Lista 8

Prévia do material em texto

Lista 8
Ca´lculo B
24 de julho de 2017
Exercı´cio 1 Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva gerada pela intersec¸a˜o do gra´fico da
func¸a˜o f (x, y) =
x2
y3
com o plano:
a) x = 2, no ponto (2, 1).
b) y = 1, no ponto (2, 1).
Exercı´cio 2 Seja f (x, y) =
 x
3−y2
x2+y2 , se (x, y) , (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
.
Determine
∂ f
∂x
(0, 0) e mostre que
∂ f
∂y
(0, 0) na˜o existe.
Exercı´cio 3 Dada f (x, y) =
 5xy
2
x2+y2 , se (x, y) , (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
, calcule
f (1, 2) − ∂ f
∂x
(1, 2) +
∂ f
∂y
(1, 2) − ∂ f
∂x
(0, 0).
Exercı´cio 4 Verifique que, se f (x, y) = arctg(y/x), enta˜o
∂2 f
∂x2
+
∂2 f
∂y2
= 0.
Exercı´cio 5 Dada f (x, y) =
 xy x
2−y2
x2+y2 , se (x, y) , (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
, prove que:
a)
∂ f
∂x
(0, y) = −y, para y , 0.
b)
∂ f
∂y
(x, 0) = x, para x , 0.
1
c)
∂2 f
∂x∂y
(0, 0) ,
∂2 f
∂y∂x
(0, 0)
d) as derivadas parciais
∂2 f
∂x∂y
,
∂2 f
∂y∂x
na˜o sa˜o contı´nuas em (0, 0).
Exercı´cio 6 Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o diferencia´veis na origem.
a) f (x, y) =
 x
2−y2
x2+y2 , se (x, y) , (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
b) f (x, y) =
 x
4
x2+y2 , se (x, y) , (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
Exercı´cio 7 Dada f (x, y) =
 (x
2 + y2) sin
(
1√
x2+y2
)
, se (x, y) , (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
, mostre que
a) as derivadas parciais
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
na˜o sa˜o contı´nuas em (0, 0).
b) f e´ diferencia´vel em (0, 0).
Exercı´cio 8 Seja f (x, y) = x2 + y2.
a) Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva de intersec¸a˜o da superfı´cie z = f (x, y) com o
plano y = 1, no ponto P = (2, 1).
b) Determine a equac¸a˜o de um plano que e´ paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gra´fico da
f (x, y).
Exercı´cio 9 Utilize a diferencial para calcular um valor aproximado para:
a) a variac¸a˜o ∆z da func¸a˜o z = xex2−y2 quando (x, y) = (1, 1) varia para (1, 01; 1, 002)
b) sin[(1, 99). ln(1, 03)]
c)
√
(0, 01)2 + (3, 02)2 + (3, 97)2
2
Exercı´cio 10 Uma caixa de forma cilı´ndrica e´ feita com um material de espessura 0, 03m e suas
medidas internas sa˜o: altura 2m e raio da base 1m. Utilize a diferencial para calcular um valor
aproximado para o volume do material utilizado na caixa, quando
a) a caixa e´ sem tampa.
b) a caixa e´ com tampa.
Respostas:
• 9] a)0, 026; b)0, 06; c)4, 988.
• 10]a)0, 15pim3; b)0, 18pim3.
3