Física 1C UFRGS Aula 25: Energia Cinética e Movimento de Inercia

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AULA 25
E. CINÉTICA E 
MOMENTO DE 
INÉRCIA
Energia cinética de rotação:
Consideremos o movimento de rotação como o de uma serra
circular de bancada (homogênea).
A serra é composta de muitas
partículas (sistema contínuo),
então sua energia cinética
deveria ser dada pela energia
de um sistema, 𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑴 ∙ 𝒗𝑪𝑴
𝟐 .
Mas qual a velocidade linear
do centro de massa da serra?
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vCM = 0 !!!
𝒗
𝒗
𝒗
𝒗
Devido à simetria do objeto, haverá
muitas partículas com velocidades de
mesmo módulo, porém sentidos
contrários, fazendo com que o
somatório de mi.vi = M.vCM seja nulo!
𝑲 =
𝟏
𝟐
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊
𝟐
Temos que voltar um passo atrás e reescrever K como a
soma das energias cinéticas de todas as partícula na serra:
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Usando a relação 𝒗 = 𝝎 ∙ 𝒓, podemos reescrever K como:
𝑲 =
𝟏
𝟐
∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝝎𝒊
𝟐 ∙ 𝒓𝒊
𝟐 𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝝎𝟐 ∙෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊
𝟐
É a mesma para
todas as partículas
Esse termo leva em conta como a massa do corpo está
distribuída em torno do eixo de rotação
𝑰 =෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊
𝟐
Momento de Inércia ou Inércia Rotacional
Unidade: [kg.m2]
Indica quão fácil ou difícil é girar um corpo
em torno de um determinado eixo de rotação
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E a forma final da energia cinética de rotação fica:
𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰 ∙ 𝝎𝟐
Então, para determinar K precisamos saber como determinar I
Cálculo do momento de inércia:
Sistemas discretos:
Quando o sistema é formado por um número razoavelmente
pequeno de partículas, podemos usar
𝑰 =෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊
𝟐
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Duas partículas puntiformes de massas m e M estão a uma
distância L uma da outra, mantidas assim por uma haste
rígida e de massa desprezível.
a) Encontre o momento de inércia desse sistema em torno de
um eixo perpendicular à haste e distante x da massa m
b) Qual é a posição x do eixo de rotação para a qual teremos
o menor momento de inércia possível para o sistema?
Exemplo:
m M
L
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m M
L
x
eixo1
𝑰𝟏 = 𝒎 ∙ 𝒙
𝟐 +𝑴 ∙ 𝑳 − 𝒙 𝟐
𝑰𝟏 = 𝒎+𝑴 ∙ 𝒙
𝟐 − 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳 ∙ 𝒙 +𝑴 ∙ 𝑳𝟐
Por exemplo, se L = 2,0 m ; x = 0,5 m ; m = 1,0 kg e M = 2,0 kg
𝑰𝟏 = 𝟑 ∙ 𝟎, 𝟐𝟓 − 𝟖 ∙ 𝟎, 𝟓 + 𝟐 ∙ 𝟒 𝑰𝟏 = 𝟒, 𝟖 kg.m
2
a)
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Posição do centro de 
massa do sistema !!
b) Para qual posição x do eixo de rotação teremos o menor 
momento de inércia possível para o sistema?
Pontos extremos de uma função  1ª derivada = 0 !!
𝒅𝑰
𝒅𝒙
= 𝟎
𝒅 𝒎 ∙ 𝒙 𝟐 +𝑴 ∙ 𝑳 − 𝒙 𝟐
𝒅𝒙
= 𝟎
𝟐 ∙ 𝒎 ∙ 𝒙 − 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳 − 𝒙 = 𝟎 𝒎 ∙ 𝒙 −𝑴 ∙ 𝑳 +𝑴 ∙ 𝒙 = 𝟎
𝒎 ∙ 𝒙 +𝑴 ∙ 𝒙 = 𝑴 ∙ 𝑳 𝒙 =
𝑴 ∙ 𝑳
𝒎 +𝑴
m M
y
x
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O eixo em torno do qual o momento de 
inércia é o menor possível é aquele que 
passa pelo centro de massa do sistema!!!!
Sistemas contínuos:
Consideramos cada partícula do corpo extenso como um
elemento infinitesimal de massa dm
𝑰 = න𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒎rO
dm
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Relembrando o cálculo do centro de massa de um corpo
extenso composto de elementos infinitesimais de massa dm...
Cada elemento dm pode pertencer a um fio, uma superfície
ou um volume:
l = densidade linear de massa
𝒅𝒎 =
𝝀 ∙ 𝒅𝒍
𝝈 ∙ 𝒅𝑨
𝝆 ∙ 𝒅𝑽
s = densidade superficial de massa
r = densidade volumétrica de massa
Os exemplos a seguir ilustram como o cálculo da integral é
feito para corpos extensos
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1) Anel de raio R e massa M uniformemente distribuída, girando 
em torno de um eixo perpendicular que passa pelo CM
M
R
𝒅𝒍 = 𝑹 ∙ 𝒅𝜽
𝑰 = න𝑹𝟐 ∙ 𝒅𝒎 = 𝑹𝟐 ∙ න 𝝀 ∙ 𝒅𝒍
𝑰 = 𝑹𝟐 ∙ න
𝑴
𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹
∙ 𝑹 ∙ 𝒅𝜽 𝑰 =
𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝟐 ∙ 𝝅
∙ න
𝟎
𝟐𝝅
𝒅𝜽
O
𝑰 = 𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝒅𝜽
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r
dr
drrdA 2
dm
2) Disco de raio R e massa M uniformemente distribuída, girando 
em torno de um eixo perpendicular que passa pelo CM
O
R
𝑰 = න𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒎 = න𝒓𝟐 ∙ 𝝈 ∙ 𝒅𝑨
𝑰 = න𝒓𝟐 ∙
𝑴
𝝅 ∙ 𝑹𝟐
∙ 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒅𝒓 𝑰 =
𝟐 ∙ 𝑴
𝑹𝟐
∙ න
𝟎
𝑹
𝒓𝟑 ∙ 𝒅𝒓
𝑰 =
𝟐 ∙ 𝑴
𝑹𝟐
∙
𝑹𝟒
𝟒
𝑰 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝝈 =
𝑴
𝝅 ∙ 𝑹𝟐 𝒅𝑨 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒅𝒓
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Alguns momentos de inércia tabelados:
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Mas e quando o objeto extenso gira em torno de um eixo que
não passa pelo seu CM ??
Teorema dos eixos paralelos (de Steiner):
O
Se soubermos o I em relação à um eixo que passa pelo CM,
podemos calcular o I em relação à qualquer outro eixo que seja
paralelo ao que passa pelo CM através de:
𝑰𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 = 𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝒉
𝟐 M = massa total do corpo
h = distância ┴ entre os eixos
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Calcule o momento de inércia de uma esfera sólida e homogênea
de raio R e massa M em relação ao eixo mostrado na figura
abaixo.
Exemplo:
𝑹
𝟐
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𝑰𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 = 𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝒉
𝟐
𝑹
𝟐
Eixo que passa pelo CM e é paralelo ao que queremos
determinar
𝒉
Distância perpendicular entre os eixos
𝑰 =
𝟐
𝟓
∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 +𝑴 ∙
𝑹
𝟐
𝟐
𝑰 = 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 ∙
𝟐
𝟓
+
𝟏
𝟒
𝑰 =
𝟏𝟑
𝟐𝟎
∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐
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Três barras finas de mesmo comprimento L estão dispostas
como mostra a figura. As massas das barras verticais são
iguais, enquanto que a barra horizontal possui uma massa três
vezes maior. Despreze as espessuras das barras e calcule o
momento de inércia do sistema em relação aos seguintes eixos:
a) contendo cada uma das barras;
Exemplo: (problema 23, lista 5) 
M M
3M
L
A B
C
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𝑰 =
𝟏
𝟏𝟐
𝑴𝑳𝟐
𝑰 = 𝟎
𝑰 =
𝟏
𝟑
𝑴𝑳𝟐
As principais configurações que aparecem nesse problema são:
Eixo que passa pelo
CM “contendo” a
barra (paralelo à
barra)
Eixo que passa pelo CM
e é perpendicular à barra
Eixo que passa pela
extremidade e é
perpendicular à barra
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Na letra a), deve-se determinar o I do sistema em relação aos
seguintes eixos:
M M
3M
L
1 2
3
O I total do sistema é a soma dos I parciais de cada barra em
relação ao eixo em questão:
𝑰𝟏
𝑺𝒊𝒔 = 𝑰𝟏
𝑨 + 𝑰𝟏
𝑩 + 𝑰𝟏
𝑪
A B
C
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𝑰𝟏
𝑺𝒊𝒔 = 𝑰𝟏
𝑨 + 𝑰𝟏
𝑩 + 𝑰𝟏
𝑪
M M
3M
L
1
A B
C
𝑰𝟏
𝑺𝒊𝒔 = 𝟎 +𝑴 ∙ 𝑳𝟐 +𝑴 ∙ 𝑳𝟐
𝑰𝟏
𝑨 = 𝟎
𝑰𝟏
𝑩 = 𝟎 +𝑴 ∙ 𝑳 𝟐
L
𝑰𝟏
𝑪 =
𝟏
𝟑
∙ 𝟑𝑴 ∙ 𝑳𝟐
𝑰𝟏
𝑺𝒊𝒔 = 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐
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𝑰𝟐
𝑺𝒊𝒔 = 𝑰𝟐
𝑨 + 𝑰𝟐
𝑩 + 𝑰𝟐
𝑪
M M
3M
L A B
C
𝑰𝟐
𝑺𝒊𝒔 = 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 + 𝟎 +𝑴 ∙ 𝑳𝟐
𝑰𝟐
𝑩 = 𝟎
𝑰𝟐
𝑨 = 𝟎 +𝑴 ∙ 𝑳 𝟐
L
𝑰𝟐
𝑪 =
𝟏
𝟑
∙ 𝟑𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟐
𝑺𝒊𝒔 = 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐
2
Na verdade, nem é necessário
calcular o I do sistema em relação
ao eixo 2, pois pela simetria do
sistema é possível ver que ele deve
ser exatamenteigual ao I calculado
para o eixo 1. Mas, fazendo a conta
de qualquer forma...
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𝑰𝟑
𝑺𝒊𝒔 = 𝑰𝟑
𝑨 + 𝑰𝟑
𝑩 + 𝑰𝟑
𝑪
M M
3M
ൗ𝑳 𝟐
A B
C
𝑰𝟑
𝑨 =
𝟏
𝟑
∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐
𝑰𝟑
𝑩 =
𝟏
𝟑
∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐
𝑰𝟑
𝑪 = 𝟎
𝑰𝟑
𝑺𝒊𝒔 =
𝟐
𝟑
∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐
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