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Prova 2 de MAT137 (7) - PER2

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7
Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE
Departamento de Matemática
MAT 137 (PER 2) - Introdução à Álgebra Linear
2a Prova - 10/04/2021
TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER JUSTIFICADAS! BOA PROVA!
1. (25 pts) Considere o sistema linear
x + y + z + w = a
3x + 4y + 5z − w = b
x + 2y + 3z + a w = c
(1)
em que a,b, c são números reais.
a) (15 pts) Determine condições (caso existam) sobre a,b, c para que o sistema linear (1) seja
a.1) incompat́ıvel.
a.2) compat́ıvel e indeterminado.
b) (10 pts) Se a = −3, b = 1 e c = 7, determine o conjunto solução do sistema (1).
2. (25 pts) O diretor de uma empresa quer usar uma metodologia referente à pesquisa de satisfação
que é mensurada em uma escala de 1 a 10. A fim de fazer um teste com essa metodologia, ele pediu
para que quatro de seus funcionários respondessem a uma pesquisa em relação à avaliação de um
determinado produto, ao suporte oferecido e às opções de pagamento. A cada um desses itens é
atribúıdo um peso x, y e z, respectivamente. O quadro abaixo mostra a pontuação obtida em cada
item e o resultado final de cada um dos funcionários.
Produto Suporte oferecido Opções de pagamento Resultado final
1o funcionário 6 7 8 7
2o funcionário 9 6 10 9
3o funcionário 7 8 9 8
4o funcionário 5 2 6 6
A média ponderada de todos os itens indicará o resultado final. Calcula-se a média ponderada
somando-se os produtos das notas de cada item pelo seu respectivo peso e dividindo-se a soma assim
obtida pela soma dos pesos. O diretor percebeu que se o resultado dos três primeiros funcionários
estivesse correto, o resultado do quarto funcionário estaria incorreto. Qual seria então o resultado
final do quarto funcionário?
3. (25 pts) Considere o subespaço W de R3 dado por
W =
{(
x + y + 2z, x + 4y − z + 3t, x + 2y + z + t
)
; x, y, z, t ∈ R
}
.
(a) Determine um conjunto de vetores que geram W .
(b) Verifique se o conjunto encontrado no item (a) é linearmente independente.
(c) Verifique se o conjunto S = {v1 = (1, 1, 1) , v2 = (0, 3, 1)} forma uma base de W.
(d) O vetor (2,−1, 1) ∈ [S]? Justifique sua resposta e, em afirmativo, escreva esse vetor como
combinação linear de v1, v2.
(e) Sejam v3 = (a, b, c) um vetor em R3 e v1 e v2 os vetores dados no item (c). Encontre condições
sobre os escalares a, b e c para que B = {v1, v2, v3} seja uma base de R3. Dê um exemplo
particular de um vetor v3 de modo que B seja uma base de R3.
4. (25 pts) Sejam
W1 =
{(
x y
z w
)
∈M2(R); x + 3y + z − 2w = 0 e x + 4y + 3z − w = 0
}
W2 =
{(
x y
z w
)
∈M2(R); 2x + 3y − 4z − w = 0
}
subespaços vetoriais de M2(R).
(a) (7 pts) Exiba uma base para W1 e determine dimW1.
(b) (7 pts) Exiba uma base para W2 e determine dimW2.
(c) (7 pts) Exiba uma base para W1 ∩W2 e determine dim (W1 ∩W2).
(d) (4 pts) Determine W1 + W2 e exiba uma base para W1 + W2.
5. (10 pts) Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um
argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) O polinômio p(t) = t + 3t2 é uma combinação linear de p1(t) = 8t e p2(t) = t
2 + t.
(b) ( ) O conjunto W =
{(
x, y, z
)
∈ R3 ; x2 + y2 + z2 ≤ 1
}
é um subespaço vetorial do R3.