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7 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE Departamento de Matemática MAT 137 (PER 2) - Introdução à Álgebra Linear 2a Prova - 10/04/2021 TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER JUSTIFICADAS! BOA PROVA! 1. (25 pts) Considere o sistema linear x + y + z + w = a 3x + 4y + 5z − w = b x + 2y + 3z + a w = c (1) em que a,b, c são números reais. a) (15 pts) Determine condições (caso existam) sobre a,b, c para que o sistema linear (1) seja a.1) incompat́ıvel. a.2) compat́ıvel e indeterminado. b) (10 pts) Se a = −3, b = 1 e c = 7, determine o conjunto solução do sistema (1). 2. (25 pts) O diretor de uma empresa quer usar uma metodologia referente à pesquisa de satisfação que é mensurada em uma escala de 1 a 10. A fim de fazer um teste com essa metodologia, ele pediu para que quatro de seus funcionários respondessem a uma pesquisa em relação à avaliação de um determinado produto, ao suporte oferecido e às opções de pagamento. A cada um desses itens é atribúıdo um peso x, y e z, respectivamente. O quadro abaixo mostra a pontuação obtida em cada item e o resultado final de cada um dos funcionários. Produto Suporte oferecido Opções de pagamento Resultado final 1o funcionário 6 7 8 7 2o funcionário 9 6 10 9 3o funcionário 7 8 9 8 4o funcionário 5 2 6 6 A média ponderada de todos os itens indicará o resultado final. Calcula-se a média ponderada somando-se os produtos das notas de cada item pelo seu respectivo peso e dividindo-se a soma assim obtida pela soma dos pesos. O diretor percebeu que se o resultado dos três primeiros funcionários estivesse correto, o resultado do quarto funcionário estaria incorreto. Qual seria então o resultado final do quarto funcionário? 3. (25 pts) Considere o subespaço W de R3 dado por W = {( x + y + 2z, x + 4y − z + 3t, x + 2y + z + t ) ; x, y, z, t ∈ R } . (a) Determine um conjunto de vetores que geram W . (b) Verifique se o conjunto encontrado no item (a) é linearmente independente. (c) Verifique se o conjunto S = {v1 = (1, 1, 1) , v2 = (0, 3, 1)} forma uma base de W. (d) O vetor (2,−1, 1) ∈ [S]? Justifique sua resposta e, em afirmativo, escreva esse vetor como combinação linear de v1, v2. (e) Sejam v3 = (a, b, c) um vetor em R3 e v1 e v2 os vetores dados no item (c). Encontre condições sobre os escalares a, b e c para que B = {v1, v2, v3} seja uma base de R3. Dê um exemplo particular de um vetor v3 de modo que B seja uma base de R3. 4. (25 pts) Sejam W1 = {( x y z w ) ∈M2(R); x + 3y + z − 2w = 0 e x + 4y + 3z − w = 0 } W2 = {( x y z w ) ∈M2(R); 2x + 3y − 4z − w = 0 } subespaços vetoriais de M2(R). (a) (7 pts) Exiba uma base para W1 e determine dimW1. (b) (7 pts) Exiba uma base para W2 e determine dimW2. (c) (7 pts) Exiba uma base para W1 ∩W2 e determine dim (W1 ∩W2). (d) (4 pts) Determine W1 + W2 e exiba uma base para W1 + W2. 5. (10 pts) Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo. (a) ( ) O polinômio p(t) = t + 3t2 é uma combinação linear de p1(t) = 8t e p2(t) = t 2 + t. (b) ( ) O conjunto W = {( x, y, z ) ∈ R3 ; x2 + y2 + z2 ≤ 1 } é um subespaço vetorial do R3.
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