Lista1

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MAT 002 Vera˜o 2018 Prof. Rodrigo
Lista 1: Sequeˆncias e Se´ries de Nu´meros Reais
1. Calcule, caso exista (e se na˜o existir, justifique) o limite da sequeˆncia de termo geral:
a) an =
√
n+ 1−√n
b) an =
n3
n+ 1
c) an = tg
(
2npi
1 + 8n
)
– Resposta: 1
d) an =
n
√
3n + 5n – Resposta: 5 - use o Teorema do Confronto.
2. Suponha que, para todo n ≥ 1, |an − a| ≤ 1
n
, onde a ∈ R e´ fixo. Encontre lim
n→∞
an.
3. Seja (an)n uma sequeˆncia decrescente tal que todos os termos esta˜o entre os nu´meros
10 e 13. Explique porque esta sequeˆncia tem um limite. O que podemos dizer sobre o
valor deste limite? Justifique.
4. Determine se a sequeˆncia dada e´ crescente, decrescente ou na˜o mono´tona. A sequeˆncia
e´ limitada?
a) an =
1
2n+ 3
– Resposta: mono´tona decrescente e limitada em (0, 1/5).
b) an = ne
−n – Resposta: mono´tona decrescente e limitada em (0, 1/e).
5. Verdadeiro ou falso? Justifique!
a) Se L 6= 0 e lim
n→∞
|an| = |L|, enta˜o lim
n→∞
an = L.
b) Se (an)n e´ convergente e (bn)n e´ divergente, enta˜o, a sequeˆncia (anbn)n e´ divergente.
c) A soma de duas sequeˆncias divergentes e´ uma sequeˆncia divergente.
6. Uma sequeˆncia (an)n e´ definida por
a1 = 1, an = (5− n)an−1 ∀ n ≥ 2.
Calcule
∑∞
n=1 an.
1
7. No triaˆngulo retaˆngulo indicado na figura abaixo, o segmento CD e´ desenhado per-
pendicularmente ao segmento AB, DE e´ desenhado perpendicularmente a BC e esse
processo continua indefinidamente. Calcule o comprimento de todas as perpendicula-
res, isto e´, calcule
|CD|+ |DE|+ |EF |+ |FG|+ . . .
Resposta:
b sen(θ)
1− sen(θ) .
8. Verifique se as se´ries abaixo sa˜o convergentes ou divergentes:
a)
∞∑
k=1
[
e−k + cos(kpi)
e
2k
]
– Resposta: converge – calcule a soma dessa se´rie.
b)
∞∑
n=0
1 + senn
10n
– Resposta: converge pelo teste da comparac¸a˜o.
c)
∞∑
n=2
1
n
√
n2 − 1 – Resposta: converge pelo teste da comparac¸a˜o do limite.
d)
∞∑
n=1
1
1 +
√
n
– Resposta: diverge pelo teste da comparac¸a˜o do limite.
e)
∞∑
n=1
(
n2 + 1
2n2 + 1
)n
– Resposta: absolutamente convergente – teste da comparac¸a˜o da raiz.
f)
∞∑
n=1
n
n4 + 1
– Resposta: converge pelo teste da integral.
g)
∞∑
n=1
sen
(
1
n
)
– Resposta: diverge pelo teste da comparac¸a˜o do limite.
2
9. Encontre o raio e o intervalo de convergeˆncia das se´ries abaixo:
a)
∞∑
n=1
(−2)nxn
4
√
n
– Resposta: R = 1/2, I = (−1/2, 1/2].
b)
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
c)
∞∑
n=1
(2x− 1)n
5n
√
n
d)
∞∑
n=2
bn
lnn
(x− a)n, onde b > 0.
e)
∞∑
n=1
(−1)n(x+ 2)n
n2n
– Resposta: R = 2, I = (−4, 0].
10. Considere a func¸a˜o f(x) =
∞∑
k=0
k + 1
3k
(x−1)k. Verifique que x = 2 pertence ao intervalo
de convergeˆncia da se´rie que define f(x) e, em seguida, calcule∫ 2
1
f(x) dx.
3