aula 4 Física III

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Física Geral e Experimental III
Rafael Lima
MSc. Engenharia Elétrica – PUC-RIO
engenheirorafael.professor@gmail.com
Sumário
• Energia potencial elétrica.
• Potencial elétrico.
• Superfícies equipotenciais.
• Potencial elétrico produzido por configurações de cargas.
• Cálculo do campo elétrico a partir do potencial.
Energia Potencial Elétrica
• Variação da energia potencial:
A variação da energia potencial é igual ao negativo do 
trabalho realizado.
∆𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = −𝑊
Energia Potencial Elétrica
Analogia gravitacional
partícula saindo de ℎ𝑖 para ℎ𝑓:
∆𝑈 = − 
ℎ𝑖
ℎ𝑓
𝑚 𝑔 ∙ 𝑑 𝑙 = 𝑚𝑔 
ℎ𝑖
ℎ𝑓
𝑑𝑙
Então:
𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = 𝑚𝑔 
ℎ𝑖
ℎ𝑓
𝑑𝑙 = 𝑚𝑔ℎ𝑓 − 𝑚𝑔ℎ𝑖
Energia Potencial Elétrica
Analogia gravitacional
partícula saindo de ℎ𝑖 para ℎ𝑓:
𝐸 =
 𝐹
𝑞0
→ 𝐹 = 𝑞0𝐸
Então:
𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = − 
ℎ𝑖
ℎ𝑓
𝑞0𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
Energia Potencial Elétrica
Analogia gravitacional
partícula saindo de ℎ𝑖 para ℎ𝑓:
𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = 𝑞0𝐸 
ℎ𝑖
ℎ𝑓
𝑑𝑙
Então:
𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = 𝑞0𝐸ℎ𝑓 − 𝑞0𝐸ℎ𝑖
𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = 𝑞0𝐸ℎ
Energia Potencial Elétrica
Analogia gravitacional
partícula saindo de ℎ𝑖 para ℎ𝑓:
𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = − 
ℎ𝑖
ℎ𝑓
𝑞0𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
Integral não depende do caminho, 
apenas dos pontos inicial e final:
Forças conservativas.
Energia Potencial Elétrica
A diferença da energia potencial eletrostática é o negativo
do trabalho realizado pela força do campo elétrico entre a
posição inicial e final.
Energia Potencial Elétrica
Variação da energia potencial
entre os pontos ℎ𝑖 para ℎ𝑓:
𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = − 
ℎ𝑖
ℎ𝑓
𝑞0𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
Sendo a distribuição 𝑄 finita:
𝑈𝑖 = 0 𝑟𝑖 → ∞
Uma partícula muito longe não 
apresenta interações.
Energia Potencial Elétrica
Portanto a função energia potencial
elétrica:
𝑈 𝑟 = − 
∞
𝑟
𝑞0𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑆𝐼: 𝐽 = 𝑁. 𝑚
Energia Potencial Elétrica
A energia potencial elétrica 𝑼 𝒓 é o negativo do trabalho
realizado pela força do campo elétrico sobre uma partícula
com carga 𝒒𝟎 para trazê-la do infinito até a posição 𝒓.
Potencial Elétrico
• Variação do potencial elétrico:
Unidade no SI: 
𝐽
𝐶
= 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞0
= 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖
Potencial Elétrico
• Variação do potencial elétrico:
Unidade no SI: 
𝐽
𝐶
= 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 
𝑖
𝑓 𝑞0𝐸
𝑞0
∙ 𝑑 𝑙
Potencial Elétrico
• Variação do potencial elétrico:
Unidade no SI: 
𝐽
𝐶
= 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 
𝑖
𝑓
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
Potencial Elétrico
• Função potencial elétrico:
Unidade no SI: 
𝐽
𝐶
= 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
𝑉 ∞ = 0 → 𝑉 𝑟 = − 
∞
𝑟
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
Potencial Elétrico
O potencial elétrico 𝑽 𝒓 em um ponto 𝒓 é o negativo do
trabalho que o campo realiza sobre a unidade de carga 𝒒𝟎
para trazê-la do infinito até o ponto.
Potencial Elétrico
Exemplo,
carga 𝑞0 deslocando em linha reta do 
ponto 𝑖 para o ponto 𝑓:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 
𝑖
𝑓
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
Então:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 
𝑖
𝑓
𝐸. 𝑑𝑙. cos 𝜃
Potencial Elétrico
Exemplo,
carga 𝑞0 deslocando em linha reta do 
ponto 𝑖 para o ponto 𝑓:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = −𝐸 
𝑖
𝑓
𝑑𝑙
Então:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = −𝐸𝑑
Potencial Elétrico
Exemplo,
carga 𝑞0 deslocando do ponto 𝑖 para o 
ponto 𝑓 passando por 𝑐:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 
𝑖
𝑓
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
Então:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 
𝑖
𝑐
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙 − 
𝑐
𝑓
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙
Potencial Elétrico
Exemplo,
carga 𝑞0 deslocando do ponto 𝑖 para o 
ponto 𝑓 passando por 𝑐:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = 0 − 𝐸 cos 𝜃 
𝑐
𝑓
𝑑𝑙
Então:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = −𝐸. 𝑐𝑓 cos 𝜃 = −𝐸𝑑
Potencial Elétrico
Cálculo da diferença de potencial 
independe do caminho!
Escolher o caminho mais conveniente.
𝑉𝑖 = 𝑉𝑓 + 𝐸𝑑
O sentido do campo elétrico é do maior 
para o menor potencial.
Uma carga positiva procura pontos de 
menor potencial, enquanto, uma carga 
negativa procura pontos de maior 
potencial.
Superfícies Equipotenciais
• São superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial.
• As linhas de campo são perpendiculares às superfícies equipotenciais.
• Um deslocamento ao longo de um equipotencial não requer trabalho.
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙 = 0
Superfícies Equipotenciais
• São superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial.
• As linhas de campo são perpendiculares às superfícies equipotenciais.
• Um deslocamento ao longo de um equipotencial não requer trabalho.
O trabalho realizado no deslocamento 
das trajetórias I e II é zero.
O trabalho realizado no deslocamento 
das trajetórias III e IV não é zero, porém 
têm o mesmo valor.
O cálculo da diferença de potencial 
independe do caminho!
Superfícies Equipotenciais
• São superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial.
• As linhas de campo são perpendiculares às superfícies equipotenciais.
• Um deslocamento ao longo de um equipotencial não requer trabalho.
𝐸 ∙ 𝑑 𝑙 = 0
Superfícies Equipotenciais
• Quais superfícies têm o maior potencial nos exemplos abaixo:
Potencial de uma carga pontual
Potencial V criado por uma carga 
pontual no ponto P.
Utilizar uma carga de prova 𝑞0
deslocando do ponto P até o infinito.
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 
𝑖
𝑓
𝐸 ∙ 𝑑 𝑠
Então:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 
𝑖
𝑓
𝐸. 𝑑𝑠. cos 𝜃
Potencial de uma carga pontual
Como a trajetória é radial pode-se 
substituir 𝑑𝑠 por 𝑑𝑟.
Como a trajetória inicia no ponto P e 
termina no infinito, teremos:
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 
𝑅
∞
𝐸. 𝑑𝑟
Onde:
𝑉𝑓 = 0 e 𝑉𝑖 = 𝑉 𝑅
Potencial de uma carga pontual
Campo elétrico onde está a carga:
𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟2
Então:
0 − 𝑉𝑖 = −
𝑞
4𝜋𝜀0
 
𝑅
∞ 1
𝑟2
𝑑𝑟
−𝑉𝑖 = −
𝑞
4𝜋𝜀0
− 
1
𝑟
∞
𝑅
=
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑅
Potencial de uma carga pontual
O potencial em um ponto r qualquer é:
𝑉 𝑟 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟
Uma partícula de carga positiva produz 
um potencial elétrico positivo, 
enquanto, uma partícula de carga 
negativa produz um potencial
elétrico negativo.
Potencial de um sistema de cargas
O potencial de uma carga 𝑞𝑖 no ponto P:
𝑉𝑖 𝑟𝑖 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Pelo princípio da superposição:
𝑉𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 
𝑖
𝑉𝑖 𝑟𝑖 =
1
4𝜋𝜀0
 
𝑖
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Potencial de um sistema de cargas
Qual o valor do potencial elétrico no 
ponto P?
Considere 𝑑 = 1,3𝑚
𝑞1 = +12𝑛𝐶, 𝑞2 = −24𝑛𝐶,
𝑞3 = +31𝑛𝐶 𝑒 𝑞4 = +17𝑛𝐶
Como o potencial elétrico é uma 
grandeza escalar, basta somar a 
contribuição de cada carga.
Pelo princípio da superposição:
𝑉𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 
𝑖
𝑉𝑖 𝑟𝑖 =
1
4𝜋𝜀0
 
𝑖
𝑞𝑖
𝑟𝑖
Potencial de um sistema de cargas
Então:
𝑉𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1
𝑟
+
𝑞2
𝑟
+
𝑞3
𝑟
+
𝑞4
𝑟
Como:
𝑟 = 0,919𝑚
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 36 × 10
−9𝐶:
Potencial de um sistema de cargas
Temos:
𝑉𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 =
8,99 × 109 × 36 × 10−9
0,919
Então:
𝑉𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 350𝑉 𝑜𝑢 350
𝐽
𝐶
Potencial de um dipolo
O potencial de um dipolo no ponto P:
𝑉 = 
𝑖=1
2
𝑉𝑖 𝑟𝑖
Então:
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝜌 cos 𝜃
𝑟2
Onde: 𝜌 = 𝑞𝑑
Potencial de uma distribuição contínua de cargas
O potencial produzido no ponto P
por uma distribuição
contínua de cargas:
𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
𝑑𝑞
𝑟
Então:
𝑉 = 𝑑𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
 
𝑑𝑞
𝑟
Potencial de uma distribuição contínua de cargas
Linha de cargas:
𝑉 = 𝑑𝑉 = 
0
𝐿 1
4𝜋𝜀0
λ 𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑑2 1/2
Então:
𝑉 =
λ
4𝜋𝜀0
ln
𝐿 + 𝐿2 + 𝑑2 1/2
𝑑
Potencial de uma distribuição contínua decargas
Disco carregado:
𝑉 = 𝑑𝑉 =
𝜎
2𝜀0
 
0
𝑅 𝑅′𝑑𝑅′
𝑧2 + 𝑅′2
Então:
𝑉 =
𝜎
2𝜀0
𝑧2 + 𝑅2 − 𝑧
OBRIGADO!