cap 04 - mov 2d e 3d

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Movimento em duas e em três 
dimensões
Capítulo 04
Física 1 – Prof. Fernando Pilotto
UERGS - Guaíba
• Neste capítulo vamos estender os 
conceitos relacionados ao movimento 
retilíneo para o movimento em duas e em 
três dimensões
Vetor posição
• A posição de um objeto é dada pelas 
coordenadas (x,y,z)
• O vetor posição é o vetor que sai da 
origem do sistema de coordenadas e 
chega até a posição da partícula
Deslocamento 
• Quando o objeto se movimenta, o vetor 
posição varia
• No instante t1, o vetor posição é r1; no 
instante t2, o vetor posição é r2
• O deslocamento é a diferença entre os 
dois vetores
Velocidade média
• A velocidade média é a razão entre o 
deslocamento e o intervalo de tempo
Velocidade (instantânea)
• No limite em que ∆t tende a zero, a 
velocidade média tende à velocidade num 
determinado instante de tempo
• A velocidade 
instantânea é tangente 
à trajetória do objeto
Acelerações média e instantânea
aceleração média:
aceleração instantânea:
Exemplo 
• Uma lebre corre através de um 
estacionamento e a sua posição é dada 
por
• (a) Qual é o vetor posição da lebre em t = 
15 s, tanto em notação de vetores 
unitários como em magnitude e ângulo?
Em t = 15 s, as componentes valem:
Portanto, em notação de vetor unitário, o vetor posição é:
O módulo é:
O ângulo é:
• (b) Calcule a posição da lebre em t = 0, 5, 
10, 20 e 25 s. Esboce a trajetória da lebre.
• (c) Calcule o módulo e a direção do vetor 
velocidade da lebre em t = 15 s.
Em t = 15 s, temos
• (d) Calcule o módulo e a direção do vetor 
aceleração da lebre em t = 15 s.
Pelas componentes de “a”, vemos que o vetor está no 2º quadrante, e não no 4º. 
O ângulo cuja tangente tem o mesmo valor é:
Movimento de projéteis
• projétil
[Do fr. projectile.] 
Adjetivo de dois gêneros. 
1.Que pode ser arremessado. 
Substantivo masculino. 
2.Qualquer sólido pesado que se move no espaço, abandonado a si 
mesmo depois de haver recebido impulso. 
3.Qualquer objeto que se arremessa para fazer mal. 
4.Corpo arremessado por arma de fogo. 
alcance
velocidade inicial
O movimento na direção horizontal é independente do movimento 
na direção vertical.
Observe o gráfico anterior: 
enquanto vy varia (primeiro aponta 
para cima, depois para baixo), vx
permanece constante.
A aceleração da gravidade atua 
somente na direção vertical, por 
isso vx não é alterada.
O movimento horizontal
A aceleração nesta direção é nula.
Portanto a velocidade é constante.
O movimento vertical
A aceleração nesta direção é a aceleração da gravidade.
Portanto a aceleração é constante e igual a “–g”.
Equação da trajetória
00
0
cosθv
xx
t
−
=
Eliminando t nestas equações, temos:
2
00
0
00
0
000
cos2
1
cos 






−
−





−
=−
θθ
θ
v
xxg
v
xx
senvyy
Esta equação tem a forma , que é a equação de uma parábola.2cxbxay ++=
Alcance horizontal
O alcance horizontal R é a distância horizontal percorrida pelo objeto desde o 
ponto inicial (lançamento) até o ponto em que ele atinge a mesma altura.
Como o objeto retorna à mesma altura, 
Como o alcance é R, 
Portanto, temos
Eliminando a variável t,
Onde usamos a identidade trigonométrica 
O alcance é máximo quando , ou seja, 
Exemplo 
• Um avião de resgate voa a 198 km/h (55 m/s) à altura constante de 
500 m em direção a uma vítima, onde uma cápsula de salvamento 
deve aterrizar.
• (a) Em que ângulo de mira φ o piloto deve lançar a cápsula de 
salvamento?
O ângulo φ é dado por
Como a altura h = 500 m é conhecida, resta determinar x.
A origem do sistema de coordenadas é o ponto de lançamento, portanto
Sabemos ainda que e que assim
Portanto, para determinar x, precisamos do valor de t.
tsmx )/55(=
Para determinar t, utilizamos a informação sobre a parte vertical do movimento.
A cápsula cai, portanto a altura final y é menor que a altura inicial y0.
28,9
2
1500 t−=−
mssmx 5,555)1,10()/55( =⋅=
• (b) Quando a cápsula atinge a água, qual é a sua velocidade em 
notação de vetor unitário e em módulo-ângulo?
smsmsmv /113)/99()/55( 22 =−+=
o9,60
/55
/99
tan 1 −=
−
=
−
sm
smθ
Movimento circular uniforme
• Um objeto está em movimento circular 
uniforme se percorre um círculo ou um 
arco circular com velocidade escalar 
constante
• Embora o módulo da velocidade não 
varie, o objeto está sendo acelerado, pois 
a direção do vetor velocidade está
variando
Como vimos, o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória do objeto.
A aceleração deve então “puxar” o vetor velocidade sempre para o centro do 
círculo.
Como veremos, a aceleração está sempre direcionada para o centro do círculo.
Aceleração no movimento circular 
uniforme
Quando o objeto gira com velocidade escalar por um intervalo de tempo 
dt, ele percorre o arco ds:
O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória; ele tem módulo 
constante e sua direção varia.
A aceleração é dada por
vdtrdds == θ
dt
r
v
r
vdt
vvddv
2
=== θ
r
v
dt
dv
a
2
==
θd
1v
r
2v
r
θd
vdr
1v
r
2v
r
Como o módulo da velocidade é constante, podemos escrever:
(O objeto gira com uma velocidade angular w constante.)
)cos(cos wtvvvy == θ
)(wtvsenvsenvx −=−= θ
)(wtvwsen
dt
dv
a
y
y −==
)cos(wtvw
dt
dv
a xx −==
O período (tempo que demora para o objeto percorrer todo o círculo) é
Quando t = T, devemos ter portantopi2=wT
r
v
T
w ==
pi2
T
r
tempo
distância
velocidadev pi2===
)(
2
wtsen
r
v
ay −=
)cos(
2
wt
r
v
ax −=
2222
22 )()cos( 





−+





−=+= wtsen
r
v
wt
r
v
aaa yx
r
v
wtsenwt
r
v
a
2
22
2
)()(cos =+=
componentes do vetor aceleração
r
v
a
2
= módulo do vetor aceleração
yyxx vavava +=⋅
rr
( ) )cos()()()cos( 22 wtvwtsen
r
v
wtvsenwt
r
v
va ⋅





−+−⋅−=⋅
rr
)cos()()()cos(
33
wtwtsen
r
v
wtsenwt
r
v
va −=⋅
rr
0=⋅va rr
Portanto o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
Como o vetor velocidade é tangente ao círculo, o vetor aceleração aponta 
para o centro.
Vemos assim novamente que o vetor aceleração está direcionado radialmente.
r
v
a
2
=
Como o vetor aceleração está direcionado para dentro, falamos em 
“aceleração centrípeta” (designação criada por Isaac Newton).
Observação: as seções 4.8, “Movimento Relativo em uma 
Dimensão”, 4.9, “Movimento Relativo em Duas Dimensões” e 4.10, 
“Movimento Relativo a Altas Velocidades”, não caem na prova.