Princípio Variacional na Física

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2 Princípio Variacional
Muitos problemas da natureza, aparentemente complicados, podem ser en-
tendidos de forma simples. Por exemplo, vamos considerar uma corda bem
flexível pendurada na parede pelos dois pontos extremos (Ver Fig.1).
Fig.1 Uma corda flexível pendurada.
Porque ela fica nesta forma particular? Existe alguma razão pela qual a
forma da corda tem que ficar assim? Será que podemos expressar matem-
aticamente a forma desta curva? A resposta é sim e pelo menos, a parte da
razão é bem simples.
Considere uma situação em que uma parte da corda seja ligeiramente
levantada ou puxada (Fig.2).No que difere esta configuração da configuração
anterior? Obviamente, se retirarmos a força que puxa a corda (indicada pela
seta), a corda voltará para a configuração anterior (Fig.1). Isto ocorre devido
ao seu peso, ou seja, devido à força gravitacional que atua na corda.
Vamos pensar em termos da energia em vez de pensar em termos de
forças. Isto porque, já vimos que na Equação de Hamilton na Mec.I, que a
quantidade escalar é mais fácil de tratar.
Para puxar a corda, deformando-a da sua configuração estável, precisamos
deslocar a parte da corda com a força externa. Isto é, a configuração da corda
da Fig.2 ganhou um trabalho em relação a da Fig.1. Podemos considerar que
a quantidade da energia dada em termos do trabalho feito da força que puxa
8
a corda fica arrumazenada na corda1 como a energia potencial gravitacional.
Fig. 2
Assim, podemos concluir que a configuração da Fig.1 deve ter o valor do
potencial gravitacional menor que o da Fig.2. Também concluimos que a
força gravitacional atua sempre na direção de diminuir o valor do potencial
gravitacional do sistema. Isto é sempre verdade pois, é sempre necessário
fornecer a energia para levantar um objeto contra seu peso, isto é, a força
gravitacional que atua nele.
Do fato de que a configuração da Fig.1 é sempre recuperada para qualquer
outra deformação da corda, podemos concluir que a configuração da corda
na Fig.1 deve corresponder ao menor valor da energia potencial gravitacional
dentro de todas as configurações fisicamente permitidas.
• Em equilíbrio, a corda assume a configuração cuja energia potencial
seja a menor possível.
Podemos utilizar o fato acima como a condição de determinar a forma da
corda em equilíbrio. Isto é, podemos formular a questão como
• Qual é a forma de uma curva que tenha o menor energia possível?
Deste modo, a essência do problema é quase similar ao seguinte problema
inteiramente diferente, mas mais fácil.
“Considere uma corda de complimento l. Qual é o retângulo cercado por
esta corda que tem a maior área?”
Para resolver um problema como este, é fundamental expressar-lo em
termos de linguagem matemática apropriada. O método variacional é muito
poderoso para vários problemas da física, não só do ponto de vista prático,
1Mais precisamente, a energia é arrumazenada no campo gravitacional e não é na
corda. Mas aqui, não consideramos o campo gravitacional como um componente dinâmica
do sistema, atribuimos a carregador da energia gravitacional a corda.
9
mas também do ponto de vista formal como veremos mais adiante. Vamos
começar fazendo uma revisão das matérias triviais de cálculo:
2.1 Variação de funções
Vamos considerar primeiro o problema de se obter o ponto mínimo (ou máx-
imo) de uma função,
y = f(x). (1)
Seja o ponto x = xm o ponto mínimo (ou máximo). Neste caso, sabemos que
o mínimo (ou máximo) é dado pelo ponto onde a derivada é nula,
df
dx
¯¯¯¯
x=xm
= 0. (2)
Isto significa que a variação de y em torno do ponto x = xm é nula até a
primeira ordem2 em δx,
δy|x=xm ≡ f(xm + δx)− f (xm)
=
df
dx
¯¯¯¯
x=xm
δx+O(δx2)→ 0. (3)
Ou seja, a Eq.(2) é equivalente a dizer que
δy|x=xm = 0 (4)
para qualquer variação infinitesimal δx. Isto é,
δy|x=xm = 0 para ∀δx até primeira ordem em δx⇐⇒
df
dx
¯¯¯¯
x=xm
= 0. (5)
2Já sabemos a expansão de Taylor de uma função em torno de um valor de x = x0:
f(x) = f(x0) + f 0(x0)δx+
1
2
f 00(x0)δx2 + · · · 1n!f
(n)(x0)δxn + · · ·
= (1 + δx
d
dx
+ · · · 1
n!
δxn
dn
dxn
+ · · · )f(x)
¯¯¯¯
x=x0
=
³
eδx
d
dx
´
f(x)
¯¯¯
x=x0
onde δx = x − x0. Daqui por diante consideraremos apenas variações de uma função ou
funcional até a primeira ordem, exceto quando for especificado diferentemente.
10
A Eq.(2) constitui uma equação que determina quem é xm, quando f(x) for
especificada. Por exemplo, seja
f(x) = x2 + 2x+ 5, (6)
então,
df
dx
= 2x+ 2 (7)
portanto, xm deve satisfazer a equação,
2xm + 2 = 0. (8)
Daí, temos
xm = −1.
De fato, da Eq.(6), temos
f(x) = (x+ 1)2 + 4, (9)
que obviamente tem o mínimo em x = −1.
2.2 Função de multi-variãveis
Na Mecânica I, vimos que para uma função de duas variáveis,
y = f(x1, x2), (10)
podemor generalizar a série de Taylor como
f(x1, x2) = f(x10, x20) + δx1
∂f
∂x1
+ δx2
∂f
∂x2
+ · · · (11)
onde δx1 = x1 − x10 e δx2 = x2 − x20.
Num desenvolvimento matemático, é essencial utilizar as notações sim-
plificadores. Porisso, vamos introduzir a notação vetorial. Consideramos o
par de variáveis,
(x1, x2)
como um par de coordenadas no espaço bidimensional. Então, podemos
associar o par ao vetor posição,
r =
µ
x1
x2
¶
. (12)
11
Assim, a função de duas variáveis pode ser considerada como a função de
posição,
f(x1, x2) = f(r).
Da mesma forma, podemos introduzir o vetor gradiente ∇f da função f por
∇f =
µ
∂f /∂x1
∂f /∂x2
¶
=
µ
∂ /∂x1
∂ /∂x2
¶
f (13)
Podemos considerar o simbolo ∇ como um operador diferencial que tem
componentes, como um vetor,
∇ =
µ
∂ /∂x1
∂ /∂x2
¶
. (14)
Com a notação vetorial, a quantidade entre [ ] na Eq.(11) pode ser escrita
na forma compacta,
δx1
∂
∂x1
+ δx2
∂
∂x2
= (δx1 δx2)
µ
∂ /∂x1
∂ /∂x2
¶
= δx ·∇ (15)
onde3
δx ≡
µ
δx1
δx2
¶
e utilizamos o produto escalar entre dois vetores de n componentes (no caso
acima n = 2),
a ·b = (a1 a2 · · · · an)
⎛
⎜⎜⎜⎝
b1
b2
...
bn
⎞
⎟⎟⎟⎠ = a
Tb = a1b1 + a2b2 + · · · anbn. (16)
Assim, podemos expressar a expansão de Taylor de uma função de duas
varáveis até a primeira ordem em δr por
f(r + δr) = f(r) + δr ·∇f(r) (17)
= (1 + δr ·∇) f(r) (18)
3Note que
δx ·∇
não é igual a
∇ · δx .
12
A vantagem do uso da notação vetorial é que nesta forma, o resultado não
depende de número de variáveis. Quando a função é de n variáveis, a fórmula
acima continua valendo se os vetores r e δr têm n componentes,
r =
⎛
⎜⎜⎜⎝
x1
x2
...
xn
⎞
⎟⎟⎟⎠ , δr =
⎛
⎜⎜⎜⎝
δx1
δx2
...
δxn
⎞
⎟⎟⎟⎠ ,
e o operador ∇ também tem n componentes;
∇ =
⎛
⎜⎜⎜⎝
∂/∂x1
∂/∂x2
...
∂/∂xn
⎞
⎟⎟⎟⎠ .
A afirmação acima pode ser confirmado para n = 3 diretamente e a extensão
para n geral parece ser natural. Mas devemos provar isto. Isto é, queremos
provar que uma função de n variáveis, a variação da função em até primeira
ordem de suas variáveis fica escrita como
δf ≡ f(r + δr)− f(r)
=
nX
i=1
δxi
µ
∂f
∂xi
¶
. (19)
Para mostrar isto, utilizamos a indução matemática.
1. Para n = 2, já mostrada que vale
f(r + δr) = f(r) +
2X
i=1
δxi
µ
∂f
∂xi
¶
.
para
r =
µ
x1
x2
¶
.
2. Suponhamos que, para um número inteiro n, vale
f(r + δr) = f(r) +
nX
i=1
δxi
µ
∂f
∂xi
¶
. (20)
13
para
r =
⎛
⎜⎜⎜⎝
x1
x2
...
xn
⎞
⎟⎟⎟⎠ .
Agora consideramos a função f acima depende não só de r = (x1, x2, ..., xn)
e uma outra variável xn+1,
f(r) = f (r, xn+1) .
Pela suposição, temos
f(r + δr, xn+1) = f(r, xn+1) +
nX
i=1
δxi
µ
∂f (r, xn+1)
∂xi
¶
.
Se xn+1 desloca para xn+1 + δxn+1, temos
f(r+δr, xn+1+δxn+1) = f(r, xn+1+δxn+1)+
nX
i=1
δxi
µ
∂f (r, xn+1 + δxn+1)∂xi
¶
Podemos considerar f(r, xn+1 + δxn+1) como função de xn+1, e ex-
pandindo pela série de Taylor, temos
f(r+δr, xn+1+δxn+1) = f(r, xn+1)+δxn+1
∂f (r, xn+1)
∂xn+1
+
nX
i=1
δxi
µ
∂f (r, xn+1)
∂xi
¶
(21)
até a primeira ordem em δxn+1 e δr. Definindo o vetor de n+ 1 com-
ponentes,
ξ =
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x1
x2
...
xn
xn+1
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠
,
podemos escrever a Eq.(21) como
f
³
ξ + δξ
´
= f
³
ξ
´
+ δξ · ∇f
³
ξ
´
,
provando que a Eq.(20) vale para n→ n+ 1.
14
3. De item 1 e item 2, provamos pela indução que a Eq.(20) é válida para
qualquer número inteiro positivo n.
Assim, a forma Eq.(17) vale para qualquer dimensão do vetor r.
2.3 Ordens superior
Uma vez provada nesta forma até a primeira ordem, podemos obter os termos
da expansão de Taylor a ordem mais alta. Para isto, notamos que
f (r + 2δr) = f (r + δr + δr)
= (1 + δr ·∇) f (r + δr)
= (1 + δr ·∇) (1 + δr ·∇) f (r)
= (1 + δr ·∇)2 f (r) ,
e podemos mostrar analogamente que
f (r +N δr) = (1 + δr ·∇)N f (r) .
Denotando
N δr = a,
temos
f (r + a) =
µ
1 +
1
N
a ·∇
¶N
f (r) . (22)
Isto só vale que o vetor de deslocamento
δr
é infinitesimal e, portanto,
a = Nδr
deve ser também infinitesimal, quando N é finito. Entretanto, podemos
escolher uma finito masN infinito, δr se torna infinitesimal. Assim, tomando
N →∞ na Eq.(22), a pode ser um vetor finito. Assim, para um deslocamento
finito a do vetor r, temos
f (r + a) = lim
N→∞
µ
1 +
1
N
a ·∇
¶N
f (r) . (23)
15
Já que
lim
N→∞
³
1 +
x
N
´N
= eX ,
Podemos escrever formalmente
f (r + a) = ea·∇f (r) ,
onde ea·∇ é definido por
ea·∇ =
∞X
n=0
1
n!
(a ·∇)n
= 1 + a ·∇+ 1
2!
(a ·∇)2 + 1
3!
(a ·∇)3 + · · ·
Finalmente, a expansão de Taylor para uma função de muitas variáveis fica
f (r + a) = f (r) +a ·∇f (r) + 1
2!
(a ·∇)2 f (r) + 1
3!
(a ·∇)3 f (r) + · · · (24)
Exercício: Mostre que o segundo termo na Eq.(24) pode ser expresso na
forma matricial,
1
2
(a ·∇)2 f(r) = 1
2
aT ·H · a, (25)
onde
H =
⎛
⎜⎜⎜⎜⎝
∂2f
∂x21
∂2f
∂x1∂x2
. . . ∂
2f
∂x1∂xn
∂2f
∂x1∂x2
∂2f
∂x22
...
. . .
∂2f
∂x1∂xn
∂2f
∂x2n
⎞
⎟⎟⎟⎟⎠
. (26)
Se a função f é uma escalar em relação a transformação de variáveis,
r→ r0 = Ar,
mostre que H é um tensor de rank 2 sob esta transformação.
A matriz H acima é chamado de Hessiana da função f . A expansão de
Taylor de uma função de n variáveis fica,
f(r + δr) = f(r) +
nX
i=1
δxi
µ
∂f
∂xi
¶
+
1
2!
nX
i=1
nX
j=1
Hijδxiδxj + · · · (27)
16
Em resumo, a expansão de Taylor de uma função é para agrupar a dependên-
cia da variação da função em mesmas potências de variações {δx0is} nos var-
iáveis. O primeiro termo é de ordem 0, o segundo é linearmente depende em
{δx0is}, o terceiro quadraticamente, e assim por diante.
Exercício: A expansão de Taylor até terceira ordem ficaria
f(r + δr) = f(r) +
nX
i=1
δxi
µ
∂f
∂xi
¶
+
1
2!
nX
i=1
nX
j=1
Hijδxiδxj+
+
1
3!
X
i
X
j
X
k
Tijkδxiδxjδxk + · · ·
Determine Tijk. Mostre que {Tijk} é um tensor de rank 3 quando f (r)
é um escalar em relação a transformação de coordenadas,
r→ r0 = Ar.
2.4 Funcional
Um funcional é uma função de uma função4. Por exemplo, a área entre uma
função, y = f(x) e o eixo horizontal X no intervalo [a, b] da variável x é dada
pela integral
A =
Z b
a
f(x)dx. (28)
A é um funcional de f . Isto é, o valor de A depende da forma de f . Escreve-
mos então A = A [f(x)]. Como sabemos, a integral acima é o limite n→∞
da soma,
A = lim
n→∞
nX
i=1
∆x fi (29)
= ∆x {f1 + f2 + · · · fn + · · · } , (30)
onde
fi = f(xi),
4Matematicamente falando, um funcional é mapeamento de um epaço vetorial ao corpo,
ou seja, o conjunto de números.
17
∆x =
b− a
n
,
e
xi = a+ (i− 1)∆x.
Desta forma, podemos considerarA como uma função (neste caso, é linear) de
{fi, i = 1, ...,∞}. Em geral, um funcional é nada mais do que uma função de
infinitas (contínua) variáveis. Por exemplo, a energia potencial gravitacional
da corda mencionada no início desta sessão é uma quantidade que depende
da forma da corda. Assim, a energia potencial da corda é um funcional da
forma da curva. Devemos calcular a energia potencial da corda para uma
dada configuração.
2.5 Energia Potencial da Corda Pendurada como Fun-
cional da Forma
Após estabelecido certos conceitos sobre funcional, vamos voltar o problema
da corda pendurada. Para calcular a energia potencial da corda, precisamos
especificar a natureza da corda. Por simplicidade, consideramos que a corda
é totalmente flexível. Seja a forma da corda expressa por uma função,
y = f(x), xa ≤ x ≤ xb. (31)
Aqui, a forma da função f(x) é o nosso objetivo de saber e, portanto, ainda
não está especificada. Mas independentemente da forma específica, podemos
expressar a energia potencial da corda como funcional da f .
Vamos dividir o intervalo [xa, xb] de x em n tirinhas iguais (ver a figura
abaixo). Cada tirinha tem a largura ∆x = (xb − xa) /n.
xi xi+1
Fig. 3
18
A energia potencial total é a soma das energias potenciais dos pequenos
segmentos, [xi, xi+1],
U =
nX
i=1
∆U[i,i+1].
Para n suficientemente grande, podemos considerar que a energia potencial
gravitacional do segmento [i, i+ 1] fica
∆U[i,i+1] = σ g∆l y¯[i,i+1]
onde σ é a densidade linear de massa da corda, ∆l é o comprimento do
segmento ( σ∆l = a massa do segmento), g é a constante da acceralação
gravitacional e y¯[i,i+1] é o valor médio da posição vertical do segmento (essen-
cialmente (yi + yi+1) /2). Podemos ainda considerar que o cada segmento
da corda é considerada como uma reta. O comprimento da corda dentro do
segmento é
dl[i,i+1] =
p
(xi+1 − xi)2 + (yi+1 − yi)2
= |xi+1 − xi|
s
1 +
µ
yi+1 − yi
xi+1 − xi
¶2
= ∆x
s
1 +
µ
dy
dx
¶2
= ∆x
s
1 +
µ
df
dx
¶2
.
Assim, a energia potencial total da corda fica,
U = lim
n→∞
nX
i=1
∆U[i,i+1] = gσ∆x lim
n→∞
y¯[i,i+1]
s
1 +
µ
dy
dx
¶2
= gσ
Z xb
xa
dx f(x)
s
1 +
µ
df
dx
¶2
. (32)
Como podemos ver, a energia potencial da corda foi expressa como um fun-
cional da forma da corda y = f(x), isto é, U = U [f(x)]. Só que, neste caso, o
valor da energia não só depende de f mas também depende da sua derivada,
df/dx. De qualquer modo, a derivada é a função da forma do f e, então, U
é uma função da forma da curva. Uma vez sabemos a função f(x), podemos
obter o valor do U . Quando mudamos a forma de f , pode mudar o valor do
U .
19
A consideração anterior indica que a forma da função f (x) da corda em
equilíbrio deve ser aquela forma que a energia potencial U seja o menor
possível entre todas as formas possíveis. Esta condição deve determinar a
forma da função f . No caso de mínimo de uma função, utilizamos a condição
de que a derivada anula no ponto. No caso funcional, devemos introduzir o
analogo da derivada, o que é chamado de derivada funcional.
3 Derivada Funcional - Expansão de Taylor
para um Funcional
Consideramos um funcional I de uma função f = f(x).
I = I [f(x)] . (33)
Note que o simbolo-x na expressão acima usado para expressar a variável da
função f é irrelevante no caso de um funcional. Ou seja, podemos escrever
igualmente
I = I [f(t)] , (34)
ou
I = I [f(z)] , (35)
etc. Isto porque, o valor do funcional depende da forma da função f , e não
importa a variável que expressar sua forma. Mais especificamente, vamos
considerar um funcional da forma,
I = I [f(x)] =
Z b
a
F (f(x))dx (36)
onde F é uma função qualquer. Por exemplo,
I =
Z b
a
ef(x)dx, (37)
ou
I =
Z b
a
1
f(x)2 + 1
dx, (38)
etc. Vejamoslogo que podemos escrever também como
I = I [f(t)] =
Z b
a
F (f(t))dt. (39)
20
Assim, é usual omitimos a variável da função dentro de um funcional e es-
crevemos apenas
I = I [f ] .
Aqui, é importante o uso do simbolo [ ] para indicar que I é um funcional.
Por outro lado, utilizamos o símbolo ( ) para expressar a função, por ex-
emplo,
L = L (f) .
Neste caso, L é uma função de só um valor de f no ponto específica da
variável do f . Por exemplo,
L (f) = sin (f (x))
e portanto, L depende de x. Mas o funcional,
I [f ] =
Z
dx sin (f (x)) .
já não depende de x, mas depende da forma, ou seja, depende de f para
todos os valores de x.
Já que podemos considerar um funcional como o análogo de uma função
de infinitas variáveis (contínuas), podemos também perguntar se existe o
análogo da expansão de Taylor para um funcional. A resposta é sim. Para
isto, consideremos uma pequena variação na função f por
f → f + δf
onde δf é uma função com amplitide infenitesimal. A variação do funcional
é, então, definida por
δI ≡ I [f + δf ]− I [f ] . (40)
Se o funcional é suave em f , então, em analogia a Eq.(27), devemos poder
escrever esta variação por
δI =
Z
dx δf(x)C (x) +
1
2!
Z
dx
Z
dy H(x, y)δf(x)δf(y) + · · · (41)
Esta é o análogo da expansão de Taylor de uma função F de n variáveis
{fα ;α = 1, ..., n},
δF (f1, f2, ..., fn) =
nX
α=1
δfaCα +
1
2!
nX
α=1
nX
β=1
Hαβδfαδβ + · · · .
21
Vemos que a quantidade C (x) corresponde a coeficiente Cα e a variável x
está fazendo o papel do indice α. Já que
Cα =
∂F
∂fα
,
é razoável escrever
C (x) ≡ δI
δf(x)
e é chamada de derivada funcional (a primeira ordem). Note que C (x) é
uma função de x, como a coeficiente Cα possui o indice α. Analogamente,
H (x, y) corresponde a Hessiana Hαβ, e denotamos por
H (x, y) ≡ δ
2I
δf(x)δf(y)
é a derivada funcional de segunda ordem. Ela é uma função de duas variáveis,
x e y.
Exemplo: A derivada funcional de funcional do tipo
I[f ] =
Z b
a
dx F (f(x)). (42)
Neste caso, temos
δI = I [f + δf ]− I [f ]
=
Z b
a
dx F (f(x) + δf(x))−
Z b
a
dx F (f(x))
=
Z b
a
dx {F (f(x) + δf(x))− F (f(x))}
A quantidade F (f(x) + δf(x)) − F (f(x)) para dado valor de x fixo
pode ser considerada como
F (f + δf)− F (f) = ∂F
∂f
δf +
1
2
∂2F
∂f2
(δf)2 + · · · , (43)
portanto,
δI =
Z b
a
dx
½
∂F
∂f
(x)δf(x) +
1
2
∂2F
∂f2
(x) (δf(x))2 + · · ·
¾
. (44)
22
Comparando com a definição de derivadas funcionais, temos
δI
δf(x)
=
∂F
∂f
(x), (45)
δ2I
δf(x)δf(y)
=
∂2F
∂f2
(x)δ(x− y), (46)
onde δ(x− y) é a função δ de Dirac.
Exercício: Calcule as derivadas funcionais (até segunda ordem) dos fun-
cionais, (28), (37) e (38).
4 Ponto estacionário de um funcional
Na física, surgem frequentemente questões para descobrir a forma de função
que minimiza (maximiza) um dado funcional. No caso de funções, o ponto
máximo ou mínimo de uma função é determinado pela condição de a derivada
da função no ponto seja nula. No caso de funcional, o máximo ou mínimo
de um funcional é dado pela uma forma da função para qual a derivada
funcional se anula. Vamos ver este ponto. Seja a forma da função que dá o
valor mínimo (ou máximo) fm. Então, por analogia com o argumento no caso
de função de muitas variáveis, a variação de primeira ordem do funcional em
tôrno desta função deve ser nula, ou seja,
δI = I [fm + δf ]− I [fm] = 0, ∀δf (47)
onde δf é uma função arbitrária cuja amplitude é infinitesimal para todos os
valores do seu argumento. Por outro lado, em termos de derivada funcional,
temos
δI =
Z
dx δf(x)
δI
δf(x)
¯¯¯¯
f(x)=fm(x)
, (48)
portanto, temos Z
dx δf(x)
δI
δf(x)
¯¯¯¯
f(x)=fm(x)
= 0, ∀δf (x) . (49)
Aqui, a condição,
∀δf (x)
(para qualquer δf arbitrária) é fundamental.
23
Exercício: Prove que se Z
dx A (x)B (x) = 0,
para qualquer A (x) arbitrária, então temos que ter
B (x) ≡ 0.
Usando o resultado do execício acima, da Eq.(49), devemos
δI
δf(x)
¯¯¯¯
f(x)=fm(x)
= 0, (50)
para todos os valores de x. Esta equação impõe uma condição para a função
fm(x). Por exemplo, seja
I [f ] =
Z b
a
dx
©
f(x)2 + 2f(x)
ª
. (51)
Neste caso, temos
δI
δf(x)
=
d
df
©
f 2 + 2f
ª
(x) = 2f(x) + 2. (52)
Assim, a função que estacionariza o funcional (51) deve satisfazer
2fm(x) + 2 = 0,
ou
fm(x) = −1 = const. (53)
isto é, a função fm deve ser uma constante, com valor −1.
Exercício: Mostre que este tipo de resultado, fm(x) = const. sempre ocorre
para qualquer funcional do tipo (36).
Exercício: Discute estacionaridade dos funcionais, (28), (37) e (38).
Para um funcional mais geral, a condição (50) fornece uma condição não
trivial como veremos a seguir.
24
5 Variação de um funcional que depende de
derivada - Equação de Euler-Lagrange
Como calcular a derivada funcional de um funcional mais generico? Por
exemplo, para o funcional tipo Eq.(32) não se aplica a fórmula, Eq.(45) ou
Eq.(46). Infelizmente não existe a fórmula geral para escrever a derivada
funcional diretamente para um dado funcional. Devemos aplicar a definição
da derivada funcional caso por caso. Mas existe uma classe de funcionais
que aparecem frequentemente nos problemas de física, para a qual, podemos
obter a fórmula para derivada funcional.
Vamos considerar um funcional com a forma5,
I[f ] =
Z xb
xa
L
µ
f,
df
dx
¶
dx (54)
onde L = L(f, g) é uma função dada de duas variáveis f e g. Calculamos a
variação do funcional associada a variação da função f ,
f → f + δf. (55)
A variação de I fica
δI ≡ I[f + δf ]− I[f ]
=
Z xb
xa
dx
½
L
µ
f + δf,
d(f + δf)
dx
¶
− L
µ
f,
df
dx
¶¾
. (56)
Utilizando a relação,
d(f + δf)
dx
=
df
dx
+
d(δf)
dx
,
e expandindo a função L nas suas variáveis, o primeiro termo da Eq.(56) fica,
L
µ
f + δf,
d(f + δf)
dx
¶
= L
µ
f,
df
dx
¶
+ δf
∂L
∂f
+
d(δf)
dx
∂L
∂
¡ df
dx
¢ + · · · , (57)
e, consequentemente, temos
δI =
Z xb
xa
dx
(
δf
∂L
∂f
+
d(δf)
dx
∂L
∂
¡ df
dx
¢) . (58)
5Muitos problemas na Mecânica se reduzem a este tipo de funcional. Na Mecânica, I
é referido como ação e L é chamado de função Lagrangeana.
25
Fazendo a integração por partes no segundo termo, a variação do I até
primeira ordem em δf fica
δI =
Z xb
xa
dxδf(x)
(
∂L
∂f
− d
dx
Ã
∂L
∂
¡ df
dx
¢!)+ "δf(x) ∂L
∂
¡ df
dx
¢#¯¯¯¯¯
x=xb
x=xa
, (59)
É bastante comum que as variações de f sejam feitas utilizando-se a condição
de que δf = 0 em x = xa e x = xb,
δf(xa) = δf(xb) = 0. (60)
Neste caso, o segundo termo da Eq.(59) anula e temos
δI =
Z xb
xa
dxδf(x)
(
∂L
∂f
− d
dx
Ã
∂L
∂
¡ df
dx
¢!) . (61)
e, portanto, pela definição, a derivada funcional de primeira ordem fica,
δI
δf
(x) =
∂L
∂f
− d
dx
Ã
∂L
∂
¡ df
dx
¢! . (62)
6 Equação de Euler-Lagrange: Ponto esta-
cionário de um funcional
Se fm(x) é a função que corresponde ao máximo (ou mínimo) de I, então
devemos ter
δI =
Z b
a
dxδf(x)
(
∂L
∂f
− d
dx
Ã
∂L
∂
¡ df
dx
¢!)
f=fm
≡ 0, (63)
para qualquer variação δf . Assim, concluímos que a função fm(x) tem que
satisfazer à equação diferencial,(
∂L
∂f
− d
dx
Ã
∂L
∂
¡ df
dx
¢!)
f=fm
= 0. (64)
Esta é chamada de Equação de Euler-Lagrange para o funcional (54). Em
geral, a Equação de Euler-Lagrange resulta numa equação diferencial de se-
gunda ordem.
26
Exercício: Considere uma função I({fi}) de n variáveis, {fi} = {f1, · · · , fn} ,
tipo
I = ∆x
X
i
L(fi,
1
∆x
(fi − fi−1)), (65)
onde ∆x = (xb − xa) /n e fi = f(xi) com xi = xa + (i− 1)∆x. Obvia-
mente, no limite de n→∞, (65) se recupera(54).
1. Calcule a derivada parcial (não funcional),
∂L
∂fi
2. Tomando o limite n → ∞, verifique que a expressão acima coin-
cide com a derivada funcional, a menos de um fator, 1/∆x.
Exercício: Obenha a equação de Euler-Lagrange das seguintes funcionais e
interprete a equação resultante.
I =
Z
dt L
µ
x,
dx
dt
¶
,
onde
1. L =
1
2
m
µ
dx
dt
¶2
− V (x) ,
2. L = −m
s
1− 1
c2
µ
dx
dt
¶2
.
Exercício: O que acontece para a equação de Euler-Lagrange quando na
Eq.(54) a Lagrangiana L contem a dependência explicita em t, ou seja,
I[f ] =
Z xb
xa
L
µ
f,
df
dx
; t
¶
dx ?
6.1 Exemplo: Mínimo da Energia Potencial da Corda
- I (Sem Vínculo)
Vamos aplicar a Equação de Euler-Lagrange (64) para a energia potencial
da corda pendurada. Note que o esquema da subseção anterior corresponde
27
exatamente ao processo de procurar a configuração da corda que tenha a
menor energia potencial gravitacional. O fato de que os dois extremos da
corda são fixos corresponde a condição de contorno Eq.(60). Identificamos
L = σ f
s
1 +
µ
df
dx
¶2
, (66)
portanto,
∂L
∂f
= σ
s
1 +
µ
df
dx
¶2
, (67)
e
∂L
∂
¡ df
dx
¢ = σf 1q
1 +
¡ df
dx
¢2 dfdx. (68)
Assim, pela Equação de Euler-Lagrange, a função y = fm(x) deve satisfazer
a equação diferencial,
d
dx
⎛
⎝ fq
1 +
¡ df
dx
¢2 dfdx
⎞
⎠ =
s
1 +
µ
df
dx
¶2
. (69)
Esta constitui uma equação diferencial de segunda ordem para f (x). À
primeira vista, parece ser muito complicada para resolver. Mas, neste caso,
uma pequena mudança de variável ajuda para simplificar a equação. Lem-
bramos que o pequeno elemento de comprimento da corda dl pode ser ex-
presso em termos de f por
dl =
p
dx2 + dy2 = dx
s
1 +
µ
df
dx
¶2
. (70)
A integral,
l(x) =
Z x
xa
dx
s
1 +
µ
df
dx
¶2
(71)
mede o comprimento da corda medido do ponto x = xa até x = x. Podemos
inverter (em princípio) esta relação
l = l(x)
28
e utilizar l como a variável em vez de x,
x = x(l).
Consequentemente, consideramos a função f(x) como a função de l. Neste
caso, temos
df(l)
dl
=
df
dx
dx
dl
=
1q
1 +
¡ df
dx
¢2 dfdx.
Assim, trocando a variável independente x para l, a Eq.(69) pode ser re-
escrita
d
dl
µ
f
df
dl
¶
= 1. (72)
Esta equação diferencial é fácil de ser integrada. A primeira integral em l
fica
f
df
dl
= l + C, (73)
Podemos escolher, sem perder a generalidade, que a coordenada y seja 0 para
x = xa, ou para l = 0,
f(l = 0) = 0. (74)
Com isto, temos C = 0. A segunda integral fica
1
2
f 2 =
1
2
l2 + C 0. (75)
Novamente, com a condição de f(0) = 0, temos C 0 = 0. Assim, concluimos
que
f(l) = ±l. (76)
Para expressar a função em termos de variável x, derivamos dois lados desta
equação em relação a x e temos
df
dx
= ± dl
dx
= ±
s
1 +
µ
df
dx
¶2
(77)
onde na segunda igualdade, utilizamos a Eq.(70). A equação (77) é obvia-
mente inconsistente, a menos que¯¯¯¯
df
dx
¯¯¯¯
→∞ ! (78)
29
Mas, se a Eq(78) seja verdadeira, então a forma da corda seria uma linha
vertical!! 6 O que significa isto? Será que algo errado no raciocínio?
Na verdade, a resposta (78) é correta dentro da pergunta formulada. A
pergunta foi, “Qual é a configuração da corda que minimiza a energia po-
tencial?” Nesta pergunta, não foi indicado nenhum momento que qual é o
comprimento da corda. Assim, na verdade, a pergunta foi, “Qual é a con-
figuração da corda que minimiza a energia potencial independentemente do
comprimento da corda?” Ou seja, foi permitido implicitamente que a corda
possa esticar livremente. Neste caso, obviamente, a configuração que tem
menor energia é tal que a corda estica indefinidamente, pendurada dos pon-
tos da extremidade (ver Fig.4).
Fig. 4
Assim, a resposta (78) estava correta dentro da pergunta formulada!.
O que não era correto era a pergunta em si. É interessante notar que a
matemática encontra a solução que se encaixa na pergunta como foi formu-
lada.
Agora, se quisermos a resposta para o problema inicialmente proposto,
devemos reformular a pergunta. A pergunta mais precisa é,
• “Qual é a configuração de uma corda, de dado comprimento, digamos
l0, pendurada nos dois pontos, que tenha a menor energia potencial
gravitacional?
6A mesma conclusão pode ser obtida diretamente da Eq.(76), pois se o valor da co-
ordenada vertical y do cada ponto da corda fica identica ao comprimento da corda até o
ponto, a corda deve estar na direção vertical.
30
Desta forma, a função y = f(x) que representa a forma da corda não será
mais tão arbitrária como antes. Da Eq.(71), o comprimento da corda total
deve ser igual a l0, Z xb
xa
dx
s
1 +
µ
df
dx
¶2
= l0 = const, (79)
o que não deve ser satisfeito pela fução f (x) tão artibrária. Ou seja, a Eq.(79)
constitui um vínculo para o problema de princípio variacional.
7 Vínculo e Método de Constante Multipli-
cadora de Lagrange
Frequentemente temos que incluir alguns vínculos entre variáveis para de-
terminar o mínimo de uma quantidade. Por exemplo, vamos considerar o
problema de encontrar o retângulo que tem o maior área possível, formado
de um fio de comprimento 2a. A área desta retângulo, com largura x e altura
y é
S = S(x, y) = xy. (80)
Queremos maximizar esta área. Mas aqui x e y não pode ser arbitrária, mas
têm que satisfazer a condição
x+ y = a. (81)
Se o vínculo for simples como este, poderíamos eliminar uma das variáveis, x
ou y da Eq.(81) e procurar o mínimo de S. Entretanto, nos problemas mais
geral, o vínculo poderia ter uma forma mais complicada do que a Eq.(81)
e a eliminação de uma das variáveis pode se tornar complicada ou até não
é possível fazer analiticamente. Um método muito eficiente e, portanto, é
frequentemente usado é o método da constante multiplicadora de Lagrange.
Vamos ver no caso acima mais simples. Escrevendo o vínculo (81) na
forma
φ(x, y) = 0, (82)
onde obviamente
φ(x, y) = x+ y − a
31
as variações de x e y devem satisfazer
δφ = 0, (83)
onde, como já sabemos,
δφ =
∂φ
∂x
δx+
∂φ
∂y
δy = δx ·∇φ. (84)
Isto é, temos que
δx ·∇φ = 0. (85)
Esta equação mostra que o vetor de variação δx tem que ser ortogonal ao
vetor ∇φ. Isto significa que as variações compatíveis com o vínculo (82) têm
que estar no plano perpendicular ao vetor ∇φ. Por outro lado, em torno do
ponto máximo da área, sua variação é nula para qualquer δr que satisfaça à
Eq.(83),
δS = 0, (86)
onde novamente,
δS =
∂S
∂x
δx+
∂S
∂y
δy = δx ·∇S, (87)
ou seja,
δx ·∇S = 0. (88)
Quer dizer que, o vetor ∇S tem que ser perperndicular ao vetor arbitrário
δx no plano perperndicular ao ∇φ. Isto é, o vetor ∇S é perpendicular ao
plano. Isto implica que os dois vetores, ∇φ e ∇S são paralelos,
∇S = λ∇φ, (89)
onde λ é uma constante arbitrária.
Por outro lado, se a Eq.(89) é válida, a equação
δr · (∇S − λ∇φ) = δr ·∇(S − λφ) = 0, (90)
é sempre verdade, para qualquer δr, mesmo fora do plano perpendicular ao
ao ∇φ. Mas, neste caso, a Eq.(90) é equivalente a dizer que
δ(S − λφ) = 0, (91)
32
para qualquer δr, agora sem nenhum vínculo. Isto é, o problema de procurar
o máximo da função S(x, y) sob o vínculo dado pela Eq.(82) é equivalente a
procurar o máximo da função,
S − λφ,
sem nenhum vínculo, onde λ é uma constante. O valor de λ deve ser de-
terminado utilizando a equação de vínculo posteriormente. Este é o método
da constante multiplicadora de Lagrange o qual incorpora o vínculo num
problema de princípio variacional.
Vejamos um exemplo de como funciona. Vamos aplicar o método para o
caso de procurarmos o máximo da área de rectângulo com circuferência fixo.
Neste caso,
S = xy,
φ = x+ y − a,
e, portanto, deve existir um constante λ tal queδ[xy − λ(x+ y − a)] = 0
para qualquer δx e δy. Tomando independentemente as derivadas em relação
a x e y, temos
y − λ = 0,
x− λ = 0.
Daí, eliminando λ e utilizando o vínculo, temos os valores de x e y que dão
o máximo de S como
x = y = a/2.
O valor máximo de S é, portanto, (a/2)2.
Exercício: Qual é a forma de um paralelepipido que tem o maior volume,
sendo a área de superfície constante?
Exercício: Duas variáveis, x e y satisfazem a relação,
2x2 + y2 = 1.
Determina os valores de x e y que máximize a função,
z = x2 + y2 + 2(x+ y).
33
O método de constante multiplicadora de Lagrange pode ser fácilmente
generalizado para casos de muitos variáveis, inclusive existam mais do que
um vínculo entre as variáveis. Sejam
φ1(x1, x2, ..., xn) = 0,
...
φm(x1, x2, ..., xn) = 0,
m(< n) vínculos entre as variáveis, x1, ..., xn. Um máximo (ou mínimo) local
de uma função f (x1, ..., xn) é dado pela condição
δF = δ
"
f −
mX
i=1
λiφi
#
= 0, (92)
para qualquer {δxi}.
Exercício: Demonstre a Eq.(92).
Exercício: Tres variáveis, x, y e z satisfazem as relações,
2x2 + y2 = 1,
x+ y + z = 1.
Encontre o máximo da função,
F = x2 + y2 + z2 + 2x+ 3y + z.
8 Vínculo Funcional
No problema de procular máximo (mínimo) de um funcional, quando existir
alguns vínculos para a função, podemos trata-los em termos do método de
constantes multiplicadoras de Lagrange. Seja I = I[f ] um funcional que deve
ser maximizado (minimizado) e Φ[f ] = 0 o vínculo para a função f , dado na
forma funcional. Neste caso, a função f deve ser obtida pela variação,
δ[I − λΦ] = 0, (93)
onde λ é uma constante. Em termos da derivada funcional, podemos expres-
sar esta condição por
δI
δf
− δ (λΦ)
δf
= 0.
34
A justificativa deste método é completamente análoga ao caso das funções.
Vamos aplicar o método para resolver o problema da corda pendurada. Neste
caso,
I = σg
Z xb
xa
dx f(x)
s
1 +
µ
df
dx
¶2
, (94)
e
Φ =
Z xb
xa
dx
s
1 +
µ
df
dx
¶2
= l0 (95)
Assim, o princípio variacional fica,
δ[I − λΦ] = 0, (96)
ou, podemos escrever na forma,
δ
Z xb
xa
dx L
µ
f,
df
dx
¶
= 0, (97)
onde, agora,
L = σg (f − ζ)
s
1 +
µ
df
dx
¶2
, (98)
com ζ = λ/σg. Desta forma, poder aplicar a equação de Euler-Lagrange e
obtemos,
d
dx
⎛
⎝(f − ζ) 1q
1 +
¡ df
dx
¢2 dfdx
⎞
⎠ =
s
1 +
µ
df
dx
¶2
. (99)
Damesma forma que foi feita anteriormente, introduzimos uma nova variável,
dl =
p
dx2 + dy2 = dx
s
1 +
µ
df
dx
¶2
. (100)
Assim, a Eq.(99) pode ser re-escrita por
d
dl
µ
(f − ζ) df
dl
¶
= 1. (101)
A primeira integral em l fica
(f − ζ) df
dl
= l + C1, (102)
35
onde C1 é uma constante de integração e a segunda integral fica
(f − ζ)2 = (l + C1)2 + C2. (103)
(C2 = constante). Ou seja,
f − ζ = ±
q
(l + C1)
2 + C2, (104)
Esta é a relação entre a altura do ponto de corda y = f(l) em função do
comprimento l medido do ponto x = xa. Para saber a forma da corda,
queremos saber a função y = f(l(x)). Para isto, devemos eliminra a variável
l da Eq.(104) usando a equação,
dl
dx
=
s
1 +
µ
df
dx
¶2
. (105)
Tomando a derivada dos dois lados da Eq.(104) em relação a x, temos
df
dx
= ± l + C1q
(l + C1)
2 + C2
dl
dx
(106)
= ±
q
(f − ζ)2 − C2
f − ζ
dl
dx
(107)
Substituindo a Eq.(105), temos
df
dx
= ±
q
(f − ζ)2 − C2
f − ζ
s
1 +
µ
df
dx
¶2
. (108)
Esta é uma equação algebrica em relação a dfdx . Resolvendo, temos
df
dx
= ±
s
(f − ζ)2 − C2
C2
, (109)
que constitui uma equação diferencial de primeira ordem em relação a f .
Temos
dfq
(f−ζ)2−C2
C2
= dx,
36
e integrando ambos lados, temos
f(x) = ±
p
C2 cosh
1√
C2
(x− x0) + ζ, (110)
onde x0 é uma constante de integração.
Exercício: Verifique que a Eq.(110) satisfaz a equação (99).
Exercício: Esboce a forma de função (110) e discute o significado de con-
stantes, x0, ζ e
√
C2. Qual dos sinais ± deve ser escolhido como a
solução do problema?
Note que a solução, Eq.(110) contém 3 constantes incognitas. Entretanto,
estas devem ser determinadas pelas condições,
ya = f(xa),
yb = f(xb),
e
l0 =
Z xb
xa
dx
s
1 +
µ
df
dx
¶2
=
p
C2
∙
sinh
1√
C2
(xb − x0)− sinh
1√
C2
(xa − x0)
¸
.
Exercício: Expresse x0,
√
C2 e ζ em termos de xa, xb, yD e l0 quando dois
extreminades da corda tem a mesma altura, yD.
Um fato importante para notar é que estas constantes são determinadas
puramente as condição geométricas, e não entra nenhuma propriedade física
da corda (densidade de massa, σ). Isto é, qualquer corda flexível, indepen-
dente da material (seja a corrente de aço, a linha de algodão, etc), desde
que tenha mesmo comprimento, terá mesma forma quando pendurada de
dois pontos na parede. Isto fato pode ser fácilmente verificado experimental-
mente.
37
9 A Primeira Ingegral
Uma das vantagens da abordagem variacional é que podemos extrair algumas
propriedades da solução do problema do ponto de visat banstante genério,
sem resolver a equação diferencial. Como vimos o princípio variacional para
um funcional da forma,
I =
Z xb
xa
dx L(f,
df
dx
), (111)
resulta a equação de Euler-Lagrange,
d
dx
Ã
∂L
∂
¡ df
dx
¢!− ∂L
∂f
= 0, (112)
que é, em geral, a equação difrencial de segunda ordem para f(x). A solução
de uma equação diferencial de segunda ordem contém 2 constantes de inte-
gração. No caso da equação de Euler-Lagrange acima, Eq.(112), podemos
mostrar que a primeira integral é obtida por
H(f,
df
dx
) ≡ ∂L
∂
¡ df
dx
¢ df
dx
− L = const. (113)
De fato, tomando a derivada desta quantidade, temos
dH
dx
=
d
dx
"
∂L
∂
¡ df
dx
¢ df
dx
− L
#
=
d
dx
Ã
∂L
∂
¡ df
dx
¢! df
dx
+
∂L
∂
¡ df
dx
¢ d2f
dx2
− dL
dx
. (114)
Por autro lado, já que L é uma função de f e dfdx , temos
dL
dx
=
∂L
∂f
df
dx
+
∂L
∂
¡ df
dx
¢ d2f
dx2
. (115)
Substituindo esta expressão em Eq.(114), temos
dH
dx
=
d
dx
Ã
∂L
∂
¡ df
dx
¢! df
dx
− ∂L
∂f
df
dx
=
"
d
dx
Ã
∂L
∂
¡ df
dx
¢!− ∂L
∂f
#
df
dx
(116)
38
Mas a quatidade dentro do chave [ ] acima é exatamente o lado esquerdo
da Equação de Euler-Lagrange, Eq.(112). Assim, se a equação de Euler-
Lagrange é satisfeita, temos
dH
dx
= 0.
Consequentemente, para a solução da equação de Euler-Lagrange, é sempre
verdade que
∂L
∂
¡ df
dx
¢ df
dx
− L = const. (117)
Vamos aplicar este resultado ao problema de corda que estudamos. Tomando
L como na Eq.(98), temos
H =
∂L
∂
¡ df
dx
¢ df
dx
− L
= −σg f − ζq
1 +
¡ df
dx
¢2 . (118)
Segundo o argumento geral, esta quantidade deve ser constante, ou seja,
σg
f − ζq
1 +
¡ df
dx
¢2 = C, (119)
Daí, temos
df
dx
= ±
r
σg
C
(f − ζ)2 − 1, (120)
que é exatamente igual a Eq.(109) com a idendificação,
σg
C
=
1√
C2
. (121)
Desta forma, a primeira integral do nosso problema é sempre obtida de forma
immediata. Na sessão anterior, sabendo este fato, poderiamos ter abreviado
todas as contas entre a Eq.(98) e a Eq.(109).
10 Vínculos Locais
Um funcional pode depender de mais de uma função. Por exemplo, no prob-
lema anterior da corda, poderiamos ter considerado a forma da corda em
39
termos de função de seu comprimento l,
x = x(l)
y = y(l).
As duas funções, x(l) e y(l) determinam a forma da corda, expressa para-
metricamente. Porém, as duas funções não devem ser independente, pois o
comprimento da corda está relacionado com as duas funções por,
dx2 + dy2 = dl2,
ou
1 =
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
, (122)
A Eq.(122) é um vínculo entre as duas funçõesx = x(l) e y = y(l) para todos
os valor de l. Em contraste ao vínculo integrado como a Eq.(95), este vínculo
é “local” no sentido de que a Eq.(122) tem que ser satisfeita localmente (cada
valor de l). Para aplicar o método de constante multiplicador de Lagrange,
podemos expressar a Eq.(122) na forma ingegrada,Z l0
0
dl λ(l)
⎡
⎣
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
− 1
⎤
⎦ = 0, ∀λ(l). (123)
Exercício: Verifique que a exigência que esta equação vale para qualquer
λ(l) é equivalente a Eq.(122).
A energia potencial da corda fica mais simples nesta representação,
U = σg
Z D
0
y(l)dl (124)
pois σgdl = dm é a massa da corda correspondente ao pequeno comprimento
dl. O principio variacional agora pode ser expresso por
δ
Z l0
0
dl
⎧
⎨
⎩σgy + λ(l)
⎡
⎣
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
− 1
⎤
⎦
⎫
⎬
⎭ = 0 (125)
onde a variação é em relação a quaisquer variações das duas funções, x(l)→
x(l) + δx(l) e y(l)→ y(l) + δy(l).
40
Para facilitar a visão geral, vamos considerar o funcional
I [x, y] =
Z lb
la
dl L(x(l), y(l),
dx
dl
,
dy
dl
; l),
e o principio variacional,
δI = δ
Z lb
la
dl L(x(l), y(l),
dx
dl
,
dy
dl
; l) = 0. (126)
Agora o funcional depende de duas funções (e suas derivadas). No problema
acima, obviamente
L = σgy + λ(l)
⎡
⎣
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
− 1
⎤
⎦ . (127)
Fazendo os procedimentos análogos no caso de uma função, temos
δI = I [x+ δx, y + δy]− I [x, y]
=
Z lb
la
dl
∙
L(x+ δx, y + δy,
d(x+ δx)
dl
,
d(y + δy)
dl
; l)− L(x(l), y(l), dx
dl
,
dy
dl
; l)
¸
=
Z lb
la
dl
"
δx(l)
(
∂L
∂x
− d
dl
∂L
∂
¡
dx
dl
¢)+ δy(l)(∂L
∂y
− d
dl
∂L
∂
¡dy
dl
¢)# . (128)
Se δI = 0 para qualquer δx e δy, então, concluimos que
∂L
∂x
− d
dl
∂L
∂
¡
dx
dl
¢ = 0,
∂L
∂y
− d
dl
∂L
∂
¡dy
dl
¢ = 0. (129)
41
Assim, obtemos a equação de Euler-Lagranges para cada uma das funções,
x e y. No caso da corda, Eq.(127), temos
∂L
∂x
= 0,
∂L
∂
¡
dx
dl
¢ = λ(l)q¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2 dxdl
∂L
∂y
= σg,
∂L
∂
¡dy
dl
¢ = λ(l)q¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2 dydl ,
portanto as equações de Euler-Lagrange fica,
d
dl
⎡
⎣ λ(l)q¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2 dxdl
⎤
⎦ = 0,
d
dl
⎡
⎣ λ(l)q¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2 dydl
⎤
⎦ = σg.
Integrando as duas equações em l, temos
λ(l)q¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2 dxdl = C1,
λ(l)q¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2 dydl = −σgl + C2.
Eliminamos λ pela divisão da segunda equação pela primeira, temos
dy
dx
=
σgl + C2
C1
.
Derivando os dois lados em termos de x (não l), temos,
d2y
dx2
=
σg
C1
dl
dx
=
1
C
s
1 +
µ
dy
dx
¶2
.
42
onde C = −C1/σg é uma constante a ser determinada. Chamando dy/dx de
φ(x), a equação acima fica na forma
dφ
dx
=
1
C
q
1 + φ2, (130)
que fácilmente integrada. Temos
φ = sinh(
x− x0
C
) (131)
onde x0 é a constante de integração. Assim,
dy
dx
= sinh(
x− x0
C
). (132)
Integrando, temos,
y = C cosh(
x− x0
C
) + y0 (133)
que é novamente a solução obtida anteriormente.
Exercício: Deduza as equações de Euler-Lagrange para 3 funções f, g e h
cuja Lagrangiana é
L = L(f, g, h,
df
dx
,
dg
dx
,
dh
dx
).
10.1 A primeira integral no caso de duas variáveis
Podemos verificar fácilmente a primeira integral correspondente a Eq.(113)
no caso de ter duas variáveis é dada por
H(x, y,
dx
dl
,
dy
dl
) =
dx
dl
∂L
∂
¡
dx
dl
¢ + dy
dl
∂L
∂
¡dy
dl
¢ − L.
Exercício: Prove que
dH
dl
= 0
para as funções x, y que satisfazem as equações,
∂L
∂x
− d
dl
∂L
∂
¡
dx
dl
¢ = 0,
∂L
∂y
− d
dl
∂L
∂
¡dy
dl
¢ = 0. (134)
43
10.2 Exemplo 2. Uma Mola Homogênea
Vamos aplicar as ideias discutidas acima para tratar um problema analogo da
corda pendurada, mas agora no lugar de uma corda, consideramos uma mola
elástica. No caso de uma mola, o próprio peso faz com que a mola estica, e
diferentemente do caso de uma corda, não podemos saber o comprimento da
mola, apriori. Por outro lado, o princípio que determina a configuração da
mola deve ser igual ao caso da corda. Isto é, no equilíbrio, a mola deve atingir
a configuração cuja energia total seja mínima. A diferença é que quando a
mola estica, a energia interna da mola aumenta. Assim, na medida que
a mola pendura e estica, a redução da energia potencial gravitacional acaba
equlibrando com o aumento da energia interna da mola pela sua elasticidade.
Como sabemos, se a mola estica homogeniamente, a energia interna da
mola associada a sua estensão é dada por
Uint(Homog.) =
k
2
(l∗ − l0)2 (135)
onde l0 é o comprimento da mola no estado natural e l∗ o comprimento es-
tendida da mola. Agora, quando a mola fica pendurada, a estenção da mola
não é homogênea. Assim, devemos subdividir a mola em pequenos pedaços,
e calcular a energia como a soma das energias internas dos estes pequenas
pedaços. Para isto, temos que lembrar que, quando subdividir uma mola em
pequenos pedaços, a constante da mola para cada pedaço não é igual a da
corda como todo. Isto é fácil de ver de seguinte forma. Considere que a mola
no estado natural como uma sequência dos n pedaços iguais (Fig.5).
44
dl
Fig.5 Dividindo a mola em segumentos
Cada segumento tem o comprimento dl = l0/n. Quando a mola estica ho-
mogeniamente por um fator, digamos α, então cada pedaço estica propor-
cionalmente,
dl→ dl∗ = αdl.
A energia da mola de cada pedaço fica
dUint =
1
2
k0(dl∗ − dl)2
=
1
2
k0dl2(α− 1)2,
e a energia interna total da mola fica
Uint =
X 1
2
k0dl2(α− 1)2
= ndl
k0dl
2
(α− 1)2
=
k0/n
2
(α− 1)2 l2 = k
0/n
2
(l∗ − l0)2
45
Comparando esta expressão com a Eq.(135), temos
k0 = nk = k
l0
dl
. (136)
Quanto maior que subdividimos a mola, a constante da mola de cada pedaço
fica maior, ou seja, a mola pequena fica mais dura.
Uma vez calculado o valor da constante da mola do pequeno segumento
da mola, podemos agora calcular a eneriga interna da mola mesmo quando a
grau da estensão for inhomogenia. Suponhamos que a mola estende de forma
inhomogênia de forma que
dl∗ = dl∗(l),
onde l é o comprimento até o segumento medodo de um dos extremidades
quando a mola não esteja esticada. A energia interna da mola fica
Uint =
X 1
2
k0(dl∗ − dl)2
=
X 1
2
k
l0
dl
(
dl∗
dl
− 1)2dl2
=
1
2
k
Z l0
0
dl
µ
dl∗
dl
− 1
¶2
.
Na representação da forma da mola pendurada em termos de duas funções,
x = x(l) e y = y(l), temos
dl∗ =
p
dx2 + dy2 (137)
e, portanto,
dl∗
dl
=
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
. (138)
A energia total da mola é a soma da energia potencial gravitacional e a
energia interna da mola. Assim, temos
Utot = Ugrav + Uint
= σg
Z l0
0
dl y(l) +
1
2
k
Z l0
0
dl
⎛
⎝
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
− 1
⎞
⎠
2
(139)
46
Agora podemos aplicar o princípio variacional para obter a forma do equi-
líbrio da mola. A configuração de equilíbrio da mola deve satisfazer o princí-
pio,
δUtot = 0, (140)
para qualquer variações δx e δy das duas funções x(l) e y(l) em torno da sua
forma equilíbrio,
x(l)→ x(l) + δx(l),
y(l)→ y(l) + δy(l), (141)
A energia total, Eq.(139) tem a forma que a equação de Euler-Lagrange é
diretamente aplicável. Assim, temos
d
dl
⎡
⎣k
⎛
⎝
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
− 1
⎞
⎠
dx
dlq¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2
⎤
⎦ = 0, (142)
d
dl
⎡
⎣k
⎛
⎝
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
− 1
⎞
⎠
dy
dlq¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2
⎤
⎦ = −σg, (143)
As primeras integrais são fácilmente feitas e temos
⎡
⎣k
⎛
⎝
sµdx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
− 1
⎞
⎠
dx
dlq¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2
⎤
⎦ = C1, (144)
⎡
⎣k
⎛
⎝
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
− 1
⎞
⎠
dy
dlq¡
dx
dl
¢2
+
¡dy
dl
¢2
⎤
⎦ = σgl + C2. (145)
Estas formam um sistema de equações algébricas em relação a dx/dl e dy/dl.
Para resolver o sistema, tomamos quadrados dos dois lados de cada equação
e somando os dois lados, temos
k2
⎛
⎝
sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
− 1
⎞
⎠
2
= C21 + (σgl + C2)
2 ,
ou sµ
dx
dl
¶2
+
µ
dy
dl
¶2
=
1
k
q
C21 + (σgl + C2)
2 + 1.
47
Substituindo esta expressão nas equações (144) e (145), temos
dx
dl
=
C1
k
+
C1q
(σgl + C2)
2 + C21
,
dy
dl
=
σgl + C2
k
+
σgl + C2q
(σgl + C2)
2 + C21
,
Podemos integrar facimente e temos
x(l) = x0 +
C1
k
l +
C1
σg
sinh−1
σg
C1
µ
l +
C2
σg
¶
, (146)
y(l) = y0 +
σgl2/2 + C2l
k
+
sµ
l +
C2
σg
¶2
+
µ
C1
σg
¶2
. (147)
No limite de que a constante da mola fica infinito (k →∞)7, temos
x(l) = x0 +
C1
σg
sinh−1
σg
C1
µ
l +
C2
σg
¶
,
y(l) = y0 +
sµ
l +
C2
σg
¶2
+
µ
C1
σg
¶2
.
A eliminação do variável l destas equações resulta em
y − y0 =
C1
σg
cosh
σg
C1
(x− x0)
que coincide com o resultado da corda.
Exercício: Utilizando os recursos númericos adequados, obtenha graficos
y = y(x) para a configuração da mola partindo Eqs.(146,??).
7a mola rígido para estensão, mas flexível = a corda
48
11 Princípio Variacional na Mecânica
Muitos problemas de Física podem ser formulados em termos de Princípio
Variacioal. Por exemplo, na ótica geométrica, a trajétoria de raio de luz
no meio da matéria pode ser obtida pelo Princípio de Huygens: a luz es-
colhe o caminho que custa o menor tempo para chegar. Do ponto de vista
matemática, podemos escrever o Princípio de Huygens na forma de Princí-
pio Variacional. Para simplificar, consideramos o caso bidimensional ( a luz
propaga num plano). A trajetória da luz pode ser expressa pela função,
y = f(x), (148)
onde
ya = f(xa),
yb = f(xb),
são as coordenadas dos pontos de partída e chegada da luz, respectivamente.
No meio da matéria, a velocidade da luz não necsssarriamente é constante
mas uma função da posição, dependendo da propriedade da matéria (índice
de difração n). Assim, escrevemos
v = cn(x, y), (149)
onde c é a velocidade da luz no vácuo. O Princípio de Huygens pode ser
escrita como
δT [f ] = 0, ∀δf (150)
onde
T [r] =
Z xb
xa
q
1 +
¡ df
dx
¢2
cn(x, y)
dx. (151)
Exercício: Escreva o Princípio de Huygens para o caso 3-dimensional.
Independentemente de saber o porque deste Princípio, a formulação varia-
cional acima é, sem dúvida, útil para determinar o caminho da propagação
da luz na matéria. Este princípio de Huygens deve ser naturalmente ex-
plicado em termos de propagação da onda eletromagnetica, o que viremos
posteriormente.
É interessante é que, a trajetória de uma partícula sob ação de uma
força conservativa também pode ser formulada em termos de um princípio
variacional. Vejamos em seguida.
49
Exercício: O dono de um parque de diversão quer construir uma montanha
russa econômica. Qual é a curva da montanha russa y = f(x) (y
sendo a alutura da trilha) para que a carroça chega mais rápido ao
ponto final (xb, yb), saindo do ponto de partída (xa, ya)? Suponha que
não há nenhum atrito. (dica: O tempo total que a carroça gasta é a
integral do inverso da velocidade da carroça alongo ao trajétória. Use
a conservação de energia para determinar a velocidade em função de
altura da carroça.)
12 Equação de Newton para Uma Partícula
Como vimos, a equação de Euler-Lagrange para a função8 x = x(t), derivada
do funcional do tipo
I [x] =
Z
dt L(x,
dx
dt
), (152)
é dada por
d
dt
Ã
∂L
∂
¡
dx
dt
¢! = ∂L
∂x
, (153)
o que é uma equação diferencial de segunda ordem. Como mencionamos
antes, L é chamada de função Lagrangiana (ou simplesmente Lagrangiana).
Note que (ver o exercício anterior), se escolhemos
L =
1
2
m
µ
dx
dt
¶2
− V (x), (154)
então, a equação de Euler-Lagrange resulta em
m
d2x
dt2
= −dV
dx
. (155)
Isto tem a forma de equação de movimento de uma partícula unidimensional
sob a força derivada do potencial,
F = −dV
dx
. (156)
8Nesta sessão, utilizamos a variável t como o parâmetro para especificar a função e é
identficado como o tempo.
50
Por exemplo, considere uma massa m que movimenta alongo ao eixo x livre-
mente, ligada numa mola com massa disprezivel. Neste caso, a equação de
movimento de Newton fica
m
d2x
dt2
= −kx, (157)
onde k é a constante da mola. Esta equação pode ser obtida pela Equação
de Euler-Lagrange com a Lagrangiana,
L =
1
2
m
µ
dx
dt
¶2
− 1
2
kx2. (158)
O primeiro termo desta função é a energia cinética da partícula, e o segundo
termo é a energia potencial da mola. Isto é, se colocamos a Lagrangiana
como
L = T − V, (159)
então, o Princípio Variacional,
δI = 0, ∀δx = δx(t) (160)
com
I =
Z tb
ta
Ldt, (161)
resulta a equação de movimento de Newton para uma partícula sob a força
gerada do potencial V = V (x). Aqui, o funcional I é chamado de açao, e as
variações δx deve satisfazer a condição de contorno,
δx(t)|t=ta,tb = 0.
O argumento pode ser fácilmente generalizado para o caso de uma partícula
em movimento tridimensional. A energia cinética de uma partícula com
massa m é
T =
1
2
m
õ
dx
dt
¶2
+
µ
dy
dt
¶2
+
µ
dz
dt
¶2!
=
1
2
m
µ
dr
dt
¶2
, (162)
e a energia potencial fica
V = V (x, y, z) = V (r). (163)
51
Colocando
L = L(r,
dr
dt
) = T − V
=
1
2
m
µ
dr
dt
¶2
− V (r). (164)
Como tem 3 funções, x = x(t), y = y(t) e z = z(t), a equação de Euler-
Lagrange para cada função fica
d
dt
Ã
∂L
∂
¡
dx
dt
¢! = −∂V
∂x
, (165)
d
dt
Ã
∂L
∂
¡dy
dt
¢! = −∂V
∂y
, (166)
d
dt
Ã
∂L
∂
¡
dz
dt
¢! = −∂V
∂z
. (167)
ou,
d
dt
µ
∂L
∂x˙
¶
= −∂V
∂x
, (168)
d
dt
µ
∂L
∂y˙
¶
= −∂V
∂y
, (169)
d
dt
µ
∂L
∂z˙
¶
= −∂V
∂z
. (170)
onde x˙ = dx/dt, etc. Verificamos que estas resultam em
m
d2x
dt2
= −∂V
∂x
,
m
d2y
dt2
= −∂V
∂y
,
m
d2z
dt2
= −∂V
∂z
,
ou
m
d2r
dt2
= −∇V. (171)
52
Isto é a equação de movimento de uma partícla sob a força derivada do
potencial V .
É importante notar que a quantidade,
∂L
∂x˙
é igual a componente x do momento linear da partícula. Isto é,
⎛
⎝
∂L
∂x˙
∂L
∂y˙
∂L
∂z˙
⎞
⎠ =
⎛
⎝
px
py
pz
⎞
⎠ , (172)
ou
∇v L = p, (173)
onde introduzimos a notação,
∇v =
⎛
⎝
∂
∂x˙
∂
∂y˙
∂
∂z˙
⎞
⎠ , (174)
que é o análogo da gradiente, mas a derivada é em relação a velocidade,
v = dr/dt.
Exercício: Escreva a Lagrangiana para o movimento da Terra em torno do
Sol, considerando apenas a força gravitacional do Sol, fixo na origim.
O lado direito da equação de Euler-Lagrange é a negativa do gradiente do
potencial, ou seja a força. A estrutura da equação de Euler-Lagrange então
tem a forma
d
dt
p = f. (175)
• A derivada da Lagrangiana em relação a derivada temporal da coorde-
nada é o momento, e a derivada da Lagrangeiana em relação a coor-
denada própria é a força.
53
Vimos que a equação de movimento de Newton sob a força conservativa
pode ser obtida pelo Princípio Variacional para o ação, Eq.(161). O Princí-
pio Variacional aplicado para Mecânica é chamado o Princípio de Mínima
Ação (ou Princípio de Hamilton). A generalização do Princípio de Mínima
Ação para sistemas que contem muitas partículas é trivial. Introduzimos a
Lagrangiana,
L = L
µ
r1, r2, · ·· , rn; dr1dt ,
dr2
dt
, · · · , drn
dt
¶
=
nX
i=1
Ti − U(r1, r2, · · · , rn), (176)
onde U (r1, ..., rn) representa a energia potencial do sistema para a configu-
ração de partículas representada pela coordenadas de n partículas, {r1, r2, · · · , rn} ,
e Ti é a energia cinética de i−esima partícula,
Ti =
mi
2
µ
dri
dt
¶2
. (177)
O princípio de Mínima Ação leva as seguintes 3×n-equações de movimento,
m
d2xi
dt2
= −∂V
∂xi
,
m
d2yi
dt2
= −∂V
∂yi
, (178)
m
d2zi
dt2
= −∂V
∂zi
,
para i = 1, ..., n.
Consideramos que este Princípio de Mínima Ação (Princípio de Hamil-
ton) como o princípio que substituir as leis de Newton. Nesta posição, esta-
mos considerando que todos os movimentos da Natureza devem ser dirigido
por este princípio. Ou seja, existe sempre uma quantidade chamada de La-
grangiana, expressa em termos de coordenadas e suas derivadas temporais,
de tal forma que a trajétoria que se realiza na Natureza é aquela que faz
o mínimo da ação, a integral da Lagrangiana no tempo. Então, o que é
significado deste princípio variacional? O que é “ação”? As respostas para
54
estas perguntas não são simples. Se a lei da dinâmica é obtida pelo Princípio
de Mínima Ação, então, nos nunca podemos observar movimentos que não
corresponde o ponto mínimo da ação I. Ou seja, o ação como funcional de
possíveis trajetórias nunca seria mensurável em natureza. Assim, pode se
parecer que o conceito da ação é apenas uma coisa virtual, o conceito apenas
matémático. Por ser equivalente, o todo que pode se obter pelo Princípio de
Mínima Ação também pode ser obtido em termos de Equação de Newton.
Neste sentido, pode se pensar que o formalismo não acrecenta nenhuma coisa
nova do ponto de vista física e, que é puramente um jogo matemático.
Naturalmente devemos evitar de brincar com apenas mero formalismos,
só para ser pedante sem ter nenhum utilidade prática. Mas, no caso do
Princípio de Mínima Ação, é mais do que comprovado que o formalismo
fornece uma visão esclarecedora para compreensão da estrutura da lógica
da Mecânica Clássica, além de ser um ferramento extremamente útil para
resolver problemas práticos. Podemos citar alguns pontos como:
• Sendo a Lagrangiana uma escalar, é fácil efetuar qualquer transfor-
mação de variáveis.
• A conservação da energia é imediata.
• É fácil de generalizar para sistemas de muitos partículas, ou até o meio
contínuo.
• Certas leis de conservação (constantes de movimento) podem ser de-
duzido da forma da Lagrangiana. Isto dá uma interpretação da razão
de existência destas constantes de movimento. Por exemplo, a conser-
vação de momento linear tem como origim a homogenidade do espaço.
A conservação do momento angular está associada com a isotropia do
sistema, etc.
• Para certos sistemas, em particular, quando existe vínculos entre var-
iáveis, é muito mais fácil identificar a Lagrangiana do que construir a
equação de movimento.
• O formalismo serve para generalizar a Mecânica, introduzindo novos
conceitos, como vejamos em teoria dos campos.
• Foi fundamental para formular a Macânica Quântica.
55