Aula - Matemática financeira

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Matemática Financeira
Prof. Drª Erika Burkowski
2017
erikab@id.uff.br
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Ementa
JUROS SIMPLES 
JUROS COMPOSTOS
TAXAS DE JUROS
SÉRIE UNIFORME - PRESTAÇÕES IGUAIS
SÉRIES VARIÁVEIS - FLUXO DE CAIXA NÃO HOMOGÊNIO
EQUIVALÊNCIA DE FLUXO DE CAIXA
VALOR PRESENTE LÍQUIDO E TAXA INTERNA DE RETORNO
Referência Bibliográfica:
MATEMÁTICA FINANCEIRA: OBJETIVA E APLICADA. ABELARDO DE LIMA PUCCINI. Editora Saraiva.
MATEMÁTICA FINANCEIRA. CARLOS PATRICIO SAMANEZ. Editora Pearson.
MATEMÁTICA FINANCEIRA: Didática desenvolvida para concursos públicos. DIMAS MONTEIRO DE BARROS. Editora Rideel.
PRINCÍPIOS DE ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA. LAWRENCE J. GITMAN. Editora Pearson.
Prova 1: Tópicos 1 a 4 – Data provável: 03/05
Prova 2: Tópicos 5, 6 e 7 – Data provável: 29/06
VR: 05/07 Matéria toda
VS: 12/07 Matéria toda
Cap.1 - Conceitos Iniciais
Fluxo de Caixa;
Juros;
Conceito;
Unidade de Medida;
Regimes Adotados;
Valor do Dinheiro no Tempo;
Série Postecipada/ Antecipada;
Cap. 2 - Juros Simples x Juros Compostos
Sistema de Capitalização Simples
JUROS de cada período são calculados sempre em função do Capital Inicial aplicado (Principal); 
Sistema Linear = crescimento constante, segue uma progressão aritmética;
Montante Final a cada período é obtido somando uma constante (razão: taxa de juros), ao capital inicial.
Sistema de Capit. Composto
JUROS do 1º período incidem sobre o Capital Inicial, JUROS dos demais períodos incidem sobre o Capital Acumulado (capital inicial + juros) - A cada período, o rendimento é somado ao capital, para o calculo dos juros do próximo período;
Crescimento Exponencial = segue uma progressão geométrica;
Montante Final a cada período é obtido multiplicando uma constante (taxa) ao capital inicial.
Juros Simples x Juros Compostos
Sistema de Capitalização Simples
Período
Saldo no Início de Cada Mês (C)
Juro de cada Mês (J)
Montante = C+J
1
1000
100
1100
2
1100
100
1200
3
1200
100
1300
4
1300
100
1400
Sistema de Capitalização Composto
Período
Saldo no Início de Cada Mês (C)
Juro de cada Mês (J)
Montante = C+J
1
1000
100
1100
2
1100
110
1210
3
1210
121
1331
4
1331
133,10
1464,10
JUROS SIMPLES:
JUROS = PRINCIPAL x TAXA
MONTANTE = PRINCIPAL + JUROS 
JUROS COMPOSTOS:
JUROS = SALDO NO INÍCIO DE CADA MÊS x TAXA
MONTANTE = PRINCIPAL + JUROS
 
EX.: Um capital de R$1.000,00, aplicado a uma taxa de 10% ao mês. Crescimento em 4 meses:
Sistema de Capitalização Simples
Juros = Capital x Taxa x Tempo: 
Montante = Capital + Juros:
Término do Primeiro período: 
Término do Segundo período:
Término do Terceiro período:
Generalizando, para períodos temos:
Sistema de Capitalização Simples
EXEMPLO: Investimento de R$200,00 a 10% ao ano, em 5 anos, a juros simples, resulta em:
Juros de cada período: J = C x i
					 J = R$ 200 x 0,10 
					 J = R$ 20,00;
Juros nos 5 anos: Jn = C x i x n
				 J5 = R$ 200 x 0,10 x 5 
				 J5 = R$ 100,00;
Montante: Ms = C + J5 = R$200 + 100 = R$ 300,00 ou 
 Ms = C(1+i.n) = 200 ( 1 + 0,1 x 5)
			 = 200 (1,5) = R$300,00
Sistema de Capitalização Composto
Montante de um capital aplicado a juros compostos em três anos:
Término do Primeiro período: 
Término do Segundo período:
Término do Terceiro período:
Generalizando, para períodos temos:
Fator de Capitalização:
Sistema de Capitalização Composto
EXEMPLO: Investimento de R$200,00 a 10% ao ano, em 5 anos, a juros compostos, resulta em:
VF(5anos) = R$ 200 x (1 + 0,1)5
VF(5anos) = R$ 200 x (1 ,1)5
VF(5anos) = R$ 200 x 1,6105
VF(5anos) = R$ 322,1020
Problemas propostos – Cap. 2 Puccini:
Um investidor aplicou R$ 1.000 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre. Mostre o crescimento trimestral do capital aplicado e o montante ao final do 6º trimestre, considerando: a) juros simples e, b) juros compostos.
Calcule o montante acumulado em 12 meses, a partir de um principal de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de 12% ao ano, a) no regime de juros simples e, b) no regime de juros compostos.
Problemas propostos – Cap. 2 Puccini
3)Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre. Entretanto, os juros são pagos trimestralmente, de acordo com a taxa prometida. Assim, esse investidor poderá retirar dessa instituição, no final de cada trimestre, a quantia de $50,00, a título de juros dessa aplicação financeira. Pergunta-se:
a)Essa instituição financeira está remunerando seus depósitos a 5% a.t. no regime de juros simples ou de juros compostos?
b)Qual será o montante acumulado pelo investidor, no final do 6º trimestre, se:
b.1)o investidor não reaplicou os juros recebidos no final de cada trimestre?
b.2)o investidor reaplicou os juros recebidos trimestralmente, a uma mesma taxa de 5% a.t., com todas as reaplicações vencendo no final do 6º trimestre?
 
Problemas propostos – Cap. 2 Puccini
Calcule o montante acumulado em 12 meses, a partir de um principal de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de 4% ao mês, a) no regime de juros simples e, b) no regime de juros compostos.
Calcule o montante acumulado em 4 meses, a partir de um principal de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de 12% ao ano, a) no regime de juros simples e, b) no regime de juros compostos.
Cap. 3 – Juros Simples
Expressão Genérica
Desconto “por dentro”, ou racional
Desconto “por fora”, ou comercial
Relação entre as taxas
Desconto de Títulos
Juros Simples: Expressão Genérica
Aplicação de $1.000,00 em um investimento por 4 anos, capitalizado à taxa de juros simples de 8% ao ano. Qual será o montante? Qual será a renda?
Quanto tem que aplicar para obter $1.000,00 em 4 anos, sabendo que o investimento rende 8% ao ano a juros simples?
Desconto “por dentro”, ou racional
	Aplicado Sobre o PV;
Desconto = Renda = Juros (SEMPRE)
Derivado da Fórmula inicial;
Substitui PV em Dd
Cap. 3 - Exemplo 
1)Calcule o valor do montante acumulado em 12 meses, a partir de um principal de $10.000,00, aplicado com uma taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples.
2)Calcule o valor do principal que deve ser aplicado com uma taxa de juros de 1,5% ao mês, para produzir um montante de $10.000,00 no prazo de dois semestres, no regime de juros simples.
Cap. 3 - Exemplo 
3)Calcule o número de meses necessários para um capital dobrar de valor, com uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples.
4)Calcule o valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um principal de $1.000,00 se transformar num montante de $.1.250,00, num prazo de 20 meses.
Cap. 3 - Exemplo 
5) Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é $10.000,00 e cujo valor do principal é $9.750,00.
6) Uma instituição financeira oferece a seus clientes uma taxa de rentabilidade de 1,2 % ao mês, a juro simples. Calcule o valor da renda de uma aplicação de $10.000,00 efetuada nessa instituição, por um prazo de 18 dias.
Cap. 3 - Exemplo 
7) Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com um vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 1,2% ao mês.
8) Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques a descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a conta ficar descoberta. Calcule o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques: (usar saldo médio)
Data
Valor do Cheque ($)
1º de abril
2.000,00
11 de abril
1.000,00
21 de abril
1.000,00
Desconto “por fora” ou comercial
Cap. 3 - Exemplo 
1)Um título dom 119 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado, a juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 15% ao ano. Assuma o ano comercial com 360 dias e calcule o valor da aplicação que proporciona um valor de resgate de $1.000,00.
2) Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00 com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês.
Cap. 3 - Exemplo 
3) Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por fora” usada numa operação de desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de $10.000,00 e com valor do principal igual a $9.750,00.
Relação entre as taxas de Desconto “por dentro” e “por fora”
Utilizando as fórmulas acima confirme os resultados dos exemplos 5 (“por dentro”) e 3 (“por fora”).
Principal = PV = 10.000,00
Valor de Resgate = FV = 9.750,00
Prazo = n = 60 dias
Calcular d e i
Cap. 3 - Exemplo 
Um título com 39 dias a decorrer está sendo negociado com uma rentabilidade de 1,20% ao mês. Assuma o ano comercial com 360 dias e calcule a taxa anual de desconto “por fora” que corresponde à essa taxa de rentabilidade.
Desconto de Títulos “por fora” Exemplos
1)Uma empresa oferece os seguintes títulos para serem descontados em um Banco Comercial:
Calcule o valor a ser creditado na conta dessa empresa, por essa operação de desconto, assumindo o mês com 30 dias, e sabendo que a taxa de desconto acertada é de 1% ao mês.
Vencimento (dias)
Valor do Título ($)
30
10.000,00
60
20.000,00
90
30.000,00
Total
60.000,00
Cap. 3 - Exemplo 
2) Um banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos com uma taxa de desconto de 1,2% ao mês (“por fora”), porém exige um saldo médio de 20% do valor da operação, como forma de reciprocidade bancária. Esse banco foi procurado por uma empresa para descontar $100.000,00 de títulos, todos com vencimento de 90 dias. Assumindo o mês com 30 dias, calcule o valor a ser creditado na conta da empresa e a rentabilidade mensal do banco, a juros simples, sem o saldo médio e com o saldo médio.
Cap. 4 Juros Compostos
Capitalização e Desconto
Fator de Juros 
VALOR FUTURO E COMPOSIÇÃO
 ( CAPITALIZAÇÃO)
EXEMPLO: Aplicação de R$500,00 numa caderneta de poupança no Banco do Brasil. A caderneta rende 7%, a juros compostos anualmente. Quanto terá em 3 anos?
Montante ao final do 3º ano:
Calculo usando álgebra:
VF = VP x (1+i)n 
VF = 500 x (1+0,07)3
VF=500x(1,2250) Fator de Capitalização de Valor Futuro (TabelaFJVF)
VF = 612,52
					 Calculo Usando HP: Limpar calculadora:
Calculo usando Tabela FJVF:		 CLx, f CLx, f FIN, f PRGM
VF = VP x FJVFn,i			Teclas acima e a esquerda 
VF = 500 x FJVF3,7			3N; 7i; 500 (CHS)PV; 0PMT; FV
VF = 500 x 1,2250			Usar CHS, pois o fluxo inicial é um 
VF = 612,52			investimento - saída de caixa - negativo
VALOR FUTURO E COMPOSIÇÃO
 ( CAPITALIZAÇÃO):
Ano
Saldo Inicial
Juros
Saldo Final
1
500
35
535
2
350
37,45
572,45
3
327,45
40,07
612,52
EXEMPLO: Aplicação de R$500,00 numa caderneta de poupança no Banco ABC. A caderneta rende 7%, a juros compostos anualmente. Quanto terá em 3 anos?
Juros no 1º ano: 500 x 0,07 = 35 FV(1ano)=535
Juros no 2º ano: 535 x 0,07 = 37,45 (juros sobre juros)
FV(2ano)=535+37,45=572,45
Juros no 3º ano: 372,45 x 0,07 = 40,0715
Montante ao final do 3º ano: 500 + 35 +37,45 + 40,0715 = 612,5215
Cap. 4 Exemplos
Calcule o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir da aplicação de um principal de $10.000,00, com uma taxa de juros de 1% ao mês.
No regime de juros simples (para comparar);
No regime de juros compostos;
VALOR PRESENTE E DESCONTO
Quanto vale hoje R$ 1.000,00 a ser recebido daqui a 2 anos. Ou de outra forma: quanto tenho que aplicar hoje, para ter R$1.000,00 daqui a 2 anos?
Sabendo que a taxa de retorno de aplicações financeiras é de 12% ao ano, basta fazer o desconto “por dentro”:
Algébrico: 
.
.
.
Desconto “por dentro” - Exemplo
2. Calcule o principal que deve ser aplicado a uma taxa de juros de 5% ao mês, para produzir um montante de $10.000,00, num prazo de 15 meses.
No regime de juros compostos;
3. Calcule o principal que deve ser investido para produzir um montante de $20.000,00, num prazo de dois anos, com uma taxa de 12% ao semestre, no regime de juros compostos.
Desconto “por fora”
Um título com o valor de $10.000,00 com 60 dias para seu vencimento, é descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “por fora” igual a 1,2% ao mês. Calcule o valor presente do título e o valor do desconto composto, expresso em $.
Cap. 4 - Problemas Resolvidos 
3) Um investimento inicial (principal) de $1.000,00 produz um valor acumulado de $ 1.150,00 no final de 10 meses. Calcule a taxa de rentabilidade mensal desse investimento, no regime de juros compostos.
4) Calcule o nº de meses necessários para fazer m capital dobrar de valor, com a taxa de juros de 6% ao ano, no regime de juros compostos.
Cap. 4 - Problemas Resolvidos 
5)Um banco comercial realiza suas operações de crédito com uma taxa de juros de 1% ao mês, ou seja, 6% ao semestre. Entretanto os juros são pagos antecipadamente, por ocasião da liberação dos recursos. Assim, para cada $1.000,00 de empréstimo, a ser liquidado no prazo de 6 meses, esse banco libera um principal de $940,00. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessas operações, no regime de juros compostos.
Cap. 4 - Problemas Resolvidos 
6) Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois anos e valor de resgate de $10.000,00. Calcule seu valor de emissão (principal) para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.
7) Calcule as taxas efetivas mensal e diária de um título de renda fixa que tem uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.
Cap. 4 - Problemas Resolvidos 
9) Um financiamento de um banco de investimentos deve ser liquidado com um único pagamento no final do 6º mês após a liberação dos recursos. A taxa de juros cobrada por esse banco é de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Por razões operacionais, a cobrança dessa taxa é desdobrada em duas parcelas:
Uma taxa mensal de 0,8% ao mês cobrada de forma postecipada, ao longo do contrato;
Uma parcela antecipada cobrada no ato da liberação dos recursos. 
Cap. 4 Exercício:
1. Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição financeira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o montante acumulado até aquela data totaliza R$ 10.480,00. Esse mesmo valor é então depositado em outra instituição financeira, por um prazo de cinco meses. No final desse período o montante acumulado na segunda instituição é igual a R$ 11.108,80. Sabendo-se que as duas instituições operam com juros compostos e remuneram seus depósitos com a mesma taxa, Determinar: 
a) A taxa mensal de juros compostos das duas instituições 
b) O valor do depósito inicial na primeira instituição
Cap. 5 - Taxas de Juros
Taxa Nominal
Taxa Proporcional
Taxa Efetiva
Taxa de Juros Efetiva
Taxa efetiva=valores efetivamente pagos/empréstimo efetivo
Ex.: Por um empréstimo de $30.000 que será pago $38.000, no prazo de 1 mês, é cobrada uma comissão de 5% do valor do empréstimo no ato da contratação:
Taxa Efetiva=(38.000-30.000)+0,05x30.000/(30.000-0,05x30.000) = 33,33%a.m.
Taxa de Juros
Equivalente (Juros Compostos)
Proporcional (Juros Simples)
Taxa de Juros Nominal
Taxa “declarada” = Razão entre juros pagos e valor nominal do empréstimo:
Taxa nominal=juros pagos/empréstimo nominal
Ex.: Por um empréstimo de $30.000 será pago $38.000, no prazo de 1 mês:
Taxa Nominal =(38.000-30.000)/30.000=26,67%a.m.
É uma taxa referencial em que os juros são capitalizados mais de uma vez no período que se refere
Ex.: 18% ao ano, capitalizada mensalmente;
	8% ao semestre capitalizada mensalmente;
	Operações de overnight em que a taxa é mensal ou anual e a capitalização é
diária.
Taxa de Juros Nominal
Calculo do montante a juros nominais
Um capital (PV) aplicado a uma taxa de juros efetiva ao ano (i) – juros capitalizados 1 vez ao ano – o montante (FV) ao término do primeiro ano de aplicação:
Se a taxa for nominal ao ano, capitalizada semestralmente – juros capitalizados 2 vezes em 1 ano – o montante ao término de 1 ano será:
Se a taxa for nominal ao ano, capitalizada mensalmente – juros capitalizados 12 vezes em 1 ano – o montante ao final do TERCEIRO ano será:
Generalizando:
Ex.: pag.38 (SAMANEZ)
Calcular o Montante resultante de um investimento de $1.200 aplicado por três anos a juros nominais de 16%a.a., capitalizados mensalmente.
PV (P)=1.200
n=3anos
i=16%a.a., cap. Mensal, k=12
Taxa de Juros Efetiva a partir da Taxa Nominal
Taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente:
Taxa Nominal					=12%a.a.
Taxa Proporcional ou Efetiva por período de capitalização (12%/12)	= 1%a.m.
Taxa Efetiva anual 			 =12,68%a.a.
Exemplos – pag.46 (SAMANEZ):
Calcular as Taxas Efetivas Anuais para as seguintes Taxas Nominais:
15%a.a., capitalizada diariamente = 16,18%a.a.	
15,5%a.a., capitalizada trimestralmente 							 = 16,42%a.a.
15,7%a.a., capitalizada semestralmente 							 = 16,22%a.a.
Cap. 5 Aplicação de Taxa Efetiva e Proporcional
4. Um título com 123 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado, com uma taxa de rentabilidade de 1,3% ao mês. Calcule o valor da aplicação que proporciona um valor de resgate de $1.000,00.
No regime de juros simples;
No regime de juros compostos;
Cap. 6 – Série Uniforme
 (Prestações iguais)
Dado PMT achar FV
Calcule o valor do montante FV do fluxo de caixa que segue, com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos.
Ano
FlxCx
1
1.000,00
2
1.000,00
3
1.000,00
4
1.000,00
5
1.000,00
Cap. 6 – Problemas propostos
2) Um investidor efetua 4 depósitos anuais de $5.000,00 (postecipados). Sabendo que estes depósitos são remunerados com uma taxa efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, calcule o valor acumulado por esse investidor no final do quarto ano, nas seguintes situações:
Imediatamente após a realização do quarto depósito;
Imediatamente antes da realização do quarto depósitos.
Séries Fixas
Dado FV achar PMT
Calcule o valor dos 4 depósitos trimestrais (postecipados) capazes de produzir o montante de $10.000,00 no final do 4º trimestre, com uma taxa efetiva de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos.
Séries Fixas
Dado PMT achar PV
Calcule o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, sucessivas e iguais a %1.000,00
Série Fixas
Dado PV achar PMT
Calcule o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, sabendo que o valor do principal é de $1.000,00 e que o prazo da operação é de 4 anos.
Cap. 6 – Problemas propostos
3) O preço de um equipamento é igual a $11.400,00. Uma loja o está anunciando por $1.400,00 de entrada e mais quatro prestações trimestrais de 2.580,00. Calcule a taxa efetiva trimestral de juros cobrada na parte financiada.
4) Uma dívida deve ser liquidada em três prestações trimestrais iguais de $1.000,00. Calcule o valor do principal dessa dívida sabendo que o custo efetivo do financiamento é de 1% ao mês, no regime de juros compostos.
Cap. 6 – Problemas propostos
5) Um financiamento de $1.000,00 de principal deve ser amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas. Sabendo que a taxa efetiva de juros é de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e admitindo meses com 30 dias, calcule o valor da prestação mensal, nas seguintes hipóteses:
Pagamento da primeira prestação ocorre um mês após a liberação dos recursos (série postecipada);
Pagamento da primeira prestação ocorre no ato da liberação dos recursos (série antecipada)
Cap. 6 – Problemas propostos pg.109
5) Um investidor efetuou 4 depósitos consecutivos de $5.000,00 numa caderneta de poupança, no final de cada trimestre. Calcule a rentabilidade efetiva trimestral dessa caderneta de poupança sabendo que o saldo acumulado por esse investidor, imediatamente após a efetivação do último depósito trimestral é de $21.000,00.
Cap. 6 – Problemas propostos pg.110
Um título de renda mensal foi emitido com os seguintes parâmetros:
Prazo: 12 meses
Valor de emissão: $10.000,00
Valor de resgate: $10.000,00
Juros mensais: 1% ao mês
Valor do cupom: $100,00
Obtenha:
a) o fluxo de caixa do investidor que adquirir esse título e conservar até seu vencimento;
b) O valor presente dos 12 cupons de $100,00;
c) O valor presente dos $10.000,00 que serão recebidos pelo investidor no final do 12º mês;
d) A soma dos valores presentes dos itens b e c.
Cap. 6 – Problemas propostos pg.111
2) Calcule o valor de venda, na data de emissão, do título do Problema 1, caso se queira proporcionar uma rentabilidade de 1,5% ao mês para o investidor que conservar o papel até o seu resgate.
3) Calcule a rentabilidade do investidor que adquirir o título do Problema 1 com 5% de deságio sobre o valor de emissão de $10.000,00.
Cap. 6 – Problemas propostos pg.114
5) Calcule o valor da taxa mensal de arrendamento (PMT) para uma operação de Leasing com os seguintes parâmetros:
Valor da operação: $100.000,00
Prazo: 12 meses
Taxa efetiva de juros: 1,4% ao mês
Valor residual garantido (VRG): 20%
Prestações mensais e pagas no final de cada mês
Perpetuidade
Fluxos com duração infinita:
Parcelas R = Montante P x Taxa i: R=Pxi
Montante P = Parcelas R/ Taxa i: P=R/i
Exemplo: Um fundo de pensão promete rendimento perpetuo de seu investimento a taxa de 1,5% a.m. Se depositarmos hoje R$10.000, qual será o valor da renda perpétua?
R= Pxi = 10.000 x 0,15 = $ 150 
Exemplo - Perpetuidade
Calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de $1.000,00 de forma perpétua, sabendo que esse investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, juros compostos.
O pedágio de uma rodovia estadual arrecada em média $200.000/mês. Calcular o valor presente dessas rendas perpétuas, considerando um custo de capital de 2% a.m.
P = R / i = 200.000/0,02 = $10.000.000