Desenhando gráficos em coordenadas polares

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Desenhando gráficos em coordenadas polares 
 
1º Passo: 
Observação das simetrias: 
Obs.: Importante conhecer as identidades trigonométricas Sen(A + B); Cos(A + B). 
 Simetria com relação ao eixo x: 
 Seja um pono (r1, θ1) que pertence ao gráfico da função avaliada. Caso o ponto 
(r1, -θ1) ou (-r1, π – θ1) pertença ao gráfico, está função será simétrica com relação ao 
eixo x: 
Exemplos: 
1) r = cos(θ) 
No ângulo θ1, r = r1 = cos(θ1). 
O ponto (-r1, π – θ1) está presente? Ou seja, cos(π – θ1) = -r1? 
Cos(π – θ1) = cosπcosθ + senπsenθ Id. Trign.: Cos(A + B) =CosACosB+SenASenB 
Como senπ = 0 e cosπ = -1, Cos(π – θ1) = -cosθ1 = -r1. 
Logo o ponto está presente, e por isso há simetria com relação ao eixo x. 
2) r = cos(2θ) 
No ângulo θ1 , r = r1 = cos(2θ1). 
De modo semelhante à anterior: 
Cos(2(π – θ1)) = cos(2π – 2θ1) = cos2πcos2θ1 + sen2πsen2θ1 
Como sen2π = 0 e cos2π = 1, Cos(2(π – θ1)) = cos2θ1 = r1; 
Como o ponto (-r1 , π – θ1) não está presente, não há simetria com relação x, como 
será mostrado mais a frente, há simetria com relação a y. 
3) r = cos(3θ) 
No ângulo θ1 , r = r1 = cos(3θ1) 
Cos(3 (π – θ1)) = cos(3π – 3θ1) = Cos3πCos3θ1 + Sen3πSen3θ1 = -Cos3θ1 = -r1 
Logo o ponto (-r1 , π – θ1) está presenta no gráfico e há simetria com relação a x. 
 
4) r = 1 – cos(3θ) 
r1 = 1 – cos(3θ1) 
O ponto (-r1, π – θ1) está presente? 
1 – cos(3(π – θ1)) = 1 – (cos(3π – 3θ1)) = 
1 – (cos3πcos3θ1 + sen3πsen3θ1) = 1 + cos3θ1 = r2 ≠ -r1 
Logo, o ponto (-r1 , π – θ1) não está no gráfico, então não há simetria com relação a 
x. 
Simetria com relação ao eixo y: 
Seja um ponto (r1, θ1) presente no gráfico da função. 
Caso o ponto (-r1, -θ1) ou (r1, π – θ1) estejam presentes no gráfico a função será 
simétrica com relação à y. 
Exemplos: 
1) r = sen(θ) 
O ponto (r1, θ1) esta presente no gráfico, sendo r1 = sen(θ1). 
O ponto (r1, π – θ1) está presente no gráfico? 
sen(π – θ1) = senπcosθ1 – senθ1cosπ Id. Trign.: sen(A - B) = senAcosB – senBcosA 
Como cosπ = -1 e senπ = 0, sen(π – θ1) = senθ1 = r1. 
Logo o ponto (r1, π – θ1) está presente no gráfico, e há simetria com relação a y. 
2) r = sen(2θ) 
O ponto (r1, π – θ1) está presente no gráfico? 
Sen(2(π – θ1)) = sen(2π – 2θ1) = sen2πcos2θ1 – sen2θ1cos2π = -sen2θ1 = -r1. 
 Logo o ângulo θ = π – θ1 leva ao raio –r1 e não r1, portanto essa função não possui 
simetria com relação ao eixo y, e sim ao eixo x. 
3) No exemplo 2 anterior r = cos(2θ) 
O ponto (r1, π – θ1) está presente? 
Como foi visto anteriormente sim. O ângulo θ = π – θ1 para está função leva ao raio 
r1. Logo está função possui simetria com relação ao eixo y. 
4) r = 1 + cos(2θ) 
O ponto (r1, π – θ1) está presente no gráfico? 
1 + cos(2(π – θ1)) = 1 + (cos2πcos2θ1 + sen2πsen2θ1) = 1 + cos2π = r1 
Logo o ponto (r1, π – θ1) está presente no gráfico, e por isso existe simetria com 
relação ao eixo y. 
Simetria com relação à origem: 
Ocorre quando um mesmo ângulo θ1 apresenta 2 valores de raio, r1 e – r1. Então se o 
ponto (r1, θ1) está presente, o ponto (-r1, θ1) também está, ou (r1, π + θ1). 
Exemplos: 
1) r2 = sen(θ) 
Ou seja r = +/-(sen(θ)1/2) 
Isto divide está equação em duas: 
 r = (sen(θ))1/2 
 r = -(sen(θ))1/2 
Seja o ângulo θ1: 
Para este ângulo existem 2 r’s possível, r1 = (sen(θ1))
1/2
 e r1 = -(sen(θ1))
1/2
 
Então existe para um mesmo ângulo, dois pontos (r1, θ1) e (-r1, θ1). 
Portanto existe simetria com relação à origem. 
Comumente assimetria com reação à origem ocorrera quando r estiver elevado à 
expoentes pares. 
2º Passo: 
Construção do gráfico: 
A escolha do intervalo de θ, do argumento da função, irá variar de acordo com a 
simetria existente: 
 Caso a simetria seja com relação à x, basta utilizar o intervalo de θ: 0≤θ≤π ou 
π≤θ≤2π, ou seja, a parte superior ou inferior do gráfico. 
 Caso a simetria seja com relação à y, basta utilizar o intervalo de θ: 3π/2≤θ≤2π 
ou 0≤θ≤3π/2, ou seja, a parte esquerda ou direita do gráfico. 
 Caso a simetria seja com relação à origem, pode-se utilizar qualquer um dos 
intervalor ditos anteriormente. 
 Caso seja com relação à origem e a x ou y, basta desenhar o gráfico no intervalo 
de qualquer um dos quatro quadrantes e usar que há simetria em x e y. 
Depois de desenhado o gráfico no intervalo selecionado, deve-se utilizar o eixo de 
simetria como se fosse um “espelho” e refletir o gráfico desenhado do outro lado do 
eixo. 
Exemplos: 
1) r = senθ 
Como já foi visto, há simetria com relação à y, então usaremos o intervalo de 3π/2 a 
π/2. 
Obs.: É interessante que o argumento da função seno ou cosseno, varie sempre de 
π/2 em π/2, como a função é sen(θ), variados o θ de π/2 em π/2 até percorrer todo 
o intervalo escolhido, porem, caso o argumento fosse do tipo 2θ, ou seja, sen(2θ), 
para que o argumento x=2θ do seno varie de π/2 em π/2, o θ propriamente dito 
variará de π/4 m π/4. 
Se θ varia de 3π/2 a 2π(0), r varia de -1 a 0. 
Se θ varia de 0 a π/2, r varias de 0 a 1. 
 
 
 
 
 
Que será algo do tipo ao desenhado ( O word não fornece ferramentas suficientes 
para um desenho bem feito. 
2) r = cos(θ) 
Como há simetria com relação a x, usa-se o intervalo de 0 a π. 
Se θ varia de 0 a π/2, r varia de 1 a 0 
Se θ varia de π/2 a π, r varia de 0 a 1. 
 
 
 
 
 
Formando um gráfico como o 
desenhado ao lado 
Para as duas funções mostradas, o desenho da metade da função já apresenta 
toda o gráfico, mas nem sempre será assim: 
3) r = 1 – 2sen(3θ) 
Teste de simetria: 
Se o ponto (r1 , θ1) em que r1 = 1 – 2sen(3θ1) está no gráfico. 
O ponto (r1, π – θ1) está no gráfico? 
1 – 2sen(3(π – θ1)) = 1 – 2sen(3π – 3θ1) = 1 –2[sen3πcos3θ1 – sen3θ1cos3π]= 
1 – 2sen(3θ1) = r1, pois cos(3π) = -1 e sen(3π) = 0. 
Como o ponto está presente existe simetria com relação ao eixo y. E assim não 
haverá com relação ao eixo x. 
Se há simetria com relação a y, utilizaremos o intervalo d 3π/2< θ < π/2 para 
desenhar o gráfico. Como já foi observado anteriormente, é interessante que se varie 
sempre o argumento da função seno x=3θ de π/2 em π/2, sendo assim, variaremos θ 
de π/6 em π/6, mais à frente será mostrada uma tabela mostrando a importância em 
questão de cálculo. 
Se θ varia de 3π/2 a 5π/3( 10π/6 = 3π/2 + π/6), r variará de -1 a 1; 
Se θ varia de 10π/6 a 11π/6, r variará de 1 a 3; 
Se θ varia de 11π/6 a 2π(0), r variará de 3 a 1; 
Se θ varia de 0 a π/6, r varia de 1 a -1; 
Se θ varia de π/6 a π/3, r varia de -1 a 1; 
Se θ varia de π/3 a π/2, r varia de 1 a 3. 
Para mostrar o porque que o método torna mais simples o calculo, montaremos 
uma tabela com os valores. Seja x = 3θ. 
θ r x Sen(x) 
3π/2 -1 9π/2=4π + π/2= π/2 1 
10π/6 1 5π = π 0 
11π/6 3 33π/6 = 3π/2 -1 
2π ou 0 1 0 0 
π/6 -1 π/2 1 
π/3 1 π 0 
π/3 3 3π/2 -1 
 
Com o auxílio da tabela é possível observar. A importância de varia o θ de π/6 em 
π/6 para este caso é que dessa forma o argumento da função seno sempre variará 
de π/2 em π/2, como pode ser observado na coluna do x, dessa forma a função 
sempre assumirá os valores mais simples, 1, -1, e 0, tornando assim os cálculos 
mais fáceis. Da mesma forma, se x fosse igual a 2θ, θ deveria varia de π/4 em π/4, 
se x = 5θ, tornaria viável varia θ de π/10 em π/10. E semelhantemente se x=θ/2 ou 
θ/3, seria mais simples varias θ de π em π ou 3π/2 em 3π/2 respectivamente, 
porem a quantidade de intervalos utilizar para este teria que ser o mesmo que em 
x = 2θ ou x=3θ respectivamente. 
Construindo o gráfico: 
 
Figura 1 - Gráfico antes da reflexão em y 
 
Figura 2 - Gráfico completo após reflexão 
Bom pessoal, essa é a forma que eu uso para fazer gráficos,foram coisas que eu percebi 
fazendo, claro que é apenas uma forma entre outras, espero que possa ajudar vocês. 
Arthur Claudino Gomes de Assis 
(-1, 3π/2) 
(3, π/2) 
(1, π/3) 
(1, 2π) 
(3, 11π/6) 
(1, 10π/4) 
(-1, π/6)