APOL 2 - 100

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APOL Números Complexos e Equações Algébricas - 100
Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto abaixo:
"[...] a trigonometria, no início uma auxiliar da Agrimensura e da Astronomia, tornou-se primeiramente autônoma e por fim transformou-se em uma parte da Análise Matemática, expressando relações entre números complexos, sem necessidade de recorrer a arcos ou ângulos."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: COSTA, N. M.L. A História da Trigonometria. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri2014/modulo5/mod3_pdf/historia_triogono.pdf>. Acesso em 06 Fev 2018.
Com base no fragmento de texto acima e nos conteúdos sobre números complexos do Livro-base Números complexos e equações algébricas determine z1z2z1z2.
Considere
 z1=12.(cos2π3+i.sen2π3)z1=12.(cos2π3+i.sen2π3)
z2=5.(cosπ3+i.senπ3)z2=5.(cosπ3+i.senπ3)
Nota: 10.0
	
	A
	z1z2= 512 .(cosπ3+i.senπ3)z1z2= 512 .(cosπ3+i.senπ3)
	
	B
	z1z2= 125 .(cosπ3+i.senπ3)z1z2= 125 .(cosπ3+i.senπ3)
Você acertou!
De acordo com o Livro-base, a divisão na forma trigonométrica é realizada através da fórmula:
z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)]z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)]
Substituindo os valores na formula, teremos:
z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3)z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3)
Livro-base p.113
	
	C
	z1z2= 125 .(cos2π3+i.sen2π3)z1z2= 125 .(cos2π3+i.sen2π3)
	
	D
	z1z2= 512 .(cos2π3+i.sen2π3)z1z2= 512 .(cos2π3+i.sen2π3)
	
	E
	z1z2= 512.(cosπ+i.senπ)z1z2= 512.(cosπ+i.senπ)
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
O número complexo
z=3(cox5π4+i sen5π4)z=3(cox5π4+i sen5π4)
pode ser escrito na forma algébrica z=a+biz=a+bi.
Com isto e de acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, a parte real Re(z)Re(z)e aparte imaginária Im(z)Im(z) são, respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	√2222   e    √2222
	
	B
	3√232    e   3√232
	
	C
	−3√2−32    e   −3√2−32
	
	D
	−3√22−322    e    −3√22−322
Você acertou!
Sabendo que  cos5π4=−√22cos5π4=−22 e  sen5π4=−√22sen5π4=−22 e, substituindo esses valores no número complexo zz, temos:
z=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−√22+i.(−√22))z=3(−√22−i.√22)z=−3√22−3√22.iz=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−22+i.(−22))z=3(−22−i.22)z=−322−322.i
Logo, Re(z)=−3√22Re(z)=−322 e Im(z)=−3√22Im(z)=−322 .
Livro-base, p.81-126.
	
	E
	−3√22−322    e    3√22322
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia a informação a seguir:
Mário gosta muito de matemática e lançou um desafio para seus colegas. Ele propôs que os colegas adivinhassem a palavra misteriosa e para isso indicou as seguintes etapas:
- Considere z=2+iz=2+i e w=3+2iw=3+2i;
- Descubra o conjugado de ww.
- Some zz com o conjugado de ww.
- Chame o número complexo encontrado com a adição acima de vv (v=a+bi)(v=a+bi). Identifique aa e bb de vv. 
- Descubra as sílabas da palavra misteriosa a partir de vv. 
Considerando as informações acima e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre números complexos, resolva o desafio proposto por Mário e identifique a palavra misteriosa, unindo as sílabas correspondentes à aa e bb, nessa ordem:
Nota: 10.0
	
	A
	SOLA
	
	B
	SOMA
Você acertou!
Seguindo os passos do desafio teremos ~w=3−2iw~=3−2i e z+~w=2+i+3−2i=5−iz+w~=2+i+3−2i=5−i. Logo, v=5−iv=5−i.
Desse modo, a=5a=5 e b=−1b=−1.
Verificamos na tabela as sílabas SO e MA.
(livro-base, p. 96-97 e 101-103).
	
	C
	CAMA
	
	D
	CANAL
	
	E
	LEGAL
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=5−2iz1=2+3iz2=5−2i
Com base nos dados fornecidos e nos contéudos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1−z2z1−z2.
Nota: 10.0
	
	A
	3+i3+i
	
	B
	3+5i3+5i
	
	C
	−3+5i−3+5i
Você acertou!
2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i
(livro-base, p. 95-97)
	
	D
	−3+i−3+i
	
	E
	16−19i16−19i
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o seguinte fragmento de texto:
 “Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x2–10x+40=0x2–10x+40=0”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SANTOS, G. T. Números complexos.  <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC5.docx.pdf>. Acesso em 19 set. 2018.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre a resolução de equações, analise as asserções a seguir, marcando como V as proposições verdadeiras e com F as proposições falsas.
I. (  ) Uma equação de segundo grau cujo delta é negativo não tem solução no conjunto dos números complexos.
II. (  ) No conjunto dos números complexos, a solução para a equação x2+8=0x2+8=0 é S={−4i,4i}.S={−4i,4i}.
III. (  ) A unidade imaginária torna possível a resolução de algumas equações que não têm solução no conjunto dos números reais. 
IV. (  ) 2i é uma das soluções da equação quadrática x2+4=0x2+4=0.
Agora, marque a alternativa que apresenta a ordem correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – F – F
	
	B
	F – F – V – V
Você acertou!
As afirmativas I e II são falsas pois é possível resolver equações com delta negativo no conjunto dos complexos e a resposta da equação x2+8=0x2+8=0 é S={−2√2i,2√2i}S={−22i,22i}. As afirmativas III e IV são verdadeiras, pois “com o surgimento desse número i, tornou-se possível a resolução de equações que, até o momento, não tinham soluções em R”. As soluções para a equação x2+4=0x2+4=0 são 2i2i e −2i−2i (livro-base, p. 83-85).
	
	C
	V – F – V – F
	
	D
	V – F – V – V
	
	E
	F – F – F – V
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A primeira fórmula de De Moivre diz respeito ao cálculo de potências de números complexos na forma trigonométrica e é escrita por zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)].
Com base nessa informação e nos conteúdos de números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a alternativa correta para (1+i)4.(1+i)4.
Nota: 10.0
	
	A
	z4=(cos4π+i.sen4π)z4=(cos4π+i.sen4π)
	
	B
	z4=(cosπ+i.senπ)z4=(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z4=4.(cos4π+i.sen4π)z4=4.(cos4π+i.sen4π)
	
	D
	z4=4.(cosπ+i.senπ)z4=4.(cosπ+i.senπ)
Você acertou!
Escrevendo 1+i1+i na forma trigonométrica:
a=1     b=1ρ=√12+12=√2a=1     b=1ρ=12+12=2
senθ=bρ=1√2=√22cosθ=aρ=1√2=√22senθ=bρ=12=22cosθ=aρ=12=22
Logo, θ=π4θ=π4.
Assim, 1+i1+i na forma trigonométrica é escrito: z=√2(cosπ4+i.senπ4)z=2(cosπ4+i.senπ4)
Aplicando a fórmula de De Moivre:
zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(√2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)
Livro-base p. 113-114
	
	E
	z4=4.(cos2π+i.sen2π)z4=4.(cos2π+i.sen2π)
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para resolver uma multiplicação entre dois números complexos utilizamos a propriedade distributiva a qual nos leva a uma simples equação.
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e sabendo que
z1=10(cos2π3+i sen2π3)z1=10(cos2π3+i sen2π3)
e
z2=4(cos5π3+i sen5π3)z2=4(cos5π3+i sen5π3)
Calcule z1.z2z1.z2 e indique a resposta correta:
Nota: 10.0
	
	A
	z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)
Você acertou!
Para encontrar o valor de z1.z2z1.z2, após utilizarmos a propriedade distributiva, realizamos os cálculos abaixo:
z1.z2=r1.r2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=r1.r2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)
Livro-base, p. 112.
	
	B
	z1.z2=40(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=40(cos5π3+i sen5π3)
	
	C
	z1.z2=10(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=10(cos7π3+i sen7π3)
	
	D
	z1.z2=10(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=10(cos5π3+i sen5π3)
	
	E
	z1.z2=4(cos5π3+isen5π3)z1.z2=4(cos5π3+i sen5π3)
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para a seguinte informação:
Um número complexo tem a forma algébrica z=a+biz=a+bi, sendo aa e bb números reais. Dependendo dos valores de aa e bb, o complexo pode ser um número imaginário puro. 
Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre a forma algébrica de um número complexo, escolha os valores apropriados para xx de modo que o número complexo z=x+(x−3)iz=x+(x−3)i seja um número imaginário puro.
Nota: 10.0
	
	A
	00
Você acertou!
Para que o número complexo seja um imaginário puro, ele deve ter a=0a=0 e b≠0b≠0. 
Nesse caso, x=0x+3≠0→ x≠−3x=0x+3≠0→ x≠−3
Como 0≠−30≠−3, x=0x=0. 
(livro-base, p. 88-89).
	
	B
	−3−3
	
	C
	33
	
	D
	ii
	
	E
	−i−i
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Um número complexo z=a+biz=a+bi pode ser escrito na forma trigonométrica z=ρ(cosθ+i.senθ)z=ρ(cosθ+i.senθ).
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, analise as alternativas que seguem. Na sequência, escolha a melhor alternativa para a forma trigonométrica de z = 4:
Nota: 10.0
	
	A
	z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4
	
	B
	z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0)
Você acertou!
z=4+0ia=4     b=0ρ=√a2+b2ρ=√42+02=√16=4z=4+0ia=4     b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4
Para cálculo de θθ:
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0.
(Livro-base p. 109-111).
	
	C
	z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0
	
	D
	z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A representação geométrica de um número complexo é dada por z=a+bi,z=a+bi,  com z≠0,z≠0, tal que aa é denominada parte real (Re(z)=aRe(z)=a) e bb a parte imaginária
(Im(z)=b)Im(z)=b). Outra forma de representar um número complexo é a forma trigonométrica ou polar z=ρ(cosθ+isenθ)z=ρ(cosθ+isenθ), com 0≤θ≤2π0≤θ≤2π.  
Com base no texto acima e no Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre o conteúdo de número complexos, responda:
A parte real Re(z)Re(z) e a parte imaginária Im(z)Im(z) do número complexo z=3.(cos5π4+i.sen5π4)z=3.(cos5π4+i.sen5π4) são, respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	√22 e √2222 e 22
	
	B
	3√2 e 3√232 e 32
	
	C
	−3√2 e −3√2−32 e −32
	
	D
	−3√22 e −3√22−322 e −322
Você acertou!
z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−√22+i.−√22)=z=−3√22−3√22iRe(z)=−3√22 e Im(z)=−3√22z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−22+i.−22)=z=−322−322iRe(z)=−322 e Im(z)=−322
Livro-base pp. 85-89.
	
	E
	−3√22 e 3√22−322 e 322