Lista 5

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Lista 5
Ca´lculo B
3 de julho de 2017
Exercı´cio 1 Determine as equac¸o˜es parame´tricas que representam o movimento de uma partı´cula
ao longo
a) Do cı´rculo x2 + y2 − 6y = 0, com ponto inicial (3, 3) e percorrido no sentido anti-hora´rio.
b) Do cı´rculo x2 + y2 − 6y = 0, com ponto inicial (0, 0) e percorrido no sentido hora´rio.
c) Da elipse 9x2 + 4y2 + 24y = 0, com ponto inicial (−2,−3) e percorrida no sentido anti-hora´rio.
d) Do cı´rculo x2 + y2 − 2y − 3 = 0, com ponto inicial (2, 1) e percorrido treˆs vezes no sentido
anti-hora´rio.
Exercı´cio 2 Determine os instantes em que a curva admite reta tangente horizontal ou vertical.
a) C :
 x(t) = t2y(t) = t3 − 12t
b) C :
 x(t) = 2t3 + 3t2 − 12ty(t) = 2t3 + 3t2
Exercı´cio 3 Determine os instantes em que a curva admite convidade para cima.
a) C :
 x(t) = t − ety(t) = t + et
b) C :
 x(t) = 2 cos3 ty(t) = 2 sin3 t , t ∈ [0, 2pi]
Exercı´cio 4 Determine as equac¸o˜es das retas tangentes a` curva:
a) C :
 x(t) = 3t2 + 1y(t) = 2t3 + 1 , no ponto (4, 3).
1
b) C :
 x(t) = cos ty(t) = sin t cos t , no ponto (0, 0).
Exercı´cio 5 Construa as curvas parame´tricas:
a) C :
 x(t) = sin ty(t) = cos t , t ∈ [0, pi].
b) C :
 x(t) = sec ty(t) = tan t , t ∈ (−pi2 , pi2 ).
c) C :
 x(t) = ety(t) = e−t
e) C :
 x(t) = 1 + cos ty(t) = 2 cos t − 1
f) C :
 x(t) = 2 cos3 ty(t) = 2 sin3 t , t ∈ [0, 2pi]
g) C :
 x(t) = cos ty(t) = sin t cos t , t ∈ [0, 2pi]
Exercı´cio 6 Determine a a´rea da regia˜o limitada
a) Pelo lac¸o da curva C :
 x(t) = t2y(t) = t − t33
b) Pelas curvas: C1 :
 x(t) = 2 cos ty(t) = 4 sin t , C2 :
 x(t) = 2 cos ty(t) = sin t , t ∈ [0, 2pi].
c) Pelas curvas: C1 :
 x(t) = 2 cos3 ty(t) = 2 sin3 t , C2 :
 x(t) = 2 cos ty(t) = 2 sin t , t ∈ [0, 2pi].
d) Pela curva: C :
 x(t) = 2 cos ty(t) = 2 sin t e que esta´ acima da reta y = 1.
Exercı´cio 7 Determine o comprimento da curva
a) C :
 x(t) = 1 + 3t2y(t) = 4 + 2t3 , t ∈ [0, 1].
2
b) C :
 x(t) = et + e−ty(t) = 5 − 2t , t ∈ [0, 3].
c) C :
 x(t) = 2(t − sin t)y(t) = 2(1 − cos t) .
d) C :
 x(t) = et − ty(t) = 4e t2 , t ∈ [0, 1].
e) C :
 x(t) = 2 cos3 ty(t) = 2 sin3 t , t ∈ [0, 2pi]
Respostas:
• 6] a)8
√
3
5
; b)6pi; c)
5pi
2
; d)
4pi
3
− √3.
• 7]a)4√2 − 2; b)e3 − e−3; c)16; d)e; e)12.
3