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2a Lista de Exercícios - Cálculo I 1: Estude o sinal das funções abaixo definidas. (a) f(x) = x2 − 2x (b) g(x) = (x2 − 4x)(1 + 3x) (c) h(x) = x3 − 3x2 − 4x+ 12 (d) r(x) = x3 − 3x2 + 2x (e) m(x) = x2 − 12x− 3 (f) n(x) = x2 + 1 x2 − 4 (g) t(x) = 2x x2 − 5x+ 6 (h) s(x) = 1 + 2 3x− 4 (i) p(x) = x+ 1x (j) q(x) = 2x− 4√x+ 1 (k) a(x) = √ x− 1 x+ 1 (l) b(x) = 3 √ x2 − 9 x+ 1 (m) c(x) = (x− 2) 3 (x− 3)2 (n) d(x) = x2 x2 + 1 2: Seja f : R −→ R a função definida por f(x) = x2 − 2x se x < −1, L se x = −1, 1 + 2x2 se x > −1. Encontre, caso exista, o valor de L de modo que a função f seja contínua. 3: Seja g : R −→ R a função definida por g(x) = { x2 − pi2 x− pi se x 6= pi, M se x = pi. Encontre, caso exista, o valor de M de modo que a função g seja contínua. 4: Seja h : R −→ R a função definida por h(x) = { 1 (x− 3)2 se x 6= 3, N se x = 3. Encontre, caso exista, o valor de N de modo que a função h seja contínua. 5: Derive as funções abaixo definidas. (a) f(x) = 3x4 − 4x3 + 2x2 − 3x+ 1 (b) g(x) = 5x3 − 12x2 + 9x− pix+ 1 (c) h(x) = 10x10 − x5 + 2 (d) p(x) = x99 − 3x9 + 5 (e) q(s) = (x2 − 6x+ 1)(3− 6x+ 4x4) (f) r(f) = (4x5 − 10x+ 1)(8x3 − 2x2 + 7x− 5) (g) s(x) = (4− x2)(6x5 − 7x4 + 4x3 − pix+√2) (h) t(x) = (x2 − 1)(3− x3) 6: Derive as funções abaixo definidas. (a) f(x) = 1 x2 − 5x+ 3 (b) g(x) = − 4 x2 − 6x+ 1 (c) h(s) = pi x2 − pix+ 3 (d) p(u) = u2 − 3u 2u− 6 (e) q(x) = x+ x2 − x3 x2 − 2x (f) r(x) = x2 − 6x+ 1 x3 − 7x+ 2 (g) s(x) = 9s2 + 3s s2 − 2s+ 1 (h) t(u) = 8 + 4u− 3u3 u7 − u3 + 2u Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight 7: Derive as funções abaixo definidas. (a) f(x) = 1 x4 + 1 x3 + 1 x2 + 1x + 1 + x+ x 2 (b) g(u) = 2 u3 − 4 u2 − 3u + 5u3 (c) h(x) = 3 u2 − 5u3 2u− 2 u3 (d) p(s) = s− 2 s4 s3 − 3s+ 1 (e) q(x) = (x2 − 2x+ 3 x4 )( 2 x9 − 1 x3 + 5x3 − 1) (f) r(x) = x2 − 6x 1 + x2 − 2x x+ 4x2 (g) s(x) = x3 − 2 x9 x3 − x2 2x2 + 1 − 1 (h) t(x) = (x4 − x3 − 2 x2 − 2x + 3x)(1 + 2x 2 − 5 x3 + 5 x4 ) 8: Utilize as fórmulas de derivação para encontrar os limites abaixo. (a) limx→1 x 3 − 2x2 + 3x− 2 x− 1 (b) limx→1 x 1000 + x100 + x10 − 3 x− 1 (c) limx→−1 1 x8 + 2 x6 + 3 x4 − 5 x+ 1 (d) limx→2 x2 + 4 x+ 2 − 2 x− 2 9: Sejam p ∈ R e f uma diferenciável em p. Mostre que a função g : Df −→ R, definida por g(x) = { f(x)− f(p) x− p se x 6= p, f ′(p) se x = p, é contínua em p. 10: Sejam p ∈ R ,f uma função diferenciável em p e g uma função diferenciável em f(p). (a) Mostre que a função h : Dg −→ R, definida por h(x) = { g(x)− g(f(p)) x− f(p) se x 6= f(p), g′(f(p)) se x = f(p), é contínua em f(p) e conclua que h◦f é contínua em p. (b) Mostre que g(x)− g(f(p)) = h(x)(x− f(p)) para todo x ∈ Dg. (c) Conclua que g(f(x))− g(f(p)) = h(f(x))(f(x)− f(p)) para todo x ∈ Dg◦f . (d) Conclua que g◦f é diferenciável em p e que (g◦f)′(p) = g′(f(p)).f ′(p). 11: Derive as funções abaixo definidas. (a) f(x) = (x3 − 6x2 + 3x− 2x)5 (b) f(x) = (x5 + 3 x2 − 7x)5 (c) f(x) = ( x3 − 7x2 + 3x− 4 3x2 − 5x+ 1 )7 Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight (d) f(x) = x2 − 5x 1 + x4 + ( x2 − 3x x3 + 2x2 )4 (e) f(x) = (x 3 − 5x+ 4)5 (2x− x2)7 (f) f(x) = ( 1 + x 2 − 1 x+ x4 )8 · ( x4 + pi 1 + x3 )4 (g) f(x) = 4√x3 − 2x2 + 5x− 1 (h) f(x) = 6 √ − 2 x3 + 7 x2 − 4x2 (i) f(x) = √ 2 x4 − 2 x5 + 5 x2 (j) f(x) = √ x3 − 2x+ 1 x2 − 1 (k) f(x) = 4 √ 2x2 − 1 +√x3 − 2x− 3 (l) f(x) = (−2x3 + 4x2 + 3x− 2) 5√1 + x2 − 5x3 + x4 (m) f(x) = x3 − 4x x− x9 3 √ 2x x− x4 (n) f(x) = √ x2 − 3x 3x− 2 + ( x− 1 1 + x2 )4 (o) f(x) = (2x 3 + 3x2 − 4x+ 2)3 4 √ x3 − 2x+ 1 (p) f(x) = √ x2 − 3x+ 1 x 3 √ x2 − 5x+ 3 (q) f(x) = ( 4√x2 − 5x+ 4 + (x2 − 5x+ 1)3)5 12: Utilize as fórmulas de derivação para encontrar os limites abaixo. (a) limx→1 (x 3 − 2x)4 − 1 x− 1 (b) limx→2 (2x− 3) 10 − 1 x− 2 (c) limx→1 √ x9 + 8− 3 x− 1 (d) limx→2 3 √ x2 + 2x− 2 x− 2 13: Encontre a equação da reta tangente aos gráficos das funções abaixo definidas nos pontos indicados. (a) f(x) = x+ 1 x2 , (1, f(1)) (b) f(x) = x3 − 2x2 + 3x− 1, (1, f(1)) (c) f(x) = √x2 + 3x+ 1, (0, f(0)) (d) f(x) = x2 + x x2 − 1 , (0, f(0)) (e) f(x) = x 1 + x2 , (2, f(2)) (f) f(x) = 1 1 + x2 , (−1, f(−1)) Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight Hugo Ferreira Highlight
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