Lista 2 - Funções Vetoriais

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Universidade Federal de Lavras
Lista 02 de exercício - Cálculo II
Professora: Graziane Sales Teodoro BOM TRABALHO!
Área de superfície
Questão 1. Determine a área da superfície lateral do cone gerado pela rotação do segmento de reta
y = x
2
, 0 ≤ x ≤ 4, em torno do eixo x.
Questão 2. Determine a área da superfície geradas pela rotação da curva x = e
y+e−y
2
, 0 ≤ y ≤ ln 2 em
torno do eixo y
Funções Vetorias
Questão 3. Determine o domínio das funções vetoriais
a) r(t) = 〈
√
4− t2, e−3t, ln(t+ 1)〉
b) r(t) = cos ti− 3tj
c) r(t) = 〈cos πt,− ln t,
√
t− 2〉.
Questão 4. Calcule os limites
a) lim
t→+∞
〈
t2 + 1
3t2 + 2
,
1
t
〉
b) lim
t→π
4
(cos ti+ sin tj)
c) lim
t→+∞
〈
e−t
2
,
2t
t2
,
√
t− 2
〉
.
Questão 5. Encontre r′(t)
a) r(t) = 4i− cos tj
b) r(t) = 〈t3, t2〉
c) r(t) = 〈t sin t, t2, t cos 2t〉
Questão 6. Sejam r1(t) e r2(t) funções vetoriais no espaço tridimensional, mostre que
d
dt
[r1(t)× r2(t)] =
dr1(t)
dt
× r2(t) + r1(t)×
dr2(t)
dt
Questão 7. Determine o vetor tangente unitário de r(t) = cos ti+ 3tj+ 2 sin 2tk em t = 0.
Questão 8. Se r(t) = 〈t, t2, t3〉, encontre:
a) r′(t) b) r′(1) c) r′′(t) d) r′(t)× r′′(t) e) r′(t) · r′′(t)
Questão 9. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações
paramétricas, no ponto especificado.
a) x = 1 + 2
√
t, y = t3 − t, z = t3 + t; (3, 0, 2)
b) x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t; (1, 0, 1)
Questão 10. Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto em que t = t0.
a) r(t) = t2i+ (2− ln t)j; t0 = 1
b) r(t) = t2i− 1
t+1
j+ (4− t2)k; t0 = −2.
1
Questão 11. Calcule as integrais.
a)
∫
(t sin ti+ j)dt b)
∫ π
2
0
〈cos(2t), sin(2t)〉dt
Questão 12. Resolva o problema de valor inicial vetorial por integração e use as condições iniciais para
determinar as constantes de integração.
y′(t) = 2ti+ 3t2j
y(0) = i− j
Questão 13. Determine se a) r(t) = t3i+(3t2−2t)j+ t2k e b) r(t) = 〈te−t, t2−2t, cos(πt)〉 são funções
lisas de parâmetro t.
Questão 14. Encontre o comprimento de arco.
a) x = cos3 t, y = sin3 t, z = 2 0 ≤ t ≤ π
2
b) r(t) = t3i+ tj+
√
6
2
t2k 1 ≤ t ≤ 3
c) r(t) = 3 cos ti+ 3 sin tj+ tk 0 ≤ t ≤ 2π
Questão 15. Obtenha a parametrização por comprimento do arco da curva que tenha a mesma orien-
tação da curva dada e t = 0 como ponto de referência.
a)r(t) = et cos ti+ et sin tj, 0 ≤ t ≤ π
2
b) r(t) = 1
3
t3i+ 1
2
t2j, t ≥ 0
Questão 16. Determine uma parametrização por comprimento de arco da ciclóide
x = at− a sin t
y = a− a cos t
com 0 ≤ t ≤ 2π e (0, 0) como o ponto de referência.
Dica: cos(2t) = 2 cos2 t− 1 e 1− cos t = 2 sin2 t
2
.
Questão 17. Obtenha T (t) e N(t) no ponto dado.
a) r(t) = (t2 − 1)i+ tj, t = 1 b) r(t) = 4 cos ti+ 4 sin tj+ tk, t = π
2
Respostas:
Questão 1: 4
√
5π
Questão 2: π
(
15
16
+ ln 2
)
Questão 3: a) (−1, 2], b) (−∞,+∞), c) [2,+∞)
Questão 4: a)
〈
1
3
, 0
〉
, b)
〈√
2
2
,
√
2
2
〉
, c) @
Questão 5: a) sin tj, b) 〈3t2, 2t〉, c) 〈sin t+ t cos t, 2t, cos 2t− 2t sin 2t〉
Questão 7: 3
5
j+ 4
5
k
Questão 8: a) 〈1, 2t, 3t2〉 b) 〈1, 2, 3〉 c) 〈0, 2, 6t〉 d) 〈6t2,−6t, 2〉 e) 18t3 + 4t
Questão 9: a) x = 3 + 2t, y = 2t, z = 2 + 4t b) x = 1− t, y = t, z = 1 + t.
Questão 10: a) 〈1, 2〉 + t〈2,−1〉 b) 〈4, 1, 0〉 + 〈−4, 1, 4〉.
Questão 11: a) (−t cos t+ sin t+ c1)i+ (t+ c2)j b)〈0, 1〉
Questão 12: a) y(t) = 〈t2 + 1, t3 − 1〉
Questão 13: a) Lisa b) Não é lisa
Questão 14: a) 3
2
b)28 c)2π
√
10
Questão 15: a)
(
s√
2
+ 1
)
cos
(
ln
(
s√
2
+ 1
))
i+
(
s√
2
+ 1
)
sin
(
ln
(
s√
2
+ 1
))
j b) 1
3
(
(3s+ 1)
3
2 − 1
)
i+
1
2
(
(3s+ 1)
3
2 − 1
)
j
Questão 16: x = 2a
(
arc cos
(
1− s
4a
))
− 2a sin
(
arc cos
(
1− s
4a
))
, y = 8sa−s
2
8a
Questão 17: a)T (1) = 2√
5
i+ 1√
5
j e N(1) = 1√
5
i− 2√
5
j b) T (π
2
) = −4√
17
i+ 1√
17
j e N(π
2
) = −j
2