MTM112 52 prova1 02 2009

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
2o Semestre de 2009 – Exerc´ıcios
17/09/2009 – 13h30 - 15h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira
escolhida.
Questa˜o 1: Sabendo que P e´ uma matriz 5× 5 e detP = 3, resolva os itens abaixo:
(a) Calcule detA, sabendo que A e´ obtida de P pela multiplicac¸a˜o de suas duas u´ltimas linhas por 4.
(b) detB, se B obtida de P pela permutac¸a˜o da primeira e u´ltima linhas.
(c) detC, se C = 2P .
Questa˜o 2: Dado o sistema linear:  3x+ 5y + 12z − w = −3x+ y + 4z − w = −62y + 2z + w = 5
(a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema
(b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 a este sistema e encontre um valor para k que torne o sistema
imposs´ıvel.
Questa˜o 3: Dada a matriz M =
 cos(θ) −sen(θ) 0sen(θ) cos(θ) 0
0 0 1
, calcule MMT .
Questa˜o 4: Classifique como verdadeiro ou falso cada um dos itens abaixo, justificando no caso em que o
item for verdadeiro e atrave´s de um contra-exemplo quando o item for falso. As matrizes dos itens abaixo
sa˜o quadradas.
(a) Se A e´ matriz triangular superior, enta˜o o determinante de A e´ o produto dos elementos da diagonal
principal.
(b) Se A e B sa˜o matrizes diagonais, enta˜o AB = BA.
(c) Se A = PBP−1, enta˜o detA = detB
(d) (A−B)2 = A2 − 2AB +B2 e (A+B)(A−B) = A2 −B2
Questa˜o 5: Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A. Resolva-os usando a forma escalon-
ada reduzida. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz
aumentada [A|B1|B2].
(a)
 x− 2y + z = 12x− 5y + z = −23x− 7y + 2z = −1 e (b)
 x− 2y + z = 22x− 5y + z = −13x− 7y + 2z = 2