Aula Números Complexos

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Números Complexos 
Profª Adriana Mª Balena Tostes 
Motivação: 
—  Resolver a equação: 
 x2 + 1 = 0 
Introdução 
 Os números complexos surgiram para 
sanar uma das maiores dúvidas que 
atormentavam os matemáticos: Qual o 
resultado da operação x² + 1 = 0 ? 
 
Unidade Imaginária (i) 
 Por isso, foi criado uma unidade imaginária, 
que denominamos algebricamente como i, que 
e levado ao quadrado resu l te em -1 , 
matematicamente: 
 
 i² = -1 , logo, 
 Esse novo conceito possibilitou a operação de 
extrair uma raiz de índice par e radicando negativo. 
Exemplos √−4 = &4. (−1) = √4 . √−1 = 2𝑖	
√−1 = &1. (−1) = √1 . √−1 = 𝑖	
O conjunto dos Números Complexos 
(¢) 
No século XIX demonstrou-se que os números complexos formavam 
um conjunto numérico que estava de acordo com a teoria dos 
conjuntos. A teoria também mostrou que eles englobavam o conjunto 
dos números reais, como representado abaixo. 
Potências de i 
Nas potências de “i” notam-se regularidades de 
quatro em quatro no expoente: 
ii
i
ii
i
−=
−=
=
=
3
2
1
0
1
1
ii
i
ii
i
−=
−=
=
=
7
6
5
4
1
1
Desse modo, para encontrar o resultado de qualquer potência, 
dividimos o expoente por 4 e resolvemos a potência utilizando como 
expoente o resto da divisão. 
Exemplo 
1047 
 3 
4 
261 
i1047 = i3 = -i 
Exercício: 
1- Calcular i147 + i149+ i521 
R: i 
i3 + i1+ i1 = -i+i+i=i 
Apresentações dos Números 
Complexos 
 Os números complexos podem ser 
apresentados de três formas: 
 
— Par ordenado 
— Forma Algébrica 
— Forma Trigonométrica 
Par ordenado 
Chama-se conjunto dos números complexos o conjunto C de todos os pares 
ordenados de números reais para os quais valem as propriedades de 
igualdade, adição e multiplicação. 
Forma algébrica 
O número complexo possui uma parte real 
e outra imaginária. Como a parte imaginária 
conta com a presença do i, sua forma 
algébrica é: 
Parte real 
z = a + bi 
Parte 
imaginária 
Exemplos: 
2 + 4i → número complexo a=2 e b=4 
8 - 2i → número complexo a=8 e b=-2 
6i → número complexo puro ou imaginário puro (a=0) 
4 → número real (b=0) 
i² → número real 
Conjugado de um número complexo 
Um número complexo z = a + bi possui 
um conjugado que é representado por z̅, 
onde: 
 
Z̅ = a – bi 
(lê-se conjugado de z) 
Exemplos 
Dados os números complexos, 
encontrar seus respectivos conjugados: 
 
z = 2 – 4i → 2 + 4i 
z = i → -i 
z = 1 + 2i → 1 - 2i 
z = 2 → 2 
z = -3 – 8i → -3 + 8i 
 
Operações com números complexos na 
forma algébrica 
1- Adição e Subtração: 
 Para somar e subtrair números 
complexos deve-se efetuar as operações na 
parte real e imaginária separadamente. 
 
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 
Exemplos 
(2 + 4i) + (3 + i) = (2 + 3) + (4 + 1)i = 5 + 5i 
 
(1 + 4i) – (2 - 7i) = (1 - 2) + (4 + 7)i = -1 +11i 
 
(3 + i) – (4 + i) = (3 - 4) + (i - i) = -1 
 
 i + (2 + 4i) = 2 + (1 + 4)i = 2 + 5i 
Multiplicação com números complexos 
na forma algébrica 
 Para efetuar a multiplicação aplica-se 
simplesmente a distributiva: 
 
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² ∴ 
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci – bd ∴ 
(a + bi)(c + di) = a(c + di) + b(-d + ci) 
Exemplos 
a) (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i – 3 = -1 + 5i 
 
 
b) 2 (1 + i) = 2 + 2i 
 
 
c) (2 - i)(-3 + 2i) = -6 +4i +3i – 2i² = -4 + 7i 
Divisão com números complexos na forma 
algébrica 
Para se dividir números complexos, deve-se 
multiplicar ambos os números pelo conjugado 
do complexo do denominador. 
 
 
22
21
2
1
.
.
zz
zz
z
z
=
Exemplo 
22
5
1
23
2
5
11
5
1
23
1
2233
1
23
)1)(1(
)1)(23(
1
23
2
2
i
i
i
ii
i
i
i
iii
i
i
ii
ii
i
i
−=
+
+
−
=
+
−
=
+
+
−
−+−
=
+
+
−+
−+
=
+
+
Exercícios 
1)  Sendo z1 = 2+3i, z2 = 4 - 3i e z3 = -1+i, calcular: 
 
a)  z1 + z2 
b)  z1 + z3 
c)  z2 – z3 
d)  z1 + z2 + z3 
e)  z1 . z2 
f)  z1 . z3 
g)  z12 
h)  z1 / z2 
i)  z3 / z1 
a)  6 
b)  1 + 4i 
c)  5 – 4i 
d)  5 + i 
e)  17 + 6i 
f)  -5 – i 
g)  -5 + 12i 
h)  -1/25 + 18/25i 
i)  1/13 + 5/13 i 
Número complexo no plano de Argand-Gauss 
Como vimos, os números complexos 
podem ser representados num plano, 
onde a reta das abscissas é a reta dos 
números reais e a das ordenadas é a reta 
dos números complexos. Esse plano é 
denominado plano de Argand-Gauss. 
O número complexo z = a + bi é representado, no plano 
de Argand-Gauss, pelo ponto P(a, b). P é chamado de 
imagem de z, e z é denominado afixo do ponto P. 
Representação por um ponto 
Exemplo 
Representar no plano de Argand-Gauss o número 
complexo z = 3 + 2i 
1 2 3 4 
 
 
 
2
 
 
z = 3 + 2i 
y (reta imaginária) 
x (reta dos reais) 
Módulo de um número complexo (ρ) 
No gráfico, o módulo de um número complexo z = a + bi é 
o segmento de reta que vai do ponto origem O(0,0) até o 
ponto do P(a, b) do número complexo z. O argumento de 
z é o ângulo que esta forma com o eixo das abscissas em 
sentido anti-horário. 
z = a + bi 
ρ 
θ = arg(z) 
Exemplos: 
—  Calcule o módulo de: 
a) z= 3 + 4i 
b) z= 3i 
a)  ρ=5	
b)  Ρ=3 
Argumento de um número complexo (θ) 
22 ba +=ρ
ρ
θ
ρ
θ
a
b
=
=
cos
sin
z = a + bi 
ρ 
θ=arg(z) 
a 
b 
0 ≤ θ≤ 2π 
Exemplos: 
Determine os argumentos dos números complexos em 
graus e em radianos: 
a) z=1 + √3 i	
b) z = 3i	
c) z= -√3 + i	
d) z= -2 –i 
e) z= 2- i	
a)  θ=60º = π/3 	
b)  θ= 90º = π/2 	
c)  θ= 150º = 5π/6 	
d)  θ=206,6º= 	
e)  θ= 333,4º	
Forma trigonométrica 
Utilizando as relações dadas e aplicando-as à 
forma algébrica, obtemos a forma trigonométrica 
de um número complexo. 
θρ
ρ
θ
θρ
ρ
θ
coscos =∴=
=∴=
aa
senbbsen
biaz +=
isenz θρθρ += cos
)(cos θθρ isenz +=
b) z=4(cos 45º + i sen 45º) 
Exemplos: 
Passar para a forma trigonométrica o número complexo 
a) z = 1 + i√3 
b) z = 2√2 + 2√2 i 
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=∴+=
===
==+=+=
3
sin
3
cos2)sin(cos
3
)arg(
2
1cos
2
3sin
243131
22
ππ
θθρ
π
ρ
iziz
zxx
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insert it again.
Operações com números complexos na forma 
trigonométrica - Multiplicação 
Para multiplicar números complexos na 
forma trigonométrica utilizamos a 
fórmula: 
[ ])()cos( 21212121 θθθθρρ +++= isenzz
Operações com números complexos na forma 
trigonométrica - Divisão 
A fórmula para efetuar a divisão entre dois 
números complexos na forma trigonométrica é a 
seguinte: 
( ) ( )[ ]2121
2
1
2
1 θθθθ
ρ
ρ
−+−= isen
z
z cos
Operações com números complexos na 
forma trigonométrica - Potenciação 
Para efetuar a potenciação entre números 
complexos na forma trigonométrica 
utilizamos esta fórmula: 
( ) ( )[ ]θθρ nisennz nn += cos
Operações com números complexos na 
forma trigonométrica – Radiciação 
De forma análoga à potenciação, para efetuar 
a radiciação com números complexos na 
forma trigonométrica utilizamos a formula: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
n
ki
n
kw n πθπθρ 22 sincos
Exemplo: 
 
Se z=8(cos 60º + i sen 60º) calcule a raizcúbica de z. 
 
 
 
Resp.: 
K=0 z0 = 2. (cos 20º + i sen 20º) 
K=1 z0 = 2. (cos 140º + i sen 140º) 
K=2 z0 = 2. (cos 260º + i sen 260º)