Mecânica Física abordagem experimental e teórica

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Armando Dias Tavares†
Revisado por:
J. U. Cinelli L. de Oliveira‡
Mecânica Física
abordagem experimental e teórica
1977 – (2005)
UERJ – IF – DFT Rio de Janeiro – RJ – Brasil
† (1917 – 1988)
‡DFT – IF – UERJ
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c© Departamento de Física Teórica
Instituto de Física
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Rio de Janeiro – Rio de Janeiro – Brasil
2004
Com 324 Figuras.
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MECÂNICA FÍSICA
abordagem experimental e teórica
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MECÂNICA FÍSICA
abordagem experimental e teórica
Armando Dias Tavares
(1917 – 1988)
Revisado por: J. U. Cinelli L. de Oliveira
Rio de Janeiro
2005
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Copyright c©2005, dos autores
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– Rio de Janeiro: EdUERJ, 2005, xxxp.
ISBN xx-xxxx-xxx-x
1. xxxx (xxxx). 2. xxxx – xxxx, I, xx xxx, xx
xxx. II Título.
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Sumário
Apresentação 21
Preâmbulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Orientação ao Estudante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Introdução 25
1 Método Científico 29
1.1 Observação e experimentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 Causa e Efeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Hipótese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4 Modelo e Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Construção de um modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6 Confecção de uma caixa de pesos . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.1 Observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.2 Deflexão da haste em função do peso . . . . . . . . . . 39
1.7 Grandeza Física: medição e medida . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8 Função de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9 Lei de interdependência entre grandezas físicas . . . . . . . . . 43
1.10 Eixos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.11 Interpolação e extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.11.1 Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.11.2 Extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Observação avançada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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10 Sumário
I Estática 61
2 Regra do paralelogramo 63
2.1 Deflexão de uma haste metálica . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.1 Interpolação e dinamômetro . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.2 Extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2 Grandezas homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3 Grandezas físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.1 Erros sistemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2 Erros acidentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.3 Erros grosseiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5 Estudo dos erros acidentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.1 Dispersão, desvio ou resíduo . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.2 Erro médio da média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.3 Erro relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.4 Erro tolerável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6 Algarismo significativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6.1 Operações com algarismos significativos . . . . . . . . 79
2.6.1.1 Normas para cálculo . . . . . . . . . . . . . . 79
2.7 Dinamômetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7.1 Obtenção de um dinamômetro de precisão . . . . . . . . 81
2.8 Força aplicada em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.9 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.10 Outro experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.11 Equilíbrio de três forças aplicadas em um ponto . . . . . . . . 90
2.11.1 Estudo da regra do paralelogramo . . . . . . . . . . . 92
2.11.2 Localização das forças relativamente à estrutura . . . . 92
2.11.3 Medição dos ângulos no plano . . . . . . . . . . . . . 93
2.11.4 A Regra do paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.11.5 Determinação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.11.5.1 Método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.11.6 Determinação trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . 96
2.11.6.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.11.7 Método analítico para determinação da resultante . . . 98
2.11.7.1 Decomposição de uma força segundo duas di-
reções dadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.11.7.2 Conclusão das experiências anteriores . . . . 99
2.11.8 Regra do paralelogramo expressa analiticamente . . . . 100
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Sumário 11
2.12 Regra do triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.12.1 Teorema de Lamy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3 Grandezas Vetoriais 111
3.1 Associatividade da regra do paralelogramo . . . . . . . . . . . 111
3.1.1 Método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.2 Segmentos equipolentes a um outro . . . . . . . . . . . 113
3.1.3 Regra do polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.1.4 Método trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.1.5 Método analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2 Grandezas vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3 As Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Primeira e Terceira leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4 Alguns conceitos de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4.1 Noção de grupo matemático . . . . . . . . . . . . . . . 124
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.5 Espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.5.1 Diferença vetorial entre duas forças . . . . . . . . . . . 127
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Subcorpo e extensão de corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Observação:grandeza vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Observação: espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Observação: rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.6 Exemplos e aplicações das leis de Newton . . . . . . . . . . . . 141
3.6.1 Solução pelo método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6.2 Solução pelo método trigonométrico . . . . . . . . . . . 144
3.6.3 Solução pelo método analítico . . . . . . . . . . . . . . 146
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Sistema de coordenadas levógiro . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Vetor axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Tensor anti-simétrico de segunda ordem e rotação . . . . . . . 155
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12 Sumário
4 Estudo do corpo rígido 159
4.1 Vetor deslizante ou vetor corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2 Composição de forças aplicada em um corpo rígido . . . . . . . 162
4.2.1 Caso de forças concorrentes em um ponto . . . . . . . . 162
4.2.2 Caso de forças paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.2.2.1 Duas forças paralelas e de mesmo sentido . . . 162
4.2.2.2 Duas forças paralelas e sentidos contrários . . 164
Exercícios e problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3 Momento de uma força em relação a um eixo . . . . . . . . . . 171
4.3.1 Verificação experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.3.2 Outro modo de definir momento de força . . . . . . . . 179
4.4 Produto vetorial de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.4.1 Representação vetorial do momento de força . . . . . . 180
4.5 Composição de forças paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.5.1 Problema exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.5.2 Problema exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.5.3 Problema exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.5.4 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.6 Centro de gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.6.1 De uma distribuição linear de pesos . . . . . . . . . . . 203
4.6.2 De uma distribuição de pesos no plano . . . . . . . . . 204
4.6.3 De uma distribuição de pesos no espaço . . . . . . . . . 205
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.6.4 De uma distribuição não-discreta de pesos . . . . . . . . 209
4.6.5 Caso de uma distribuição linear contínua de pesos . . . . 210
4.6.6 Peso específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.7 Condições de equilíbrio de um corpo rígido . . . . . . . . . . . 215
4.7.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.8 Estudo da balança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.8.1 Qualidades da balança . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.9 Problemas com a balança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.10 Atrito entre superfícies sólidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.11 Leis de Coulomb sobre o atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.12 Caso do atrito cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.13 Experiências sobre o atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
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Sumário 13
II Dinâmica: Cinemática e Cinética 231
5 Mecânica 233
5.1 Sistema de Referência Galileanos . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.2 Transformação de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6 Cinemática 249
6.1 Sistema de coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.2 Movimento de um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.2.1 Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.2.2 Equações paramétricas da trajetória . . . . . . . . . . . 253
6.3 Estudo do movimento de um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.4 Espaço percorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.5 Velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.6 Vetor velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.7 Espaço percorrido num movimento qualquer . . . . . . . . . . 269
6.7.1 Rapidez instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.7.2 Representação do vetor velocidade instantânea . . . . . . 271
6.7.3 Espaço percorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7 Estudo da Aceleração 297
7.1 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.2 Componentes normal e tangencial da aceleração . . . . . . . . . 299
7.3 Raio de curvatura e curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.4 Expressão cartesiana do raio de curvatura e da curvatura . . . . 306
8 Movimento de um ponto 311
8.1 Movimento de um ponto no plano . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.1.1 Movimento retilíneo – trajetória retilínea . . . . . . . . 311
8.1.1.1 Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.1.1.2 Uniformemente variado . . . . . . . . . . . . 312
8.1.1.3 Variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.1.2 Movimento curvilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.1.2.1 Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.1.2.2 Circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.1.2.3 Circular uniformemente acelerado . . . . . . . 312
8.1.2.4 Movimento curvilíneo qualquer . . . . . . . . 313
8.1.3 Espaço percorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
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14 Sumário
8.1.4 Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.1.4.1 Movimento retilíneo uniforme . . . . . . . . . 315
8.1.4.2 Movimento retilíneo uniformemente acelerado 315
8.1.4.3 Movimento retilíneo uniformemente retardado 317
8.1.4.4 Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.2 Grandezas cinemáticas ligadas ao movimento circular . . . . . 321
8.2.1 Velocidade angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.2.2 Aceleração angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.2.3 Deslocamento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.2.4 Relação entre aceleração tangencial e aceleração angular 324
8.2.5 Expressão vetorial da velocidade angular . . . . . . . . . 325
8.2.6 Relação entre velocidade e velocidade angular . . . . . 327
8.2.6.1 Exemplo – movimento harmônico simples . . . 328
8.3 Mudança de sistema de referência . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.3.1 Relação entre a velocidade de transporte e as velocidades
de translação e de rotação . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.4 Aceleração absoluta, de transporte, relativa e de Coriolis . . . . 344
Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
9 Dinâmica 361
9.1 Massa inerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.2 Massa gravífica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.3 Massa gravífica e a massa inerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
9.3.1 Forças que atuam sobre a partícula . . . . . . . . . . . . 368
9.3.2 Observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
9.4 A balança de Eötvös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
9.5 Sistema de unidades mecânicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
9.5.1 Sistemas MLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
9.5.1.1 Sistema CGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
9.5.1.2 Sistema MKS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
9.5.1.3 Sistema inglês FPS . . . . . . . . . . . . . . . 3789.5.2 Sistemas FLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
9.5.2.1 Sistema métrico técnico . . . . . . . . . . . . 378
9.5.2.2 Sistema técnico inglês . . . . . . . . . . . . . 379
9.5.3 O Sistemas métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
9.5.3.1 Definição da unidade de massa . . . . . . . . . 383
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Sumário 15
9.5.3.2 Definição da unidade de força no sistema mé-
trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
9.5.4 Problemas simples com unidades . . . . . . . . . . . . . 384
9.5.4.1 Sistemas MLT . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
9.5.4.2 Sistemas FLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
9.5.4.3 Relação entre as unidades . . . . . . . . . . . 385
9.5.4.4 A unidade SI de tempo . . . . . . . . . . . . . 386
A unidade SI de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
9.6 A máquina de Atwood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
9.6.1 Sobre a experiência da verificação da equação da dinâ-
mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
9.7 Movimento de projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
10 Centro de massa 399
10.1 Distribuição contínua de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
10.1.1 Massa específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
10.1.2 Centro de gravidade de um corpo . . . . . . . . . . . . 404
10.1.2.1 Massas específicas superficial e linear . . . . 406
10.1.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Questionário, exercícios e problemas . . . . . . . . . . . . . . 408
11 Princípio da conservação da energia mecânica 421
11.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.2 Determinação do momento de inércia de um corpo com a mesa
giratória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
12 Movimento periódico e Regressão linear 425
12.1 Movimento periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Exercícios e Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
12.2 Movimento Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
12.2.1 Exemplos práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
12.2.1.1 Corpo suspenso por uma mola . . . . . . . . 432
Experiências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
12.2.2 Exame da equação diferencial do MHS . . . . . . . . . 435
12.3 A 2a lei de Newton na rotação de um corpo . . . . . . . . . . . 435
12.3.1 Momento de inércia de
um corpo rígido em relação a um eixo . . . . . . . . . 435
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16 Sumário
12.3.2 Momento de inércia de
distribuição contínua de massa . . . . . . . . . . . . 438
12.3.3 Teorema de Steiner–Huygens . . . . . . . . . . . . . . 439
12.4 Pêndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
Problemas práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
12.5 Raio de giração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
12.6 Pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
12.6.1 Determinação experimental da aceleração da gravidade
por pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
12.6.2 Análise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
12.7 Método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
12.7.1 Aplicação do método dos mínimos quadrados . . . . . 463
12.8 Retas de regressão. Coeficiente de correlação . . . . . . . . . . 466
12.9 Aplicação ao exemplo do pêndulo simples . . . . . . . . . . . 477
12.9.1 Observação importante . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
Observação: Físico Teórico e Físico Experimental . . . . . . . 484
Observação: Sobre a montagem . . . . . . . . . . . . . . . . 485
13 Elasticidade 487
13.1 Esforço Específico num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
13.2 Deformação específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
13.3 Tração e compressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
13.4 Corte ou cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
13.5 Esforço sobre um volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
13.6 Torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
14 Aplicações práticas – oscilações 495
14.1 Oscilação de um sistema por torção . . . . . . . . . . . . . . . 495
14.2 Deflexão de uma haste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
14.3 Composição geométrica de movimentos harmônicos . . . . . . 500
14.4 Representação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
14.5 Gráfico do movimento harmônico simples . . . . . . . . . . . 502
14.6 Representação complexa do harmônico simples . . . . . . . . 503
14.7 Composição de movimentos harmônicos simples de mesma di-
reção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
14.7.1 Composição de MHS de mesma freqüência, diferença
de fase constante, e de mesma direção. . . . . . . . . 504
14.7.2 Composição de vários MHS (caso particular) . . . . . 507
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Sumário 17
14.7.3 Caso particular importante . . . . . . . . . . . . . . . 508
14.8 Composição geométrica de MHS de freqüências quase iguais . 511
14.8.1 Representação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
14.9 Composição de MHS de freqüências diversas . . . . . . . . . 513
14.9.1 Freqüências comensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . 513
14.9.2 Freqüências incomensuráveis . . . . . . . . . . . . . . 514
14.10 Movimentos harmônicos de direções ortogonais . . . . . . . 514
14.10.1 Composição de MHS de mesma freqüência, diferença
de fase e direções ortogonais . . . . . . . . . . . . . 514
14.10.2 Estudo dos diversos casos . . . . . . . . . . . . . . . 516
14.10.3 Os MHS têm freqüências quase iguais . . . . . . . . 518
14.11 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
14.12 Freqüências nitidamente diversas . . . . . . . . . . . . . . . 522
14.13 Freqüências incomensuráveis e não múltiplas de freqüências
quase iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
15 Movimento periódico complexo 527
15.1 Harmônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.2 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
15.3 Energia no movimento harmônico simples . . . . . . . . . . . 528
15.3.1 Cálculo da energia mecânica . . . . . . . . . . . . . . 529
16 Movimento harmônico amortecido, forçado e ressonância 533
16.1 Movimento harmônico amortecido . . . . . . . . . . . . . . . 533
16.1.1 Movimento harmônico superamortecido . . . . . . . . 536
16.1.2 Movimento harmônico criticamente amortecido . . . . 536
16.1.3 Movimento harmônico subamortecido . . . . . . . . . 537
16.2 Decremento logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
16.3 Dissipação de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
16.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
16.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
16.6 Movimento harmônico forçado . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
16.7 Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
16.7.1 Experimento com pêndulos acoplados idênticos . . . . 556
16.7.2 Experimento com pêndulos acoplados de mesmo com-
primento e massas diferentes . . . . . . . . . . . . . . 558
16.8 Batimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
16.8.1 Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
16.9 O cilindro dançante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
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18 Sumário
17 Movimento ondulatório 565
17.1 Comprimento de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
17.2 Equação diferencialda onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
17.3 Trem de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
17.4 Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
17.5 A onda senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
17.6 Ondas transversais e ondas longitudinais . . . . . . . . . . . . 572
17.6.1 Ondas transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
17.6.2 Ondas longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
17.7 Aplicações da equação da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
17.7.1 Cordas vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
17.7.2 Reflexão de onda numa corda vibrante – Ondas estaci-
onárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
17.7.3 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
17.7.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
Apêndices 585
A Coletânea de Preâmbulos dos Fascículos 585
A.1 Preâmbulo do Fascículo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
A.2 Introdução do Fascículo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
A.3 Preâmbulo do Fascículo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
A.4 Preâmbulo do Fascículo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
A.5 Preâmbulo do Fascículo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
A.6 Preâmbulo do Fascículo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
B Discurso de Paraninfo 589
C Fac-símile de um artigo 599
D Fragmentos de “O Ensaiador” de Galileu Galilei 607
E Referencial inercial – Diálogo – Galileu 613
Prefixos SI 617
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Sumário 19
Suplementos 621
Sobre a revisão, editoração e contribuições 621
Lista de Figuras 623
Lista de Tabelas 633
Referências 635
Índice Remissivo 638
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20 Sumário
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Apresentação ∗
Preâmbulo †
Ao escrever este livro pensamos no estudante que deseja realmente aprender
física e que em geral não vê muita relação entre o que aprende, o que o cerca e,
principalmente, o laboratório; seja porque não existe, seja porque quando o al-
cança se perde na sua complexidade. A Física Experimental não é fácil, exige
o conhecimento dos fenômenos, conceitos, leis e princípios; exige o conheci-
mento da matemática para representá-los e para desenvolvê-los em teoremas e
para resolver problemas teóricos e práticos, e para alcançar aplicações tecno-
lógicas. Como aprender física para chegar à plena realização do conhecimento
teórico e experimental ou tecnológico?
Existem excelentes livros e manuais de Física, nacionais e estrangeiros.
Seus autores, de modo geral, procuram dar a explicação dos fenômenos, leis,
princípios e conceitos físicos com muitos problemas; mas não se preocupam
com a parte do laboratório que é deixada para os manuais práticos; estes rela-
cionam as experiências sem inseri-las num contexto teórico. Neste livro pro-
curamos, a partir de observações e experiências simples, conduzir o estudante
para a parte teórica e em seguida para suas aplicações teóricas e experimen-
∗ u© O que consta nesta apresentação foi publicado em 1981 pelo Prof. Armando, no Fas-
cículo 0 com Preâmbulo datado de 20 de agosto de 1976, que nesta revisão (pág. 21 – pág. 109)
mesclamos com o Fascículo 1, publicado em 1980 e com Introdução datada de 20 de fevereiro
de 1976. Parece-nos que a intenção era reescrever toda a obra, detalhando alguns tópicos e
adaptando melhor o que já havia sido experimentado com estudantes em aulas teóricas, aulas
em laboratório, e em avaliações escritas, verbais (argüições) e relatórios das experiências. O
texto desta seção visa expor as idéias do autor sobre o ensino e aprendizagem da Física (ver
pág. 589), para professores, futuros professores e estudantes.
† Preâmbulo do Fascículo 0 – 1981.
21
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22 Apresentação
tais. Como não podia deixar de ser, acompanha este livro o Laboratório Por-
tátil que é parte integrante do curso. Com ele, o estudante poderá realizar as
experiências básicas necessárias a um desenvolvimento do conhecimento de
Física Geral e Experimental. Procuramos sempre que possível e desejável re-
cordar a matemática necessária, mostrando seu relacionamento com a Física
Experimental. Sabemos que muitas vezes os conhecimentos de matemática do
estudante de física ou não existem ou jazem em seu subconsciente sem ne-
nhum relacionamento com as experiências de Física, daí esse nosso empenho.
Rio de Janeiro, 20 de agosto de 1976
Armando Dias Tavares
Orientação ao Estudante ‡
Este livro foi desenvolvido com o objetivo de tornar a Física accessível, mesmo
àqueles que estudam sozinhos, sem auxílio de um professor experimentado.
Devo lembrar ao estudante que o vocabulário usado deve ser aprendido
muito bem, pois sem esse vocabulário o aluno não entenderá a língua portu-
guesa com que se descrevem os fenômenos, conceitos e leis da Física – esse
vocabulário constituirá o português científico relativo à Física – . No fim de ca-
da capítulo, o estudante encontrará uma série de problemas e exercícios, entre
os quais figuram perguntas sobre o significado das palavras empregadas – e que
vão constituir o vocabulário científico em português – ; é claro que o estudante
deverá sabê-lo de modo perfeito.
Para estudar os capítulos, o estudante deverá lê-los do princípio ao fim, de
uma só vez, procurando entendê-los, meditando nos conceitos e respondendo
às perguntas eventuais (postas no texto ou que ocorram ao estudante). Ficará
assim com uma idéia geral do seu conteúdo; as palavras e passagens que não
conhecia deverão ser anotadas. Após essa leitura geral, o estudante inicia um
estudo mais minucioso, procurando entender tudo de modo completo. Em se-
guida procurará repetir o que foi descrito, com seu estilo, naturalmente usando
as palavras e os termos científicos aprendidos. Deverá reproduzir oralmente e
‡ Introdução do Fascículo 1 – 1980.
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Apresentação 23
por escrito as definições, leis e conceitos. Deverá reproduzir todas as demons-
trações do texto com naturalidade e perfeição. A parte experimental deverá
ser desenvolvida concomitantemente; é imprescindível que o estudante faça,
reproduza as experiências programadas. Observe que começamos com a expe-
riência mais simples possível, exatamente para que o estudante possa encontrar
o mínimo de dificuldades iniciais na experimentação. Note o estudante que ele
está aprendendo Física que, apesar de ser no ramo das ciências da natureza o
mais simples, envolve conhecimento muito complexo. A Física Experimental
não pode ser aprendida sem experimentação ou então não é Física Experimen-
tal, da mesma forma, a formação em Física Teórica ou em Física Aplicada não
pode ocorrer sem vivência da física experimental; não é Física, é outra matéria
alheia ao mundo em que vivemos.
Rio de Janeiro, 20 de fevereiro de 1976
Armando Dias Tavares
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24
“ADT-MF” — 2005/11/7 — 8:51 — page 25 — #25
Introdução§
Como Ensinar Física?
1o – A Escola foi criada para o aluno, e seu objetivo é instruí-lo e educá-lo.
2o – O aluno na Escola não só adquire conhecimento como aprende e adquire
atitudes, comportamento e hábitos sadios relacionados com a matéria
ensinada: aprende a falar e a escrever corretamente sua língua materna;
a raciocinar e usar a matemática em diferentes situações e processos
reais ou ideais; aprende a falar, escrever e entender uma ou duas lín-
guas estrangeiras; com a biologia, a ecologia e a história natural não só
adquire vasto conhecimento dos seres vivos, seu habitat, seu relaciona-
mento e interdependência, como também adquire sadios hábitos de vida;
tolerância e compreensão humana podem ser-lhe induzidaspelo estudo
da geografia política e humana, e pelo estudo da história, e da socio-
logia; adquire consciência social nacional pelo estudo da história e da
geografia do Brasil; a psicologia pode dar-lhe uma penetração maior no
convívio com seus semelhantes e um poder maior sobre sua mente. Em
suma, cada matéria ou disciplina que estuda traz sua contribuição para o
desenvolvimento de sua personalidade para torná-lo um ser social alta-
mente capacitado, produtivo e de sentimentos positivos na sociedade em
que vive.
3o – A Física assume papel relevante na sua formação cultural, pois, mais
do que qualquer outra ciência, poderá dar-lhe conhecimento, atitudes
e hábitos de observação e objetividade pelo uso do Método Científico;
§ Introdução do Fascículo 0 – 1981.
25
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26 Introdução
a experimentação dá-lhe o processo de tornar efetiva a objetividade e
o senso crítico. Desenvolvendo e aplicando o raciocínio matemático,
subordina-o à verificação experimental, objetivando-o, concretizando-o
e criticando-o. Desenvolvendo-lhe o poder de observação, ensina-o tam-
bém a usar a experimentação para chegar à conclusões e para verificar
conceitos, leis e resultados teóricos. Forja-lhe assim a parte objetiva de
sua mente, contribuindo poderosamente para torná-lo intelectualmente
independente. Por outro lado, é a base da tecnologia moderna; forne-
cendo ainda o substrato para uma compreensão da atual estrutura da
sociedade.
Entretanto não serão alcançados esses objetivos da Escola na formação do es-
tudante se o método de ensino não for adequado; neste caso o ensino pode até
mesmo tornar-se prejudicial, criando preconceitos, noções falsas, distorções
e frustrações que acompanharão o aluno pela vida afora, falhando a Escola
lamentavelmente.
O Ensino da Física, como de qualquer outra ciência, exige:
1o – Compreensão perfeita das definições, conceitos e leis fundamen-
tais.
2o – Uso da matemática para exprimir esses conceitos e leis, desenvol-
vê-los e aplicá-los.
3o – Uso da observação e experimentação para o estabelecimento dos
conceitos, leis fundamentais e verificação dos resultados teóricos e
aplicações práticas.
É preciso ressaltar porém que não pode nem deve haver uma separação
nítida entre esses três atributos de um ensino correto de Física, todos estão
intimamente entrelaçados, indo, por assim dizer, constituir uma estrutura única
que aprendida pode atuar como um todo no trabalho profissional e na pesquisa.
O método de ensino deve assim visar a Compreensão e a Transferência de
Aprendizagem, por isso devemos acrescentar um quarto item para completar
os três anteriores:
4o – Formulação de problemas teórico-práticos que exijam habilidade
específica, emprego da teoria aprendida, raciocínio e pesquisa para
encontrar a solução; em suma, grande transferência de aprendiza-
gem.
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Introdução 27
Do ponto de vista da Escola, a parte mais onerosa é sem dúvida a parte
experimental, pois que, para haver máxima eficiência, o ensino deve ser indi-
vidual. Se, de um lado, podemos ensinar a 20, 30 ou até mesmo a 50 alunos
simultaneamente quando se trata de meras explicações teóricas ou práticas,
por outro lado, quando se passa ao uso dos conhecimentos, à experimentação
e pesquisa, só é possível fazer o aluno sentir, ou viver o “problema”, se é ele
de fato que faz a experiência em todas as suas fases. Ora, se reconhecemos
que o ensino individual é o mais correto e eficiente, é também evidente que
ele é muito caro; nenhuma escola podendo adotá-lo, levando em conta que o
investimento em laboratórios, aparelhos e instrumentos científicos necessários
o tornam proibitivo.
Por isso idealizamos um conjunto de peças e instrumentos para tornar o
ensino da Física realmente eficiente. O estudante poderá, com esse conjunto
e usando um método progressivo e lógico, realizar as experiências básicas da
Física em sua escrivaninha de estudo teórico, com erro relativo (com 95 % de
nível de confiança) que varia de 5 % a 0,1 %, dependendo de sua habilidade
e do tipo da experiência. Pela sua simplicidade e planejamento específico, o
conjunto fica ao alcance do estudante, pois o investimento a realizar é mínimo.
Iniciamos o estudo da Física pela Mecânica, por ser a parte fundamental e
por ser mais fácil de desenvolver, fornecendo também grande parte do material
necessário ao estudo do restante da Física.
O Estojo de Mecânica que se acha em uso há 4 anos¶ em turmas de 35 – 50
alunos (aula prática individual), de tão pequena, recebeu o nome de Estojo de
Física; nesse estojo cabe grande parte dos dispositivos para o estudo do calor,
ótica geométrica e acústica. Cada aluno poderá assim ter seu Estojo de Física
que poderá levar para casa, se o desejar e for permitido, a fim de ter horas
adicionais de estudo por meio de realização de experiências. Com o Estojo de
Mecânica foram programadas as seguintes experiências: ‖
1. Correlação entre grandezas físicas. Gráficos. Estudo da deflexão de uma
haste em função do peso em sua extremidade. (1 experiência)
2. Calibração de dinamômetro. (3 experiências)
3. Duas forças em equilíbrio aplicadas em um ponto; duas forças em equi-
líbrio aplicadas na extremidade de fios. (2 experiências)
¶ u© Redigido em 1976.
‖ u© Essa listagem não esgota o que consta neste livro.
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28 Introdução
4. Três forças em equilíbrio aplicadas em um ponto, regra do paralelo-
gramo. (1 experiência)
5. Problemas de equilíbrio de forças aplicadas em fios. (2 experiências)
6. Corpo rígido. Momento de força em relação a um eixo. Verificação do
equilíbrio de momentos de forças aplicadas em um corpo rígido. (3 ex-
periências)
7. Forças paralelas. Centro de gravidade de n forças distribuídas linear-
mente. (2 experiências)
8. Distribuição plana de pesos. Centro de gravidade de pesos distribuídos
em um plano. (2 experiências)
9. Problemas de equilíbrio de estruturas simples. Problemas de forças em
equilíbrio aplicadas em barra pesada, articulada. (3 experiências)
10. Atrito estático e cinético. Determinação experimental de coeficientes de
atrito. (2 experiências)
11. Experiências sobre balanças. (7 experiências)
12. Máquina de Atwood. (3 experiências)
13. Mesa giratória para determinação de momento de inércia. (5 experiên-
cias de momento de inércia)
14. Módulo de elasticidade. (3 experiências)
15. Movimento harmônico simples. (5 experiências)
16. Métodos de determinação da densidade de corpos. (4 experiências)
17. Determinação da tensão superficial da água. (2 experiências)
São ao todo cinqüenta (50) experiências fundamentais de Mecânica. ∗∗
∗∗ u© À época da redação deste texto pelo Prof. Armando eram muito caros os equipamentos
para medidas cinemáticas para movimentos. Atualmente o Laboratório de Mecânica do I-
  F´ da U  E  R  J (IF–UERJ) dispõe de trilhos de
ar, com dispositivos para medidas eletrônica e interface para tratamento digital de dados. Esse
equipamento vem aumentar a capacidade de experiências em nossos laboratórios didáticos.
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Capítulo 1
Método Científico
1.1 Observação e experimentação
O método científico começa com a observação, a qual consiste no exame atento
dos acontecimentos e fatos que se passam na natureza. 1
Por isso mesmo a observação implica uma seleção do que se deve observar
e na descrição do objeto e dos fatos observados; cada palavra empregada deve
ter uma definição precisa. Em qualquer ciência cada palavra tem significado
preciso, que dá uma idéia correta e exata do que foi definido. Uma das difi-
culdades de uma ciência é exatamente a definição do vocabulário empregado
(principalmente no que diz respeito aos conceitos mais fundamentais). Para
dificultarmais ainda o aprendizado, ocorre que muitas palavras empregadas
cientificamente pertencem também à linguagem comum, o que traz ao estu-
dante a sensação falsa de que está entendendo o texto quando na realidade, por
ignorar a acepção correta das palavras empregadas, o máximo que consegue
é fazer uma idéia aproximada do texto, muitas vezes completamente falsa. O
estudante tem que se dedicar a aprender, a saber corretamente o significado das
palavras, a definição correta e a compreensão exata das grandezas, das leis, dos
postulados e axiomas, sem o que não poderá progredir no estudo por falta da
linguagem adequada.
Por outro lado, a observação dos fatos naturais deve ser registrada com
todo cuidado, num caderno de notas que o cientista deve ter sempre consigo
1 u© Essa observação pode ter início por um projeto relacionado a um problema específico
ou mesmo por um acaso (caso raro), mas que somente será notado se o observador ou quem
analisa os dados experimentais estiverem “encucados” e preparados para esse aspecto específi-
co. Acrescentamos o Ap. D como ilustração histórica.
29
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30 Capítulo 1. Método Científico
nas ocasiões em que se dispõe a observar esses fatos. A memória humana é
falível e, pior ainda, ela altera os registros mentais, de acordo com noções e
preconceitos preestabelecidos. Por isso, o cientista não se fia na sua memória,
por melhor que seja, registrando sempre no caderno de notas as suas observa-
ções.
Finalmente, pode exprimir-se numericamente grande parte das observa-
ções, a precisão tornando-se muito maior conforme técnicas adequadas são
aprimoradas: a observação científica tende a ser quantitativa.
A observação pura e simples de fatos naturais é demorada, pois esses fa-
tos não estão ocorrendo a toda hora, ou à vontade do observador. Por isso,
ele passa da observação à experimentação. Na experimentação, o observador
procura controlar os fatos, separá-los da influência de inúmeros outros, repro-
duzí-los à sua vontade e conveniência no Laboratório, ou na sala de experi-
mentação. Deste modo poderá observar melhor, em condições ideais e com
instrumentos que aumentam o seu poder de observação; ajudando seus sen-
tidos nessa tarefa, os instrumentos que usa não são mais do que dispositivos
ou meios para ampliar os seus sentidos. Assim o microscópio e o telescópio
ampliam sua visão, os amplificadores de áudio sua audição. A visão e a audi-
ção constituem os sentidos mais usados pelo homem na observação dos fatos.
Com o estudo e o desenvolvimento científico e tecnológico ele consegue de-
tectar fatos e fenômenos para a percepção dos quais ele não possui sentido
algum; por exemplo: os raios cósmicos, as partículas α, β e γ que emanam dos
corpos radioativos, e também as ondas eletromagnéticas, não são percebidas
diretamente pelos sentidos humanos e constituem exemplos frisantes de como
o homem pode desenvolver novos “sentidos” para observar, estudar e contro-
lar a natureza. Esses sentidos, nos casos citados, são os detectores de partículas
(contadores, cintiladores, etc.) e receptores de ondas eletromagnéticas.
O objetivo de toda Ciência é controlar, provocar e usar os fatos naturais
em benefício do Homem. Entretanto, existem fatos, eventos (acontecimentos)
naturais sobre os quais o homem não tem nenhum controle, nem pode levar ao
laboratório; como por exemplo, as manchas solares, os eclipses do sol e da lua,
o afastamento do periélio dos planetas, notavelmente o de mercúrio, etc., são
fatos cuja observação acurada pode conferir ao homem, pelo menos, o poder
de prever tais fatos ou eventos (eclipses do sol, manchas solares) o que já é um
resultado notável capaz de trazer-lhe grandes benefícios.
O estudante ouve freqüentemente que a Ciência deve ser estudada pela
Ciência, desenvolvendo pesquisa pura ou básica, não visando nenhum bene-
fício. Isto porque ninguém pode prever em que direção se deve pesquisar ou
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1.2. Causa e Efeito 31
até mesmo o que se deve pesquisar para realizar descobertas que num futuro
próximo ou mesmo remoto irão trazer benefícios ao Homem. Se os cientistas
só pesquisassem com a finalidade de realizar descobertas “utilizáveis”, cedo
o seu conhecimento estaria limitado, tornar-se-ia estanque, estiolar-se-ia2 e se
tornaria estático e obsoleto: a sociedade tenderia a ser “perfeita” num dado es-
tágio de sua evolução. Desenvolvendo o interesse, o amor pela pesquisa básica,
completamente desvinculada de suas possíveis aplicações práticas ou tecnoló-
gicas, o Homem está assegurando a continuidade do progresso científico e, por
conseguinte, o do tecnológico em um processo auto-alimentado.
1.2 Causa e Efeito
Um fato A pode ocorrer concomitantemente com outro B, ou antecedê-lo. Se
isso acontece sempre, isto é, se ocorrido A ocorre B, o observador em geral
supõe que a ocorrência de A acarreta a de B, ou diz que A é a causa de B, B
sendo o efeito do acontecimento A. Entretanto a simples ocorrência lado a lado
de dois fatos não significa que um seja a causa do outro, muitas vezes os dois
são efeitos de uma mesma causa que não é observada e que ocorrendo ocasiona
os dois fatos. Freqüentemente o Observador, ou Experimentador, tem imensa
dificuldade para discernir ou estabelecer a causa de um fato observado, e nisso
reside a sua perícia, habilidade ou “sorte”.
1.3 Hipótese
Para discernir a causa dos fatos, explicar a ocorrência de dois ou mais fatos
interrelacionados, o Observador faz hipóteses que não são mais do que afir-
mações sobre “como” ou “porque” os fatos ocorrem.3 A hipótese pode ser
assim meramente descritiva, “fenomenológica”, ou pode ser “interpretativa”,
isto é, dizer porque ocorre, o observador tenta interpretar os fatos observados
descrevendo-lhes a causa da ocorrência.
A hipótese é meramente um auxiliar do observador, seja na própria Obser-
vação seja na Experimentação. O observador pode “testar” sua hipótese, ve-
rificando-lhe a validade quando introduz modificações nos fatos observados,
2 u© Estiolar – fenecer, definhar, enfraquecer, debilitar.
3 u© Mas para fazer tais hipóteses é preciso que o proponente saiba perguntar “como?”,
“por quê?”. A formação não pode acontecer por adestramento e sem senso crítico, o estudante
não deve simplesmente se deixar convencer ou simplesmente acreditar por acreditar no que se
diz ou afirma.
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32 Capítulo 1. Método Científico
ou em um deles, a fim de verificar o que acontece com o outro. Se a hipótese
resistiu a todos os testes, passando a ser comprovada pelos fatos, se as “con-
seqüências” da hipótese são verificadas, ela passa a ser uma Teoria. O valor de
uma teoria está na previsão de novos fatos, de novas conseqüências, no valor
“heurístico”,4 isto é, no seu poder de descobrir, de achar e de prever novos
fatos, o que conduz a um progresso do conhecimento, a novas experiências e a
um poder maior do Homem sobre a Natureza. Neste caso as teorias passam a
ser denominadas leis da Natureza: leis da Física, da Química, etc.
1.4 Modelo e Matemática
Muitas vezes o homem faz hipóteses baseando-se em analogias, procurando
descrever os fenômenos observados com base na semelhança com outros fenô-
menos. Assim, por exemplo, ele se vale de “modelos” mecânicos para explicar
fatos que nada têm a ver com a mecânica, a não ser propriedades formais. Na
física isso é freqüente, o modelo sendo uma “imagem” do “objeto” que deve
traduzir os fatos e fenômenos observados para um domínio cuja compreensão
é melhor ou mais fácil. Tais fatos são “observados”, muitas vezes, com apa-
relhagem extremamente complicada que exige equipes de especialistas para
ser adequadamente utilizada e sem a qual seria impossível a observação do
fenômeno em questão.
O modelo matemático também é usado; os fatos e grandezas traduzem-se
por variáveis e constantesmatemáticas que se relacionam segundo os conhe-
cimentos de um dado domínio da matemática.5 As leis da Natureza são assim
expressas por uma linguagem matemática que lhes dão nova feição e permitem
o seu uso e desenvolvimento. Na Física, esse fato chega ao ponto de podermos
até mesmo afirmar que a “linguagem natural” da Física é a Matemática.
Para ilustrar o que se explicou anteriormente, vamos dar um exemplo tri-
vial de como o Homem pode proceder para investigar, pesquisar e descobrir
fatos e leis. Ao escolher para ilustrar o “Método Científico” um exemplo tri-
vial (§1.5), estamos querendo que o estudante possa participar tranqüila e ati-
vamente da observação e da experimentação que ele poderá fazer até mesmo
em casa, com toda comodidade e facilidade, compreendendo-a nos mínimos
pormenores. O método que pretendemos desenvolver neste livro de Física se
4  Heurístico – do grego �υ´ρισχω (heurisco) – descubro, verbo descobrir, passado
perf. �υ¨ρηχα (heureca) – descobri, achei.
5 u© Isto é, as relações entre grandezas físicas se dão por meio matemático, conforme a
opção original de Galileu.
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1.4. Modelo e Matemática 33
baseia na compreensão, redescoberta e uso completo do conhecimento, seja
para resolver exercícios e problemas de aplicação desses conhecimentos, seja
para resolver problemas que impliquem numa nova aquisição de conhecimen-
tos, isto é, na pesquisa científica. Vamos procurar manter-nos dentro desse
padrão, não descrevendo fenômenos ou conhecimentos que ainda não estejam
dentro da compreensão do estudante, procurando orientá-lo sem deslumbrá-lo
com maravilhas que a Ciência já colocou ao alcance do Homem, isso o estu-
dante vê a cada momento da sua vida sem entender (ou mesmo perceber). O
que interessa ao estudante de Ciência é entender e poder participar da criação
de novas técnicas, de novas tecnologias, e da aquisição de novos conhecimen-
tos. É necessário não confundir os objetivos. Suponhamos, por exemplo, um
silvícola trazido ao nosso meio urbano. Ao educá-lo para integrá-lo á nossa
civilização podemos fazê-lo com dois objetivos:
1o) Dar-lhe um conhecimento da vida civilizada, mostrando-lhe as realiza-
ções da ciência e da Tecnologia. Ele, ao fim de algum tempo, estaria apto
a viver a vida urbana nos seus múltiplos aspectos, ligando a luz à noite,
abrindo a torneira para usar a água, acendendo o fogão à gás, sentando-
se à mesa e usando o garfo e a faca para comer, descarregando a válvula
da privada quando necessário, ligando e desligando o rádio e selecio-
nando as estações transmissoras para ouvi-las. Poderia até mesmo fazer
consertos de bombeiro hidráulico e de eletricista sem ter noção mais
profunda dos fenômenos envolvidos; com dois ou três anos de aprendi-
zado prático, poderia ser um torneiro razoável, serralheiro, carpinteiro
ou marceneiro; guiando carros e tratores, etc. Poderia usar a tecnologia
à sua disposição para trabalhar numa fazenda ou numa indústria, poderia
fazer tudo isso sem saber ler ou escrever, isto é, sendo analfabeto. Esse
objetivo poderia ser atingido num prazo de três (3) a quatro (4) anos.
Entretanto jamais poderia inovar a ciência, contribuindo para o avanço
do Conhecimento e da Tecnologia.
2o) Educá-lo com o objetivo de transformá-lo num ser capaz de aplicar os
conhecimentos, de descobrir novos processos, materiais e máquinas, de
transformar a tecnologia, de descobrir, estudar, desenvolver e estabelecer
novos conhecimentos, isto é, com o objetivo de transformá-lo num En-
genheiro ou num Cientista. Neste caso, teríamos que ensiná-lo durante
vinte (20) ou trinta (30) anos.
Ora, uma Escola Superior para formar Engenheiros, Matemáticos ou Físi-
cos, não pode evidentemente se limitar a formar “manipuladores de máquinas
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34 Capítulo 1. Método Científico
ou instrumentos”, o objetivo tem que ser mais elevado, superior; isso é possível
se o estudante está motivado, se deseja realmente desenvolver-se e adquirir for-
mação para ser Engenheiro, Matemático ou Físico, e não para ser engenheiro
de operação ou um cientista apertador de botões sob as ordens de um Cientista
estrangeiro, americano, alemão, francês, russo, chinês, italiano ou japonês. É
fundamental e necessário que o estudante aspire mais alto, à Independência
Intelectual (Estratégica) e Científica para não ficar à reboque dos países que
cuidam muito bem da formação de seus cientistas.
A Formação de Cientistas traz a Independência Intelectual que é a base
sob a qual se assenta e alicerça a Independência Econômica e Política de um
; o método de ensino que estamos procurando desenvolver e divulgar visa
exatamente essa Independência Intelectual estratégica.
Entretanto convém lembrar ou advertir ao estudante que não existe ca-
minho fácil, ou mágica, para substituir o seu esforço na aquisição de conheci-
mento e que não deve esperar milagres; deve, sim, dispor-se a observar, experi-
mentar, praticar, estudar, reestudar,  a Física, durante anos e anos; e, se vai
dedicar-se à Ciência, à Pesquisa Científica ou Tecnológica, como Físico, Mate-
mático, ou como Engenheiro, deve saber que a aprendizagem só termina com a
Morte. Isso não significa porém nenhuma desvantagem do Cientista, muito ao
contrário, significa a certeza de que ele pode continuar produzindo, inovando,
aprendendo até aos oitenta, noventa ou cem anos, quando a morte sobrevenha.
Inúmeros são os exemplos, nesse particular, de Cientistas que conservaram
pleno vigor intelectual até idade avançada, quando o vigor da mocidade e da
idade madura já se foram há muito; entretanto o cérebro pode continuar mais
ativo e potente que nessas fases da vida.
Passaremos agora ao exemplo de construção de um modelo.
1.5 Exemplo de construção de um modelo: o peso dos
corpos
João e José estão conversando. São dois garotos do interior que vivem afasta-
dos da “civilização”. Moram com seus pais e pertencem a um clube de futebol
infantil organizado pelo capataz da Fazenda Boa Vista que em tempos idos
tinha sido “craque” de um “time” qualquer. São analfabetos, mas isso não im-
pede a sua curiosidade, cheia de informações falsas, crendices e preconceitos.
Vejamos uma tradução para o que dizem.
– Os corpos têm peso, diz João, e quanto maior o corpo, maior
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1.5. Construção de um modelo 35
o seu peso.
– Não acho, retruca José, conheço uma pedra que é muito leve
e, apesar de ser muito maior que as pedras redondas do rio,
pesa muito menos.
– Mas como é que você sabe que essa pedra pesa menos? In-
daga João.
– Porque eu a levanto com um braço só, e há pedras no rio que
para serem levantadas exigem os meus dois braços, apesar
de serem menores, responde José.
– Hum! Mas onde se encontra essa pedra leve?
– Lá encima da montanha, responde José.
– Isso então não prova nada! Porque:
1o) a pedra do rio está no rio, e a água pode influir no peso
dela e,
2o) a outra pedra está na montanha e a montanha pode em-
purrar a pedra para cima, argumentou João.
– Bobagem, responde José. A água não faz os corpos mais pe-
sados e a montanha não faz nenhum corpo mais leve, ponti-
ficou José.
– Além disso, diz João, sem dar atenção a José, você mora na
montanha e levanta a pedra de manhã. Quando vai ao rio,
tomar banho, já é de tarde. Ora, todo mundo sabe que os
corpos são mais leves de manhã e mais pesados de noite.
José fica sem saber o que responder, pois sabia que de manhã realmente
ele conseguia levantar corpos que à noite não levantava, o que parecia mostrar
que os corpos à noite aumentavam de peso. Saiu da discussão aparentemente
vencido, mas não convencido. Era teimoso. Começou a pensar. Naquele dia
não correu, não jogou bola, não carregou nada. E assim chegou a noite. Voltou
para casa passando perto da pedra que levantava pela manhã masque à noite
não conseguia erguer. Aproximou-se dela, segurou-a e tentou erguê-la. Qual
não foi o seu espanto quando pôde levantá-la até a cintura. Olhou em volta
para certificar-se de que já era noite. Tentou novamente e o conseguiu. Não
havia dúvida, podia levantar a pedra à noite! Entrou em casa e se sentou para
pensar.
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36 Capítulo 1. Método Científico
Comparou todas as observações que havia feito até então. Sempre que ten-
tava levantar a pedra à noite, tinha percorrido a floresta o dia inteiro, carre-
gando caça ou frutas. Achava-se muito cansado à noite. Isso explicava porque
não conseguia levantar a pedra à noite, quando de manhã o conseguia. Não era
porque a pedra aumentava de peso à noite, ficando mais pesada, mas, sim, por-
que se achava mais cansado e não podia com o seu peso. Ficou radiante porque
afastara o principal argumento do João. Às favas com essas experiências, não
podia se basear nas impressões dos seus sentidos, eram enganosas e varia-
vam com o estado do seu corpo. Tinha que arranjar um processo para pesar os
corpos que fosse independente dele, de seus sentidos, de sua disposição.
José chegara assim à conclusão de que tinha de ser “objetivo”, de que o
conhecimento “subjetivo” era muito precário e muitas vezes falso. Tinha que
evitar a “subjetividade” e desenvolver a “objetividade”, o conhecimento por
meio da experimentação tinha que ser obtido por processo que não dependesse
do “sujeito”, do observador, mas que se restringisse ao domínio do objeto, fora
do sujeito, isto é objetivo.
Mas o problema do José era exatamente arranjar esse método, esse pro-
cesso objetivo para pesar os corpos. Como fazer?. . . Um mês se passou sem
que José afastasse o problema da cabeça. Retomou sua lide diária. Evitava o
João por todos os meios, pois não queria perder tempo com discussões esté-
reis. E assim, já em casa, mais cedo, um certo dia, ao pôr do sol, contemplava
a exuberante floresta que se estendia à perder de vista, quando sua atenção foi
atraída por um pássaro que veio pousar no galho de um arbusto que crescia
perto de sua casa. O galho vergou sob o peso do pássaro. Um segundo pássaro
Figura 1.1: Uma fonte de inspiração.
pousou perto do primeiro e o galho vergou mais ainda. José se sobressaltou
com a idéia que lhe atravessou a mente. Os pássaros voaram assustados (com a
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1.6. Confecção de uma caixa de pesos 37
presença de um predador, não com as idéias de José), o galho voltou à posição
inicial. José vislumbrou a solução do seu problema. Mas teria ainda muito tra-
balho até chegar a solução completa. Não perdeu tempo, percebeu que tinha de
passar da mera observação para a experimentação. Entrou no seu “laboratório”
e começou a preparar o dispositivo para estudar o problema da deflexão do ga-
lho, adaptado para a deformação de uma haste metálica fina, ou simplesmente,
para estudar o problema da deflexão da haste. A história está pitoresca, mas a
encerramos por aqui.
Nas páginas seguintes damos o esquema do dispositivo em sua feição mo-
derna e sofisticada, veja Fig. 1.1 e Fig. 1.2.
Este é o “fato bruto” observado por José, “deflexão de galho produzido
pelo peso de um pássaro”. Na sua oficina e laboratório, ele transformará o
fato bruto num fato científico, arranjando os dispositivos que se vêem na Fig. -
1.2. Poderá agora estudar a deflexão da haste em função do peso, registrando
suas observações e experiências, à hora que quiser e com toda comodidade,
controle e precisão, sem efeitos espúrios e influências diversas, até mesmo de
modo mais anti-séptico6.
1.6 Observação e experimentação 7
Nesta seção estudaremos (intuitivamente) a medição de grandezas físicas, a lei
de interdependência entre duas grandezas físicas, função, gráfico de uma fun-
ção, função linear e interpolação. O tratamento mais sistemático é apresentado
no Cap. 12.
1.6.1 Observação
Uma haste presa em uma extremidade se flete (flexiona, sofre uma deflexão,
se encurva) sob a ação de um peso na outra extremidade, por exemplo um
6 u© Será que esse efeito que pássaros provocam em galhos finos de árvores ocorre apenas
com passarinhos? Com passarinhos e galhos finos? Quando se prende outro objeto ao galho,
observa-se também a deformação do galho? Afinal, poderia não ser assim, não é? Mas é. Assim
se observa quando se investiga a natureza. . . deve-se ter cuidado com o óbvio e com preconcei-
tos. Mudando o tipo e a forma do corpo que se prende ao galho, observa-se sempre deformação?
Bem, se se considera o conceito abstrato do que possuem em comum os corpos que provocam
deformações nos galhos, então se é levado a considerar uma grandeza física, que se chama força
peso. Esse efeito só se observa quando se prende um corpo? ou observa-se também quando se
puxa ou levanta-se o galho?
7  Confecção de uma caixa de pesos.
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38 Capítulo 1. Método Científico
Figura 1.2: Esquema para a deflexão da haste: (1) base retangular da estrutura;
(2) hastes longas para formar a estrutura; (3) ponteiro que serve de haste para es-
tudo da deflexão; (4) anel para fixação da haste longa; (5) pegadores de fixação de
estrutura; (6) parafusos de fixação; (7) régua milimetrada para medição da deflexão;
(8) base redonda para suportar a régua; (9) mesa ou bancada; (10) peso p.
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1.6. Confecção de uma caixa de pesos 39
pássaro ao pousar em um galho fino faz o galho curvar-se, deformar-se. Este
é um “fato bruto” observado.
Da observação de um pássaro curvando um galho com seu peso, passa-
se à experimentação no laboratório com aparelhagem e dispositivos especiais.
Veja Fig. 1.2. O fato bruto observado passa a um fato científico comprovado
experimentalmente no laboratório.
1.6.2 Deflexão da haste em função do peso
Pode-se medir a deflexão da haste pelo deslocamento d de sua ponta, referida
a uma régua. Quando num certo ponto P da haste se colocam pesos p, espera-
se ter uma função d = f (p). Trata-se, portanto, de determinar a função f e
construir uma caixa de pesos conhecidos
p1, p2 . . . pn .
Surge um problema Como determinar a função f que relaciona o peso p
com a deflexão d, se não temos pesos conhecidos? Como obter pesos conheci-
dos? Vejamos.
1. Ao se colocar um peso ao longo da haste, verifica-se que o deslocamento
da ponta aumenta quando o peso se aproxima da extremidade livre L da
haste.
2. Deste modo, tomando-se um objeto A, o peso desse objeto causará um
deslocamento da extremidade L da haste, o qual varia entre zero e um
máximo quando o peso está junto da extremidade livre L, isto é, na extre-
midade da haste oposta àquela que está presa à estrutura que a sustenta.
Chamamos o deslocamento da extremidade livre L da haste de deflexão
da haste, ou simplesmente deflexão.
3. O objeto A poderá ser tomado como padrão, e, por comodidade, seu
peso será a unidade de peso, que indicaremos8 por u. O objeto A é arbi-
trariamente escolhido, o critério para sua escolha sendo qualquer9. Por
exemplo, pode-se escolher um objeto que, quando colocado no ponto P
8 u© Como não se trata de unidade SI, não estaremos usando para essa unidade o estilo de
notação recomendada pelo SI.
9 u© Desde que o peso de A não seja tão pequeno que não se observe deformação da haste,
ou que não seja tão grande para que não provoque deformação permanente da haste.
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40 Capítulo 1. Método Científico
da haste próximo de L, dê uma deflexão de 1 mm. Deste modo a unidade
de peso escolhida dará uma unidade de deflexão10.
4. Convém observar se a deflexão cessa quando se retira o objeto A da
haste, isto é, se ao se retirar o objeto A do ponto P (livrando-o da haste),
a ponta da haste volta para a mesma marca da régua – cessada a cau-
sa,cessa o efeito. Deve-se repetir várias vezes a experiência para ver se
isso acontece. No caso da ponta da haste não voltar para a mesma marca,
deve-se ajustar a haste no anel, apertando-a.
5. Agora se faz um padrão secundário, tomando-se um outro objeto A1 que,
colocado no mesmo ponto P da haste, dê a mesma deflexão11 de 1 mm.
Consegue-se, desse modo, ter vários objetos com o mesmo peso12 de A;
para facilitar a tarefa de conseguir padrões secundários, pode-se tomar
um objeto A′1 que dê uma deflexão maior que 1 mm, por exemplo 1,1 mm
ou 1,2 mm; em seguida retira-se um pedacinho do corpo, limando-o ou
raspando-o por exemplo, e se verifica se então ele dá a mesma deflexão
de 1,0 mm; em caso contrário, torna-se a raspar o corpo, até se obter a
mesma deflexão13 de 1,0 mm.
6. Ora, é plausível que o “o peso de dois (2) objetos de pesos iguais tenha
valor duas vezes maior que o peso de um (1) só”, ou ainda, “o peso
de dois objetos é igual a soma dos dois pesos”. Este enunciado é um
postulado, não temos meio de comprová-lo. Tomando entretanto essa
asserção como verdadeira, prosseguimos14.
10 u© Esse é apenas um exemplo, não há qualquer necessidade de se associar a unidade de
peso à unidade de comprimento adotadas, é apenas para fixar idéia.
11 u© Será necessário mesmo usar um outro corpo que provoque a mesma deformação?
Usar a marca de 1 mm e anotar dessa forma a medida é um bom procedimento para comparar
os pesos? Note-se que se deve anotar a deformação correspondente à unidade de peso adotada,
mas essa deformação não precisa ser correspondente a 1,0 mm.
12 u© Essa igualdade só pode ser concluída depois que se verifica que a função f que estamos
nos preparando para levantar é uma função monótona (crescente), ou seja, quando se constata
que para pesos maiores, a deformação é maior – o que não significa, de antemão, que essa
função seja linear.
13 u© Perceba o leitor o cuidado em detalhar a obtenção do segundo padrão de peso, perceba
ainda a sutileza com que indica (desperta) a necessidade de se estimar o décimo de milímetro
quando se usa uma régua graduada em milímetro.
14 u© A única comprovação, o único teste possível, é a consistência da teoria desenvolvida!
Mas desse só temos notícia ao final! Esse postulado terá reflexo na regra do paralelogramo para
composição de forças.
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1.7. Grandeza Física: medição e medida 41
7. Colocando na haste dois padrões, A e o secundário A1, amarrados na
mesma posição P, admitindo o postulado anterior, obteremos uma de-
flexão que corresponderá a um peso igual a duas (2) unidades u, ou seja,
o peso 2 u. Isto é, d2 = f (2 u).
8. Tendo a (medida da) deflexão d2, podemos agora obter um corpo A2 que
dê a mesma deflexão que d2, e portanto que tenha o peso igual15 a 2 u.
Deve-se verificar se o ponto L da haste retorna sempre para a mesma
posição em que estava antes de colocarmos o peso, depois que ele é
retirado16.
9. O corpo A2 e o corpo A, pelo postulado anterior, têm juntos um peso
igual a 3 u, i.e., A2 e A1 formam juntos um corpo A3 cujo peso é 3 u; e A,
A1, A2 juntos têm peso igual a 4 u. Um corpo A4 que forneça a mesma
deflexão d4, que dariam juntos os corpos A1 A2 e A3, terá peso igual a
4 u. Por sua vez, A4 junto com A2 dará uma deflexão 6 u. Vemos que
desse modo podemos obter múltiplos (inteiros) da unidade u associada
ao corpo A, isto é, os corpos A1, A2, A3, A4 . . . An, fornecem-nos os
pesos 1 u, 2 u, 3 u, 4 u . . . n u. Com n inteiro qualquer (até o limite em
que a haste não sofra deformação permanente).
Construímos assim uma caixa de pesos. Para montar outra caixa de pesos,
com economia de material, mas que possa ser usada em outras experiências,
formando todos os múltiplos inteiros de 1 u entre 1 u e 30 u, basta que se con-
feccione:17 um (1) corpo de peso 1 u, dois (2) corpos de peso 2 u, um (1) corpo
de peso 5 u, dois (2) corpos de peso 10 u, para conseguir múltiplos inteiros até
50 u, basta acrescentar um corpo de peso 20 u.
1.7 Grandeza Física: medição e medida
Podemos agora resolver o problema de determinar a forma da função d = f (p).
Para abreviar e dar precisão à linguagem empregada devemos introduzir defi-
nições e termos novos, cujo significado seja bem preciso. Assim, por exemplo,
o peso p e a deflexão da haste podem ser medidos, isto é, compara-se o peso
do corpo com o peso do padrão dizendo-se, por meio da deflexão produzida,
15  As mesmas causas produzem os mesmos efeitos.
16 u© Caso contrário, não teríamos como verificar as mesmas causas associadas aos mesmos
efeitos.
17 u© É por essa razão que se você receber uma cédula de R$ 30,00, não a aceite. É falsa!

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42 Capítulo 1. Método Científico
quantas vezes o peso p é maior (ou menor) que o do padrão. O mesmo se veri-
fica relativamente à deflexão: uma deflexão d1 é de 2 mm, outra d2 é de 5 mm;
a deflexão de 1 mm seria a deflexão unitária, correspondendo ao peso unitário
(no nosso exemplo). O peso e a deflexão da haste são denominados grandezas
físicas – uma grandeza física sendo tudo aquilo que pode ser medido (fisica-
mente). O processo de medir uma grandeza se denomina medição. Ao colocar
o peso na marca (P) da haste e ler a deflexão para saber quantas vezes o peso é
maior (ou menor) que o padrão, estamos efetuando uma medição e o resultado
obtido p3 =4u se denomina medida da grandeza p3.
Desse modo, estamos procurando um processo para medir o peso dos cor-
pos. O aparelho que permite essa medição se denomina dinamômetro: dí-
namo – força, e metro – medida.
Esse problema de medir uma grandeza não é tão simples. De modo prático,
poderíamos ter uma série de pesos p1, p2 . . . pn, conhecidos relativamente ao
padrão que produzissem deflexões tabeladas; para se ter o peso de um corpo
qualquer, bastaria ver a deflexão que ele provocaria na haste e procurar na ta-
bela qual o múltiplo do padrão que daria a mesma deflexão, e portanto que
teria o mesmo peso que o do corpo. Teríamos assim um método prático para
determinar o peso dos corpos. Entretanto o problema só estaria resolvido com-
pletamente se encontrássemos a forma da função d = f (p), pois um peso p
qualquer poderia dar uma deflexão que não figurasse na tabela. Observe-se
que a cada peso p vai corresponder uma (1) deflexão d, e a cada d deve corres-
ponder um (1) peso p. Há uma correspondência entre o conjunto dos pesos e o
das deflexões, expressa simbolicamente por d = f (p).
1.8 Função de uma variável
A função f que a cada valor de p faz corresponder um único valor de d se
chama função unívoca. Vice-versa, se (para a função f ) a cada valor de d cor-
responde um único valor de p, dizemos que existe a função inversa de f , e
a correspondência entre o conjunto dos pesos e o conjunto das deflexões é
unívoca nos dois sentidos, e se denomina biunívoca entre os pesos e as defle-
xões.
Observa-se facilmente que a haste não suportará qualquer peso em sua
extremidade sem se deformar permanentemente, isto é, colocado um peso pM
na haste, produz-se uma deformação tal que, ao ser retirado o peso, a ponta da
haste não volta mais para a marca inicial. Haverá assim um valor máximo do
peso pm que não provoca deformação permanente da haste (já que a função f é
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1.9. Lei de interdependência entre grandezas físicas 43
crescente). Sendo assim, os pesos que darão a deflexão na haste poderão variar
de 0 a esse valor pm, o peso máximo que não provoca deformação permanente.
Matematicamente se diz que a função f = f (p) é definida para os valores de p
compreendidos no intervalo de 0 a pn (sendo pn≤ pm), ou simbolicamente p∈
[0, pn], a chave indicando que os valores extremos do intervalo estão incluídos
no conjunto de definição da função, ou domínio da função como também é
chamado.
Simbolicamente se põe: d = f (p) para p∈ [0, pn], que se lê“d é uma função
de p para p pertencente ao intervalo de 0 a pn”. O símbolo ∈ se lê “pertence
a”, é o sinal de pertinência.
1.9 Lei de interdependência entre grandezas físicas
Em física se diz que a função f exprime a lei de interdependência entre as
duas grandezas: peso e deflexão; sendo assim, determinar a forma da função
f é achar a lei física que relaciona a deflexão da haste com o peso que a pro-
voca. Aparentemente este problema é muito simples, veremos mais adiante
que ele não é tão simples assim. Para não trazer complicação no atual estágio,
ficaremos dentro do seguinte fato observado:
“Uma dada haste presa por uma extremidade se flexiona sob a
ação de pesos colocados na outra extremidade e cessada a ação
do peso cessa a deflexão, desde que o peso não tenha atingido um
valor grande o suficiente para ocasionar deformações ou modifi-
cações permanentes na forma da haste”.
O objetivo será estudar essa deflexão em função do peso para obter com esse
estudo um processo para “pesar” os corpos. 18
Vimos como se pode construir a caixa de pesos, mesmo sem saber a forma
da função que relaciona o peso com a deflexão e agora, tendo os pesos p1,
p2 . . . pn conhecidos, registramos as deflexões d1, d2 . . . dn que lhes correspon-
dem quando colocamos esses pesos na marca junto à extremidade L da haste.
Para sistematizar esse estudo construímos um quadro ou tabela contendo todos
os pesos usados na experiência e as respectivas deflexões.
A fim de nos expressarmos sem dificuldades, convém dar um nome a nossa
unidade de peso. Esse nome é escolhido por convenção, arbitrariamente. Por
exemplo, suponhamos que a pessoa que iniciou esse estudo se chama José; em
18 u© Note-se que não se definiu peso, estamos usando o conceito intuitivo de peso, relaci-
onado com o da experiência do dia-a-dia, leigo.
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44 Capítulo 1. Método Científico
homenagem a ela, vamos convencionar que o nome da unidade que estamos
usando para nossa caixa de pesos se chamará josé (letra minúscula por se tratar
de nome de unidade), e que a mesma será representada por Jo. É convenção
internacional formar o símbolo usando a inicial do nome proposto com letra
maiúscula por se tratar de nome de pessoa, a segunda letra é para evitar con-
fusão com símbolos já definidos; no caso do metro, o símbolo é a inicial da
palavra metro, letra minúscula porque esse nome não provém de nome de pes-
soa. Essa convenção é internacionalmente adotada, assim há várias grandezas
e símbolos formado por letras maiúsculas porque derivam de nome de pessoas,
por exemplo:
V : volt, em homenagem ao físico Colta Alessandro Volta (1745–1827);
A : ampère, em homenagem ao físico André-Marie Ampère (1775–1836);
J : joule, em homenagem ao físico James Prescott Joule(1818–1889);
W : watt, em homenagem ao físico James Watt (1736–1819);
N : newton, em homenagem ao físico Isaac Newton (1642–1727);
T : tesla, em homenagem ao físico Nikola Tesla (1856–1943);
Wb : weber, em homenagem ao físico Wilhelm Eduard Weber (1804–1891);
Hz : hertz, em homenagem ao físico Heinrich Hertz (1857–1894);
Pa : pascal, em homenagem ao físico Blaise Pascal (1623–1662), etc.;
e outros símbolos com letras minúsculas por derivarem de outras palavras,
não nomes próprios, em geral de palavras gregas, por exemplo: dyn (dina), kg
(quilograma), erg (erg), etc. 19
No alto da Tab. 1.1, colocam-se a legenda do que registra cada coluna e
a unidade correspondente representada por seu símbolo; no nosso caso, Jo na
da coluna correspondente à grandeza peso, que é a variável independente da
função d = f (p), e mm na coluna correspondente à grandeza deflexão, que é a
variável dependente da função f .
No nosso exemplo, a ponta da haste indica a divisão `0 =31,0 mm da régua,
para o peso igual a 0. A medida da deflexão di = `i−`0, em que `i é a divisão
da régua correspondente ao peso pi.
19 u© Note-se, p. ex., que a unidade K g significa “kelvin grama”, e não, quilograma.
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1.10. Eixos coordenados 45
Tabela 1.1: Interdependência entre peso e deflexão.
Peso – p Deflexão – d
(Jo) (mm)
0 0,0
1 1,0
2 1,9
3 2,9
4 4,0
5 5,1
Em seguida a cada leitura da deflexão retirava-se o peso para verificar se a
ponta voltava para a divisão `0 da régua.
Com medições cuidadosas para evitar “erro grosseiro”, obtivemos o quadro
de valores das grandezas interdependentes, peso e deflexão.
Para medir os pesos dos corpos podemos usar a haste e a tabela
que deve acompanhá-la para que ela sirva de dinamômetro. Cons-
truímos um medidor de pesos, empiricamente, sem conhecer as
leis físicas em jogo.
Entretanto, como os valores que levantamos para montar a tabela são li-
mitados a alguns múltiplos inteiros do padrão, pode haver corpos cujos pesos
não dêem exatamente as mesmas deflexões desses múltiplos, e que, portanto,
deverão corresponder a pesos diferentes. Somente achando a forma da função
d = f (p) e a sua função inversa p=φ(p) é que teríamos resolvido o problema.
A matemática vem em nosso auxílio fornecendo métodos e processos para
resolver o problema. Há métodos especiais para se obter, com os valores da
Tab. 1.1, a forma da função d = f (p). Um dos mais usados é obter primeiro o
gráfico da função e, a partir do gráfico, a função.
Vejamos como se faz o gráfico. 20
1.10 Correspondência entre ponto da reta e número
real, eixos coordenados
Para fazer o gráfico de uma função vamos introduzir algumas noções de geo-
metria e análise.
20 u© A intensão neste estágio é apresentar intuitivamente o problema de “ajuste de curvas”;
no §12.7 é apresentado formalmente o método dos mínimos quadrados.
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46 Capítulo 1. Método Científico
X
0
O
υ
+1
P1
+2
P2
Pr
+3
P3
+4
P4
−1
P−1
−2
P−2
−3
P−3
−4
P−4
Figura 1.3: Eixo Ox associado à reta X.
Tomemos uma reta X desenhando-a da esquerda para direita, veja Fig. 1.3.
Dividamos essa reta em duas semi-retas por um ponto O, serão a semi-reta da
direita e a semi-reta da esquerda. Agora, escolhendo um segmento de reta υ
(letra grega upsilon) que tomaremos como segmento unitário e na semi-reta da
direita, a partir de O, marquemos segmentos múltiplos (inteiros) desse unitário;
isto significa determinar pontos P1, P2 . . . Pn sobre a semi-reta da direita e tais
que os segmentos:
OP1 seja igual a 1 υ, OP2 =2 υ, OP3 =3 υ . . . OPn =n υ .
Na semi-reta da esquerda façamos a mesma coisa, mas indiquemos os pontos
pelos números inteiros P−1, P−2 . . . P−n, da direita para a esquerda.
Observe-se que com esse processo estabelecemos uma correspondência
entre os números inteiros (positivos e negativos) e pontos da reta, de tal modo
que a cada inteiro corresponderá um único ponto sobre a reta X. Sendo, assim,
a correspondência entre o conjunto dos números inteiros (Z) e pontos da reta
(X) é uma correspondência unívoca. A correspondência não é porém unívoca
no sentido inverso, isto é, há muitos pontos sobre a reta que não são represen-
tados por números inteiros a partir dessa correspondência. Por exemplo, entre
os pontos P2 e P3 existe o ponto Pr na mediatriz do segmento P2P3 que não
pode ser representado por nenhum número inteiro por meio dessa correspon-
dência. Mas o segmentos OPr é igual a 2υ+
1
2υ = (2 +
1
2 )υ =
5
2υ = 2,5υ.
Desse modo, podemos representar outros pontos da reta por números racionais
(Q), os números racionais são aqueles que podem postos sob a forma de fração
própria (p. ex., 3/4) ou imprópria (p. ex., 6/5), isto é, r é racional se pode ser
posto sob a forma pq , sendo p e q inteiros. Entretanto, ainda haverá pontos da
reta que não terão números para representá-lo por meio da correspondência
que estamos considerando. A correspondência estará completa se introduzir-
mos nessa representação