Resolução de Triângulos 1

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11º Ano Resolução de Triângulos 
 
hipotenusa
opostocateto
sin
 
hipotenusa
adjacentecateto
cos
 
adjacentecateto
opostocateto
tan
 
Nota: Nas questões que se seguem, nos cálculos intermédios, utiliza valores exatos. 
 
1. Duas pessoas estão distanciadas 100 m. 
Ambas observam um balão que está no mesmo plano vertical 
que elas. 
A pessoa B observa o balão segundo um ângulo de elevação 
de 37º e a pessoa A observa o balão segundo um ângulo de 
elevação de 53º. 
Determina a distância entre cada uma das pessoas e o balão. 
Apresenta o resultado arredondado às décimas. 
 
 
2. Determina a distância entre A e B. 
Apresenta o resultado arredondado às unidades. 
 
 
 
 
 
3. Num campo de futebol com 50 metros de largura a baliza tem 10 metros. 
Um jogador A está situado na linha lateral a uma distância de 15 m da linha 
de fundo e prepara-se para rematar à baliza. Determina, em graus, a 
amplitude do «ângulo de golo» . Apresenta o resultado arredondado às 
décimas. 
 
 
 
 
4. Determina a área de cada uma das seguintes figuras, apresentando o resultado arredondado às 
centésimas: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Determina a área de um trapézio isósceles em que a base menor mede 1 metro e o lado oblíquo 
faz um ângulo de 40º com a base maior e tem 0,5 m de comprimento. Apresenta o resultado 
arredondado às décimas. 
C
100 m
A B
37º53º
h
 
35º42º
15 m
A B
 

Baliza
A 
A B
CD
4,2m
2 m
40º43º
 
α 
cateto oposto 
cateto adjacente 
hipotenusa 
60º 68º40´ 
10 dm 
F E 
D 
G 
E F 
11º Ano Resolução de Triângulos 
 
6. A Ana e o Pedro estão no Parque das Nações, em dois pontos distintos, A e B. 
 
Sabe-se que: 
 O Pedro está afastado da torre no ponto A, e a Ana mais perto da torre, no ponto B; 
 D é o ponto mais alto da torre e C o ponto da reta que representa o chão, tal que AC⊥CD; 
 A, B e C são pontos colineares; 
 
mAB 32
; 
 
º34DAC
 ; 
 
º5,38DBC
 
Determina a altura da Torre Vasco da Gama, apresentando o valor arredondado às unidades. 
 
 
7. A Ana está num ponto A e vê um castelo (ponto C) e uma casa (ponto B). 
 
Sabe-se que: 
º25BCA
 ; 
º70ABC
 ; 
D é o ponto pertencente a [CB], tal que AD⊥CB; 
mCB 500
. 
Determina a que distância está a Ana do castelo. Apresenta o valor arredondado às unidades. 
 
11º Ano Resolução de Triângulos 
 
Soluções 
1. 
 

























mx
mh
tgtg
tg
x
tgtg
tgtg
h
x
h
tg
x
h
tg
218,36
063,48
º37º53
º37100
º37º53
º53º37100
...
100
º37
º53
….
mAC
AC
sen 2,60
063,48
º53 
; 
mBC
BC
sen 9,79
063,48
º37 
 
 
2. 
CBACAB 
 
mAC
AC
963,14
15
º42cos 
; Seja h a altura do triângulo dado, 
mh
h
sen 037,10
15
º42 
; 
mCB
CB
tg 334,14
037,10
º35 
; 
mAB 3,29
. 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  º435,632
15
30 1    tgtg
; 
º130,53
3
4
15
20 1 





   tgtg
;
º3,10º130,53º435,63  . 
 
4. 
a) 
 
xFG 
; 
xGE 10
; 
hDG 
 
2
10
2
][][
h
A
DGFE
A DEFDEF




 
1º______60´ 
x______40´ 
 
º667,0
´60
´40
 xx
 
º667,68ˆ E
 

























dmx
dmh
tgtg
tg
x
tgtg
tgtg
h
x
h
tg
x
h
tg
1180,9
7929,15
º37º53
º37100
º667,68º60
º667,68º6010
...
10
º667,68
º60
 

Baliza
A 
β 
θ 
20 m 
30 m 
10 m 
15 m 
60º 68º40´ 
10 dm 
F E 
D 
G 
11º Ano Resolução de Triângulos 
 
2
][ 96,78
2
7929,1510
dmA DEF 


 
 
b) 
2,4
2
2
2
][][ 




AB
ADE
DCAB
A ABCDABCD
 
 Nota: Acrescentei os pontos E e F à figura:
FEAEAB  2
. 
mAE
AE º43tan
2,4
...
2,4
º43tan 
 
mFB
FB º40tan
2,4
...
2,4
º40tan 
 
Assim, 
mAB
º40tan
2,4
2
º43tan
2,4

 
2
][ 74,562,4
2
4
º40tan
2,4
º43tan
2,4
2,4
2
2
º40tan
2,4
2
º43tan
2,4
mA ABCD 




 
 
5. 
h
x
h
x
Atrapézio 




2
22
2
112
 
 
msenh
h
sen º405,0
5,0
º40 
 
mx
x
º40cos5,0
5,0
º40cos 
 
 
24,0º405,0
2
2º40cos
º405,0
2
2º40cos5,02
msensenAtrapézio 



 
 
6. 

























mx
my
tgtg
tg
x
tgtg
tgtg
y
x
y
tg
x
y
tg
977,141
324,199
º34º5,38
º3432
º34º5,38
º5,38º3432
...
32
º34
º5,38
 
 
A altura da Torre Vasco da Gama é de aproximadamente 199 metros. 
 
 
7. 

























mx
my
tgtg
tg
x
tgtg
tgtg
y
x
y
tg
x
y
tg
548,72
324,199
º70º25
º25500
º70º25
º70º25500
...
500
º25
º70
; 
mAC
AC
sen 472...
324,199
º25 
 
A Ana está a aproximadamente 472 metros do castelo. 
 
 
1 m 
40º 
0,5 m 
h 
x x 1 m