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Universidade Federal Rural do Semi-A´rido Eletromagnetismo – Lista de Exerc´ıcios Cap´ıtulo 21 e 22 Professor Gustavo Rebouc¸as Questo˜es Cap´ıtulo 21 1. Justifique as seguintes afirmac¸o˜es: (a) Uma casca com uma distribuic¸a˜o uniforme de carga atrai ou repele uma part´ıcula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga da casca es- tivesse situada no centro. (b) Se uma part´ıcula carregada esta´ situ- ada no interior de uma casca com uma dis- tribuic¸a˜o uniforme de carga, a casca na˜o exerce nenhuma forc¸a eletrosta´tica sobre a part´ıcula. OBS: Use argumentos, figuras es- quema´ticas e o ma´ximo de informac¸o˜es para justificar estas afirmac¸o˜es. 2. A Figura mostra quatro sistemas nos quais part´ıculas carregadas sa˜o mantidas fixas sobre um eixo. Em quais desses sistemas existe um ponto a` esquerda das part´ıculas no qual um ele´tron estaria em equil´ıbrio? ([1] Pergunta 1, pa´gina 15) 3. A Figura mostra duas part´ıculas carrega- das sobre um eixo. As cargas teˆm liberdade para se mover: entretanto, e´ poss´ıvel colo- car uma terceira part´ıcula em um ponto tal que as treˆs part´ıculas fiquem em equil´ıbrio. (a) Esse ponto esta´ a` esquerda das duas primeiras part´ıculas, a` direita ou entre elas? (b) A carga da terceira part´ıcula deve ser positiva ou negativa? (c) O equil´ıbrio e´ esta´vel ou insta´vel? ([1] Pergunta 2, pa´gina 15) 4. Na figura, uma part´ıcula central de carga −2q esta´ cercada por um quadrado de part´ıculas carregadas, separadas por uma distaˆncia d ou d/2. Quais sa˜o o mo´dulo e a orientac¸a˜o da forc¸a eletrosta´tica total exer- cida sobre a part´ıcula central pelas outras part´ıculas? (Sugesta˜o: Levando em conta a simetria do problema, e´ poss´ıvel simpli- ficar consideravelmente os ca´lculos.) ([1] Pergunta 6, pa´gina 15) 5. Qual deve ser a distaˆncia entre a carga pontual q1 = 26, 0 µC e a carga pon- tual q2 = −47, 0 µC para que a forc¸a ele- trosta´tica entre as duas cargas tenha um mo´dulo de 5,70 N? ([1] Problema 1, pa´gina 16) 6. Duas part´ıculas de mesma carga sa˜o colo- cadas a 3, 2× 10−3 m de distaˆncia uma da outra e liberadas a partir do repouso. A acelerac¸a˜o inicial da primeira part´ıcula e´ 7, 0 m/s2 e a da segunda e´ 9,0 m/s2 Se a massa da primeira part´ıcula e´ 6, 3 × 10−7 kg, determine (a) a massa da segunda part´ıcula: (b) o mo´dulo da carga de cada part´ıcula. ([1] Problema 2, pa´gina 16) 1 7. A Figura mostra duas part´ıculas positiva- mente carregadas situadas em pontos fixos do eixo x. As cargas sa˜o q1 = l, 60×10−19C e q2 = 3, 20 × 10−19C, e a distaˆncia en- tre as cargas e´ R = 0, 0200 m. Deter- mine o mo´dulo e a orientac¸a˜o da forc¸a ele- trosta´tica ~F12 exercida pela part´ıcula 2 so- bre a part´ıcula 1. ([1] Exemplo 21-1(a), pa´gina 8) 8. A Figura e´ ideˆntica a` Figura do problema anterior, exceto pelo fato de que agora existe uma part´ıcula 4. A part´ıcula 4 tem uma carga q4 = −3, 20 × 10−19 C, esta´ a uma distaˆncia 1 4 R da part´ıcula 1 e esta´ sobre uma reta que faz um aˆngulo θ = 60◦ com o eixo x. Determine a forc¸a de atrac¸a˜o eletrosta´tica ~F1,tot exercida so- bre a part´ıcula 1 pelas part´ıculas 2 e 4. ([1] Exemplo 21-1(b), pa´gina 8) 9. A Figura e´ mostra uma part´ıcula 4 com carga carga q4 = −3, 20 × 10−19 C, esta´ a uma distaˆncia 3R/4 da part´ıcula 1 e esta´ sobre uma reta que faz um aˆngulo θ = 60◦ com o eixo x. Determine a forc¸a eletrosta´tica F1,T ot exercida sobre a part´ıcula 1 pelas part´ıculas 2 e 4 em termos de vetores unita´rios. Em seguida deter- mine a direc¸a˜o da forc¸a encontrada, mostre tambe´m graficamente. 10. Qual deve ser a distaˆncia entre a carga pontual q1 = 26, 0 µC e a carga pon- tual q2 = −47, 0 µC para que a forc¸a ele- trosta´tica entre as duas cargas tenha um mo´dulo de 5,70 N? ([1] Problema 1, pa´gina 8) 11. Duas part´ıculas de mesma carga sa˜o colo- cadas a 32 × 10−3 m de distaˆncia uma da outra e liberadas a partir do repouso. A acelerac¸a˜o inicial da primeira part´ıcula e´ 7, 0 m/s2 e a da segunda e´ 9,0 m/s2 Se a massa da primeira part´ıcula e´ 6, 3 × 10−7 kg, determine: (a) a massa da segunda part´ıcula; (b) o mo´dulo da carga de cada part´ıcula. ([1] Problema 2, pa´gina 16) 12. Na figura, duas esferas condutoras iguais, A e B, esta˜o separadas por uma distaˆncia a (entre os centros) muito maior que os raios das esferas. A esfera A tem uma carga po- sitiva +Q, e a esfera B e´ eletricamente neu- tra. Inicialmente na˜o existe nenhuma forc¸a eletrosta´tica entre as esferas. (Suponha que a carga induzida nas esferas possa ser desprezada porque as esferas esta˜o muito afastadas.) (a) As esferas sa˜o ligadas momentanea- mente por um fio Condutor suficiente- mente fino para que a carga que se acumula no fio possa ser desprezada. Qual e´ a forc¸a eletrosta´tica entre as esferas depois que o fio e´ removido? (b) A esfera A e´ ligada momentaneamente a` terra e, em seguida. a ligac¸a˜o com a terra e´ removida. Qual e´ a nova forc¸a ele- trosta´tica entre as esferas? [R. (a) F = 1 16pi�0 (Q a )2, (b) 0] ([1] Exemplo 23-3, pa´gina 11) 13. A figura mostra a configurac¸a˜o de equil´ıbrio de uma pequena esfera A e um peˆndulo B que possuem cargas de mesmo mo´dulo. 2 a) O que pode ser afirmado sobre os sinais das cargas de A e B? b) Se tgα = 4 3 e a massa de B e´ 0,1 kg, determine os mo´dulos das cargas de A e B. [R. (a) As cargas A e B possuem sinais contra´rios ja´ que ha´ forc¸a de atrac¸a˜o en- tre elas. (b) 1, 2× 10−6 C] ([3] Questa˜o 627, pa´gina 101) 14. Duas cargas ele´tricas puntiformes Q1 = Q2 = 4Q1 esta˜o fixas nos pontos A e B, dis- tantes 30 cm. Em que posic¸a˜o (x) deve ser colocada uma carga Q3 = 2Q1 para ficar em equil´ıbrio sob ac¸a˜o somente de forc¸as ele´tricas? [R. 10 cm] ([3] Questa˜o 629, pa´gina 104) 15. As cargas ele´tricas puntiformes Q1 e Q2, posicionadas em pontos fixos conforme o esquema abaixo, manteˆm, em equil´ıbrio, a carga ele´trica puntiforme q alinhada com as duas primeiras. De acordo com as indicac¸o˜es do esquema, calcule o mo´dulo da raza˜o Q1 Q2 . [R. 9] ([3] Questa˜o 629, pa´gina 104) 16. Duas pequenas esferas de pla´stico possuem cargas ele´tricas positivas. Quando esta˜o separadas por uma distaˆncia igual a 15, 0 cm, a forc¸a de repulsiva entre elas possui mo´dulo igual a 0,220 N. Qual sera´ a carga de cada esfera. (a) se as cargas das esferas forem iguais? (b) Se a carga de uma esfera for o qua´druplo da carga da outra esfera? ([2] Exerc´ıcio 21.7, pa´gina 32) 17. A Figura e´ ideˆntica a` Figura do problema anterior, exceto pelo fato de que agora existe uma part´ıcula 4. A part´ıcula 4 tem uma carga q4 = −3, 20 × 10−19 C, esta´ a uma distaˆncia 3 4 R da part´ıcula 1 e esta´ sobre uma reta que faz um aˆngulo θ = 60◦ com o eixo x. Determine a forc¸a de atrac¸a˜o eletrosta´tica ~F1,tot exercida so- bre a part´ıcula 1 pelas part´ıculas 2 e 4. ([1] Exemplo 21-1(c), pa´gina 8) 18. Na figura, a part´ıcula 1, de carga 1, 0µ C, e a part´ıcula 2, de carga −3, 0µ C, sa˜o man- tidas a uma distaˆncia L = 10, 0 cm uma da outra sobre um eixo x. Determine (a) a coordenada x e (b) a coordenada y de uma part´ıcula 3 de carga desconhecida q3 para que a forc¸a total exercida sobre ela pelas part´ıculas 1 e 2 seja nula. ([1] Problema 15, pa´gina 17) [R. (a) −14 cm; (b) O] 19. Duas cargas puntiformes esta˜o localizadas no lado positivo do eixo Ox de um sistema de coordenadas. A carga q1 = 1, 0 nC esta´ localizada a 2,0 cm da origem, e a carga q2 = −3, 0 nC, esta´ localizada a 4,0 cm da origem. Qual e´ a forc¸a total exercida por essas duas cargas sobre uma carga q3 = 5, 0 nC localizada na origem? As forc¸as gra- vitacionais sa˜o desprez´ıveis. ([2] Exemplo 21-2, pa´gina 10) 20. Na figura, quatro part´ıculas formam um quadrado. As cargas sa˜o q1 = q4 = Q e q2 =q3 = q. (a) Qual deve ser o valor da raza˜o Q/q para que a forc¸a eletrosta´tica total a que 3 as part´ıculas 1 e 3 esta˜o submetidas seja nula? (b) Existe algum valor de q para o qual a forc¸a eletrosta´tica a que todas as part´ıculas esta˜o submetidas seja nula? Justifique sua resposta. ([1] Problema 8, pagina 17) 21. Na figura do problema anterior, as cargas das part´ıculas sa˜o q1 = −q2 = 100 nC e q3 = −q4200 nC. O lado do quadrado e´ a = 5, 0 cm. Determine (a) a componente x e (b) a componente y da forc¸a eletrosta´tica a que esta´ submetida a part´ıcula 3. [R. (a) 0,17 N; (b) −0, 046 N] ([1] Problema 9, pagina 17) 22. Considere treˆs cargas pontuais localizado nos ve´rtices de um triaˆngulo, conforme mostrado na figura, onde q1 = q3 = 5, 0 µC, q2 = −2, 0 µC e a = 0, 10 m. Encontre a forc¸a resultante exercida em q3. [R. ~F = (−1, 1ˆi + 7, 9jˆ) N] ([5] Exemple 23.2, page 713) 23. Treˆs cargas pontuais esta˜o localizadas nos ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero con- forme a figura. Calcule a forc¸a resultante que atua sobre a carga 7,0 µC. [R. 0.872 N na direc¸a˜o 330◦] ([5] problem 23-7, page 731) 24. Duas pequenas esferas igualmente carrega- das, cada uma com massa de 3, 0 × 10−2 kg, esta˜o em equil´ıbrio conforme a figura. O comprimento de cada corda e´ 0,15 m, e o aˆngulo θ = 5, 0◦. Encontre a carga q. [R. 4, 4× 10−8 C] ([5] Exemple 23-4, page 714) 25. As cargas e coordenadas de duas part´ıculas mantidas fixas no plano xy sa˜o q1 = −3, 0 µ C, x1 = 3, 5 cm, y1 = 0, 50 cm e q2 = −4, 0 µ C, x2 = −2, 0 cm, y2 = 1, 5 cm. Deter- mine (a) o mo´dulo e (b) a orientac¸a˜o da forc¸a eletrosta´tica que a part´ıcula 1 exerce sobre a part´ıcula 2. Determine tambe´m (c) a coordenada x e (d) a coordenada y de uma terceira part´ıcula de carga q3 = +4, 0 µ C para que a forc¸a exercida sobre ela pelas part´ıculas l e 2 seja nula. [R. (a)35 N; (b)−10◦; (c)−8, 4 cm;(d)+2, 7 cm] ([1] Problema 17, pagina 18) 26. Treˆs esferas ideˆnticas, muito leves, esta˜o penduradas por fios perfeitamente isolan- tes, num ambiente seco, conforme mostra a figura. Num determinado instante, a esfera A (QA = 20µ C) toca a esfera B (QB = 2µ C); apo´s alguns instantes, afasta- se e toca na esfera C (QC = 6µ C), retornando a` posic¸a˜o inicial. 4 Apo´s os contatos descritos, as cargas das esferas A, B e C sa˜o, respectivamente, iguais a (em C): a) QA = 1, 5 – QB = 9, 0 – QC = 1, 5; b) QA = 1, 5 – QB = 11, 0 – QC = 9, 0; c) QA = 2, 0 – QB = −2, 0 – QC = −6, 0; d) QA = 9, 0 – QB = 9, 0 – QC = 9, 0; e) QA = 9, 0 – QB = 9, 0 – QC = 1, 5; 27. Um sistema e´ constitu´ıdo por um corpo de massa M, carregado positivamente com carga Q, e por outro corpo de massa M, carregado negativamente com carga Q. Em relac¸a˜o a este sistema pode-se dizer que: a) sua carga total e´ –Q e sua massa total e´ 2M b) sua carga total e´ nula e sua massa total e´ 2M c) sua carga total e´ +2Q e sua massa total e´ 2M d) sua carga total e´ +Q e sua massa total e´ nula e) sua carga total e´ nula e sua massa total e´ nula 28. Aproximando-se uma barra eletrizada de duas esferas condutoras, inicialmente des- carregadas e encostadas uma na outra, observa-se a distribuic¸a˜o de cargas esque- matizada na figura abaixo. 29. A figura mostra as esferas meta´licas, A e B, montadas em suportes isolantes. Elas esta˜o em contato, de modo a formarem um u´nico condutor descarregado. Um basta˜o iso- lante, carregado com carga negativa, −q, e´ trazido para perto da esfera A, sem toca´- la. Em seguida, com o basta˜o na mesma posic¸a˜o, as duas esferas sa˜o separadas. 30. Campos eletrizados ocorrem naturalmente em nosso cotidiano. Um exemplo disso e´ o fato de algumas vezes levarmos pe- quenos choques ele´tricos ao encostarmos em automo´veis. Tais choques sa˜o devidos ao fato de estarem os automo´veis eletrica- mente carregados. Sobre a natureza dos 5 corpos (eletrizados ou neutros), considere as afirmativas a seguir: I. Se um corpo esta´ eletrizado, enta˜o o nu´mero de cargas ele´tricas negativas e po- sitivas na˜o e´ o mesmo. II. Se um corpo tem cargas ele´tricas, enta˜o esta´ eletrizado. III. Um corpo neutro e´ aquele que na˜o tem cargas ele´tricas. IV. Ao serem atritados, dois corpos neu- tros, de materiais diferentes, tornam-se eletrizados com cargas opostas, devido ao princ´ıpio de conservac¸a˜o das cargas ele´tricas. V. Na eletrizac¸a˜o por induc¸a˜o, e´ poss´ıvel obter-se corpos eletrizados com quantida- des diferentes de cargas. Sobre as afirmativas acima, assinale a al- ternativa correta. a) Apenas as afirmativas I, II e III sa˜o ver- dadeiras. b) Apenas as afirmativas I, IV e V sa˜o ver- dadeiras. c) Apenas as afirmativas I e IV sa˜o verda- deiras. d) Apenas as afirmativas II, IV e V sa˜o verdadeiras. e) Apenas as afirmativas II, III e V sa˜o ver- dadeiras. 31. Uma esfera meta´lica tem carga ele´tri ca ne- gativa de valor igual a 3, 2× 104 C. Sendo a carga do ele´tron igual a 1, 6 × 1019 C, pode-se concluir que a esfera conte´m: a) 2× 1015 ele´trons b) 200 ele´trons c) um excesso de 2× 1015 ele´trons d) 2× 1010 ele´trons e) um excesso de 2× 1010 ele´trons Questo˜es Cap´ıtulo 22 Perguntas 32. A figura mostra treˆs configurac¸o˜es de campo ele´trico representadas por linhas de campo. Nas treˆs configurac¸o˜es, um pro´ton e´ liberado no ponto A a partir do repouso e acelerado pelo campo ele´trico ate´ o ponto B .A distaˆncia entre A e B e´ a mesma nas treˆs configurac¸o˜es. Ordene as configurac¸o˜es de acordo com mo´dulo do momento linear do pro´ton no ponto B, em ordem crescente. ([1] Pergunta 1, pa´gina 41) 33. A figura mostra quatro orientac¸o˜es de um dipolo ele´trico em relac¸a˜o a um campo ele´trico externo. Coloque as orientac¸o˜es na ordem (a) do mo´dulo do torque a que esta´ submetido o dipolo e (b) da energia poten- cial do dipolo, comec¸ando pelo maior valor. 34. A figura mostra quatro sistemas nos quais quatro part´ıculas carregadas esta˜o unifor- memente espac¸adas a` esquerda e a` direita de um ponto central. Os valores das car- gas esta˜o indicados. Ordene os sistemas de acordo com o mo´dulo do campo ele´trico no ponto central, em ordem decrescente.([1] Pergunta 2, pa´gina 41) 35. A figura mostra dois conjuntos de part´ıculas carregadas em forma de qua- drado. Os lados dos quadrados, cujo centro 6 e´ o ponto P, na˜o sa˜o paralelos. A distaˆncia entre as part´ıculas situadas no mesmo qua- drado e´ d ou d/2. Determine o mo´dulo e a direc¸a˜o do campo ele´trico total no ponto P. ([1] Pergunta 4, pa´gina 41) 36. Na figura duas part´ıculas de carga −q esta˜o dispostas simetricamente em relac¸a˜o ao eixo y e produzem campos ele´tricos em um ponto P situado sobre o mesmo eixo. (a) Os mo´dulos dos dois campos no ponto P sa˜o iguais? (b) Os campos apontam na direc¸a˜o das cargas ou para longe das car- gas? (c) O mo´dulo do campo ele´trico total no ponto P e´ igual a` soma dos mo´dulos E dos campos ele´tricos produzidos pelas duas cargas (ou seja, e´ igual a 2E)? (d) As componentes x dos campos produzidos pelas duas cargas se somam ou se cance- lam? (e) As componentes y se somam ou se cancelam? (f) A direc¸a˜o do campo to- tal no ponto P e´ a das componentes que se sornam ou a das componentes que se cancelam? (g) Qual e´ a direc¸a˜o do campo total?([1] Pergunta 4, pa´gina 41) 37. A figura mostra dois discos e um anel plano, todos com a mesma carga uniforme Q. Ordene os objetos de acordo com o mo´dulo ele´trico criado no ponto P (situ- ado a` mesma distaˆncia vertical), em ordem decrescente.([1] Pergunta 11, pa´gina 43) Problemas 38. Na figura as linhas de campo ele´trico do lado esquerdo teˆm uma separac¸a˜o duas ve- zes maior que as linhas do lado direito. (a) Se o mo´dulo do campo ele´trico no ponto A e´ 40 N/C, qual e´ o mo´dulo da forc¸a aque e´ submetido um pro´ton no ponto A? (b) Qual e´ o mo´dulo do campo ele´trico no ponto B?([1] Problema 1, pa´gina 43) 39. Fac¸a um esboc¸o das linhas de campo ele´trico entre duas cascas esfe´ricas condu- toras conceˆntricas e do lado de fora da casca de maior raio, supondo que existe uma carga positiva uniforme q1 na casca de menor raio e uma carga negativa uniforme −q2 na casca de maior raio. Considere os casos q1 > q2, q1 = q2 e q1 < q2. 40. Qual e´ o mo´dulo de uma carga pontual cujo campo ele´trico a 50 cm de distaˆncia tem um mo´dulo de 2,0 N/C? [R. 5, 6× 10−11 C ] ([1] Problema 3, pa´gina 43) 41. Qual e´ o mo´dulo de uma carga pontual ca- paz de criar um campo ele´trico de 1,00 N/C em um ponto a 1,00 m de distaˆncia? [R. 1, 1× 10−10 C] ([1] Problema 4, pa´gina 43) 42. O nu´cleo de um a´tomo de plutoˆnio 239 conte´m 94 pro´tons. Suponha que o nu´cleo e´ uma esfera com 6,64 fm de raio e que a carga dos pro´tons esta´ distribu´ıda uni- formemente nessa esfera. Determine (a) o mo´dulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora) do campo ele´trico produzido pe- los pro´tons na superf´ıcie do nu´cleo. [R.(a) 7 3, 07 × 1021 N/C] ([1] Problema 5, pa´gina 43) 43. Duas part´ıculas sa˜o mantidas fixas sobre o eixo x: a part´ıcula 1 de carga −2, 00×10−7 C, no ponto x = 6, 00 cm, e a part´ıcula 2, de carga +2, 00 × 10−7 C, no ponto x = 21, 0 cm. Qual e´ o campo ele´trico total a meio caminho entre as part´ıculas, em termos dos vetores unita´rios? [R. ~ET = E1+E2 =?(6, 39×105N/C )ˆi] ([1] Problema 6, pa´gina 43) 44. Duas part´ıculas sa˜o mantidas fixas sobre o eixo x: a part´ıcula 1, de carga q1 = 2, 1 × 10−8 C, no ponto x = 20 cm, e a part´ıcula 2, de carga q2 = −4, 00q1, no ponto x = 70 cm. Em que ponto do eixo x o campo ele´trico total e´ nulo? [R. −30 cm] ([1] Problema 7, pa´gina 43) 45. Na figura a part´ıcula 1, de carga q1 = −5, 00q, e a part´ıcula 2, de carga q2 = +2, 00q, sa˜o mantidas fixas sobre o eixo x. (a) Em que ponto do eixo, em termos da distaˆncia L, o campo ele´trico total e´ nulo? (b) Fac¸a um esboc¸o das linhas de campo ele´trico. [R. x ≈ 2, 72L] ([1] Problema 8, pa´gina 43) 46. Na figura as quatro part´ıculas formam um quadrado de lado a = −5, 00 cm e teˆm cargas q1 = +10, 0 nC, q2 = −20, 0 nC, q3 = +20, 0 nC e q4 = −10, 0 nC. Qual e´ o campo ele´trico no centro do quadrado, em termos dos vetores unita´rios? [R. ~E = 1, 02× 10−5jˆ] ([1] Problema 9, pa´gina 43) 47. Na figura as quatro part´ıculas sa˜o manti- das fixas e teˆm cargas q1 = q2 = +5e, q3 = +5e e q4 = −12e. A distaˆncia d = 5, 0 µ m. Qual e´ o mo´dulo do campo ele´trico no ponto P? [R. ~ET = 0(zero)] ([1] Problema 10, pa´gina 43) 48. A figura mostra duas part´ıculas carrega- das mantidas fixas sobre o eixo x: −q = −3, 20 × 10−19 C. no ponto x = −3, 00 m, e q = 3, 20× 10−19 C, no ponto x = +3, 00 m. Determine (a) o mo´dulo e (b) a ori- entac¸a˜o (em relac¸a˜o ao semi-eixo x posi- tivo) do campo ele´trico no ponto P , para o qual y = 4, 00 m.[R. 1, 38× 10−10N/C] ([1] Problema 11, pa´gina 44) 49. A figura (a) mostra duas part´ıculas car- regadas mantidas fixas sobre o eixo x a uma distaˆncia L uma da outra. A raza˜o q1/q2 entre os valores absolutos das cargas das duas part´ıculas e´ 4, 00. A figura (b) mostra a componente x. ETot,x, do campo ele´trico no eixo x, a` direita da part´ıcula 2, em func¸a˜o de x. A escala do eixo x e´ defi- nida por x = 30, 0 cm. (a) Para que valor de x > O o valor de ETot,x e´ ma´ximo? (b) Se a carga da part´ıcula 2 e´ −q2 = −3e, qual e´ o valor desse campo ma´ximo?[R. (a) 34,00 cm, (b) 2, 2 × 10−8N/C ] ([1] Pro- blema 12, pa´gina 44) 8 50. Na figura as treˆs part´ıculas sa˜o mantidas fixas no lugar e teˆm cargas q1 = q2 = +e e q3 = +2e. A distaˆncia a = 6, 00 µm. Determine (a) o mo´dulo e (b) a direc¸a˜o do campo ele´trico no ponto P. [R. (a) 160,0 N/C, (b) -45◦ com o eixo x ou 315◦] ([1] Problema 12, pa´gina 44) 51. A figura mostra um arranjo irregular de ele´trons (e) e pro´tons (p) sobre um arco de circunfereˆncia de raio r = 2, 00 cm. Com aˆngulos θ1 = 30, 0 ◦, θ2 = 50, 0◦, θ3 = 30, 0◦ e θ4 = 20, 0 ◦. Determine (a) o mo´dulo e (b) a orientac¸a˜o (em relac¸a˜o ao semieixo x positivo) do campo ele´trico no centro do arco. [R. (a) 3, 93 × 10−6 N/C, (b) -76,4◦ com o eixo x] ([1] Problema 14, pa´gina 44) 52. As equac¸o˜es 22-7 e 22-8 [1] fornecem o valor aproximado do mo´dulo do campo ele´trico de um dipolo ele´trico em pontos sobre o eixo do dipolo. Considere um ponto P so- bre este eixo a uma distaˆncia z = 5, 00d do centro do dipolo, onde d e´ a distaˆncia entre as part´ıculas que formam o dipolo. Seja Eapr o valor aproximado do mo´dulo do campo no ponto P , dado pelas equac¸o˜es 22-8 e 22-9, e Ever o valor verdadeiro do campo. Determine a raza˜o Eapr/Ever. 53. A figura mostra um dipolo ele´trico. De- termine (a) o mo´dulo e (b) a orientac¸a˜o (em relac¸a˜o ao semi-eixo x positivo) do campo ele´trico produzido pelo dipolo em um ponto P situado a uma distaˆncia r >> d. [R. (a) E = 1 4pi�0 qd [(d/2)2+r2]3/2 , para r >> d, E ≈ 1 4pi�0 qd r3 , (b) na direc¸a˜o de −jˆ ] ([1] Problema 19, pa´gina 44) Linha de carga 54. Densidade de carga (a) Uma carga de −300e esta´ distribu´ıda uniformemente em um arco de circun- fereˆncia de 4, 00 cm de raio, que subtende um aˆngulo de 40◦. Qual e´ a densidade li- near de cargas do arco? (b) Uma carga de −300e esta´ distribu´ıda uniformemente em uma das superf´ıcies de um disco circular de 2, 00 cm de raio. Qual e´ a densidade superficial de cargas da su- perf´ıcie? (c) Uma carga de −300e esta´ distribu´ıda uniformemente na superf´ıcie de uma esfera de 2,00 cm de raio. Qual e´ a densidade superficial de cargas da superf´ıcie? (d) Uma carga de −300e esta´ distribu´ıda uniformemente em uma esfera de 2,00 cm de raio. Qual e´ a densidade volume´trica de cargas da esfera? 55. A figura mostra uma barra de pla´stico com uma carga −Q uniformemente distribu´ıda. A barra tem a forma de um arco de cir- cunfereˆncia de 120◦ de extensa˜o e raio r. Os eixos de coordenadas sa˜o escolhidos de tal forma que o eixo de simetria da barra e´ o eixo x e a origem P esta´ no centro de curvatura do arco. Em termos de Q e r. 9 Mostre que o campo ele´trico produzido no ponto P e´ dado por: 3Q √ 3 16pi2�0r2 [4] Dicas: Use senθ = √ 3/2; o compri- mento de um arco e´ L = 2pir/3 (1/3 de arco); 56. Na figura uma barra fina de vidro forma uma semicircunfereˆncia de raio r. Uma carga +q esta´ distribu´ıda uniformemente ao longo da barra. (a) Mostre que o mo´dulo do campo ele´trico ~E no ponto P e´ dado por: 1 4pi�0 2 √ 2|q| pir2 [4] Dicas: O comprimento de um pedac¸o de arco e´ dado por L = θr (θ em radianos); sen(pi/4) = √ 2/2 (b) Qual a direc¸a˜o do campo ele´trico ~E? 57. Na figura uma barra fina de vidro forma urna semicircunfereˆncia de raio r = 5, 00 cm. Uma carga +q = 4, 50 pC esta´ dis- tribu´ıda uniformemente na metade supe- rior da barra, e uma carga −q = −4, 50 pC esta´ distribu´ıda uniformemente na metade inferior. Determine (a) o mo´dulo e (b) a orientac¸a˜o (em relac¸a˜o ao semi-eixo x posi- tivo) do campo ele´trico ~E no ponto P , situ- ado no centro do semic´ırculo. [R. (a) 20,6 N/C; (b) na direc¸a˜o de −jˆ, ou −90◦ com o semi-eixo positivo de x] ([1] Problema 24, pa´gina 45) Dica: Use os dados do problema anterior. 58. Na figura uma barra curva de pla´stico, de carga +q, forma uma semi-circunfereˆncia de raio R no plano xy. A carga esta´ dis- tribu´ıda uniformemente ao longo do arco. Mostre que o campo ele´trico no ponto P e´: E = λ 2pi�0R 59. Na figura duas barras curvas de pla´stico, uma de carga +q e outra de carga −q, for- mam uma circunfereˆncia de raio R = 8, 50 cm no plano xy. O eixo x passa pelos dois pontos de ligac¸a˜o entreos arcos, e a carga esta´ distribu´ıda uniformemente nos dois arcos. Se q = 15, 0pC, determine (a) o mo´dulo e (b) a orientac¸a˜o (em relac¸a˜o ao semi-eixo x positivo) do campo ele´trico ~E, no ponto P , situado no centro da circun- fereˆncia.[R. (a) 23,8 N/C; (b) na direc¸a˜o de −jˆ, ou −90◦ com o semi-eixo positivo de x] ([1] Problema 24, pa´gina 45) 10 [Dica: use os resultados obtidos no pro- blema anterior] 60. (Campo ele´trico de um anel uniformemente carregado) A figura mostra um anel de raio a uniformemente carregado com uma carga total Q. (a) Mostre que o campo ele´trico em um ponto P ao longo do eixo central a uma distaˆncia x e´ dado por: E = Qx 4pi�0(x2 + a2)3/2 (b) Mostre que para um ponto P muito dis- tante do anel o campo ele´trico e´ igual ao campo de uma carga pontual. (c) Mostre que no centro do anel o campo ele´trico e´ nulo. ([5] Exemple 23-8, page 23). 61. Para um um disco uniformemente carre- gado o campo ele´trico. (a) Mostre que em um ponto P localizado ao longo do eixo central perpendicular ao plano do disco e´ dado por: E = σ 2�0 ( 1− x (x2 +R2)1/2 ) (b) Mostre para R → ∞ o campo ele´trico e´ constante e igual a: E = σ 2�0 (c) Podemos dizer que para o item (b) este e´ o campo ele´trico de uma placa uniforme- mente carregada? Justifique. 62. Na figura, uma barra na˜o-condutora de comprimento L = 8, 15 cm tem uma carga −q = −4, 23 fC uniformemente dis- tribu´ıda. (a) Qual e´ a densidade linear de cargas da barra? (b) Mostre que o mo´dulo do campo ele´trico gerado pela barra no ponto P e´ dado por: E = q 4pi�0a(L+ a) (c) Qual a direc¸a˜o do campo ele´trico pro- duzido pela barra no ponto P? (d) Mostre que para um ponto muito dis- tante da barra o campo ele´trico se com- porta como o campo ele´trico de uma carga pontual de carga iqual a carga total da barra. ([1] Problema 27, pa´gina 46) 63. (Campo ele´trico em fio carregado - IM- PORTANTE) Na figura, uma carga posi- tiva q = 7, 81 pC esta´ distribu´ıda uniforme- mente em uma barra fina, na˜o-condutora, de comprimento L = 14, 5 cm. (a) Mostre que o mo´dulo do campo ele´trico gerado pelo fio no ponto P e´ dado por: ~E = q 2pi�0R 1√ L2 + 4R2 11 (b) Determine o mo´dulo e a orientac¸a˜o (em relac¸a˜o ao semi-eixo x positivo) do campo ele´trico produzido no ponto P , situado so- bre a mediatriz da barra, a uma distaˆncia R = 6, 00 cm da barra. [R. 12,4 n/C ; na direc¸a˜o de +jˆ, ou 90◦ com o semi-eixo po- sitivo x] ([1] Problema 24, pa´gina 45) 64. (Campo ele´trico em fio carregado - IM- PORTANTE) Na figura uma barra (ou fio) na˜o-condutora “semi-infinita” (ou seja, in- finita apenas em um sentido) possui uma densidade linear de cargas uniforme λ. (a) Mostre que o campo ele´trico ~E no ponto P faz um aˆngulo de 45◦ com a barra e que esse resultado na˜o depende da distaˆncia R. (Sugesta˜o: Calcule separadamente as com- ponentes de ~Ep nas direc¸o˜es paralela e per- pendicular a` barra.) Ou seja mostrar que: ~Ex = − λ 4pi�0R e ~Ey = − λ 4pi�0R (b) Mostre que o mo´dulo do campo ele´trico de um fio infinito carregado em um ponto P a uma distaˆncia R do fio e´ dado por: Ex = 0 e Ey = λ 2pi�0R (c) Qual a direc¸a˜o do campo ele´trico para o fio carregado positivamente e para o fio carregado negativamente. ([1] Problema 33, pa´gina 47) Uma Carga Pontual em um Campo Ele´trico 65. Um ele´tron e´ liberado a partir do repouso em um campo ele´trico uniforme de mo´dulo 2, 00×104 N/C. Determine a acelerac¸a˜o do ele´tron. (Ignore os efeitos da gravitac¸a˜o.) [R. 3, 31 × 10−15 m/s2] ([1] Problema 39, pa´gina 47) 66. Explique o experimento de Millikan. 67. No experimento de Millikan, uma gota de o´leo com um raio de 1, 64 µm uma massa espec´ıfica de 0,851 g/cm3 permanece imo´vel na caˆmara C quando um campo vertical de 1, 92 × 10−5 N/C e´ aplicado. Determine a carga da gota em termos de e.[-5e] ([1] Problema 47, pa´gina 47) Refereˆncias [1] Fundamentos de F´ısica, Volume 1 : Mecaˆnica / David Halliday, Rohen Resnick. Jearl 8a Edic¸a˜o. [2] F´ısica I - Mecaˆnica - Houg D. Young / Roger A. Freedman 12a Edic¸a˜o. [3] F´ısica Simulada˜o - Jose´ Roberto Bonjorno / Regina Azenha Bonjorno. [4] Gustavo Lectures on Physics, 1st Edition. [5] Physics for Scientists and Engineers, Raymond A. Serway and John W. Jewett 6th Edition. 12
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