Material do Professor 02 Bruno Villar Matemática Aula 01

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Material Complementar de Nivelamento Matemático 
Professor: Bruno Villar 
 
Critérios de Divisibilidade 
 
É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural qualquer é 
divisível por outro. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. 
 
Os critérios divisibilidade são utilizados na simplificação de fração e reconhecimento de múltiplos 
ou divisores.. 
 
Obs.:Simplificar é dividir os termos de uma fração por um mesmo número. 
 
Exemplo: 8
10
2:
2:
 = 4
5
 
 
Dica: Só podemos simplificar em dupla, sendo um número com o de cima e esse mesmo número 
com o de baixo .Exemplo: 
 
6
10.14
 = 6
1014
2:
2:
 = 3
10.7
 como escolhemos o 14 e 6 para simplificar o número 10 deve ser 
mantindo , pois ele não tem um outro número para simplificar. 
Vamos aos crítérios,ok? ( Lembre-se: A prática leva a perfeição) 
 
• Divisibilidade por 2 
Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0; 2; 4; 6 ou 8. Os números 
que são divisíveis por 2 são denominados números pares. 
Exemplo: 22, 1540 , 1908764.... 
 
• Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for 
divisível por 3. 
Exemplo: 123 é divisivel por 3 , pois 1+2+3 = 6 é divisível por 3. 
 
• Divisibilidade por 4: 
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois algarismos da direita for divisível 
por 4 ou terminar em 00. 
Exemplo: 124 , termina em 24 e 24 é divisível por 4. 
 
• Divisibilidade por 5: 
Um número é divisível por 5 se o algarismo da unidade( o último algarismo) for 0 ou 5. 
Exemplo: 15, 125 1050... 
 
• Divisibilidade por 6: 
 
Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. 
Exemplo: 180 é divisível por 2 e por 3 , logo também por 6. 
 
* Divisibilidade por 7 : 
Para descobri se um número é divisivel por 7 devemos realizar o seguinte processo. 
Retira o algarismo da direita e subtrair o dobro do algarismo da direita pelo número restante; se o 
resultado obtido for divisível por 7 , então o número é divisivel por 7 
Exemplo: 
245 
O último algarismo da direita é o cinco. 
24 – 2.5 = 24 – 10 = 14 , 14 é divisivel por 7 . 
 Não esqueça dobrar é multiplicar por 2. 
 
• Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for 
divisível por 9. 
Exemplo: 135 é divisivel por 9 , pois 1+3+5 = 9 é divisível por 3. 
 
 
• Divisibilidade por 10: 
 
Um número é divisível por 10 se o algarismo da unidade( o último algarismo) for 0 . 
Exemplo: 120, 1450. 
 
 
• Divisibilidade por 11: 
 
Para descobri se um número é divisivel por 11 devemos realizar o seguinte processo: 
Retira o algarismo da direita e subtrair o algarismo da direita pelo número restante; se o resultado 
obtido for divisivel por 11 , então o número é divisivel por 11. 
Exemplo: 
 
a) 121 
 12 – 1 = 11 . 
 
b) 1331 
133 – 1= 132 
Se você não conseguir ter certeza pode repetir o processo com o resultado obtido. 
132 
13 – 2 = 11. 
 
• Divisibilidade por 13: 
 
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número 
sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, 
repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele 
dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de 
subtração. 
Exemplo: 117 
 
11 + 4.7 = 11 +28 = 39 . 
39 é divisível por 13 , logo 117 é divisível por 13. 
 
 
• Divisibilidade por 15: 
 
Um número é divisível por 15 quando for divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo. 
Exemplo: 180 é divisível por 3 e por 5 , logo também por 15. 
 
 
 
Números primos 
 
Definição:São números que possuem apenas dois divisores, sendo esses divisores a unidade 1 e o 
próprio número. 
 
Exemplos de números primos: 
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 ... 
 
Se ligue! 
O número 2 é único número primo par. 
O número 1 não é primo. 
 
Reconhecimento de número primo. 
 
Esse método permite uma garantia se o número é primo ou não. 
 
Exemplo: 
 
O número 103 é primo? 
 
Vamos aprender o processo de reconhecer se um número é primo. 
 
1º Passo calcular a raiz quadrada do número. 
 
≅103
 10 
O número 103 não possui raiz quadrada exata , logo passou pela primeira etapa. 
 
2º Passo: Dividir o número 103 pelos números primos menores que 10 (resultado da raiz). 
2,3,5e 7 = são os números primos menores que 10. 
 
103: 2 = Não. 
O número 103 termina em 3 , logo não é divisível por 2. 
 
103 : 3 = Não. 
A soma dos algarismos de 103 é 1+ 0 + 3 = 4 e 4 não é divisível por 3. 
 
103: 5 = 
O número 103 termina em 3 , logo não é divisível por 5. 
 
103: 7 = Não. 
10 – 2.3 
10 - 6 = 4 e 4 não divisível por 7. 
 
Como o número 103 não foi divisível por nenhum dos números, então podemos garantir que o 
número 103 é primo. 
 
Decomposição em fatores primos. 
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. 
Exemplos de decomposição em fatores primos: 
A) 15 
5
3
1
5
15
 
15 = 3. 5 
 
B) 36 
3
3
2
2
1
3
9
18
36
 
36 = 2² . 3² 
 
C) 143 
13
11
1
13
143
 
143 = 11. 13 
 
A decomposição em fatores primos tem grande aplicabilidade na matemática. 
Vamos a um exemplo básico. 
A quantidade de divisores de um número natura. 
Considere o número natural N = ax . by . cz 
A quantidade de divisores é obtida pela fórmula ( x+1)(y+1)(z+1) 
 
Aplicação. 
Determine a quantidade de divisores do número 120. 
1º passo: Decomposição do número 120 em fatores primos. 
5
3
2
2
2
1
5
15
30
60
120
 
120 = 2³ . 3¹. 5¹ 
 
2ª passo : aplicar a fórmula ( x+1)(y+1)(z+1) 
(3+ 1) ( 1+1)(1+1) = 4.2.2 = 16 divisores. 
Se ligue! 
A fórmula consiste em somar mais um aos expoentes das bases e depois multiplicar. 
Resposta: o número 120 possui 16 divisores. 
 
 
Operações entre frações 
 
A) Adição ou subtração. 
A.1) Adição ou subtração de denominadores iguais. 
Processo: Conserva o denominador e soma ou subtrai os numeradores. 
Exemplos: 
4
1
 + 4
6
 = 4
7
 
- 
5
3
 + 5
2
 + 5
4
 = 5
423 ++−
 = 5
3
 
 
A.2) Adição ou subtração de denominadores diferentes. 
Processo: 
1º Tirar o m.m.c dos denominadores. 
2º Colocar o resultado de m.m.c no denominador da nova fração e dividi o denominador da nova 
fração pelo denominador de cada fração e o resultado multiplicar pelo numerador da respectiva 
fração. 
5
2
 + 8
3
 
 
1º Passo: Tirar o m.m.c dos denominadores. 
M.M.C de 5 e 8 = 40( não possui divisor comum,logo o produto deles é o m.m.c) 
 
 
2º passo: Colocar o resultado de m.m.c no denominador da nova fração e dividi o denominador da 
nova fração pelo denominador de cada fração e o resultado multiplicar pelo numerador da 
respectiva fração. 
40
3.52.8 +
 = 40
1516 +
 = 40
31
 
 
Cuidado! 
Nesse caso, não cortamos o denominador, só cortamos o denominador quando estamos 
calculando uma equação fracionária.( equação do primeiro grau com fração) 
 
B) Multiplicação 
b
a
 . 
d
c
 = db
ca
.
.
 
Exemplos: 
5
3
 . 
7
2
 = 7.5
2.3
 = 
�
��
 
 
Simplificação: É dividir uma fração por mesmo número, isto é, dividir o numerador e o 
denominador por um mesmo número. 
5
2
 de 40 = 5
40.2
 = 5
402
5:
5:
.
 = 1
8.2
 = 1
16
 = 16. 
Antes de multiplicar verifique se é possível simplificar, pois diminui o cálculo. 
 
C) Divisão 
b
a
 : d
c= b
a
 . 
c
d
 = cb
da
.
.
 
Processo: conserva a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda. 
3
2
 : 7
4
 = 3
2
 . 
4
7
 = 43
72
2:
2:
.
.
 = 2.3
7.1
 = 6
7
 
 
 
 
 
Potência 
 
 
A potência é utilizada na multiplicação de números iguais. Exemplo: 
 
2 . 2 . 2 = 8 → multiplicação de fatores iguais. 
 
Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma: 
 
2 . 2 . 2 = 2³ = 8 
 ↓ 
Fatores iguais. 
 
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, 
podemos montar uma potência. 
 
Representamos uma potência da seguinte forma: 
 
 
 
A base sempre será o valor do fator. 
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. 
A potência é o resultado do produto 
 
Propriedades da potência 
 
Produto de potência de mesma base 
 
Nesse caso, conserva a base e soma os expoentes. 
 
aX.aY =aX+Y 
 
Exemplo: 
 
 
5². 5³ = 52+3 =55 
 
Cuidado 
4² + 4³ ≠ 45 
4² = 4.4 = 16 
4² = 4.4.4 = 64 
16 + 64 = 80 
A regra só pode ser aplicada quando multiplicamos bases iguais. 
 
Quocientes de potências de mesma base 
 
Nesse caso, conserva a base e subtrai os expoentes. 
 
aX : aY =aX-Y 
 
Exemplos: 
 
129 : 123 = 129-3 = 126 
 
85:8-2 = 85-(-2) =85+2=87 
 
 
Potência de Potência 
Nesse caso, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. 






a
mn
 = am.n 
Se ligue! 
Quadrado perfeito é um número que possui raiz quadrada exata. Exemplo: 
525 = 
A raiz quadrada do número 25 é 5 , logo o número 25 é um quadrado perfeito. 
 
 
Expressão numérica. 
As operações de multiplicação ou divisão tem prioridade nas expressões numéricas. 
Exemplo: 
2 + 3.5 
Primeiro devemos realizar a multiplicação 3.5 = 15 . 
2 + 15 = 17. 
 
Exemplo: Caso dos parênteses. 
5 + 3 ( 23 – 4) 
 
Primeiro resolvemos dentro do parêntese. 
 
5 + 3 ( 19) 
 
Agora, temos uma soma e uma multiplicação, ou seja, a multiplicação tem prioridade. 
 
5 + 57 = 62. 
 
MMC 
O M.M.C é o menor múltiplo comum de dois ou mais números naturais , diferentes de zero. 
 
Exemplo: 
Múltiplo de 4 ={ 4,8,12,16,20,24...} 
Múltiplo de 6 = { 6,12,18,24,30...} 
M.M.C é 12( menor múltiplo comum) 
 
Cálculo do M.M.C – Método simplificado. 
Objetivo: procurar números comuns. 
 
1º Calcule o M.M.C dos números abaixo: 
 
A) 2 e 3 
 
 
3
2
1,1
3,1
3,2
 
 
Processo prático. 
 
Pergunta existe algum número que divide 2 e 3 ao mesmo tempo? 
Se a resposta for não, então o M.M. C é o produto desses números. Logo o M.M.C de 2 e 3 é 
6(2.3 =6) 
 
B) 5 e 8 
 
Pergunta existe algum número que divide 5 e 8 ao mesmo tempo? 
NÃO! O M.M.C é 5.8 = 40. 
 
 
C) 4 e 10 
 
 4,10 Pergunta existe algum número que divide 2 e 3 ao mesmo tempo? 
 
 
2
5,2
10,4
 
 
Pergunta: Existe algum número que divide 4 e 10 ao mesmo tempo? 
Sim ! O número 2. Nesse caso continuamos a divisão , pois temos um número comum. 
 
Pergunta: Existe algum número que divide 2 e 5 ao mesmo tempo? NÃO! 
 
Logo o M.M.C é 2.2.5 = 20 
Obs.: 2 e 5 pelo motivo de não ter número comum e o outro número 2 é comum. 
Podemos dizer que o M.M.C será o produto dos termos comuns com os termos que não são 
comuns. 
 
 
D) 100 e 120 
 
Nesse caso podemos cortar o número 0 , pois ambos números terminam em 0. 
 
 10, 12 Pergunta existe algum número que divide 10 e 12 ao mesmo tempo? Sim! O número 2. 
 
2
6,5
12,10
 
 
5, 6 Pergunta existe algum número que divide 5 e 6 ao mesmo tempo? 
NÃO ! Não há número comum. ( não esqueça paramos o processo ate encontrar os números que 
não possuem número divisível comum). 
 
M.M.C = 2.5.6 = 60 , porém o M.M.C é 600( acrescentando no final o algarismo 0) . 
 
E) 6,8 e 10. 
 
No caso de termos três números, devemos seguir a seguinte relação: 
1ª Procurar um número que divida os três. 
2ª Procurar um número comum em dupla. 
 
6, 8 e 10. 
Existe algum número que divide 6 , 8 e 10 ao mesmo tempo? 
SIM! O número 2. 
 
2
5,4,3
10,8,6
 
 
Existe algum número que divide 3 e 4 ao mesmo tempo? NÃO ! 
 
Existe algum número que divide 3 e 5 ao mesmo tempo? NÃO ! 
 
Existe algum número que divide 4 e 5 ao mesmo tempo? NÃO ! 
 
Logo o M.M.C é 3.4.5.2 = 120