08 - poco de potencial finito

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Poço de potencial finito
Fernando G. Pilotto
UERGS
O poço finito
• Na armadilha abaixo, o potencial é nulo numa 
região e tem um valor finito fora dela.
• Se a energia do elétron é menor que U0, ele fica 
praticamente confinado à região de tamanho L.
• Vamos considerar que a energia potencial seja 
dada por:
• Note que o centro do potencial está em x = 0, 
assim o potencial fica simétrico e isso facilita a 
determinação das funções de onda.
2/
2/,
2/,0
2/,
)(
0
0





>
<<−
−<
=
LxU
LxL
LxU
xU
• Como a energia potencial não depende do 
tempo, a função de onda é:
• e a equação de Schrödinger é:
• Devemos considerar dois tipos de solução:
1) E < U0 (elétron confinado)
2) E > U0 (elétron livre)
h/)(),( iEtextx −=Ψ ψ
[ ] 0)()()(
2 2
22
=−+ xxUEx
dx
d
m
ψψh
Elétron confinado
• Se E < U0, o elétron fica praticamente confinado 
à região de tamanho L, mas a função de onda 
não é nula fora dessa região.
• Devemos resolver a equação de Schrödinger
em cada um dos intervalos em x.
• Na região onde o potencial é nulo, a solução é a 
da partícula livre, que pode ser escrita como:
)cos()sen()( kxBkxAx +=ψ
h
mEk 2=
• Na região x < –L/2, temos:
• A solução é: (lembram do tunelamento???)
[ ] 0)()(
2 02
22
=−+ xUEx
dx
d
m
ψψh
[ ] 0)()(
2 02
22
=−− xEUx
dx
d
m
ψψh
qxqx DeCex −+=)(ψ
h
)(2 0 EUmq −=
• No entanto, a solução tende a infinito para 
x � –∞, e isso não pode acontecer.
• Portanto D = 0 e
qxDe−
qxCex =)(ψ 2/Lx −<
• Na região x > L/2, temos também:
• A solução é:
• Como a solução tende a infinito quando x �
∞, temos F = 0 e
[ ] 0)()(
2 02
22
=−− xEUx
dx
d
m
ψψh
qxqx GeFex −+=)(ψ
h
)(2 0 EUmq −=
qxFe
qxGex −=)(ψ 2/Lx −>
• Condições de continuidade:
– A solução e a sua derivada devem ser contínuas, já 
que a equação diferencial é de 2ª ordem.
– Disso resultam 4 equações (continuidade da solução 
em x = –L/2 e em x = L/2; continuidade da derivada 
em x = –L/2 e em x = L/2)
• A normalização da função de onda 
(probabilidade total = 1) dá mais uma equação.
• Portanto, temos 5 equações que a função de 
onda deve satisfazer.
• A solução é:
• Temos 4 coeficientes (A,B,C e G) e 5 equações?
• Não!!!
• As variáveis k e q dependem da energia E.
• Portanto, a energia deverá satisfazer uma 
equação e será quantizada (somente alguns 
valores serão permitidos, e não todo o contínuo).
2/
2/,
2/,)cos()sen(
2/,
)(





>
<<−+
−<
=
− LxGe
LxLkxBkxA
LxCe
x
qx
qx
ψ
• A resolução das 5 equações é trabalhosa...
• Podemos simplificar o problema voltando à 
questão da simetria:
– Se trocarmos x por –x, o potencial tem o mesmo valor
– Uma equação diferencial de 2ª ordem possui duas 
soluções linearmente independentes
– Uma solução é par e a outra é ímpar
• função par:
• função ímpar: 
)()( xx −=ψψ
)()( xx −−= ψψ
• A solução ímpar é:
• Agora temos 2 coeficientes (A e C) e a energia E.
• Podemos usar somente as equações de 
continuidade em x = L/2 (as outras não vão dar 
em nada...).
2/
2/,
2/,)sen(
2/,
)(





>
<<−
−<−
=
− LxCe
LxLkxA
LxCe
x
qx
qx
ψ
• Continuidade da função em x = L/2:
• Continuidade da derivada em x = L/2:
• A primeira equação determina C em função de A.
• Dividindo uma equação pela outra, temos:
• Essa relação determina os valores permitidos de 
energia.
2/)2/sen( qLCekLA −=
2/)2/cos( qLqCekLkA −−=
q
kkL −=)2/tan(
• Inserindo as expressões para k e q, temos:
• Essa é uma equação transcendental e deve ser 
resolvida numericamente para cada valor de U0
e L.
EU
EmEL
−
−=







02
2
tan
h
Solução numérica
• Primeiro mudamos a variável
• Depois reescrevemos a equação para a energia
• Depois plotamos o gráfico de cada lado da 
equação; os pontos de interseção fornecem as 
soluções da equação.
y
yy
mUL
−
−=








12
2
tan 0
h
0U
Ey = 0yUE =
eV 4500 =U nm 1,0=L
235,0=y
eV 106=E
873,0=y
eV 393=E
• A solução par é:
• Seguindo o procedimento anterior, pode-se 
mostrar que a equação para a energia é:
2/
2/,
2/,)cos(
2/,
)(





>
<<−
−<
=
− LxCe
LxLkxA
LxCe
x
qx
qx
ψ
k
qkL =)2/tan(
E
EUmEL −
=






 0
2
2
tan
h
eV 4500 =U nm 1,0=L
06,0=y
eV 27=E
517,0=y
eV 233=E
y
yy
mUL
−
=







 1
2
2
tan 0
h
Elétron livre
• Se E > U0, o elétron pode mover-se para 
qualquer direção e fica praticamente livre.
• Devemos resolver a equação de Schrödinger
em cada um dos intervalos em x.
• Na região onde o potencial é nulo, a solução é a 
da partícula livre, que pode ser escrita como:
ikxikx BeAex −+=)(ψ
h
mEk 2=
• Na região x < –L/2, temos:
• A solução é:
• Na região x < –L/2, temos:
• A solução é:
[ ] 0)()(
2 02
22
=−+ xUEx
dx
d
m
ψψh
h
)(2 0UEmq −=iqxiqx DeCex −+=)(ψ
[ ] 0)()(
2 02
22
=−+ xUEx
dx
d
m
ψψh
iqxiqx GeFex −+=)(ψ
• As soluções são todas parecidas à solução de 
partícula livre.
• As 4 equações de continuidade e a condição de 
normalização determinam os coeficientes A, B, 
C, D, F e G.
• Assim como no caso da partícula livre, não há 
equação que imponha condições sobre a 
energia.
• Portanto, a energia pode assumir qualquer valor 
maior que U0.
Níveis de energia
• O diagrama de níveis 
de energia possui uma 
parte quantizada e 
outra contínua.
• Os valores mostrados 
são para U0 = 450 eV
e L = 0,1 nm.
Número quântico
• No problema do poço infinito, a energia era 
dada por uma fórmula:
• No problema do poço finito, a energia obedece 
uma equação transcendental, ou seja, é 
impossível encontrar uma fórmula explícita para 
a mesma.
2
2
2
8
n
mL
hEn = K,3,2,1=n
• Entretanto, depois de resolver as equações para 
a energia, podemos ordenar os valores obtidos.
• Para cada valor da energia, podemos calcular k 
e q, e escrever a função de onda.
• Assim, n é um índice que ordena os estados e é 
o número quântico para essa situação.
KK ,,,,, 321 nEEEE K,3,2,1=n
L=)(xnψ
Densidades de probabilidade
• As densidades de probabilidade do elétron para 
U0 = 450 eV e L = 0,1 nm são:
O elétron entra na 
região proibida, como 
no efeito túnel.
Exemplos de poços de potencial
• Nanocristalitos:
– São cristais (na figura, seleneto de 
cádmio) com tamanho de poucos 
nanômetros.
– Luz com energia hf incide no cristal; 
o fóton será absorvido se hf for maior 
que a energia de ligação do elétron 
no poço de potencial.
– Se a luz não for absorvida, será 
refletida e poderemos vê-la.
• Diodo laser:
– É um diodo emissor de laser, encontrado em CDs e 
DVDs.
– O laser é criado numa fina camada semicondutora, 
tão fina que se comporta como um poço de potencial.
• Pontos quânticos:
– São regiões muito 
pequenas, que se 
comportam como um 
poço de potencial 
tridimensional, 
confinando o elétron 
num “ponto”.
Exercícios
1. No caso do poço finito, obtenha a equação 
para os valores de energia das soluções pares 
(slide 15).
3. Halliday, cap. 39: 1 – 16