MTM112 82 Prova2 02 2013

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-82
2o. Semestre de 2013 – Segunda Avaliac¸a˜o
INSTRUC¸O˜ES:
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: Seja T o operador linear cuja matriz canoˆnica e´ 1 1 01 1 0
0 0 2
 .
Com base nessa informac¸a˜o, resolva os itens abaixo:
a) (15 pts) Defina o operador linear Tλ(x, y, z) = T (x, y, z)−λI(x, y, z), em que I e´ o operador identidade. Encontre
valores reais de λ tais que o operador Tλ na˜o seja injetor.
b) (15 pts) O nu´cleo de uma transformac¸a˜o linear S : Rn → Rm e´ um conjunto formado por todos os vetores
u ∈ Rn tais que S(u) = 0. Para cada valor de λ obtido no item anterior, encontre a expressa˜o dos vetores perten-
centes ao nu´cleo do operador linear Tλ.
Questa˜o 2:(25 pts) Dada a transformac¸a˜o linear T (x, y, z) = (2x+ y, 3x+ 5y,−x+ 2y), exiba a matriz canoˆnica de
T e decida se os vetores u = (3, 8, 2), v = (5, 11, 4) e w = (1, 2, 3) pertencem a` imagem de T .
Questa˜o 3: Sobre o operador linear T (x, y, z, t) = (x+ y + z + t, x− y + z − t, x+ z, z + t) responda a`s questo˜es a
seguir:
(a) (10 pts) T e´ injetor? Justifique!
(b) (10 pts) E´ poss´ıvel encontrar um vetor (a, b, c, d) que na˜o esteja na imagem de T? Justifique!
(c) (10 pts) Encontre um vetor de R3 tal que T (x, y, z, t) = (5, 5, 5, 1).
Questa˜o 4: (10 pts) Encontre um vetor de R2 tal que T (x, y) = (−3, 8), sendo T o operador linear T : R2 → R2
cuja matriz canoˆnica e´ [T ] = (tij)2×2 em que
tij = i
2 + j2, se i 6= j e tij = 2i− j se i = j.
Questa˜o 5: (10 pts) Exiba a matriz canoˆnica de T (x, y, z) = (2x+ 3y − z, x− y − z).
Questa˜o 6: (5 pts) O nu´cleo de um operador linear injetor possui apenas o vetor nulo. Justifique!