Observe que os angulos agudos valem 45 0 .
450
sen 45 0
sen 45 0
cos 45 0
cos 45 0
tg 450
—sen 45 0 =
ou sen 45 0 = 0,707...
—cos 45 0 =
ou cos 45 0 = 0,707...
tg 45 0 =
| 209 |
Seno, cosseno e tangente de 30 0 e de 60 0
Na figura inicial temos um triângulo equilátero de
lado e cujos três ângulos são iguais a 60 0 . Ao traçarmos
sua altura• que mede indicamos um triângulo
Para o Angulo de 60 0, temos:
retangulo, como mostra a segunda figura.
Para o ângulo de 30 0, temos:
sen 60 0
sen 60 0
cos 60 0
tg 60 0
ou
ou cos 60 0
ou
sen 30 0
cos 30 0
0,5
sen 60 0
- 0,866...
cos 60 0
tg 60 0 = fi
tg 60 0 — 1,732...
sen 30 0 — ou sen 30 0 
cos 30 0 ou
cos 30 0 - 0,866...
30 0 
tg 30 
0
— tg 30 0 OU
-cios
14. Icule o valor de x em cada item.
10
450
Agora, podemos construir uma tabela com o seno, o
cosseno e a tangente de alguns dos principais ângulos:
g)
120
18
b) e) h)
12
c) f)
| 210 |
5, Determine x nos casos:
b)
12
16.Um triângulo retangulo DEF, com ô = 900, tem
DE 6 cm, DF = 66 cm, EF = 12 cm. Determine
os valores de Ê e de Ê.
17.A base maior de um trapézio Isósceles mede
100 cm e a base menor, 60 cm. Sendo 600 a medida
de cada um de seus angulos agudos, determine a
altura e o perímetro do trapézio.
18, termine os valores de x e y nos casos a seguir:
a) retangulo
12
b) paralelogramo 12
c) paralelogramo
d) losango
e) trapézio retangulo
f) trapézio isósceles
1200
19.0s lados RS e RT de um triângulo RST retangulo
em medem 80 cm e 8 cm, respectivamente.
Determine os angulos Se do triângulo.
20.Determine a medida da base de um triangulo—
isósceles cujos lados congruentes medem 6 cm e
formam um angulo de 1200.
21.Um ponto de um lado de um ângulo de 600 dista
16 m do vértice do ângulo. Quanto dista do
outro lado do ângulo?
22.p ra determinar a largura de um rio, marcou-se a
stancia entre doispontos A e B numa margem:
AB = 100 m.Numa perpendicular às margens pelo
ponto A visou-se um ponto C na margem oposta
e se obteve o angulo AàC = 300.Calcule a largura
do rio.
300
100 m
12111
Seno, cosseno e tangente de outros ângulos
Quando queremos obter uma das razões trigono-
métricas de um ângulo não especial, como 37 0 , por
exemplo, como fazemos? Teoricamente, podemos fazer
assim:
com a ajuda de um transferidor, construímos um
ângulo de 37 0 :
20 „
o
construímos um triângulo retângulo que tenha 37 0
de ângulo agudo:
370
medimos os lados desse triângulo:
2 3 4 5
distancia ÃÉ 4 cm
6
calculamos a razão trigonométrica que queremos.
Na prática, consultamos tabelas já existentes e que
dão as razões trigonométricas dos ângulos de 0 0 a 90 
0
de grau em grau. Ou, então, utilizamos calculadoras
que fornecem as razões trigonométricas.
Vamos tomar, por exemplo, um ângulo 0 de medida
40 0 . Na tabela, verificamos que:
rçsolvido
•6.f DeiérmJnpio vaior•
ânguü'
ó ateto 420
sen 40 0 = 0,6428
cos 40 0 - 0,7660
tg 40 
0 — 0,8391
Esses valores contêm arredondamentos e, eventual
mente, dependendo do problema, podem ser arredon
dados ainda mais; por exemplo, utilizar a aproximaçã,
tg 40 0 0,84 não traz problemas ao nosso estudo.
Observação
A tabela contendo o seno, o cosseno e a tangente de
cada ângulo agudo (de grau em grau) pode ser vista
na página 216 deste capítulo. Ela pode ser consultada
sempre que necessário.
0 primeiro passo é colocá-la em uma configuraçãr
em que a medida do ângulo esteja expressa em grat.r
(mais adiante, será apresentada uma outra unidade dé
medida de ângulo). Para isso, apertamos:
(A abreviação DEG vem do inglês degree, qu€
significa "grau".)
A partir daí, digitamos a medida do ãnguwe sus;
correspondente razão trigonométrica. Por exemplo:
Para saber o valor de tg 40 0, apertamos:
tg 400 = 0,8391
Para conhecer o valor de sea.40 
0
, apertamos:
sen 400 = 0,642
Para obter o valor de cos 40 0 , apertamos:
cos 40 0 = 0,7660
oposto 5cm é a' medida cia'hipotêÔéSà; Desse'.
prisúltàñdd a.iábeta; Obtemos
420
Assim;
12121
'cios
espeito da figura abaixo, determine:
16 cm
20,5 cm
Aa) o seno de cada angulo agudo;
b) as medidas aproximadas de É e e.
4 termine a medida x em cada caso:
IO cm
b)
30 m 750
2 6. Determlne o valor de x em cada caso:
a)
2,5
b)
410
c)
d)
10
27.Num triângulo retangulo, os catetos medem
6 cm e 5 cm. Determine a medida aproximada do
menor angulo do triângulo.
ermine x em cada caso:
25.Determine a medida do menor lado deste
triângulo•.
b)
8 cm
| 213 |
2 9.Se xé agudo e sen x —,quanto vale cos x?
10
30. Na figura abaixo, quanto vale tg x? Quanto vale x?
21 25
10
900-x
Aplicações
Aplicações das razões trigonométricas
Conhecendo os valores do seno, do cosseno e da tangente de um angulo agudo, podemos efetuar vários
cálculos em geometria, muitos deles envolvendo situaçóes do cotidiano.
O cabo de segurança
Por segurança, vai ser necessário ligar a ponta de
um poste de 12 m de altura a um gancho no chio.
Quando esticado, o cabo deverá formar um angulo de
45 0 com o chio.
Qual é o comprimento do cabo? A que distancia do
poste está o gancho?
Temos:
sen b AC —
12
etgÊ
AC 12
BC x
Como Ê 45 • e sen 45• e tg 45 0 I, vem:
12 2 12e, entao, x = — 12 • 1,41 
xli
12I = — e, entáo. d — 12
d
c
12
16,92
O comprimento do cabo é 16,92 m e a distancia do gancho ao poste é 12 m,
O comprimento da sombra
Oual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura
quando o Sol está 300 acima do horizonte?
Temos: c
como 30 0, tg b = tg 30 0 então:
s — s 8,67
s 0,577
O comprimento da sombra é 8,67 m.
| 214 |
P' pié presa a um fio esticado que forma um
Io de 450 com o solo. O comprimento do fio
uanto v
-Determine a altura da pipa q, em relaçso ao
80 m
Calcule a altura do ediffcio.
450
3 6.Um aviso está a 7 000 m de altura e inicia a ater-
ir Vários
.3 2.Uma escada está encostada na parte superior
de um prédio de 54 m de altura e forma com o solo
um angulo de 60'. Determine o comprimento da
escada.
3 3 A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol
sobre um chao plano, mede 12 m. Nesse mesmo
instante. a sombra de um bzstao vertical de 1 m
de altura mede m. Qual é a altura do poste?
rissagem em um aeroporto ao nivel do mar. O
angulo de descida é 6'. A que distancia da pista
está o aviSo? Qual é a distancia que o aviso vai
percorrer?
Dados: sen 6' 0,10453, cos 60 — 0,99452 e
tg 6• 0,10510
3 7.Uma escada de bombeiro pode ser estendida
12m o.6m
34.tJm prédio projeta uma sombra de 6 m no mesmo
instante em que uma baliza de 1 m projeta uma
sombra de 40 cm. Se cada andar desse prédio tem
3 m de altura, qual é o número de andares?
35.Um observador vê um edifício construído em
terreno plano, sob um angulo de 600. Se ele se
afastar do ediffcio mals 30 m, passará a vê-lo sob
um angulo de 450.
até um comprlmehto máximo de 25 m, formando
um angulo de 700 com a base, que está apoiada
sobre um caminháo, a 2 m do solo. Qual é a altura
máxima que a escada atinge?
Dados: sen 700 0,940, cos 700 = 0,342
etg 700 = 2,47
1 2151
Tabela
20 0,0349
0,0523
40
0,0698
0,0872
60 0,1045
70 0,1219
80 0,1392
90 0,1564
0,1736
110 0,1908
120 0,2079
130 0,2250
140 0,2419
150 0,2588
160 0,2756
0,2924
0,3090
190 0,3256
0,3420
210 0,3584
0,3746
230 ο,3ό07
240 0,4067
0,4226
0,4384
270 ΟΑ54Ο
280 0,4695
0,4848
310 0,5150
320 0,5299
330 0,5446
340 0,5592
350 0,5736
360 0>878
0,6018
0,6157
390 0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
Ι 216
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
0,9816
0,9781
0,9744
0,9703
0,9659
0,9613
0,9563
0,9511
0,9455
0,9397
0,9336
0,9272
0,9205
0,9135
0,9063
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
0,8660
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,7660
0,7547
0,7431
0,7314
0,7193
0,7071
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1
490
510
520
530
560
570
580
590
610
620
630
640
650
660
670
$89
690
700
710
720
730
740
750
760
770
780
790
810
820
830
840
850
860
870
890
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
59
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1
0,6947
0,6820
0β691
0,6561
0,6428
0,6293
0,6157
0,6018
0,5878
0,5736
0,5592
0,5446
0,5299
0,5150
0,5000
0,4848
0,4695
0,4540
0,4384
0,4226
0,4067
0,3907
0,3746
0,3584
0,3420
0,3256
0,3090
0,2924
0,2756
0,2588
0,2419
0,2250
0,2079
0,1908
0,1736
0,1564
0,1392
0,1219
0,1045
0,0872
0,0698
0,0523
0,0349
0,0175
1,0355
1,0724
1,1106
1,1504
1,1918
1,2349
1,2799
1,3270
1,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2, 1445
2,2460
2,3559
2,4751
2,6051-
2,7475
2,9042
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