Aritmetica Racional - Jose Julio Soares-1942

Prévia do material em texto

• 
JOSÉ JÚLIO M. NOGUEIRA SOARES 
Engenheiro Civil e Antigo Professor Efectivo do Liceu 
ARITMÉTICA 
RACIONAL , 1, 
A.PBOV A.DA. OFICIALMENTE 
PA.BA. O '1.0 A.NO DOS LICEUS 
a.• I!DIOAO 
11 a 
Edições M A R Â N U S 
174, R. dos Mártires da Liberdade, 178 
Telefone 2798- Põrto 
ARITMÉTICA RACIONAL 
MARÂNUS 
Composto e impresso na EMPRÊSA 
IND. GRÁFICA DO PÔRTO, L.0 A 
174, R. Mártires da Liberdade, 178 
.. : : : : : Telefone 2798 : : : : : : : 
JOSÉ JÚLIO M. NOGUEIRA SOARES 
Engenheiro Civil e Antigo Prolas .. :or Eleclivo do Liceu 
J..\RJ T J\JlÉT J CA 
ftt\ CJ O 1'1 t\l 
PARA O 7.0 ANO DOS LICEUS 
2.a EDIÇÃO 
1942 
Edições MARÃNUS 
174, R. dos Mártires da Liberdade, 178 
Telefone 2798 - Pôrto 
PROGRAMA 
Teoria dos números inteiros, conside-
rados como representando colecções de 
objectos idênticos, e das suas operações. 
Divisibilidade. Números primos. Máximo 
divisor comum e menor múltiplo comum. 
Teoria dos números fraccionários e das 
suas operações. 
A Matemática representa um dos mais 
elevados exercícios do espírito e o instru-
mento mais eiicaz para o progresso mental 
e moral do homem. 
H. WIELEITNER. 
PRIMEIRA PARTE 
NÚMEROS INTEIROS E SUAS OPERAÇÕES 
CAPÍTULO I 
Definição de números inteiros. Numeração. 
1. Tôdas as ciências têm por fundamento a obser-
vação e estudo do mundo que nos rodeia. É variável a 
extensão dêste fundamento; se ciências há que quási se 
limitam a verificar a existência dos fenómenos, tão com-
plexos êles se nos afiguram, outras já conseguem formu-
lar leis ou princípios com maior ou menor generalidade. 
Entre tôdas, a que menor número de noções necessita 
do mundo exterior é a matemática. 
2. O edifício da aritmética pode basear-se exclu-
sivamente na noção de número inteiro. Para definir 
número inteiro consideramos intuitivas as noções de: 
Colecção ou grupo de objectos (1). 
Ausência completa de objectos (o que corres-
ponde à não existência da colecção). 
(L) A expressão colecção de objectos traduz já a verificação 
duma propriedade ou circunstância comuns a todos os objectos, quer 
sejam relativas à semelhança, à localização (no espaço ou no tempo), 
ao fim a que se destinam, etc. 
10 ARITMÉTICA RACIONAL 
Objecto isolado. 
Correspondência entre objectos de colecções 
diferentes. 
À inexistência da colecção, ou ausência de objectos, 
dizemos que corresponde o número zero; ao objecto 
isolado fazemos corresponder o número um. 
Se a um objecto juntarmos outro, diremos que 
resulta uma colecçào de dois objectos, teremos o número 
dois; se à colecção de dois objectos juntarmos ainda 
outro, teremos uma colecção de três objectos, resultará 
o número três. 
Pela adição sucessiva dum objecto criaremos os 
números quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, etc.; forma-
remos assim a chamada série natural dos números, 
sucessão ilimitada pois que a operação se pode repetir 
indefinidamente (1). 
3. Fazemos assim corresponder a uma colecção de 
objectos um número. Como vimos, partindo dum objecto 
isolado e adicionando-lhe sucessivamente um objecto, 
podemos obter uma determinada colecção a que corres-
ponde também um determinado número ; inversamente, 
dada uma colecção, podemos destacar um objecto e 
juntar-lhe sucessivamente todos os outros; diz-se que 
contamos os objectos. O resultado da contagem dos 
(1) Se considerarmos o número inteiro afastado da sua signifi-
cação concreta, tomando-o assim apto para representar não só uma 
determinada colecção, mas outras, teremos o número abstracto, ele-
mento da sucessão natural, enfim o número natural. 
PRIMEIRA PARTE 11 
objectos duma colecção é pois o número que lhe corres-
ponde. 
4. Para contar teremos de seguir uma certa ordem; 
a noção de ordem, fundamental em matemática, está 
pois intimamente associada à definição de número 
inteiro (1). 
5. A igualdade e desigualdade de números inteiros 
fundamenta-se na noção de correspondência de objectos. 
Se duas colecções são tais que a cada objecto duma cor-
responde um objecto da outra e reciprocamente, diremos 
que os números que lhe atribuímos são iguais; as colec-
ções têm o mesmo número de objectos. Caso contrário, 
são desiguais; se na primeira colecção há objectos que 
não têm correspondentes na segunda, diremos que aquela 
tem mais objectos que esta; o número correspondente à 
primeira é maior que o correspondente à segunda, ou 
êste é menor que aquele. 
Exprime-se que dois números, representados pelas 
(l) Na série natural: um, dois, três, quatro, cinco, seis ..• o 
número quatro (cardinal) é o quarto (ordinal), figura em quarto lugar; 
o número cinco é o quinto, etc. 
Os números naturais podem assim ser considerados no sentido 
colectivo (cardinal), e no sentido ordinal- tendo em vista o lugar que 
ocupam na série natural- (sentido local). Esta libertação da pluralidade 
representa mais uma abstracção, por assim dizer uma primeira extensão 
da ideia de número. Para determinar o número correspondente a um 
grupo, bastará então comparar êste com a sucessão natural, isto é, 
contá-lo; pode interessar-nos muitas vezes o número cardin.al, mas êste 
exprime-se segundo o modo ordinal. 
12 ARITMÉTICA RACIONAL 
{etras a e b (ou mais simplesmente os números a e b) 
são iguais, pela relação (igualdade} 
a= b (1) 
Se os números são desiguais- a maior que b, ou ó 
menor que a- escreveremos as desigualdades 
a > b ou b < a (2) 
Numeração 
6. Consiste a numeração no estabelecimento de 
símbolos e convenções que facilitem à inteligência a con-
preensão e percepção dos números, permitindo a sua 
fácil leitura e escrita (3). 
Exporemos por agora o sistema de numeração cha-
mado decimal. 
A numeração diz-se escrita ou falada conforme as 
regras que a estabelecem se destinam a escrever ou pro-
nunciar um número dado. 
(I) O sinal =, exprimindo igualdade, foi proposto pelo inglês 
Robert Recorde em 1557 na sua Álgebra The Whetstone oj Wite. 
Anteriormente empregavam-se para êste fim palavras como aequales, 
nequantur, jaciunt e também a forma abreviada aeq. 
(2) Os sinais de desigualdade (> e <) aparecem pela primeira 
vez no livro Artis Analyticae Praxis do inglês Thomas Harriot, publi-
cado em 1631. 
(3) É evidente a necessidade da numeração, dada a impossibili-
dade de se fixarem muitas palavras e símbolos para designar os dife-
rentes números. 
PRIMEIRA PARTE 13 
Conhecemos já a significação dos números zero, um, 
dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove. Se juntar-
mos um, unidade de ordem zero, ou simplesmente a 
unidade a nove, obtemos um número a que chamaremos 
dez, uma dezena, ou uma unidade de primeira ordem; â 
um grupo de dez dezenas chamaremos cem, uma centena 
ou uma unidade de segunda ordem; um grupo de dez 
centenas será um milhar ou uma unidade de terceira 
ordem, e assim sucessivamente. 
Os números correspondentes a uma determinada 
colecção poderão pois exprimir-se simplesmente por 
números inferiores a dez (números dígitos), representando 
unidades de diferentes ordens. Ex.: 
Quatro milhares, trez centenas, duas dezenas e sete 
unidades. 
7. Resta estabelecer as normas da numeração escrita. 
Em primeiro lugar representaremos os números 
zero, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove,, 
respectivamente pelos símbolos (algarismos) (1): 
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
(1) O nome de algarismo deriva de AI karismi ou também 
Alhwarazmi, diferentes nomes por que foi conhecido Mohamed Ben 
Musa, matemático árabe, astrónomo e geógrafo do califa de Bagdad, 
AI mansur (813 a 833); foi autor da famosa obra Algebr W'al muqabalah 
(o que significa aproximadamente ampliações e igualdades) de cujo 
título nasceu o nome de Álgebra. 
De AI lmrismi deriva também algoritmo, actualmente significando 
processo geral de cálculo ou raciocínio, actividade operatória. 
14 ARITMÉTICA RACIONAL 
Para escrever um número maior que nove, coloca-
. remos os algarismos representativos das unidades de 
.diferentes ordens a seguir uns aos outros, sendo a sua 
posição regulada pela seguinteconvenção: 
Um algarismo representará unidades de ordem ime~ 
diatamente superior às representadas pelo que se lhe segue 
imediatamente à direita. Ex. : 
O número 845 representará: oito centenas, quatro 
dezenas e cinco unidades. 
O número 304 representará: três centenas e quatro 
unidades. 
Os algarismos 1 a 9 denominam-se significativos. 
Zero não é significativo; utiliza-se, no caso de ausência 
de algumas unidades, para marcar a posição relativa dos 
outros algarismos de modo a manter-se a convenção 
acima referida. 
8. Chama-se decimal êste sistema de numeração (1), 
ou de base dez, porque as unidades de diferentes ordens 
representam dez unidades de ordem imediatamente infe-
rior; (uma dezena tem dez unidades, uma centena tem 
dez dezenas, etc.), utilizando portanto dez algarismos 
(O a 9). 
(1) O sistema actual de numeração decimal tornou-se conhecido 
na Europa no século XII por intermédio dos Árabes. Estes trouxeram-no 
da Índia, não se podendo porém precisar a data em que neste país 
começou a ser usado ; contudo já o era em 662, pois a êle se refere, 
nesta data, o sábio árabe Severo Sabokht. 
O valor relativo dos algarismos conforme a sua posição, valor de 
posição, constituía já uma noção aplicada pelos babilónicos e pelos 
mayas da América Central; porém, a sua aplicação ao sistema decimal, 
com o emprêgo de nove algarismos e zero, veio da Índia. 
PRIMEIRA PARTE 15 
9. A Aritmética (1) é a ctencia dos nlimeros, das 
suas operações e das suas propriedades. 
EXERCÍCIOS 
1 - (Qual é o número total de algarismos necessários para nume-
rar as primeiras 100 páginas dum livro? 
R. Números com 1 algarismo 9, donde 9 algarismos; 
2 algarismos 90, 180 
, 3 1, 3 
Total . 192 
2- Entre os algarismos considerados no exercício anterior, diga 
(quantos são iguais a 1 ? 
R. Algarismos iguais a 1 representando unidades 10 
dezenas 10 
centenas 
Total 21 
Diga ainda, (quantos são os algarismos iguais a O, e os iguais a 2? 
3- (Qual é o número total de algarismos necessários para numerar 
as primeiras 500 páginas dum livro? 
R. 1932. 
4- <'.Quantos números há de 3 algarismos? 
R. 900. 
5- <'.Quantos números há de 7 algarismos? 
R. 9.ooo.ooo. 
(1) De arithmos, em grego -número. 
CAPÍTULO II 
Adição 
10. Dadas duas ou mais colecções de objectos, se 
as reünirmos numa só, diremos que o número que cor-
responde a esta última é a soma dos números que corres-
pondem às primeiras; a soma tem pois tantas unidades 
quantas as dos números que se somam ou adicionam. 
Chama-se adição a operação pela qual se obtém a soma 
de dois ou mais números; estes são os termos da opera-
ção, a soma é o seu resultado. Os termos da adição cha-
mam-se parcelas. 
A noção da adição está estreitamente ligada à noção 
de número inteiro: como se viu, partindo do número 
um e adicionando sucessivamente uma unidade, podem 
formar-se todos os números inteiros. 
11. Propriedades da adição. 
a) A adição é uma operação uniforme, isto é, conduz 
a um único resultado bem determinado. 
Decorre imediatamente da definição. 
b) A adição é uma operação comutativa (1), o que 
(L) Designação introduzida por F. Servois (181.5). 
PRIMEIRA PARTE 17 
quere dizer que o valor da soma não depende da ordem 
das parcelas. Também da definição se deduz imediata-
mente que se obtém sempre a mesma colecção, e por-:-
tanto o mesmo número, qualquer que seja a ordem 
seguida na junção das colecções que correspondem às* 
parcelas. 
Adicionando 3 a 4 obtém-se o mesmo resultado que 
adicionando 4 a 3; adicionando 8 a 7 e o resultado a 5, 
obtém-se o mesmo númeró que adicionando 5 a 8 e o 
resultado a 7. 
3+4=4+3; 
(8 + 7) + 5 = (5 + 8) + 7 (I) 
ou simplesmente 
c) A adição é uma operação associativa (2), isto é, 
numa soma de muitas parcelas podemos substituir duas 
ou mais parcelas pela sua soma. Justifica-se esta proprie-
dade pela definição e propriedade comutativa. 
a+ b + c+ d +e= a + (b + c + d} +e, 
(1) Os parêntesis indicam que se consideram efectuadas as opera-
ções no seu interior; empregam-se curvos ( ), rectos [ ] e chavetas { } 
conforme é necessário. Os parêntesis rectos aparecem pela primeira vez 
na edição manuscrita da Álgebra de R. Bom bel li (1550); os curvos foram 
empregados por N. Tartaglia (General tratatto di numero e misure-1556), 
Clavius (1608), Girard (1629), etc. 
(2) Designação introduzida por W. R. Hamilton (1846). 
2 
18 ARITMÉTICA RACIONAL 
pois que 
a+b+c+d+e=b+c+d+e+a= 
= (b + c+ d) + e+ a= a+ (b + c+ d} + e 
d} O módulo da adição é zero. Chama-se módulo 
de uma operação um número, que, considerado como 
têrmo da operação, não tem influência no seu resultado. 
12. Regra da adição. Consideremos os números 
484 e 753, que desejamos adicionar. Pelas propriedades 
comutativa e associativa poderemos adicionar primeira-
mente os algarismos que representam unidades da mesma 
ordem, e em seguida juntar os resultados. Na prática, 
colocam-se os números uns debaixo dos outros de modo 
que as unidades da mesma ordem fiquem na mesma 
coluna, e procede-se como ficou dito; para simplificar, 
quando a soma dos algarismos de certa ordem perfaz 
uma unidade de ordem superior ou um número maior, 
junta-se aquela unidade aos algarismos da mesma ordem 
484 
753 
1237 
13. Prova da adição. Chama-se prova de uma ope-
ração uma outra operação,- que não convirá ser menos 
simples que a primeira,- e pela qual se pretende verificar 
PRIMEIRA PARTE 19 
------------------- ---------------~ 
a exactidão do seu resultado. Compreende-se que nunca 
poderá haver uma certeza absoluta em face dos resulta-
dos concordantes da prova, pois esta se pode errar tam-
bém j é contudo provável que assim não suceda. As pro-
priedades comutativa e associativa podem utilizar-se para 
prova da adição. 
CAPITULO III 
Subtracção 
14. Chama-se diferença entre dois números a e b 
um número a- b = r (1) (também denominado resto, 
excesso ou complemento) tal que 
(a-b) + b= a 
A operação que tem por fim determinar a diferença 
a- b tem o nome de subtracção; a é o diminuendo ou 
aditivo; b é o diminuidor ou subtractivo. 
Da definição resulta imediatamente que a subtracção 
resolve o seguinte problema: dada a soma de duas par-
celas e uma delas, determinar a outra: diz-se que a 
subtracção é a operação inversa da adição. 
15. Já vimos que por definição é 
a-b +b=a; 
(l) A mais antiga obra impressa onde se vêm os sinais + ou -
(Behennde Vnnd hühsche Rechnug auf allen Kanffmanschafften) de 
Johann Widmann, data de 1489. 
PRIMEIRA PARTE 21 
pois que 
(11 d) 
será 
o=b-b (14) 
donde, adicionando a a ambos os membros: 
ou 
16. Propriedades da subtracção. 
a) É uma operação uniforme: deduz-se imediata-
mente da definição, em vista da uniformidade da adição. 
b) Para subtrair uma soma de um número, podem 
subtrair-se sucessivamente do número tôdas as parcelas 
da soma. 
Terá de demonstrar-se a igualdade 
(o:) a- (b +c)= a- b- c 
Realmente, acrescentando a qualquer dos seus mem-
bros b + c ou c + b, virá 
a- (b +c) + (b +c)= a 
a-b-c+c+b=a-b+b=a 
Lendo a igualdade (x) da direita para a esquerda, 
dir-se-á: 
Para subtrair de um número sucessivamente muitos 
números, pode subtrair-se a sua soma. 
22 ARITMÉTICA RACIONAL 
c) O resto não se altera quando se adiciona ou 
subtrai ao diminuendo e ao diminuidor o mesmo número. 
Como 
a+ e--c= a 
será subtraindo b a ambos os membros e atendendo à 
alínea b) 
a- b =a+ c-c- b = (a+ c)- (b + c) 
d} Para subtrair uma diferença, pode juntar-se o 
diminuidor e subtrair o diminuendo, ou, se fôr possfvel, 
subtrair o diminuendo e juntar o diminuidor. 
Com efeito, pela alínea anterior, temos 
a-{b-c) =a+ c- (b -c+ c)......:. a+ c-b; 
se partirmos da igualdade 
e juntarmos c a ambos os membros 
vem, subtraindo b 
a-b+c+b-b=a+c-b 
ou 
PRIMEIRA PARTE 23 
------------------
e) Para adicionar uma diferença, pode adicionar-se 
o diminuendo e subtrair o diminuidor, ou, sendo possfvel, 
subtrair o diminuidor e adicionar o diminuendo: 
Com efeito, de 
(b-- c)+ c=bvem, juntando a a ambos os membros 
a+ (b-c} + c=a+b 
e subtraindo c 
a+ (b-c}= a +b-c 
Partindo agora da igualdade 
a-c+ c= a 
e, "juntando b a ambos os membros 
vem, subtraindo c 
a-c+b=a+b-c 
f) Para subtrair uma soma de outra soma pode 
subtrair-se, sendo possivel, cada parcela duma de cada 
parcela da outra, e somar as diferenças parciais. 
24 ARITMÉTICA RACIONAL 
Com efeito pelas alíneas b) e c) 
(a+ b)- (c+ d) =a+ b- c- d =a- c+ b- d = 
=(a-cJ+(b-d). 
17. Regra da subtracção. Considere-se a diferença 
de dois números quaisquer. Ex.: 847-395. 
Podemos escrever: 
847-395 = 800 + 40 + 7 -(300 + 90 + .5)= 
= 700 + 140 + 7- (300 + 90--+- 5) = 
= (700- 300) + (140- 90) + (7- 5) 
18. Prova da sublracção. Resulta imediatamente da 
definição: 
(a-b)+b=a; 
adicionando o resto ao diminuidor, deve obter-se o 
diminuendo. 
19. Complemento aritmético. Chama -se comple-
mento aritmético de um número a diferença entre êste 
número e a unidade decimal imediatamente superior. 
O complemento aritmético de 4830 será 
10.000-4830 = 5170 
Práticamente calcula-se o complemento aritmético, 
subtraindo o primeiro algarismo significativo da direita 
de dez e todos os outros de nove. 
Para efectuar a diferença a- b, pode juntar-se a a 
o complemento aritmético de b, e subtrair em seguida 
PRIMEIRA PARTE 25 
ao total a unidade decimal utilizada para a determinação 
do complemento. Representando por 1011 a unidade deci-
mal imediatamente superior a b 
a- b =a- 1011 + 1011 - b =a- 10!1 + (10 11 - b) = 
=[a+ (10 11 - b)] -1011 
Ex.: 
84- 7 + 197 - 30 = (84 + 3 + 197 + 70)-
- 10 - 100 = 354 - 1 10 = 344 
EXERCÍCIOS 
6- Achar dois números inteiros consecutivos cuja soma é 8437 
R. 4218, 4219. 
8437 - 1 = 8436 
1 
-X 8436 = 42!8 
2 
7- Achar dois números consecutivos cuja soma é igual a 872. 
S-Achar 3 números tais que a soma ·dos 2 primeiros é igual 
a 32, a soma dos 2 últimos é 54 e a soma do 1.0 e do 3.0 é 46. 
R. a + b = 32 b + c= 54 a + c= 46 
a+ b+ c- (a+ b)=c=66 -32 =34 
a+b+c-(b+c)=a=66-54= 12 
a+ b +c-(a+ c)= b = 66-46=20 
26 ARITMÉTICA RACIONAL 
9-Achar 3 números tais que a soma dos dois primeiros é igual 
a 55, a diferença dos mesmos é 25 e a diferença dos dois últimos é 5. 
R. 40, 15, 10. 
1 O-- Calcular a expressão : 
8-!3.5 - 23 + 8.f9 - 1528 + 30- 250 
usando os complementos aritméticos. 
ll- Dados dois números a e b (a> b), i_ o que será necessário 
fazer para os tornar iguais, sem alterar a sua soma? 
R. Bastará juntar a b e subtrair a a a sua semi-diferença: 
a-b a-b 
b+----+a-- ---=a+b 
2 2 
12- Aplicar a propriedade do exercício anterior aos números. 
74 e 14, 428 e 36. 
13-Demonstrar que a soma de dois números, aumentada da sua 
diferença é o dôbro do maior. 
R. a+b+(a-b)=a+b-b+a=2xa. 
14- Demonstrar que a soma de dois números diminuída da sua 
diferença é o dôbro do menor. 
15- Dadas duas diferenças, iguais respectivamente a 16 e 13, 
achar todos os seus termos, sabendo que a soma dos diminuidores é 11, 
e que os diminuendos são iguais. 
R. a=a'=20 
{/ -b =16 
a'-b'=13 
b=4 b1=7. 
CAPÍTULO IV 
Multiplicação 
20. Considere-se uma soma de b parcelas iguais a a 
ata+a+a+a+a+ ........ =P 
A adição toma neste caso particular o nome de mul-
tiplicação. 
Chama-se a P o produto, a a e b os factores; a é o 
multiplicando e b o multiplicador. 
O produto é uma soma de tantas parcelas iguais ao 
multiplicando quantas são as unidades do multiplicador; 
fo_rma-se do multiplicando como o multiplicador da 
unidade. 
P=aXb=a+a+a+ a+ a .... . 
b= 1+1+1+1+1 .... . 
21. Produto de muitos factores. Produto de muitos 
factores é o resultado que se obtém multiplicando os 
(1) O sinal X foi utilizado em primeiro lugar por William Ough-
tred no seu livro Clavis Matlzematicae em 1631. 
28 ARITMÉTICA RACIONAL 
dois primeiros factores, a seguir multiplicando o resul-
tado pelo terceiro, êste pelo quarto e assim sucessi-
vamente. 
aXbXcXdXeX .... = [(aXb) X c)Xd]XeX .... 
22. Propriedades de multiplicação. 
a) É uma operação uniforme: do mesmo modo 
que a adição. 
b) É uma operação distributiva em relação à adição 
e subtracção. 
~+~X3=~+~+~+~+~+~= 
=(a+a+ a)+(b+b+bJ =aX3+ bX3 
~-~X3=~-~+~-~+~-~= 
=(a+a+.aJ+(b+b +- b)= aX3-bX3 
"Para multiplicar uma soma (ou uma diferença) por 
um mímero pode multiplicar-se cada uma das pareelas da 
soma (ou cada têrmo da diferença) pelo número, e depois 
somar (ou subtrair) os resultados". 
"Inversamente, tendo uma soma ou diferença de 
produtos em que há am factor comum, pode pôr-se êsse 
·factor em evidência, multiplicando-o pela soma ou dife-
rença dos restantes,. 
c) É uma operação comutativa; o valor do produto 
não depende da ordem dos factores. 
1) Produto de dois factores. 
aXb=(l + 1 + 1 + 1 + ... )Xb= 
=b +b+b +b+ ... =bXa 
PRIMEIRA PARTE 29 
2) Produto de muitos factores. 
Num produto de 3 factores pode alterar-se a ordem 
dos dois últimos: 
4X5X3=~+4+4+4+~X3= 
=4X3+4X3+4X3+4X3+4X3= 
= (4 X 3) X 5 = 4 X 3 X 5 
Num produto de muitos factores pode alterar-se a 
ordem dos dois últimos, pois que pela definição aquele 
se pode reduzir sempre a um produto de 3 factores~ 
aXbXcx ... XnXpXq= 
= (a X b X c X ... X m) X p X q = P X p X q 
Da definição deduz-se imediatamente ser possível 
mudar a ordem dos dois primeiros factores ; final-
mente de 
aXbXcXdX ... Xq=(aXbXcXd)>< ... Xq= 
-(aXbXdXc)X ... Xq= aXbXdXc ... Xq 
se reconhece a possibilidade de alterar a posição de dois 
quaisquer intermédios. 
Conclui-se pois que, por mudanças sucessivas, se 
pode alterar a ordem dos factores de qualquer maneira. 
NoTA- Segundo a definição de multiplificação, aos 
produtos 
aXl e axo 
não é possível atribuir qualquer significado:- o multi-
plicador deverá ter pelo menos duas unidades. 
30 ARITMÉTICA RACIONAL 
Convenciona-se, porém, que 
aXO=OXa=O+O j.-0+ ..... =0 
a X 1 = 1 X a= 1 + 1 + 1 + ..... = a, 
o que implica a vantagem de se manter a propriedade 
comutativa nos casos referidos. 
d} É uma operação associativa. Num produto de 
muitos factores pode substituir-se um número qualquer 
deles pelo seu produto efectuado. 
Pela propriedade comutativa podem considerar-se 
como os primeiros quaisquer factores do produto; nesta 
conformidade deduz-se a propriedade associativa imedia-
tamente da definição de produto: 
aXbXcXdXe=bXcXdXaXe= 
= (b>(c)< d} X aXe=aX(bXcXd}Xe 
e) O módulo da multiplicação é a unidade: 
aXbX1=aXb 
23. Definição. Chama-se múltiplo dum número o 
seu produto por qualquer número inteiro. Deduz-se 
desta definição que 
1) Um produto é múltiplo de qualquer dos seus 
factores. 
2) Um número é múltiplo de si mesmo: a X 1 =a. 
3) Zero é múltiplo de qualquer número: a X O= O. 
24. justificação da regra da multiplicação. 
PRIMEIRA PARTE 31 
/.
0 caso. O multiplicando e o multiplicador são 
algarismos. 
A operação faz-se mentalmente. 
2.0 caso. O multiplicando tem mais de um alga-
rismo, e o multiplicador tem somente um. 
Aplica-se a propriedade distributiva. Exemplo: 
7538 X 5 = (7000 + 400 + 30 + 8) X 5 = 
= 7000 X 5 + 400 X 5 + 30 X 5 + 8 X 5 
Pràticamente associa-se a multiplicação à adição. 
3.0 caso. O multiplicando e o multiplicador têm 
ambos mais de um algarismo. 
Aplica-se igualmente a propriedade distributiva, 
ficando-se reduzido ao 2.0 caso. 
8438 X 524 = 8437 X (500 + 20 + 4) = 
= 8437X 500 + 8437X20 + 8437X4 
As parcelas desta soma são os produtos parciais. 
CAPÍTULO V 
Divisão 
25. A divisão procura resolver o seguinte problema: 
Dados dois números a e b (a:::; b) determinar um 
número q, que, multiplicado por b, conduza a um resul-
tado igual a a. 
Nem sempre se encontra um número q que satisfaça 
à questão. No caso de possibilidade dizemos que a divi-
são é exacta ou simples e escreveremos : 
a: b= q; (1) 
a é o dividendo, b o divisor e q o quociente. 
26. Da definição resulta imediatamente: 
a=bXq, 
isto é, a divisão exacta tem por objectivo: dados um pro-
duto de dois factores e um deles, determinar o outro. 
(1) O sinal : como símbolode divisão, foi usado pela primeira 
vez por Leibnitz em Acta Eruditorum, 1684. É utilizado também o 
sinal -;. que foi introduzido por Johann Heinrich Rahn na sua Teutsche 
Algebra (1659). 
PRIMEIRA PARTE :n 
O dividendo, que será assim múltiplo do divisor e do 
quociente, diz-se também divisível por qualquer deles. 
Resulta ainda da definição que a divisão exacta é a 
operação inversa da multiplicação e portanto uniforme. 
27. No caso de impossibilidade da resolução do 
problema atrás referido diz-se que a divisão de a por b 
não é exacta. O seu fim é então determinar dois núme-
ros q e r (quociente e resto) tais que: 
a= b >~ q +r sendo r< b. 
A divisão não é já simples; tem dois resultados, 
embora perfeitamente determinados. Procura-se agora o 
maior número que, multiplicado pelo divisor, conduz a um 
resultado inferior ao dividendo. 
28. Casos particulares da divisão. 
1) a : 1 =a 
2) O: a=O 
3) a : O sendo 
aXI=a 
O X a= O 
a+O. 
Não tem êste último quociente qualquer significado, 
para números finitos, pois não é possível obter um número, 
que, multiplicado por zero, conduza a um produto dife-
rente de zero; representa um símbolo de impossibilidade. 
4) O:O=a ou b, ou c ... aXO=O, bXO=O ... 
Representa qualquer número; constitui um símbolo 
de indeterminação. 
3 
34 ARITM.ÉTICA RACIONAL 
29. Propriedades da divisão: 
1) Para dividir uma soma (ou lll!W diferença) por 
um número pode dividir-se pelo mímero cada uma das 
parcelas da soma (ou cada têmlo da diferença) e a seguir 
somar (ou subtrair) os resultados. (Propriedade dis-
trióativa). 
De facto deduz-se imediatamente: 
(a+ b):c= a:c+ b:c, 
atendende> a que: 
(a: c+ b:c)Xc= a: c X c+ b:cxc= a+ b 
2) Multiplicando (ou dividindo) o dividendo e o divi-
sor por um número, o quociente não se altera e o resto 
vem multiplicado (ou dividido) por êsse número. 
Da definição resulta: 
e multiplicando ambos os membros da igualdade por c 
aXc=0Xq+~Xc=bXqXc+rXc= 
=(bXc)Xq+r X c. 
3) Um produto é divisível por qualquer dos seus 
factores. 
aXbXcXd=(aXb c)Xd. 
PRIMEIRA PARTE 35 
4) Se um factor de um produto é divisível por um 
número, o produto é divisível por êsse número. 
Seja 
P=aXbXc e C=dXq; 
virá 
P= a X b X dX q= (a X bX d)X,q. 
5) Não se altera o resto da divisão quando se adi-
ciona (ou subtrat) ao dividendo um múltiplo do divisor. 
Com efeito, adicionando a ambos os membros da 
igualdade 
o múltiplo do divisor b :::<c, vem: 
6) Para dividir um número por um produto de 
muitos factores, pode efectuar-se a divisão sucessivamente 
por cada um dos factores. 
De 
deduz-se 
N: (aXbXc)= q 
N =a X b X c X q e sucessivamente 
N: a=bXcXq 
N: a: b=cXq 
N: a : b : c=q 
NoTA- A divisão não é uma operação comutativa, 
Não é também associativa: 
N: a: b é igual a N:(aXb) 
e portanto diferente de N: (a: b). 
ARITMÉTICA RACIONAL 
30. justificação da regra da divisão. 
O quociente poderá obter-se de dois modos: 
1) Subtraindo sucessivamente o divisor do divi-
dendo até se encontrar um resto menor que o divisor; 
êste resto será também o resto da divisão e o número 
de subtracções possíveis representará o quociente. 
2) Multiplicando o divisor pelos números inteiros 
(2, 3, 4 ... ) até se obter um produto maior que o divi-
dendo. O penúltimo multiplicador será o quociente; o 
resto obtém-se subtraindo do dividendo o produto do 
divisor pelo quociente. 
Na prática aplica-se com facilidade o segundo modo 
quando o quociente tem um só algarismo ; se o quociente 
tem mais de um algarismo, qualquer dos processos indi-
cados seria trabalhoso se fôsse aplicado isoladamente. 
Adopta-se então uma combinação dos dois, cuja justifi-
,cação decorre imediatamente do exemplo que segue: 
5782:21 
5782 = 57 X 100 + 82 = (2 X 21 + 15) X 100 + 82 = 
= 2 X 21 X 100 + 15 X 100 + 82 = 200 X 21 + 1582 
5782: 21 = (200 X 21 + 1582): 21 = 
= 200 X 21 : 21 + 1582: 21 = 200 + 1582: 21. 
O quociente tem um certo número de centenas, 
sendo 2 o seu primeiro algarismo. Para se obter os 
outros algarismos do quociente vai efectuar-se a divisão: 
1582: 21, 
sendo 
1582 = 5782-200 X 21 1.0 dividendo parcial. 
PRIMEIRA PARTE 
----
Do mesmo modo como anteriormente, temos : 
1582 = 158 X 10 + 2 = (7 X 21 + 11) X 1 O + 2 = 
= 7 X 21 X 10 + 11 X 10 + 2 = 70X 21 + 112 
1582:21 = (70X21 + 112):21 = 70+ 112:21 
37 
Será 7 o algarismo das dezenas do quociente; o 
algarismo das unidades obtém-se efectuando a divisão 
sendo 
112= 1582-70X21 2. 0 dividendo parcial; 
teremos 
112=5X21+7 
e finalmente 
5782 = 200 X 21 + 70 X 21 + 5 X 21 + 7 = 
= (200 + 70 + 5)X21 + 7 = 275><21 + 7. 
31. Prova da divisão. Utiliza-se só a multiplicação, 
ou a multiplicação combinada com a adição, conforme a 
divisão é exacta ou não, o que decorre imediatamente da 
definição. 
Inversamente a divisão pode ser utilizada na prova 
da multiplicação. Para a prova da multiplicação são 
também utilizadas as propriedades comutativa e asso-
ciativa. 
38 ARITMÉTICA RACIONAL 
EXERCfCIOS 
16- Achar um número, que, adicionado ao seu produto por 8, dá 
nm resultado igual a 54. 
R. a+ax8=54 
ax9=54 
ax(l + 8) =54 
a=54:9=6 
17- Calcular dois números cuja soma é igual a 375, e o quociente 
da sua divisão 14. 
R. a=350 b=25. 
18- Calcular dois números cuja diferença é 508, sendo o maior 
igna! a 5 vezes o menor. 
R. a=635 b=127. 
19- Mllltiplicar 21 por 5, 25 e 125, efectuando divisões respecti-
vamente por 2, 4 e 8. 
R. 2Ix5=2lxl0:2=210:2=105 
21 X 25 = 21 X 100: -l = 2100: 4 = 525 
21 X 125 = 21 X 1000: 8 = 21000: 8 = 2625 
20 -- Dividjr 9250 por 5, 25 e 125, efectuando multiplicações res-
pectivamente por 2, 4 e 8. 
21 - Calcular o produto 834 X 599, fazendo uma multiplicação de 
!lm só algarismo. 
834 X 599 = 834 X (600- 1) = 834 X 600- 834 
22 - Como no exercício anterior, calcular o produto 5432 X 9999. 
23 - t Qual é o maior número que pode juntar-se ao dividendo 
sem que se altere o quociente? 
R. d-r-·- 1. 
24 --Em qualquer divisão o resto é sempre menor que metade do 
dividendo. 
R. D=dxq+r 
PRIMEIRA PARTE 39 
No caso mais desfavorável de ser q = 1 
virá 
Como d é sempre maior que r, resulta 
[) > 2 r 
Oll 
25- (Quais são os números, que, divididos por 25, dão um quo-
ciente igual no resto? 
R. São os números iguais a 26 X 11, sendo n qualquer nümero 
menor que 2.5. 
Generalizar para qualquer divisor. 
CAPÍTULO VI 
Potenciação 
32. Chama-se potência a um produto de factores 
iguais. A operação pela qual se determina o valor duma 
potência- potenciação- constitui pois um caso particu-
lar da multiplicação. 
O factor que se repete toma o nome de base da 
potência, e o número de factores iguais chama-se expoente 
ou grau. Para indicar o produto de n factores iguais a a 
(a potência n de a, ou ainda a elevado à potência n), 
usa-se a notação : 
an (1) 
a11 = axaxa . .. (n vezes) 
A segunda potência tem a denominação particular 
de quadrado; à terceira potência chama -se também 
cubo. 
(1) Esta notação para designar potências, é devida a Descartes 
que a empregou no seu livro La Géométrie, 1637. 
PRIMEIRA PARTE 41 
Cálculo das potências 
Teorema 
33. O produto de potências da mesma base é U!ll(l 
potência da mesma base cujo expoente é a soma dos 
expoel?tes. 
p vezes q vezes 
aPXaq =(aXaXaX ..... )X(aXaxax ..... ) = 
(p + q vezes) 
=aXaXaX .... =aP+Q 
Teorema 
34. A potência de outra potência tem a mesma base, 
e o expoente igual ao produto dos expoentes. 
q vezes q vezes 
( aP )q = aP X aP X aP X .... = aP + P + P + ... = aP x q 
Teorema 
35. O produto de potências do mesmo expoente é 
uma potência do mesmo expoente, cuja base é o produto 
das bases, ou inversamente, 
a potência de um produto é igual ao produto das 
potências dos factores. 
p vezes p vezes 
aP X bP =(a X a X a X ... ) X (b X b X b X ... ) = 
p vezes 
=(a X b) (a X b) X (a X b) X .... =(a X b) P 
42 ARITMÉTICA RACIONAL 
Teorema 
36. O quociente de potências da mesma base é uma 
potência da mesma base cujo expoente é a diferença dosexpoentes. 
Pois que 
a P - q X aq = aP - cí + q = aP 
deduz-se 
Teorema 
37. O quociente de potências do mesmo expoente é 
uma potência do mesmo expoente cuja base é o quociente 
das bases, ou inversamente, 
a potência de um quociente é igual ao quociente 
das potências dos seus termos (dividendo e divisor). 
Pois que 
deduz-se: 
38. Casos particulares. A definição de potência 
exige que o expoente tenha o mínimo de 2 unidades; 
dêste modo não têm significação : 
e 
PRIMEIRA PARTE 43 
Por definição atribuímos-lhes os valores : 
o que se justifica, pois : 
aPXa=aP+I=aPXal 
aP:aP=l=aP-P=ao. 
Considera-se portanto um número como a primeira 
potência de si mesmo, e a potência zero de qualquer 
número sempre igual à unidade. 
CAPÍTULO VII 
Radiciação 
39. A radiciação ou extracção de raízes é a ope-
ração inversa da potenciação. Pretende resolver o 
seguinte problema: 
Dados um número A e um iuímero n, determinar 
outro número, a, que, elevado à potência n, reproduza o 
número A. 
a11 =A 
Chama-se a a raiz de indice n de A, designando-a 
pela notação 
ll 
a={A 
O sinal V- (1) denomina-se radical; A é o radicando. 
40. O problema acima exposto não é sempre 
possível. 
(1) O sinal 1;- foi introduzido no cálculo no século XVI; repre-
senta provàvelmente a transformação de r, a primeira letra de raiz 
(lat. radix). 
PRIMEIRA PARTE 4.5 
No caso afirmativo diremos que: 
ll 
a={A 
é uma raiz exacta, ou que o número A admite uma rai;;:' 
exacta. 
Em geral, porém, um dado número A nào tem raiz 
exacta. Neste caso o objectivo de radiciaçào será : 
"Determinar o maior número a, que, elevado à potên-
cia n, conduza a um resultado inferior a A". 
Chamar-se-á agora a a a raiz inteira de índice n, ou 
a raiz de índice n com a aproximação de uma unidade. 
Será 
e (a+ 1) 11 >A 
A diferença A- a 11 =r chama-se o resto da operaçao. 
De definição decorre imediatamente que 
ll ll 
JT= 1 {0=0 
Raiz quadrada. Regra para a extracção 
da raiz quadrada inteira 
41. A raiz de índice 2 tem o nome particular de 
raiz quadrada. É o caso que iremos estudar em especial, 
justificando a regra prática da operação, conhecida da 
Aritmética elementar. 
Os números com raiz quadrada exacta chamam-se 
quadrados perfeitos; estes números são, até 100; 
o 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100; 
46 ARITMÉTICA RACIONAL 
as suas raízes são respectivamente 
o 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10. 
42. A raiz quadrada inteira de um número A, ou 
a raiz quadrada do maior quadrado contido A, será 
definida pela dupla desigualdade 
43. Se um número dado é inferior a 100, o cálculo da 
sua raiz quadrada inteira é por assim dizer imediato, tão 
fácil é a fixação dos quadrados perfeitos atrás indicados. 
Para o caso de um número superior a 100, o esta-
belecimento da regra para a determinação da sua raiz 
quadrada necessita do estabelecimento de algumas pro-
posições. 
Atenda-se em primeiro lugar a que, pela aplicação 
da propriedade distributiva da multiplicação, se deduz: 
(a+ b)2 = (a+ b)X (a+ b)= a2 + 2X aXb + b2• 
Teorema 
44. A diferença dos quadrados de dois números 
inteiros consecutivos obtém-se adicionando uma unidade 
ao dôbro do menor. 
Com efeito 
donde 
PRIMEIRA PARTE 47 
Se a representa a raiz quadrada inteira de A, decorre 
imediatamente que o resto da operação 
A - a2 < (a + 1)2 -- a2 
não pode exceder 2 X a, isto é, o dôbro da raiz inteira. 
Teorema 
45. O número de dezenas do raiz quadrada inteira 
do nlÍmero A é igual à raiz quadrada inteira das cente-
nas de A. 
Designando por C, D e U respectivamente os núme-
ros das centenas, dezenas e unidades de A, teremos 
A= CX IOO+DXIO+ U 
Representemos por d a raiz quadrada inteira de C. 
Será 
donde 
d2 X 1 02 ;: C X I 00 < (d + 1 )2 X 102 
ou 
(dX10)2 ~CX100<f(d+ l)X10)2. 
Atendendo a que a diferença entre os membros 
extremos desta dupla desigualdade nunca será inferior a 
uma centena, esta ainda se manterá se adicionarmos a 
CX 100 o número DX 10 + U. Logo 
dX 10)2 ~CX 100+ DX 10 + U<[(d +I) X 10]~ 
48 ARITMÉTICA RACIONAL 
ou 
(d X 10)~~ A< [(d +I) X 10)2, 
o que indica ter a raiz inteira de A, d dezenas. 
Teorema 
46. Subtraindo a um dado número o quadrado das 
dezenas da sua raiz quadrada, o quociente da divisão do 
resto pelo dôbro das dezenas da raiz, representa o alga-
rismo das unidades da raiz ou um número maior, isto é, 
representa o limite superior das unidades da raiz. 
Designe-se por A o número dado, d o número das 
dezenas da sua raiz quadrada, u o algarismo das unida-
des da dita raiz e r o resto de radiciação. Teremos 
A=(dX tü+u)2 +r .d2 X lü2+2XdX 10Xu+u2 +r; 
donde 
O quociente da divisão 
nunca é, evidentemente, menor que u. 
Êste quociente não se altera, se, em lugar de dividir-
mos o resto A- (d X 10)2 pelo dôbro das dezenas da 
raiz, dividirmos, o que sempre será mais simples, o 
número das dezenas do resto pelo dôbro do número das 
dezenas da raiz. 
PRIMEIRA PARTE 49 
Teorema 
47. Determinado o limite superior do algarismo das 
unidades da raiz quadrada, o verdadeiro valor u dêste 
algarismo será o maior ntimero (inferior ou igual ao 
limite) que satisfaz à relação: 
vem 
(2Xd X 10 +a) X u~ A-(dX 10)2 
Com efeito, de 
A -(d/~ 10)~ = 2>< d X lO X a+ u2 +r= 
=(2><dX 10 + u) u +r, 
[A- (dX 10)2] -(2 X dX 10 + u) X a= r, 
subtracção, que só será possível se o diminuidor fôr 
menor ou igual ao diminuendo. 
Resta provar que a deve ser o maior algarismo que 
satisf~z à relação indicada. De facto, se assim não fôr, 
vê-se imediatamente que r excederá o dôbro da raiz (44.). 
Visto que se deseja determinar um algarismo, se o 
limite superior encontrado fôr maior que 9, conside-
rar-se-á desde logo 9 como novo limite. 
48. É fácil agora a justificação da regra da extrac-
ção da raiz quadrada de qualquer número dado A. Pois 
que o número das dezenas da raiz quadrada de A é a 
raiz do número A' das suas centenas, haverá que calcular 
a raiz quadrada de um número A' com menos dois alga-
<~ 
50 ARITMÉTICA RACIONAL 
-----
ris mos que A; para a determinação do número das deze-
nas da raiz de A' haverá igualmente que calcular a raiz 
do número A" das suas centenas ; A'' terá já menos dois 
algarismos que A', e menos quatro que A. Prosseguindo 
o raciocínio, compreende-se que se obteria um número só 
com um ou dois algarismos, número cuja raiz se pode 
calcular mentalmente. Assim se explica a divisão do 
número dado em classes de 2 algarismos a partir da 
direita. 
A raiz inteira (um algarismo) da primeira classe 
(a da esquerda) representará as dezenas da raiz do número 
formado pelas primeira e segunda classes. Subtraia-se 
dêste número o quadrado das dezenas (ou o que é idên-
tico, subtraia-se da primeira classe o quadrado do alga-
rismo das dezenas, e escreva-se à direita do resto a 
segunda classe), e divida-se o número das dezenas dêste 
resto pelo dôbro do número das dezenas da raiz; obter-
-se-á assim o lirnite superior do algarismo das unidades. 
Verificado êste algarismo pela relação 
(2 X d X 10 + u) X u < A- (d X 10)2, 
subtraia-se o produto (2 X d X 10 + u) >< u do resto 
acima referido (cujas dezenas serviram de dividendo para 
a determinação do limite superior de u). 
Se o número dado não tivesse mais de quatro alga-
rismos, estaria a operação concluída ; eram conhecidos os 
algarismos das dezenas e das unidades da raiz, e o resto 
da operação: 
r = A - (d >< 10 + u)2 = 
= A-(dX 10)2 -(2X dX 10 + u)Xu. 
PRIMEIRA PARTE 51 
--------
Suponhamos porém que o número dado tem mais 
de quatro algarismos. A raiz achada do número formado 
pelas duas primeiras classes, indicará agora as dezenas 
de raiz do número constituído pela primeira, segunda 
e terceira classes. A diferença entre êste número e o , 
quadrado das dezenas da raiz obter-se-á simplesmente 
escrevendo a terceira classe à direita do resto 
r= A- (dX 10 + a)2 
atrás referido (A o número formado pelas duas primei-
ras classes). 
Dividem-se as dezenas do número assim obtido pelo 
dôbro da raiz achada (as dezenas da raiz donúmero 
dado), obtendo-se assim o limite superior do algarismo 
das unidades. Verifica-se êste algarismo, etc., etc. 
Dar-se-á um exemplo para melhor ilustrar a aplica-
ção da regra. 
7 4. 39. 85 11...,..8_6_2-:---
64 166 1722 
103.9 6 2 
99 6 996 3444 
4 38.5 
3 44 4 
94 1 
103~ 
7 6 
438 1 112 
94 2 
A raiz quadrada inteira de 7 43985 é 862; o resto 
é 941. 
52 ARITMÉTICA RACIONAL 
EXERCiCIOS 
26-lndicar o algarismo das unidades de 3964H e o de 85"2. 
R. 6 e 5. 
27- O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do pri-
meiro, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, 
mais três vezes o produto do segundo pelo quadrado do primeiro, mais 
o cubo do segundo. 
28- Calcular dois números inteiros consecutivos sendo a. diferença 
dos seus quadrados: 647. 
R. 647 = 2 x n+ 1 (45.) 323 e 324. 
29-Calcular dois números sendo a sua diferença 31 e a diferença 
dos seus quadrados 5983. 
R. a-b=31 a2-b2=(a-b) (a+ b)=5983 
a+ b=5983.;-31 = 193 
2 X a= 224 a= 112 
2Xb=l62 b=81 
30- Calcular dois números, sendo a sua soma 16 e a diferença 
dos seus quadrados 32. 
R. a=9 b=1. 
31- Calcular a raiz quadrada dos números: 
8457, 319, 51472, 104976 
32- Calcular dois números inteiros consecutivos cujo produto 
é 674862. 
R. 821 e 822. 
33-A diferença dos quadrados de dois números é igual ao qua-
drado da diferença dos números mais duas vezes o produto desta 
diferença pelo número menor. 
PRIMEIRA PARTE 53 
-------------
R. Seja a o número menor; o maior será a +c, e c a sua 
diferença. 
34- Qualquer múltiplo de 4 é a diferença de dois quadrados. 
R. (n+ l)2-(n-1)2=n2+2xn+ 1-n2+2xn-l =4xn.' 
35-A soma dum número n2 e da sua raiz quadrada 11 é 2970; 
qual é número? 
R. n2 = 2816 n =54. 
CAPÍTULO VIII 
Sistemas de numeração 
49. Na numeração decimal, como se disse (8.), cada 
unidade representa dez unidades de ordem imediata-
mente inferior. Assim temos que 
1 dezena vale 10 unidades 
1 centena 11 
1 milhar 11 
10 dezenas ou 100 unidades 
10 centenas ou 1000 unidades 
ou ainda 
1 unidade 
1 " 
1 " 
de 1.a ordem= 10 unidades simples ou 
de ordem zero 
" = 102 unidades simples 
" = 103 unidades simples 
isto é, as unidades decimais das diferentes ordens repre-
sentam potências de 10, quer dizer, da base da mime-
ração. 
PRIMEIRA PARTE 55 
50. fácil será em qualquer número pôr em evi· 
dência a relação entre as suas unidades. Ex.: seja o 
nümero 4527 
4527 = 4000 + 500 + 20 + 7 = 
= 4 >< 1000 + 5 X 100 + 2 >< 1 O + 7 = 
= 4 X 103 + 5 X 102 + 2 X 1 O + 7 
Seja ainda o número 307 
307 = 300 + 7 = 3 X 100 + O X 1 O + 7 = 
= 3 X 102 + O X 10 + 7. 
Um dado número pode pois sempre decompor-se 
numa soma de produtos dos seus algarismos (números 
inferiores à base) por potências sucessivas da base 10. 
51. As considerações que acabamos de expor e a 
generalização dos princípios que presidiram à numeração 
escrita- valor de posição e emprêgo do zero- (7.), per-
mitem-nos estabelecer sistemas de numeração com base 
di-ferente de 1 O. 
52. Num sistema de base oito, por exemplo, uma 
unidade da primeira ordem valerá oito unidades simples, 
uma unidade da segunda ordem valerá oito unidades de 
primeira ordem, etc.; as unidades das diferentes ordens 
serão agora as potências de oito. 
Um número qualquer 
347 
56 ARITMÉTICA RACIONAL 
suposto escrito num sistema de base oito, poderá pois 
decompor-se da forma seguinte: 
Se desejássemos saber a sua significação no sistema 
decimal bastaria efectuar as operações indicadas 
. 192 + 32 + 7 = 231 
No sistema de base oito haveria st'>mente oito alga-
rismos 
o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
53. Podemos considerar também um sistema de 
base maior que 10, por exemplo 14. Seria agora neces-
sário introduzir mais alguns algarismos a corresponder 
aos números 10, 11, 12 e 13; representemo-los respecti-
vamente pelas letras a, b, c e d. 
Assim o número 
8 a 3 c (base 14) 
decompor-se-ia da forma seguinte: 
8 X 14 8 + a X 142 + 3 X 14 + c= 
= 8 X 143 + 10 X 14~ + 3 X 14-+ 12 
(1) Mais rigorosamente 
pois o algarismo 8 (que não poderá existir) se representará por lO 
PRIMEIRA PARTE 57 
Se efectuarmos as operações indicadas, obtemos 
23966 
que representa o número dado escrito no sistema decimaL 
54. Vimos como fàciimente se obtém a represen-
tação no sistema decimal de um número escrito em 
qualquer sistema; estudemos agora o problema inverso. 
Seja o número 
863 (base dez) 
que se pretende representar num sistema de base 5. 
Haverá que pôr em evidência as unidades de' dife-
rentes ordens (potências da base 5), o que se consegue 
por divisões sucessivas por 5. 
Teremos assim: 
863 5 
::......,..,...--
36 172 -+ unidades de La ordem 
13 
3 
112 1 5 
22 ~3...,.4_-+_ unidades de 2.a ordem 
2 
34j_5_ 
4 6 -+ unidades de 3.a ordem 
6l2_ 
1 1 -+ unidades de 4.a ordem 
.58 ARITMÉTICA RACIONAL 
donde 
863 = 172 X 5 + 4 
34=6X5+4 
e finalmente 
863 = (34 X 5 + 2) X 5 + 3 = 
= 34 ><52 + 2 X 5 + 3 = 
172=34X5+2 
6=1X5+1 
= (6 X 5 + 4) X 52 + 2 X 5 + 3 = 
= 6 X 53 + 4 X 52 + 2 X 5 + 3 = 
=(1 X5 + 1)X53 + 4X52 + 2X5+ 3= 
=1X~+1X9+4X~+2X5+3 
O número 863 corresponde pois no sistema de 
base 5 a 
11423 
55. Procuremos agora representar no sistema de 
base 12, o número 
1592 (base dez) 
Procedendo como no número anterior, e fazendo 
a= 10 e b = 11, teremos 
1592112 
39 ""'i3'2 
32 
8 
132~ 
12 11 
o 
1592 = 132 X 12 + 8 132 = 11 X 12 + O 
1592= (11X12 +O)X12+8=11 Xl22 tOX12t8 
PRIMEIRA PARTE 59 
Obtém-se assim no sistema de base 12 o número 
b08 
Antigos sistemas de numeração 
56. Todos os povos civilizados, desde a mais remota antiguidade, 
tinham a sua maneira de representar os números, mas o processo não 
apresentava a simplicidade da nossa actual numeração decimal, não se 
prestando ao cálculo. 
Mencionaremos alguns dêstes sistemas primitivos. De um modo 
geral os números eram representados por determinados símbolos (muitas 
vezes as letras do alfabeto) que se repetiam ou combinavam de certa 
forma. Em quási todos se dava especial relêvo aos números 5, 10 e 20, 
talvez por corresponderem aos dedos das mãos e pés. 
57. Caldeus.- Na Babilónia usava-se um sistema sexagessimal 
combinado por vezes com um sistema decimal. Era conhecido o valor 
de posição, mas não o zero. Indicam-se alguns sinais cuneiformes repre-
sentativos de números : 
y ~=lO y>- = 100 
58. Egipcios.-Os egípcios empregavam um sistema de base 10; 
parece, porém, notar-se vestígios de sistemas de bases 5, 12, 20 e 60. 
A escrita dos números apresenta as três formas- hieroglífica, hierática 
e demótica -- sucessivamente mais simplificadas. Damos a seguir um 
60 ARITMÉTICA RACIONAL 
quadro organizado por Kurt Seth (l) com indicação de alguns dêstes sím-
bolos nas três escritas : 
U 11/JJ A .I),{ S .DlZli'/AS CDYTf!MS MllJitf!l[S 
1 a I 
J ono 1« 
'l o::~ _..., '""t o;:1 '/( 
,.. F- l!!L 
) ~~· ~ 
is lr~ero;l. 
Acrescentaremos ainda alguns sinais hieroglíficos: 
D _ 1o.ooo ~ = 100.000 ~ - 1.000.000 
Q = 10.000.000 
(1) Kurt Seth- Von Zahlen und Zahlworten bei den alten 
Agyptern. 
PRIMEIRA PARTE 61 
59. Fenícios, hebreus, gregos e romanos.- Com excepção dos 
primeiros, todos estes povos usavam para designar os números, letras 
do alfabeto; utilizavam também um sistema decimal. Indicamos alguns 
dêstes símbolos. 
Hebreus (respectivamente nas formas samaritana, hebraica e 
rabínica): 
2 3 4 5 6 7 8 9 lO 
Jr. "' 'J ':!' ~ ~ ":3 ~ 19 m 
N :l .:1 i n ~ T n 't1 "' 
f,J ,. ~ .., r ' t p 11 ' Gregos: 
a.. f3 y J E { r 77 e L 
Romanos: 
11 II! IV v VI VII vm IX X 
L=50 C= 100 D=500 l = 1.000 
Os fenícios, apesar de serem os inventores do alfabeto, tinham 
sinais especiais para designar os números: 
i=l i1=2 111=3 ;:J, = 10 ...::fJI = 1.000 
60. Mayas.~Os antigos Mayas possuíam, pelo menos no comêço 
da era cristã, um sistema de numeração muito interessante e completo, 
de base 20; a unidade de 2.a ordem valia, porém, 18 unidades de 
1." ordem, o que se relacionava com o ano de 18x20=360 dias. 
Conheciam o valorde posição e empregavam o zero, que se represen-
tava por um ôlho semi-cerrado. Damos a seguir alguns dos símbo1os 
usados: 
.. = 2 =4 5 -"-=6 
-- ~ 13 18 ~=0 
62 ARITMÉTICA RACIONAL 
61. Índios e árabes. -Modernamente tem-se posto em dúvida, 
mas sem muito fundadas razões, que o nosso actual sistema decimal 
tivesse a sua origem na Índia. Mas o que pode de facto asseverar-se é 
que o sistema não nasceu perfeito, e sofreu uma evolução gradual até 
atingir nos fins do século XV a sua forma definitiva actual. 
Foram variadas também as formas dos símbolos. É num manuscrito 
conhecido pelo nome de Codex Vigilmms (976) que apareceram na 
Europa (Espanha sob o domínio árabe) os primeiros algarismos: 
I 1 8 
Em alguns documentos posteriores já surgem modificados, e 
sàmente na Aritmética Bamberg (1489) e no livro De Arte Supputandi 
de Tomstall (1522) êles se escrevem na forma definitiva: 
5 7 8 lo 
NOTA-- Tem-se imaginado hipóteses fantasistas sôbre a origem 
dos algarismos. A título de curiosidade mencionaremos algumas. 
1) Derivados da figura (B 
1'\,~4~171~'10 
2) Derivados da figura tEJ 
IZ:ILf..íÃ7XYD 
EXERCÍCIOS 
36- Escrever na numeração decimal os seguintes números: 
341 (base 5) 
181 ( » 9) 
233 ( , 4) 
10011 ( » 2) 
814 ( » 14) 
R. 96, 1.54, 47, 9, 1586. 
PRIMEIRA PARTE 
37 ---Escrever respectivDmente num sistema de bases 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9, 11, os números (base 10): 
8, 1--l, 21, 40, 85, 428, 7.57, 1--!81, 54.5 
R. 1000, 112, 111, 1.30, 221, 11.58, 1365, 2025, 4.56. 
38-Como se escreve num sistema de base doze o número doze? 
R. 10. 
39- Como se escreve em qualquer sistema a sua base? 
R. 10. 
40 -Indique respectivamente em sistemas de base oito e onze, 
os números: 
64 e 121 (base dez) 
R. 100, 100. 
41 -~Em que sistema o número nove se escreve 100 = 102? 
R. No sistema de base três. 
42 - Efectue no sistema de base cinco a adição 241 + 334. 
R. 241 
334 
1130 
1 +--!=cinco (que se escreve 10) e vai l 
1 + 4 + 3 = oito (que se escreve 13) e vai 1 
1 + 2 + 3 =seis (que se escreve 11) 
Verifique a operação representando a soma e as parcelas no 
sistema decimal. 
43- Efectue no sistema de base treze a adição 
a b 4 + 86 (dez= a, onze= b, doze== c) 
R. b 6 a. 
64 ARITMÉTICA RACIONAL 
44- Efectue no sistema de base oito, o produto 
26xH 
26 
14 
130 
26 
410 
Verifique a operação representando o produto e os factores no 
sistema decimal. 
45 --Efectue no sistema de base onze o produto 
48x64 (dez= a) 
R. 280 a. 
SEGUNDA PARTE 
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS 
CAPÍTULO I 
Oivisibilidade 
Teorema 
62. A soma dos múltiplos de um mímero é um 
múltiplo dêsse mi.mero. 
Demonstra-se imediatamente o teorema pela consi-
deração da propriedade distributiva da multiplicação. 
Se adoptarmos a notação a· para designar um múlti-
plo qualquer a X n de a, aquela igualdade poderá escre-
ver-se: 
a·+ a· +a·= a· 
O teorema poderá enunciar-se também da forma 
seguinte: 
Se as parcelas dama soma são divisíveis por um 
número, a soma será divisfpel por êsse mímero, 
ou ainda: 
Se um número é dil'isor (divide, é submúltiplo, é factor) 
de vários mímeros, é também divisor da sua soma. 
66 ARITMÉTICA RACIONAL 
Teorema 
63. A diferença de dois de um nlimero é 
também um múltiplo do número. 
Decorre igualmente da propriedade distributiva da 
multiplicação 
ou 
Corolários 
64. I - O divisor de um m1mero sê-lo-á também de 
qualquer dos seus nuíltiplos, ou, o que é o mesmo: um número 
que divide um factor dum produto divide também o produto. 
II - Um número que divide o divisor e o resto divide 
igualmente o dividendo, 
porque 
D=d· +r 
m - mímero que divide a soma de duas parcelas 
e uma das parcelas, divide também a 
IV- Um número que divide o .~.~.v·uu:u 
divide também o resto. 
Teorema 
e o divisor 
65. Dada uma soma de duas parcelas, se uma é 
divisível por um número, a soma e a outra parcela, 
didas por êsse mímero, dão restos iguais. 
SEGUNDA PARTE 67 
Seja 
a soma dada e d um divisor da parcela a, 
a=d· 
Se designarmos por r o resto da divisão da outra 
parcela b por d, teremos : 
donde 
o que demonstra o teorema. 
Teorema 
66. Se dividirmos muitos números pelo mesmo 
divisor: 
a) a soma dos números e a soma dos restos dividi-
das por êsse divisor dão restos iguais; 
~) o produto dos mímeros e o produto dos restos 
divididos por êsse divisor dão restos iguais. 
Sejam os números a, a' e a", que, divididos pelo 
mesmo divisor d, dão respectivamente os restos r, r' 
e r 11• Teremos: 
a=d·+r a'=d·+r' a"=d·+r" 
donde 
a+ a'+ a11 = d ·+r+ d ·+r'+ d · + r11 _;__ d · +(r+ r'+ r 11), 
o que demonstra a primeira parte do teorema. 
68 ARITMÉTICA RACIONAL 
Teremos também 
axa'=(d' +r) (d'-l-r')= 
= d·X d ·+r X d' + d· X r'+ r X r'= 
= d"+(rXr'). 
ax a'Xa''=(d·+rXr')X(d·+r")=d· +(r xr'Xr~, 
o que demonstra a segunda parte. 
Critérios da divisibilidade 
67. Baseia-se em alguns dos teoremas que acabá-
mos de demonstrar a dedução das regras para o 
cálculo do resto duma divisão sem efectuar a operação. 
Para alguns divisores que iremos considerar, essas regras 
são extremamente simples, e fornecem-nos para o caso do 
resto nulo os respectivos critirios da divisibilidade. 
Divisor 10 e suas potências 
Teorema 
68. O resto da divisão dum número por uma potên-
cia de 1 O é o número formado por tantos dos seus alga-
rismos, a partir da direita, quantas as unidades do 
expoente. 
Com efeito, atendendo às convepções da numeração 
e à definição de divisão, será para qualquer número: 
84573= 8457 X 10 + 3= 845X 100 + 73 = 
= 84X 1000 + 573 =etc ... 
SEGUNDA PARTE 69 
Corolário 
69. Um número é divisível por uma potência de 10, 
se termina em tantos zeros quantas são as unidades do 
expoente. 
Divisores 2 e 5 
Teorema 
70. O resto da divisão de um número por 2 ou 5 é 
o mímero que se obtém dividindo por 2 ou 5 o algarismo 
das unidades. 
De facto, dado um número qualquer, por exemplo, 
7849, será: 
7849= 784 X 1ü+9=784X2X5 +9=2·+9=5·+9 
Visto que uma das parcelas da soma é múltipla de 
2 e de 5, o número e a outra parcela, divididos por 2 
ou por 5, dão restos iguais. 
Corolário 
71. Um número é divisível por 2 ou por 5 se o alga-
rismo das unidades fôr também divisível por 2 ou por 5. 
Os números divisíveis por 2 chamam-se pares; ter-
minam em O, 2, 4, 6, 8. Os números que não são pares 
denominam-se ímpares. 
Divisores 4, 25, 8 e 125 
72. Por um raciocínio semelhante ao do caso ante-
rior deduzir-se-á : 
70 ARITMÉTICA RACIONAL 
O resto da divisão de um mlmero por 4 ou 25 obtém-se 
dividindo por 4 ou 25 o número formado pelos seus dois 
últimos algarismos da direita. 
O resto da divisão de um número por 8 ou 125 obtém-se 
dividindo por 8 ou 125 o número formado pelos três cUti-
mos algarismos da direita. 
Decorrem imediatamente os critérios de divisibilidade. 
Divisores 9 e 3 
Teorema 
73. Uma potência de 10 é um múltiplo de g ou de 3 
aumentado de uma unidade. 
Como qualquer potência de 1 O se pode formar juntando 
uma unidade a um número formado só de noves, teremos: 
100 = 99 + 1 = 9 X 11 + 1 = 9 · + 1 = 3 · + 1 
1000= ggg + 1 = 9X 111 + 1 =9·-j- 1=3·-j- 1 
Teorema 
74. Qualquer número é um múltiplo de 9 ou de 3 
aumentado da soma dos seus algarismos. 
Com efeito, qualquer número, por exemplo 3847 
pode (65.) decompor-se da forma seguinte: 
3847=3X lOOO+SX I00+4X 10 + 7= 
=3X(9·+ 1) + 8X(9·+ 1) +4X(9·+ 1}+7= 
=9·+3+9•+8+9•+4 +7= 
= g. + (3 + 8 + 4 + 7) = 3. + (3 + 8 + 4 + 7) 
SEGUNDA PARTE 71 
O número dado e a parcela (3 + 8 +- 4 + 7), dividi-
dos por 9 ou por 3, dão restos iguais. 
O resto da divisão por 9 da soma dos algarismos 
poderá calcular-se ràpidamente (noves fora) subtraindo 
sucessivamente 9 ao mesmo tempo que se vão som::mdo , 
os algarismos. (29-V). 
Corolário 
75. Um mímero i divisfvel por 3 ou por 9, se a 
soma dos seus algarismos fôr divisível por 3 ou por 
DIVISOR 11 
Teorema 
76. Uma potência de 10 é um nuUtiplo de 11 mais 
ou menos uma unidade, conforme o seu expoenteé respec-
tivamente par ou ímpar. 
Com efeito: 
10=11--1 
102 = 100 = 99 + 1 = 9 X 11 + 1 = 11 · + 1 
W:' = 1000 = 990 -i- 10 = 9 X 11 X 10 11 - 1 = 
= 11' +- 11-1 = 11'-1 
104 = 10000 = 9900 + 99 + 1 = 
=11'+ 11•+ 1=11'-i-1 
105 = 100000 = 99990 + 10 = 
=99000-!-990+ 10= 
=11'+11•+11-1= 
= 11'-1 
72 AHITMÉTICA HACIONAL 
Teorema 
77. O resto da divisão de um número por 11, 
obtém-se dividindo por 11 a diferença entre a soma dos 
algarismos de ordem fmpar a partir da direita e a soma 
dos restantes. 
Seja um número qualquer, por exemplo, 84726. 
Temos: 
84726 = 8 X 10000 + 4 X 1000 7 ::..< 100 
-f-2Xl0-+6= 
=8X(II·+l)-i-4X(ll·-1) l-
-f-7X(ll'-f-1)+2X{ll-1) i-6=-= 
= 11·+ s + u·-4 + u· +- 7 
+ 11'-- 2 + 6 = 11. + (8 + 7 + 6) -- (4 + 2) 
Se a primeira soma fôr inferior à segunda, adicio-
na-se-lhe 11 ou um múltiplo de 11. (29-V). 
Corolário 
78. Um mímero é divisível por 11 se a diferença 
entre a soma dos seus algarismos de ordem ímpar a 
partir da direita e a soma dos restantes algarismos for 
divisível por 11. 
Provas dos 9 e dos 11 
79. Aproveitando o cálculo fácil e rápido dos restos 
da divisão por alguns números, pode deduzir-se um 
processo também muito expedito para efectuar as provas 
das operações. 
SEGUNDA PARTE 
80. O mecanismo das provas dos 9 e dos I 1 decorre 
imediatamente do teorema do n.0 66 se atendermos 
que a subtracção e a divisão são respectivamente as ope-
rações inversas da adição e da multiplicação. 
Os divisores 9 e 11 são os utilizados nas provas 
porque no cálculo dos restos são interessados todos os' 
algarismos dos números. 
Apesar desta vantagem, as provas dos 9 e 11, se 
bem que simples, são mais falíveis que as já estudadas; 
estando certas, podem indicar que os resultados da 
operação são exactos, quando de facto podem estar 
errados, com algarismos muito diferentes. 
EXERCÍCIOS 
46 ~-Verificar se os números 83-l, 225, -l78-!S2 e 1705 são divisí-
veis por 2, :3, -l, 5, 9, 11 e 2.5. Dizer quais são os restos. 
47 -~ (Quais são os números, que, divididos por .5, dão de resto 2? 
48 -O resto da divisão dum número por ·t pode obter-se divi-
dindo por -! a soma do algarismo das unidades com o dôbro do a!ga-
risplo das dezenas. 
R 
863 = 4" + 6:3 = 4c. + 6 X 10 + 3 ~=-!. + (i X (-l' + 2) + :3 = 
=-+' +6x-+' +6x2+3=-+· +Gx2+:3 
49- O resto da divisão dum mimero por 6 pode obter-se divi-
dindo por & a soma do algarismo das unidades com o quádruplo da 
soma de todos os outros. 
R. 
587 = 5 X 100 + 8 X 10 + 7 = .5 X (6. + 4) + 8 X (6' + -!) + 7 = 
= 5 X 6' + .5 X 4 + 8 X 6. + 8 X -! + 7 = 6. + 4 X (.5 -\- 8) + 7 
74 ARITMÉTICA RACIONAL 
50-- Se r é o resto da divisão de a por d, am e r"l, divididos 
por d, dão restos ignais. 
51- O quadrado dum número que não é divisível por 3 é um 
múltiplo de 3 mais uma unidade 
R. (3n + 1 )2 = 9n2 + 6n + l = 3 • + 1 
(3n--1)2= 9n2-6n + 1 = 3 ·+I 
52--- O quadrado dum número que não é divisível por 5 é um 
múltiplo de 5 mais ou menos uma unidade. 
53-- Se um número a é múltiplo dum número b, mais 1, tôdas 
as potências de a serão múltiplos de ú, mais 1. 
an=(b·+l)n=ú·+l 
54- A diferença entre dois números compostos dos mesmos alga-
rismos é um múltiplo de 9. 
55-- Se um número a não é divisível por 5, a4-- 1 é um mtíl-
tiplo de .5. 
R. Do exercício 52, deduz-se 
donde 
ou 
a4--l=.5· 
CAPÍTULO II 
NÚMEROS PRIMOS 
81. Um número diz~se primo se somente fôr divi~ 
sível por si e pela unidade. 
2, 3, 5 I 7, 11 
e muitos mais, são números primos. O número 1 está de 
certo modo incluído na definição; não se considera, porém, 
número primo, o que se justifica, entre outras razões, pela 
simplificação que resulta para o enunciado de alguns 
teoremas. 
Teorema 
· 82. Todo o número que não é primo admite um 
divisor primo. 
Com efeito, o menor dos divisores de um número é 
necessàriamente um número primo p; se não fôsse primo, 
admitiria um divisor que dividiria também o número 
dado. Não seria pois p o menor. 
Teorema 
83. A sucessão dos números primos é ilimitada. 
Suponhamos que assim não era, e que havia um 
76 ARITMÉTICA RACIONAL 
número primo p maior que todos os outros. formemos 
nesta conformidade a soma: 
A=2X3X5X ..... Xp+ 1 
do produto de todos os números primos e da unidade. 
Êste número A admitirá um divisor primo p1, igual-
mente divisor da parcela 2 X 3 X ..... X p por ser um 
dos seus factores; conclui-se (64 III) que p' deverá 
dividir a parcela J, o que é absurdo. 
IIá pois um m'lmero primo maior que p, e a suces-
são é ilimitada. 
Teorema 
84. Se um ntímero primo p não divide os factores 
de um produto, não divide também o produto. 
Seja o produto 
e sejam r e r' respectivamente os restos da divisão de 
a e de b por p. Como os produtos 
aXb e rXr', 
divididos por p, dão restos iguais, o teorema ficará 
demonstrado se se provar que o último produto 
rXr1 
não é divisível por p, isto é: que o produto de dois 
mímeros menores que um mítnero primo p não é divisível 
por êste número. 
SEGUNDA PARTE 77 
Suponhamos o contrário, e designemos por no menor 
dos números (inferiores a p), que, multiplicados por r ou r', 
por exemplo, r dão um resultado divisível por p. 
Teremos: 
nXr=p-
Se dividirmos p por n, e designarmos por q e r1 o 
quociente e o resto da divisão, será 
p=nXq +r1 
ou multiplicando por r 
r><p=rXnX.q+r ><r1 
A soma r>< p e a parcela r X n ~< q são divisíveis 
por p, logo sê-lo-á também a pàrcela r X r1• Êste resul-
tado é porém contr:írio à hipótese de ser n o menor 
dos números, que, multiplicados por r< p, formam pro-
dutos divisíveis por p, em vista de ser r 1 < n. 
Conclui-se que não há números menores que p que 
satisfaçam à condição referida, pois seria absurdo supor 
que num grupo limitado não possa existir um número 
menor que todos os outros. 
Teorema 
85. Se um número primo divide um produto, dividt: 
necessàriamente um dos factores. 
Com efeito, se um número primo p não dividisse 
nenhum dos factores do produto 
P=axbXc, 
não poderia (teorema anterior) dividir o produto. 
78 ARITMÉTICA RACIONAL 
Corolários 
86. I- Um número primo que divide um produto 
de factores primos é igual a um dêle.s. 
Decorre imediatamente do teorema, atendendo à 
definição de nttmero primo. 
H- Um mímero primo que divide uma potência 
divide a base. 
É evidente, pois, que uma potência é um produto 
de factores iguais à base. 
Teorema 
87. Todo o número não primo é decomponfvel, de 
uma só maneira, num produto de factores primos. 
Seja A o número dado; como admite um divisor 
primo a, será 
A=aXq. 
Se q é primo, está o teorema demonstrado; não o 
sendo, tem um divisor primo b, e virá 
A=aXbXq' 
Continuando-se a raciocinar do mesmo modo, encon-
trar-se-á necessàriamente um quociente q<n> primo; a não 
ser assim, resultaria que A seria igual a um produto dum 
número infinito de factores, o que é manifestamente 
absurdo. 
Esta decomposição é única. 
Suponhamos que não é, e sejam 
aXbXc><dX ..... Xq=a'Xb'Xc'Xd'X ..... Xq' 
SEGUNDA PARTE 79 
dois produtos distintos de factores primos que represen-
tam o número A. 
Como A tem o divisor a, êste número primo, divi-
dindo o produto de factores primos a' X b'Xc' . ... X q', 
terá de ser igual a um deles; será, por exemplo, a= a', 
donde 
aXbXcXdX .... . ><q=aXb' c'Xd'X ..... Xq' 
ou, dividindo por a 
b :<cXd><... q=b'><c'Xd' ... Xq' 
Do mesmo modo, o divisor primo b do primeiro 
produto, dividindo o segundo, terá de ser igual a um 
dos seus factores, por exemplo a b', e será 
bXcXdX ... Xq=b><c'Xd' ... Xq' 
ou 
cXdX ... Xq=c'Xd'>< ... Xq' 
E assin1 sucessivamente se verificará que todos os 
factores do primeiro produto se contêm no segundo e 
vice-versa, isto é, que os produtos não são distintos. 
Como se compreende, alguns dos factores primos 
podem ser iguais. 
NoTA- Os números primos figuram pois como ele-
mentos1 mímeros primeiros, cujo produto pode represen-
80 ARITMÉTICA RACIONAL 
tar qualquer número; resulta assim uma nova forma de 
determinação dos números, da suageração. E mais se 
justifica não se considerar a unidade como número 
primo, pois nada significaria na decomposição factorial 
por ser o módulo da multiplicação. 
88. Para decompor um número em factores primos 
convém seguir uma certa ordem no ensaio dos diviso-
res, começando naturalmente pelos menores: 2, 3, 5 ... 
É recomendável também a aplícação dos critérios 
de divisibilidade conhecidos a-fim-de não efectuar divi-
sões escusadas. 
Teorema 
89. Para que um número A seja diJiisivel por um 
número B, é necessário e suficiente que todos os factores 
primos de B se encontrem em A cada um, pelo menos, em 
mímero igual. 
A condição é necessária: porque sendo A divisível 
por B, ou 
A=B>< Q, 
sendo Q o quociente da divisão, é evidente que todos os 
factores primos de B existem em A. 
A condição é suficiente: dado o produto dos facto-
res primos que constituem o número A, pelas proprie-
dades comutativa e associativa da multiplicação, podem 
êles agrupar-se de modo a formar o produto 
B><.Q, 
o que mostra ser A divisível por B. 
SEGUNDA PARTE 81 
Tábua de números primos 
90. A formação dos números primos nào está 
sujeita a nenhuma lei, nem existe qualquer fórmula que 
os determine a todos. Podemos somente construir tábuas, 
mais ou menos extensas, em que os números primos 
aparecem por exclusão dos que o não são; é o processo 
já usado pelos antigos gregos, e conhecido pelo nome 
de Crivo de Eratostenes (1). 
Escrevem-se os números da série natural até ao 
limite fixado para a Tábua. Pondo de parte os números 
O e 1, começa-se por eliminar, a partir de 2, que é primo, 
todos os números de 2 em 2, isto é, os múltiplos de 2. 
Depois desta operação, e a partir do primeiro número 
não eliminado 3, que é primo, excluem-se todos os 
números de 3 em 3, isto é, os múltiplos de 3; a seguir 
excluem-se os múltiplos de 5, 7, etc. São números primos 
todos os não eliminados até ao final da Tábua. 
Verifica-se (o que facilita a construção das Tábuas) 
que, depois de eliminar os múltiplos do número primo 
n e de todos os anteriores, os números não eliminados 
e infr;:riores a n2 são primos. De facto não se poderia 
decompor qualquer número inferior a n2 num produto 
de factores primos, porque alguns dêstes teriam de ser 
inferiores a n, o que não é possível, em vista de todos 
os seus múltiplos já estarem excluídos. 
(1) Eratostenes- matemático, astrónomo e filósofo grego, que 
morreu em 196 antes de Cristo. Eratostenes determinou uma medida 
do meridiano terrestre, muito aproximada das actuais. 
6 
82 ARITMÉTICA RACIONAL 
A tábua que apresentamos contém os números 
primos até 997. 
li 2 
I 3 
5 
I 
I 
! 
I 
I 
7 
I 
11 
1:3 
17 
19 
23 
29 
31 
37 
41 
43 
47 
5.3 
59 
61 
79 191 311 4.39 
8.3 193 313 4-!3 
89 197 317 4-!9 
97 199 331 4.57 
101 211 .337 461 
103 223 347 -!63 
107 227 3-!9 467 
109 229 3.53 -!79 
113 233 3.59 487 
127 239 367 491 
I 
131 241 I 373 -!99 
1:37 2.51 379 503 
139 2.57 383 509 
149 263 389 521 
151 269 397 523 
1.57 271 401 541 
163 277 409 547 
577 
.587 
.59.3 
.599 
I 601 
607 
613 
617 
619 
6.11 
6-ll 
6-!3 
6-!7 
653 
659 
661 
673 
7 09 
71 9 
27 
33 
39 
-!3 
51 
57 
7 
7, 
T 
7 
7 
7 
76 
76 
77 
78 
79 
80 
81 
82 
82 
9 
.3 
7 
7 
9 
.3 
- -167 281 419 2151 677 827 
8.57 li 
859 
11 863 
877 
I 81ll 
88:3 I 
I 887 I 
907 
911 
919 
929 
937 
9-ll 
9-!7 
953 
967 
971 
977 
98.3 
11 
6771 17.3 283 421 .563 68.3 829 
179 293 431 569 691 I 839 991 
1173 ==18=1===3=07====43=3===5=71===7=0=1==1==853 99711 
91. Para reconhecer se um número N é primo, 
procura-se ver em primeiro lugar se se encontra ou não 
SEGUNDA PARTE 83 
na Tábua que haja à mão. Se o número dado é superior 
ao maior da Tábua, deverá dividir-se sucessivamente 
pelos números primos, 2, 3, 5 ... ; se nenhuma das divi-
sões é exacta, o número é pr.imo. 
92. Do que atrás foi dito deduz-se claramente a 
possibilidade de concluir que um número N é primo, 
quando se fizerem com resto tôdas as divisões até ao divi-
sor primo p e fôr 
ou ainda, atendendo a que neste caso será também 
N p<p, 
quando se obtiver um quociente menor que o divisor. 
Determinação de todos os divisores 
de um número 
93. A totalidade dos divisores de um número 
obté1.11-se fàcilmente desde que o número esteja decom-
posto em factores primos. Temos imediatamente os divi-
sores primos e suas potências, caso as haja; os restantes 
serão os produtos daqueles formando-se tôdas as com-
binações possíveis. 
Para determinar pràticamente os divisores, sem faltar 
nenhum, procede-se como no seguinte exemplo. Seja o 
número 1200 = 24 X 3 X 52 e considere-se o quadro 
1 2 4 8 16 
1 3 
1 5 25, 
84 ARITMÉTICA RACIONAL 
formado pelos divisores primos e as suas potências, 
acrescentando a unidade em cada linha. 
Obtêm-se todos os divisores, multiplicando os núme-
ros da primeira linha pelos números da segunda, depois 
o resultado pela terceira (e assim por diante, se houvesse 
mais linhas). 
São êles: 
1 2 4 8 16 3 6 12 24 48 
5 10 20 40 80 15 30 60 120 240 
25 50 100 200 400 75 150 300 600 1200 
Êste cálculo mostra imediatamente que o número 
dos divisores de 
é igual a 
(p + l)X(q+ l)X(r+ l)X ... 
Números primos entre si 
94. Dois ou mais números dizem-se primos entre si 
se não admitem outro divisor comum senão a unidade. 
Para o caso de mais de dois números poderá distin-
guir-se se são ou não primos dois a dois. Exemplo : 4, 21 
e 25 são primos entre si e primos dois a dois: 9, 15 e 35 
são primos entre si, mas não primos dois a dois. 
Teorema 
95. Se dois números não são primos entre si, têm 
um divisor primo comum, porque, admitindo um divisor 
diferente da unidade, êle será primo ou decomponível 
em factores primos. 
SEGUNDA PARTE 85 
Teorema 
96. Um número que é primo com os factores dum 
produto é primo com o produto. Se o número dado e o 
produto não forem primos entre si, admitiriam um divi· 
sor primo comum, que (85) teria de dividir um dos fac-
tores, contra o que se supôs. 
Teorema (reciproco do anterior) 
97. Se um mímero é primo com um produto, é primo 
com cada um dos factores, porque, caso contrário, have-
ria um divisor comum ao número dado e a um dos facto-
res, evidentemente também divisor do produto. 
Teorema 
98. Se dois números são primos entre si; também o 
serão as suas potências. Se assim não fôsse, as potências 
teriam um divisor primo comum que (86) também divi-
ria as bases, contra a hipótese. 
Teorema 
·99. Um ntímero que divide um produto de dois j ac-
tores e é primo com um deles, dividirá o outro. 
Se um número a divide um produto 
bXc, 
os factores primos de a encontram-se todos em b X c 
cada um, pelo menos, em número igual (89) • 
. Se a é primo, por exemplo, com b, a e b não pode-
rão ter factores primos comuns; todos os factores primos 
de a se encontrarão pois em c, isto é, a dividirá c. 
86 ARITMÉTICA RACIONAL 
Teorema 
100. Se um mímero é divisível por diversos números 
primos entre si dois a dois, é divisível pelo seu produto. 
Seja o número n divisível por vários números a, b e c. 
Se a, b e c são primos entre si dois a dois, os seus 
factores primos são distintos uns dos outros ; encon-
tram-se porém, todos em n, cada um, pelo menos, em 
número iguaL Logo IZ é divisível por a X b X c. 
Outra demonstração baseada imediatamente no teo-
rema anterior: 
Se n é divisível por a, será 
n=axq 
Como b divide o produto n e é primo com a, deve 
dividir q. Logo 
n = a X b X q' =(a X b) X q' 
Como c divide n e é primo com a e b e portanto 
com a X b, deve dividir q', e portanto 
n=(aXbXc)Xq" 
101. Êste teorema permite formular novos critérios 
de divisibilidade. 
Exemplo : Um número será divisível por 45 = 9 X 5, 
se terminar em O ou 5, e a soma dos seus algarismos fôr 
divisível pqr 9. 
EXERCÍCIOS 
56- Verificar se os ntímeros 821, 2137, 1637 e 2181 silo primos. 
57- Determinar todos os divisores de 7 -tO e -!08. 
58- Determinar o númerode divisores de 2-!00, 7840 e 1560. 
R. 36,36,32. 
SEGUNDA PARTE 87 
59~ Dois n-úmeros consecutivos são sempre primos entre si. 
60 ~Se a soma de dois números é um número primo, os dois 
mímeros são primos entre si. 
R. Porque, se não fôssem primos entre si, teriam um divisor 
comum diferente da unidade, que seria também divisor da soma. 
61 ~~Se a diferença de dois números é um n-úmero primo, os 
dois números são primos entre si? 
62 ~Verificar pela decomposição em factores primos se os núme-
ros 2-:!20 e 1 ~~ silo quadrados perfeitos. 
R. Os números silo qnadrados perfeitos se todos os expoentes 
dos factores primos forem pares. 
14-± = 24 >< 32 = (22 x 3)3 (é quadrado perfeito). 
2~20 = 23 X 5 x 112 (mio é quadrado perfeito). 
63-- <'.Qual é o menor número pelo qual se deve multiplicar 1.50 
para que se transforme num quadrado perfeito? 
I~. 2 >< 3 = 6. 
64 -·-Dizer quais os critérios de divisibilidade por 12, 1.5, 18 e 24. 
65-- Determinar o menor número que admite 30 divisores. 
R. Decompõe-se 30 em factores de tõdas as formas possíveis. 
30 X 1 IS>< 2 10 >< 3 6 >< .5 .5 >< 3 X 2 
e formam-se os produtos dos menores números primos com expoentes 
iguais àqueles factores diminuídos de uma unidade. 
220 214 X 3 29 X 32 25 >< 34 24 X 32 X .5 
O menor dêstes produtos 24 X 32 X .5 = í20 será o número pro-
curado. A solução corresponde muitas vezes ao maior número de factores 
em qne se pode decompor o número dado dos divisores, atribuindo-se 
em seguida os maiores expoentes aos menores mímeros primos. 
Se o número dos divisores é um número primo p, o menor 
número que admite p divisores é 2P-l. 
CAPÍTULO III 
MÁXIMO DIVISOR COMUM E MENOR 
MÚLTIPLO COMUM 
Sua determinação pela decomposição factorial 
102. Se dois ou mais números não sào primos 
entre si, admitem divisores comuns diferentes da unidade. 
Entre estes, evidentemente em número limitado, havení 
um maior que todos os outros:- clurma-se o máximo 
divisor comum. 
103. Se um número dado é divisor de dois ou 
mais números, será êle o m"áximo divisor de todos; 
claramente que um número nào poderá ter um divisor 
que o exceda. 
O máximo divisor comum de númercs yrimos entre 
si é igual à unidade. 
104. Se diversos números estão decompostos em 
factores primos, é fácil a determinação do seu máximo 
divisor comum. Êste será o produto de todos os factores 
comuns, isto é, o produto dos factores primos comuns 
com o menor expoente. 
SEGUNDA PARTE 
-------------- -------
Exemplo: 
Determinar o m. d. c. de 120, 60 e 84 
120160! 84 ~ 
60 ! 30 42 2 
--j·--- --~ ~--
30 i 15 21 I 3 
--~i--~ ~--1--~ 
10 i s 7 I 
O m. c. é igual a 22 X3. 
Teorema 
89 
105. Todos os divisores comuns de dois ou mais 
números são divisores do seu máximo divisor comum, 
isto é, o m. d. c. de dois ou mais números contém todos 
os seus divisores comuns. 
Porque qualquer divisor (ou factor) comum dos 
números dados entra necessàriamente como factor na 
formação do m. d. c. 
Teorema 
106. Multiplicando diversos mímeros por umfactor, 
o seu m. d. c. vem multiplicado por êsse factor. Sejam 
a, b e c os números dados e d o seu m. d. c. 
Se d é o produto de todos os factores comuns a a, 
b e c, é evidente que d X n será o produto de todos os 
factores comuns a aXn, bXn e c n e, portanto, o 
seu m. d. c. 
90 ARITMÉTICA RACIONAL 
Teorema 
107. Dividindo dois ou mais números por um divisor, 
o seu m. d. c. vem dividido pelo mesmo divisor. 
É conseqüência imediata do teorema anterior. 
Corolário 
l 08. Dividindo dois ou mais números pelo seu m. d. 
c., os quocientes são primos entre si. 
Teorema 
109. O maxtnw divisor comum de muitos números 
fica o mesmo substituindo dois quaisquer pelo seu m. d. c. 
Sejam a, b, c e d os números dados e D o m. d. c., 
por exemplo, de a e b. 
O m. d. c. de a, b, c e d é igual ao m. d. c. de D, 
c e d, porque todos os divisores comuns de a e b estão 
contidos em D (105). 
t 10. Como é evidente, o produto de dois ou 
mais números é um múltiplo comum dêsses números; 
podem obter-se mais múltiplos comuns, tantos quantos 
se quiser, multiplicando aquêle produto por um número 
qualquer. 
Há pois múltiplos comuns de dois ou mais núme-
ros maiores que o seu produto ; não poderá, porém, 
afirmar-se que existam alguns menores. Mas, caso afir-
mativo, como serão em número limitado, haverá um 
menor que todos os outros:- será o menor múltiplo 
comam. 
SEGUNDA PARTE 91 
111. O menor múltiplo comum de vários números, 
isto é, o menor número que é divisível simultâneamente 
por êsses números, determina-se com facilidade quando 
os números estão decompostos em factores primos. 
Um múltiplo comum de diversos números deverá 
conter todos os factores primos de cada um dos núme-
ros, cada factor pelo menos em número igual, ou por 
outra cada um pelo menos com expoente igual. O menor 
múltiplo comum deverá conkr também todos os factores 
primos; o seu número, porém, deverá ser somente o 
necessário para satisfazer a condição de divisibilidade. 
Podemos considerar dois casos : 
1) Os números são primos entre si dois a dois. 
Não haverá neste caso factores primos comuns; o m. m. c. 
será então o produto de todos os factores primos com os 
seus respectivos expoentes, quer dizer o produto dos 
números dados. 
2) Os números não são primos entre si dois a dois. 
I-Ia verá então factores primos comuns; estes não deverão 
repetir-se na formação dom. m. c., bastando tomar aquêles 
que tiverem maior expoente. Os factores primos não 
comuns entrarão todos no m. m. c. 
Resumindo: 
O menor nuíltiplo comum de dois ou mais mímeros 
será o produto dos factores primos não comuns com os 
respectivos expoentes e dos factores primos comuns (1) com 
os maiores expoentes. 
(1) A lodos os números ou não. 
92 ARITMÉTICA RACIONAL 
Exemplo: 
Determinar o m. m. c. de 48, 50 e 420 
48 50 1420. 2 
--------
24 25,210 2 
--------
12 105, 2 ______ I __ 
6 2 
3 3 
1 = 351 5 
5 7 5 
--1 -j-7 
-~--~1-
O m. m. c. é igual a 21 X 3 X 52 X 7 
Teorema 
112. Todos os múltiplos comuns de dois ou mais 
números são múltiplos do seu menor múltiplo comum. 
Considerando o produto dos factores primos que 
formam o m. m. c., é evidente que qualquer outro múl-
tiplo comum somente poderá obter-se introduzindo um 
ou mais factores primos no produto, isto é, multiplicando 
o m. m. c. por um número qualquer. 
Teorema 
113. !vtultiplicando o máximo divisor comum de dois 
nâmeros pelo seu menor nuUtiplo comum, obtém-se o pro· 
duto dos números. 
SEGUNDA PARTE 
Com efeito, visto que o m. d. c. é o produto dos 
factores primos comuns com o menor expoente, e o 
m. m. c. o produto de todos os comuns com o maior 
expoente e todos os não comuns, deduz-se que os factores 
utilizados na formação do m. d. c. são os únicos que não 
se incluem no m. m. c.; o seu produto é pois o produto 
dos números. 
Corolário 
114. Dividindo o produto de dois mímeros pelo seu 
máximo divisor conuun, obtém-se o menor múltiplo comum, 
ou, dividindo o produto de dois números pelo seu 
m. m. c., obtém-se o m. d. c. 
Teorema 
115. O menor múltiplo comum de muitos nlimeros 
fica o mesmo substituindo dois quaisquer pelo seu m. m. c. 
Sejam a, b, c e d os números dados e M. o m. m. c. 
de a e b. 
O m. m. c. de a, b, c e d é igual ao m. m. c. de 
M, ·C e d porque todos os múltiplos comuns de a e b são 
também múltiplos comuns de M (112). 
Método das divisões sucessivas 
ou Algoritmo de Euclides 
116. Considerem-se dois números a e b. Se a é 
divisível por b, será b o m. d. c. Se a não fôr divisível 
por b, teremos, designando por r o resto da divisão, 
94 ARITMÉTICA RACIONAL 
Como todos os divisores comuns de b e r são divi-
sores de a (62), e portanto divisores comuns de a e b, o 
máximo divisor comum de a e b será também o de b e r. 
Se b não fôr divisível por r, teremos também 
b =r+ r', 
sendo r' o resto da divisão. Da mesma forma o m. d. c. 
de b e r será o m. d. c. de r e r'. 
Continuando a proceder dêste modo, e visto que os 
restos vão sempre diminuindo,