AULA2009RMI_1_TENSAO

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Resenha histórica
A Resistência dos Materiais, como ciência física, é parte da mecânica geral e pertence à classificação da mecânica dos sólidos deformáveis. 
 A mecânica inclui a estática, que lida com o caso especial de um corpo em repouso ou que se move com velocidade constante  corpo em equilíbrio.
 A origem da Resistência dos Materiais se pode relacionar com o nome do célebre cientista italiano Galileo Galilei (1564-1642), quem foi o primeiro que estudou a resistência das vigas. Em 1638, ele publicou o livro Two New Sciences que consiste na 1ª. publicação de Resistência dos Materiais e o início da mecânica dos materiais elásticos.
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Mecânica dos Sólidos Rígidos 
Não ocorre deformação no corpo, que permanece na mesma posição, antes e após o carregamento.
Mecânica dos Sólidos Deformáveis 
O corpo se deforma, e a posição inicial não é mais a mesma após o carregamento.
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1.1. OBJETIVOS E MÉTODOS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as proporções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim de capacitá-las a cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade, durabilidade e em condições econômicas.
A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à ruína é chamada de resistência do elemento e constitui o problema principal para a análise nesta disciplina. A limitação das deformações, em muitos casos, se torna necessária para atender a requisitos de confiabilidade (deformações exageradas podem ser confundidas com falta de segurança) ou precisão (caso de máquinas operatrizes ou ferramentas). 
1.2. HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
Em sua maioria, as construções e as máquinas são muito complicadas quanto às características dos materiais, a forma e geometria dos elementos estruturais, tipos de carregamento, vinculação etc. e, a menos que sejam estabelecidos esquemas de cálculo e hipóteses simplificadoras, a análise dos problemas seria impraticável. 
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a) Quanto aos materiais:
Os materiais serão supostos contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc) homogêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e isótropos (iguais propriedades em todas as direções). Outra suposição freqüentemente utilizada é de que os materiais são perfeitamente elásticos (sofrendo deformações cuja extensão é proporcional aos esforços a que estão submetidos, retornando às dimensões originais quando cessam esses esforços).
b) Quando à geometria dos elementos estruturais:
Os elementos estruturais serão reduzidos aos seguintes modelos simplificados:
BLOCOS – corpos cujas três dimensões principais são da mesma ordem de grandeza (a ~b ~c);
FOLHAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada espessura) muito menor (*) que as outras duas (e << a ~b);
BARRAS – corpos que têm uma das dimensões (denominada comprimento) muito maior (*) que as outras duas (c >> a ~b).
(*) da ordem de 10 vezes ou mais.
c) Quanto ao carregamento:
Os esforços que atuam nas estruturas serão representados através dos seguintes modelos simplificados (Fig. 1.2.2):
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O comprimento da barra é bem superior às dimensões da seção transversal. 
Área A da seção transversal: definida por um corte normal à direção 
 longitudinal da barra.
Eixo da barra (reto ou curvo): trajetória do CG da seção transversal ao 
 longo do comprimento da barra.
Barra prismática: caracterizada por eixo reto e seção transversal constante 
 ao longo do comprimento. 
Força axial: a linha de ação da resultante F coincide com o eixo da barra.
Elemento linear ou barra
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Uma dimensão é bem inferior às outras duas. 
Placa – elemento bidimensional plano com carregamento normal à superfície média. 
Chapa – elemento bidimensional plano com carregamento paralelo à superfície média. 
Elemento bidimensional
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Elemento bidimensional com superfície média curva. 
Elemento Tridimensional ou Bloco
As três dimensões são da mesma ordem de grandeza. 
Outros nomes surgem para os elementos estruturais, em função de suas particularidades.
Casca
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Forças distribuídas – em volumes (como a ação gravitacional, como as forças de inércia nos corpos acelerados), em superfícies (como a ação de esforços sobre placas, a ação da pressão de fluidos, p = dF/dA) e em linha (como a ação ao longo de vigas, q = dF/dx);
Forças Concentradas – ações localizadas em áreas de pequena extensão quando comparadas com as dimensões do corpo. É fácil perceber que tal conceito (uma força concentrada em um ponto) é uma abstração já que, para uma área de contato praticamente nula, uma força finita provocaria uma pressão ilimitada, o que nenhum material seria capaz de suportar sem se romper.
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d) Quanto aos vínculos: Os vínculos são dispositivos mecânicos que impedem certos movimentos da estrutura ou máquina, através de esforços reativos cujos tipos são estudados nos cursos de Mecânica dos Corpos Rígidos. Para o caso particular e muito comum de esforços coplanares, os vínculos são classificados em três categorias (Fig. 1.2.3)
Apoio móvel - capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo numa direção pré-determinada;
Apoio fixo – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo em todas as direções;
Engastamento – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto.
e) Inexistência de esforços iniciais: Nos processos de conformação e tratamento térmico dos materiais (fundição, usinagem, laminação, forjamento, embutimento, têmpera, etc) surgem esforços localizados cuja presença não será considerada em nossos estudos. Suporemos que não existem esforços iniciais no corpo antes de seu carregamento. Quando existirem fortes razões para que tais esforços precisem ser considerados, eles serão determinados experimentalmente.
f) Princípio de Saint’Venant: Uma hipótese simplificadora que é sustentada pela observação experimental é a estabelecida por Saint’Venant, indicando que em pontos suficientemente afastados das regiões de aplicação dos esforços, os efeitos internos se manifestam independentemente da forma de distribuição daqueles esforços.
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1.3 - ESFORÇOS
Os esforços que atuam sobre um sistema material ou parte de uma estrutura
podem ser classificados segundo o quadro:
a) Esforços Externos – são os que atuam no sistema material em análise (por contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos). Os esforços ativos serão classificados de permanentes quando atuam constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando atuam de forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida das máquinas, etc.). Os esforços produzidos pelos vínculos, também externos, são denominados de esforços reativos, ou reações dos apoios, sendo determinados pelas equações da Estática que regem o equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso que, no caso de carregamentos coplanares, se reduzem a:
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b) Esforços Internos: Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou elemento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. Para o caso de elementos em forma de barras (caso mais comumente tratado pela Resistência dos Materiais) podemos analisar os esforços internos atuantes em uma seção transversal (perpendicular ao eixo da barra) e reconhecemos que a ação de uma parte da barra sobre a outra pode ser reduzida a uma força F e a um conjugado de momento G. Ao decompormos estes dois esforços na direção do eixo da barra (direção normal) e no plano da seção (direção
tangente), obtemos os chamados esforços seccionais (ou solicitantes) a saber (fig. 1.3.2):
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As solicitações aplicáveis a um corpo podem ser classificadas em solicitações simples ou compostas. Nas primeiras incluem-se os esforços do tipo tracção, compressão, corte, torção e flexão que produzem esforços unidimensionais. A área das solicitações compostas é formada por combinação de esforços simples e conduzem a estados de tensão duplos ou triplos. 
Esforços internos
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Tipos de Cargas
(a) Tração: a força atuante tende a provocar um alongamento do elemento na direção da mesma. (b) Compressão: a força atuante tende a produzir uma redução do elemento na direção da mesma. (c) Flexão: a força atuante provoca uma deformação do eixo perpendicular à mesma. (d) Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção transversal tende a girar em relação às outras. (e) Flambagem: é um esforço de compressão em uma barra de seção transversal pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra. (f) Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre seções transversais.
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1.4. CONCEITO DE TENSÃO
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Comprimento: metro (m)		1 m = 102 cm;
Área: metro quadrado (m2)	1 m2 = 104 cm2;
Volume: metro cúbico (m3 ) 	1 m3 = 106 cm3;
Força: newton (N ) 		1 kN = 103 N;
Tensão: pascal (Pa ) 		1 Pa = 1 N/m2; 
mega pascal (MPa)	1 MPa = 0,1 kN/cm2; 
giga pascal (MPa) 	1 GPa = 109 Pa = 100 kN/cm2;
Massa: quilograma (kg ) 	1 kg = 103 g.
Ângulo plano: radiano (rad).
Utiliza-se o sistema internacional de unidades:
UNIDADES
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Em seções sem descontinuidade de forças ou dimensões, admite-se tensão normal s distribuída uniformemente na seção transversal A:
Um corte imaginário passando pela seção s, divide a barra em duas partes.
A força normal N é a força interna resultante da distribuição da tensão normal s na área A da seção transversal da barra.
Nas partes separadas, por equilíbrio de forças na direção longitudinal: N = F
Tensão normal
Nas barras comprimidas: N = - F

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É uma grandeza definida por meio da relação da força interna no corpo deformável pela área em que atua, sendo utilizada para avaliar o nível de solicitação do corpo.
Considera-se uma barra solicitada por forças axiais F nas extremidades.
Aumentando a intensidade da força F, aumenta-se o nível de solicitação da barra, cuja resistência mecânica é garantida por meio das forças de interação das partículas do material. 
Para avaliar o que acontece no interior da barra, e entender o conceito de tensão, utiliza-se o artifício de corte imaginário passando por um plano genérico.
TENSÃO
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Representações simplificadas
Admite-se o mesmo valor da tensão r em todos os pontos da área definida pelo corte imaginário, ou seja, uma distribuição uniforme. 
Corte imaginário
A resultante da tensão r na área A/cosq é a força interna Fi que, por equilíbrio de forças na direção longitudinal, é igual a F.
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A tensão não é uma grandeza vetorial pelo fato de depender do ângulo q que define a inclinação do plano genérico. 
Componentes da tensão r
Tensão normal (perpendicular ao plano genérico)
Tensão de cisalhamento (paralela ao plano genérico)
Ao aplicar as equações de equilíbrio, as forças envolvidas são determinadas multiplicando-se a tensão pela área em que atua.
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1.5 – DEFORMAÇÕES: Os corpos são constituídos de pequenas partículas ou moléculas entre as quais existem forças de interação. Se forças externas são aplicadas ao corpo, as partículas se deslocam, umas em relação às outras, até que as forças interiores estabeleçam uma nova configuração de equilíbrio. A composição desses deslocamentos microscópicos produz modificações volumétricas e de forma que caracterizam as chamadas deformações do corpo.
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É uma grandeza que permite avaliar o movimento do corpo e evitar deformações excessivas.
Barra tracionada
Barra comprimida 
Uma barra tracionada por forças axiais, aplicadas nas extremidades, sofre alongamento na direção longitudinal e encurtamento na direção transversal e, vice-versa, na barra comprimida. 
DEFORMAÇÃO
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A relação deslocamento longitudinal por unidade de comprimento, é chamada deformação específica longitudinal.
Analogamente, define-se a deformação específica transversal.
Existe uma relação entre as deformações nas direções transversal e longitudinal, por meio do coeficiente de Poisson. 
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Deslocamento longitudinal
Lei de Hooke: s = Ee
Integrando:
x = 0:
Trechos com (N, E, A) constantes:
Admite-se que seções planas, permaneçam planas após as deformações.
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Diagrama do deslocamento
Os pontos da seção s se deslocam para a seção s’ após as deformações ocorridas no trecho de comprimento x.
Os pontos da seção B se deslocam para a seção B’ após as deformações ocorridas de todo o comprimento da barra.
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Diagrama tensão x deformação
Materiais dúcteis
sp: limite de proporcionalidade tensão x deformação
Materiais frágeis
se: tensão de escoamento, definida por uma reta paralela ao trecho reto a 
 partir da deformação convencional e = 0,002. 
sr: tensão de ruptura
Lei de Hooke: s = Ee – válida no trecho reto (s  sp )
E = tga – módulo de deformação longitudinal
Patamar de escoamento: – o corpo se deforma sem alteração no nível de tensão. 
Podem ocorrer os seguintes diagramas:
Alguns materiais dúcteis não apresentam esse patamar.
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1.6 – ELASTICIDADE
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Temperatura
Aquecendo a barra (DT > 0), o volume aumenta.
Deslocamento longitudinal:
a é o coeficiente de dilatação térmica do material.
Deformação específica longitudinal:
Resfriando a barra (DT < 0), o volume diminui. Nesse caso, o deslocamento e a deformação são negativos.
Sem restrição de movimento da barra, não há reação e nem tensão.
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1.7 – TENSÕES ADMISSÍVEIS. COEFICIENTE DE SEGURANÇA
As tensões de trabalho nos elementos de uma estrutura ou máquina devem ser mantidos suficientemente afastados dos valores limites do material, a fim de se obter certa margem de segurança para compensar as simplificações feitas nos esquemas de cálculo, na incerteza nos valores dos carregamentos admitidos e nas propriedades mecânicas dos materiais utilizados, e ainda visando à salvaguarda contra danos materiais e pessoais oriundos de uma ruína. 
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1.8. Coeficiente de Poisson
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Na figura uma barra de seção transversal S é tracionada por uma força F (a). Supondo uma distribuição uniforme de tensões no corte hipotético exibido, a tensão σ, transversal ao corte, é dada por σ = F / S . 
Tensões podem ter componentes de modo análogo às forças. Na figura (b), é considerada uma seção hipotética, fazendo um ângulo α com a vertical, em uma barra tracionada por uma força F. E a força atuante nessa seção pode ser considerada a soma vetorial força normal (F cos α) + força transversal (F sen α). Portanto, a tensão nessa superfície é a soma dos componentes: 
Tensão normal: em geral simbolizada pela letra grega sigma minúsculo σ.
 Tensão transversal (ou de cisalhamento): em geral simbolizada pela letra grega tau minúsculo τ.
1.9. Tensão normal e tensão de cisalhamento
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2. Exercícios Resolvidos
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2. Exercícios Resolvidos
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2. Exercícios Resolvidos
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2. Exercícios Resolvidos
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2. Exercícios Resolvidos
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2. Exercícios Resolvidos
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7) Uma barra é fixa através de uma das da suas extremidades e carregada conforme mostrado na figura 1-(a). Determine os esforços internos normais nos pontos B e C. 
Parte DC:
Reações nos apoios: O diagrama de corpo livre da barra é mostrado na figura 1-(b).
Diagrama de corpo livre:
Os esforços internos em B e C são obtidos utilizando os diagramas de corpo livre da barra seccionada mostrados na figura 1-(c). São escolhidas as partes AB e DC por terem uma menor quantidade de forças aplicadas.
Equações de equilíbrio:
Parte AB:
2. Exercícios Resolvidos
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2. Exercícios Resolvidos
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2. Exercícios Resolvidos
 10)
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2. Exercícios Resolvidos
 10)
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3.
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Solução:
 11)
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Solução (continuação):
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11 a)
11 b)
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11 c)
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11 d)
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Solução:
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13)
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14)
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15)
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