PROVA 2 ALGEBRA LINEAR PROF GIL

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
1o Semestre de 2010 – 1a Avaliac¸a˜o
25/03/2010 – 07h30 - 09h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira
escolhida.
Questa˜o 1: Sabendo que P e´ uma matriz 6× 6 e detP = 5, resolva os itens abaixo:
(a) Calcule detA, sabendo que A e´ obtida de P pela multiplicac¸a˜o de suas quatro u´ltimas linhas por 3.
(b) detB, se B obtida de P pela permutac¸a˜o da primeira e u´ltima linhas.
(c) detC, se C = 2P .
Questa˜o 2: Dada a matriz 
5 2 0 0
−1 2 0 0
0 0 1 −3
0 0 5 3

Determine os valores de λ ∈ R tal que o sistema linear homogeˆneo (A − λI4)X = 0 admite soluc¸a˜o na˜o
trivial.
Questa˜o 3: Dada a matriz M =

3
5 − 45 0
4
5
3
5 0
0 0 1
, calcule MMT . Qual seria a expressa˜o de M−1?
Questa˜o 4: Classifique como verdadeiro ou falso cada um dos itens abaixo, justificando no caso em que o
item for verdadeiro e atrave´s de um contra-exemplo quando o item for falso. As matrizes dos itens abaixo
sa˜o quadradas.
(a) Se A e´ matriz ortogonal1, enta˜o o determinante de A e´ igual a` 1.
(b) Se A e B sa˜o matrizes diagonais, enta˜o AB = BA.
(c) Se A = PBP−1, enta˜o detA = detB
(d) Se A e B sa˜o matrizes quadradas tais que AB = I, enta˜o (A+B)3 = A3 +B3 + 3(A+B)
Questa˜o 5: Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz A. Resolva-os usando a forma escalon-
ada reduzida. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalonando a matriz
aumentada [A|B1|B2].
(a)
 x− 2y + z = 12x− 5y + z = −23x− 7y + 2z = −1 e (b)
 x− 2y + z = 22x− 5y + z = −13x− 7y + 2z = 2
1A e´ matriz ortogonal se AAt = AtA = I.