tmp_9706-7. Probabilidades1172235446

Prévia do material em texto

Probabilidades
Introdução 
De acordo com um estudo realizado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Ge­
ografia e Estatística), a quantidade de mulheres no Brasil é maior que a de 
homens. As informações de 2007 destacam que existem 95,3 homens para 
cada grupo de 100 mulheres.
IE
SD
E 
Br
as
il 
S.
A
.
Os dados expostos nesse levantamento têm consequências sociais rela­
cionadas ao trabalho, à família, à educação e a muitos outros temas impor­
tantes.
Evidentemente, essa “desproporção” de mulheres em relação à quantida­
de de homens varia de acordo com a região. Segundo estudiosos em de­
mografia, a quantidade de homens é maior no interior dos estados, onde as 
atividades ligadas à agricultura são mais exploradas. Já nos grandes centros 
urbanos, a mortalidade masculina, tanto infantil quanto adulta, é maior do 
que a feminina, principal razão pela qual a quantidade de mulheres é maior 
nessas áreas.
Observe uma interessante tabela que apresenta a quantidade de homens 
para cada grupo de 100 mulheres em algumas grandes cidades brasileiras 
no ano de 2007:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
248
Probabilidades
Homem x Mulher: quantidade de homens para cada grupo de 100 
mulheres (IBGE)
Curitiba 95,3
Porto Alegre 93,3
Belo Horizonte 93,1
São Paulo 91,0
Salvador 90,7
Fortaleza 89,1
Belém 89,1
Rio de Janeiro 88,5
Recife 87,8
Fonte: IBGE
Com o auxílio dessa tabela é possível calcular o percentual de homens em 
Recife, por exemplo. Em outras palavras, ao se escolher uma pessoa ao acaso 
em Recife, a tabela permite calcular a probabilidade de essa pessoa ser um 
homem.
As probabilidades são designadas por eventos. Entre as informações an­
teriores, alguns eventos seriam “uma mulher em Recife” ou “um homem em 
Porto Alegre”. Cada evento tem uma probabilidade de ocorrência que pode 
ser expressa por um número de 0 a 1, ou de forma equivalente, em porcen­
tagem, por um número de 0% a 100%.
A probabilidade de que você venha a morrer algum dia é 1 ou 100%, pois 
a morte, algum dia, é certa. Em contraste, a probabilidade de um evento im­
possível ocorrer é 0. Por exemplo, a probabilidade de o falecido cantor Barry 
White reaparecer e cantar a música “You’re the first, the last, my everything” 
é 0 ou 0%.
A figura a seguir apresenta algumas designações possíveis de eventos e 
suas correspondentes probabilidades:
Fo
nt
e:
 IB
G
E
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
249
certo
1 a 100%
0,5 a 50%
0 a 0%
provável
chances iguais
improvável
impossível
Antes de definir o conceito de probabilidade, fique atento às próximas ideias 
relacionadas à probabilidade.
Espaço amostral e evento aleatório 
Dado um experimento, o conjunto formado por todos os seus resultados 
possíveis é denominado espaço amostral. Denotando por S o espaço amos­
tral no lançamento de um dado, temos que:
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6 }
Quando realizamos um experimento, geralmente estamos em busca de 
alguns resultados de nosso interesse. Esses resultados constituem o que de­
nominamos evento. Mais formalmente, evento é qualquer subconjunto do 
espaço amostral.
Por exemplo, o evento A formado pelos resultados pares do dado é o sub­
conjunto A = {2; 4; 6} contido em S. Outros exemplos de eventos no lança­
mento de um dado seriam B = {1; 3; 5}, correspondendo aos números ímpa­
res; C = {1}, aos números menores que 2, ou D= {3;6}, aos números múltiplos 
de 3.
Dessa forma, enquanto que espaço amostral é o conjunto formado por 
todos os resultados possíveis de um experimento, evento é qualquer sub­
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
250
Probabilidades
conjunto do espaço amostral.
Como podemos calcular a probabilidade de o resultado do lançamento 
de um dado comum ser par, por exemplo?
A probabilidade de o resultado ser par é obtida dividindo o número de 
elementos do evento A (apenas os pares) pelo número de elementos do 
espaço amostral (todos os números), ou seja:
p(A) = 
n (A)
n (S)
 = 
3
6
 = 
1
2
 = 0,50 = 50%
Como se observa, o conceito de probabilidade baseia­se em uma opera­
ção de divisão.
Probabilidade de um evento 
A probabilidade de ocorrer um evento A, contido em um espaço amostral 
S, é o número real dado por:
p(A) = 
n (A)
n (S)
ou
p(A) = 
número de resultados favoráveis
número de resultados possíveis
Exemplo 1:
Considerando um experimento aleatório que consiste no lançamento de 
duas moedas, qual a probabilidade de as duas moedas apresentarem faces 
iguais?
O espaço amostral do experimento, conjunto formado por todos os resul­
tados possíveis do experimento, é dado por:
S = {(Ca, Ca); (Ca, Co); (Co, Ca); (Co, Co)}
O evento A formado pelos resultados que apresentam duas faces iguais 
é dado por:
A = {(Ca, Ca); (Co, Co)}
Logo, a probabilidade de se obter duas faces iguais no lançamento de 
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
251
duas moedas comuns é igual a:
p(A) = 
2
4
 = 
1
2
 = 0,50 = 50% 
Exemplo 2:
Considere novamente a tabela e responda:
Homem x Mulher: quantidade de homens para cada grupo de 100 
mulheres (IBGE)
Curitiba 95,3
Porto Alegre 93,3
Belo Horizonte 93,1
São Paulo 91,0
Salvador 90,7
Fortaleza 89,1
Belém 89,1
Rio de janeiro 88,5
Recife 87,8
a) Escolhida uma pessoa ao acaso em Recife, calcule a probabilidade de 
ser um homem.
Em Recife existem 87,8 homens para cada grupo de 100 mulheres.
Então, devido à proporção, pode­se considerar a quantidade de elemen­
tos do espaço amostral como sendo a soma 87,8 + 100 = 187,8. Dessa forma, 
a probabilidade de se obter um homem, na escolha de uma pessoa ao acaso, 
é igual a:
p(homem em Recife) = 
número de homens em Recife
número de pessoas em Recife
 = 
87,8
187,8
 0,468 = 46,8%
Conclusão: os dados indicam que 46,8% das pessoas de Recife são do 
sexo masculino.
b) Qual é o percentual de mulheres em Curitiba?
Em Curitiba existem 95,3 homens para cada grupo de 100 mulheres.
Logo, o percentual de mulheres em Curitiba é igual a:
p(mulher em Curitiba) = 
número de mulheres em Curitiba
número de pessoas em Curitiba
 = 
100
195,3
 0,512 = 51,2%
Fo
nt
e:
 IB
G
E
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
252
Probabilidades
Exemplo 3:
Existem 4 200 estudantes em um colégio. O gráfico de setores a seguir 
apresenta a distribuição das preferências de profissões entre os alunos. Se 
um aluno desse colégio é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de pre­
ferir Direito?
630
1764
966
840
Medicina
Direito
Engenharia
Outros
A probabilidade de escolher ao acaso um aluno que prefere o curso de 
Direito, denotada por P(D), é dada por:
p(D) = 
número de alunos que preferem Direito
número total de alunos do colégio
p(D) = 
966
4 200
 = 
23
100
 = 0,23 = 23%
Portanto, 23% dos alunos do colégio preferem o curso de Direito.
Exemplo 4:
Considere um baralho comum, composto de 52 cartas, sendo 13 delas de 
espadas ( ).
a) Retirando­se ao acaso uma carta de um baralho comum, qual a proba­
bilidade de ser uma carta de espadas?
Th
in
ks
to
ck
.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
253
Todas as cartas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas. Logo, a 
probabilidade dea carta retirada ser de espadas é dada por:
p(espadas) = 
número de cartas de espada
número de cartas do baralho
p(espadas) = 
13
52
 = 
1
4
 = 0,25 = 25%
b) E qual a probabilidade de não ser de espadas?
Se, das 52 cartas, 13 são de espadas, então as 39 restantes não são de 
espadas. Assim, a probabilidade de a carta não ser uma figura é P(não de 
espadas) = 
39
52
 .
No exemplo anterior, observe que:
P(espadas) + P(não de espadas) = 
13
52
 + 
39
52
 = 
52
52
 = 1.
Isso ocorre sempre que dois eventos são complementares.
Exemplo 5:
Um saco contém 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuis 
devem ser colocadas no saco, de modo que a probabilidade de retirarmos do 
mesmo, aleatoriamente, uma bola azul seja 2/3?
O saco contém 20 bolas no total, todas não azuis. Se acrescentarmos x 
bolas azuis, o saco ficará com (20 + x) bolas no total. Se na retirada a pro­
babilidade de ocorrer uma bola azul deve ser 2/3, então x deve satisfazer a 
equação:
P(Azul) = 
2
3
ou
x
20 + x
 = 
2
3
Resolvendo, temos:
3x = 40 + 2x
x = 40
Logo, devem ser colocadas 40 bolas azuis.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
254
Probabilidades
Exemplo 6:
Observe o hexágono regular representado na figura:
Escolhendo­se aleatoriamente três vértices do hexágono anterior, qual a 
probabilidade de ser formado um triângulo equilátero?
O total de maneiras de escolhermos três vértices do hexágono é C3 =6 20
Para que seja formado um triângulo equilátero, temos as duas possibili­
dades representadas a seguir:
Assim, a probabilidade do triângulo formado ser equilátero é igual a 
P = 
2
20
 = 
1
10
 = 0,10 = 10%
Eventos complementares 
Se A é um evento qualquer, designamos o evento complementar de A 
por A.
Dois eventos A e A são complementares em relação ao mesmo espaço 
amostral S, quando A A = e A A = S.
Para ilustrar, observe no diagrama os eventos A e A de um espaço amos­
tral S:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
255
A A
S
Considere um espaço amostral S, finito e não vazio, e um evento A S.
Sendo n(A) o número de resultados do evento A, podemos escrever 
n(A) + n(A) = n(S) dividindo todos os termos por n(S):
n(A)
n(S)
 + 
n(A)
n(S)
 = 
n(S)
n(S)
Substituindo as probabilidades correspondentes, temos:
P(A) + P(A) = 1
Portanto, a soma das probabilidades de eventos complementares é 
sempre igual a 1.
Observação:
Se os eventos A e A são complementares, então A é complementar de A 
e, analogamente, A é complementar de A. Assim, a relação anterior permi­
te calcular a probabilidade de um deles, conhecendo­se a probabilidade do 
outro.
Exemplo 1:
Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é o 
dobro de ocorrer coroa. Lançando essa moeda uma única vez, qual a proba­
bilidade de ocorrer cara?
Considere que a probabilidade de ocorrer coroa seja x, P(Co) = x. Dessa 
forma, a probabilidade de ocorrer cara será 2x, ou seja, P(Ca) = 2x. Como os 
dois eventos são complementares, podemos escrever:
P(Ca) + P(Co) = 1
2x + x = 1
3x = 1
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
256
Probabilidades
x = 1/3
Logo, a probabilidade de ocorrer cara é 1/3 0,3333 = 33,33%.
Exemplo 2:
Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos alunos é apresentada 
no gráfico:
16
6
5
4
3
2
1
0
17 18 19 20 21
No eixo horizontal são apresentadas as idades dos alunos e no eixo verti­
cal o número de alunos correspondente a cada idade.
Com base nos dados do gráfico, determine:
a) O número total de alunos do curso.
O número total de alunos do curso pode ser obtido somando a quantida­
de de alunos em cada categoria de idade. Assim, o número total de alunos 
é igual a:
4 + 5 + 3 + 1 + 2 + 5 = 20 alunos
b) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser de, 
no mínimo, 18 anos?
Ter no mínimo 18 anos é ter 18, 19, 20 ou 21 anos. Existem 3 + 1 + 2 + 5 = 11 
alunos com no mínimo 18 anos. Logo, a probabilidade de um aluno escolhi­
do ao acaso ter no mínimo 18 anos é igual a:
P = 11/20 = 0,55 = 55%.
c) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser 17 
anos ou menos?
Os alunos que têm 17 anos ou menos são os que têm 17 ou 16 anos. Exis­
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
257
tem 9 alunos com 17 anos ou menos. Portanto, a probabilidade de um aluno 
escolhido ao acaso ter 17 anos ou menos é igual a:
P = 9/20 = 0,45 = 45%
Pode­se observar que os eventos “ter no mínimo 18 anos” e “ter 17 anos 
ou menos” são complementares e, por isso, a soma das probabilidades resul­
ta 100% (55% + 45%).
Probabilidade da união de eventos 
Um baralho comum é constituído por 52 cartas distintas:
Ace 2 3 4 5 6 7 8 9 T Jack Queen King
Clubs
Dia­
monds:
Hearts:
Spades:
Das 52 cartas, 12 são figuras:
{K , K , K , K , Q , Q , Q , Q , J , J , J , J }
As 40 cartas restantes não são figuras. Suponha que uma carta seja esco­
lhida ao acaso de um baralho completo. Considere os seguintes eventos:
• A: a carta é uma figura
• A: a carta não é uma figura
A probabilidade de a carta escolhida ser uma figura é igual a:
p(A) = 
12
52
A probabilidade de a carta escolhida não ser uma figura é:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
258
Probabilidades
p(A) = 
40
52
Observe que os eventos são complementares:
p(A) + p(A) = 
12
52
 + 
40
52
 + 
52
52
 = 1
Exemplo:
Num colégio existem 1 500 alunos, sendo que exatamente 600 encon­
tram­se no Ensino Médio. Os demais são alunos do Ensino Fundamental. Se 
um aluno do colégio é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ser do 
Ensino Médio? E qual a probabilidade de ser do Ensino Fundamental? O que 
podemos dizer sobre esses eventos?
Existem 1 500 alunos, sendo 600 do Ensino Médio e 900 do Ensino Fun­
damental. Logo, a probabilidade de o aluno escolhido ser do Ensino Médio 
é igual a:
p(Médio) = 
600
1 500
 = 0,40
A probabilidade de o aluno escolhido ser do Ensino Fundamental é igual a:
p(Fundamental) = 
900
1 500
 = 0,60
Os eventos são complementares e, portanto, verificam a condição:
p(Médio) + p(Fundamental) = 0,40 + 0,60 = 1
Retornando ao cálculo de probabilidades com o auxílio de um baralho, 
vamos considerar a seguinte situação:
Retirando uma carta ao acaso de um baralho comum, qual a probabilida­
de de ser uma figura ou uma carta de copas?
Um baralho possui 12 figuras e 13 cartas de copas entre suas 52 cartas. 
Como estamos interessados nas figuras ou nas cartas de copas – podendo 
ser ambas – começaremos adicionando as probabilidades correspondentes:
p(figura) + p(copas) = 
12
52
 + 
13
52
 
Entretanto, existem 3 cartas que são simultaneamente figuras e de copas:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
259
K
Q
J
K
Q
J
K
Q
J
A
3
5
7
9
2
4
6
8
10
K
Q
J
3 figuras de copas
12 figuras 13 de Copas
Portanto, não encontraremos a resposta simplesmente adicionando as 
probabilidades. Como as 3 cartas comuns foram contabilizadas tanto entre as 
figuras quanto entre as de copas, é preciso subtrair a probabilidade de a carta 
retirada ser uma figura de copas.
A probabilidadede a carta ser uma figura de copas é igual a:
p(figura de copas) = 
3
52
 
Logo, a probabilidade de a carta ser uma figura ou de copas é:
p(figura de copas) = 
12
52
 + 
13
52
 – 
3
52
p(figura de copas) = 
12 + 13 – 3
52
 = 
22
52
 
O resultado mostra que, das 52 cartas do baralho, exatamente 22 delas 
são figuras ou de copas, pois 22 = 12 + 13 – 3
Esse exemplo ilustrou o cálculo da probabilidade da união de dois 
eventos:
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral A, a probabilida­
de do evento A B é igual à probabilidade do evento A, adicionada à proba­
bilidade do evento B, subtraída da probabilidade do evento A B:
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
260
Probabilidades
Podemos provar a validade dessa relação para quaisquer eventos A e B de 
um mesmo espaço amostral S. Da teoria dos conjuntos, podemos escrever:
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
Dividindo todos os termos por n(S), temos:
n(A B)
n(S)
 = 
n(A)
n(S)
 + 
n(B)
n(S)
 – 
n(A B)
n(S)
 
Substituindo as probabilidades correspondentes, temos:
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)
De forma equivalente, podemos também utilizar algumas palavras con­
venientes em substituição das operações entre conjuntos:
p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A e B)
Nesse caso é conveniente lembrar que “A ou B” significa a ocorrência de 
pelo menos um dos eventos, ou seja, ocorrer A, ocorrer B ou ocorrer ambos.
Exemplo:
Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Se retirarmos uma 
bola aleatoriamente dessa urna, qual a probabilidade dela conter um número 
múltiplo de 2 ou de 5?
Evento A: múltiplos de 2
 A = {2; 4; 6; ...; 100} 50 múltiplos de 2
Evento B: múltiplos de 5
 B = {5; 10; 15; ...; 100} 20 múltiplos de 5
Evento A B: múltiplos de 10 (2 e 5)
 A B = {10; 20; ...; 100} 10 múltiplos de 10
Probabilidade de A B:
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B)
p(A B) = 
50
100
 + 
20
100
 – 
10
100
 = 
60
100
 = 0,60 = 60%
A probabilidade da união de dois eventos pode ser simplificada nos casos 
em que os eventos não apresentam elementos comuns.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
261
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando é impossível ocorrerem 
simultaneamente. Isto é, os eventos A e B são mutuamente exclusivos, se 
A B = .
S
A B
No lançamento de um dado comum, por exemplo, os eventos A: “o número 
observado é maior que 4” e B: “o número observado é menor que 3” são mutu­
amente exclusivos:
A = {5; 6} e B = {1; 2} A B = 
Observe que dois eventos mutuamente exclusivos não apresentam resul­
tados comuns. Dessa forma, se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusi­
vos, a probabilidade de ocorrer A e B é igual a zero, ou seja:
p(A B) = 0
Consequentemente, a probabilidade de A B resume­se à soma das pro­
babilidades de A e B:
p(A B) = p(A) + p(B)
Se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos, a probabilidade de 
A B é igual à soma da probabilidade do evento A com a do evento B: 
p(A B) = p(A) + p(B)
Exemplo 1:
Se uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho, qual a proba­
bilidade de ser um rei ou uma dama?
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
262
Probabilidades
Num baralho, não existem cartas que sejam simultaneamente reis e damas. 
Os eventos “ser um rei” e “ser uma dama” são, portanto, mutuamente exclusi­
vos. Como existem 4 reis e 4 damas entre as 52 cartas do baralho, a probabili­
dade de a carta retirada ser um rei ou uma dama é a soma das probabilidades 
individuais de cada evento:
p(rei ou dama) = p(rei) + p(dama)
p(rei ou dama) = 
4
52
 + 
4
52
p(rei ou dama) = 
8
52
 + 
2
13
 15,38%
Logo, a probabilidade é aproximadamente igual a 15,38%.
Exemplo 2:
A tabela apresenta os resultados de uma pesquisa, realizada em um co­
légio, quanto à preferência dos alunos na modalidade de esporte praticado. 
Cada aluno escolheu um único esporte.
Esporte Quantidade de alunos
Atletismo 15
Basquete 30
Futebol 65
Natação 25
Vôlei 35
Total 170
Escolhendo ao acaso um aluno que tenha participado da pesquisa, 
responda:
a) Qual a probabilidade de preferir futebol?
A probabilidade de preferir futebol é igual a:
p(futebol) = 
65
170
 = 
13
34
 0,3824 = 38,24%
b) Qual a probabilidade de preferir atletismo ou vôlei?
A probabilidade de preferir atletismo ou vôlei é igual a:
p(atletismo ou vôlei) = p(atletismo) + p(vôlei)
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
263
p(atletismo ou vôlei) = 
15
170
 + 
35
170
 = 
50
170
 0,2941 = 29,41%
Exemplo 3:
Em um colégio, uma pesquisa tinha por objetivo saber quantos alunos 
estavam matriculados em algum curso de idiomas. Essa pesquisa revelou 
que 250 alunos estudavam espanhol, 430 estudavam inglês, 50 estudavam 
espanhol e inglês, e 170 não estudavam idioma algum. Escolhendo aleato­
riamente um aluno que participou da pesquisa, qual a probabilidade de que 
ele estude somente um dos idiomas?
Observe o diagrama a seguir:
380
inglês espanhol
nenhum
50 200 170
Escolhendo ao acaso um aluno que participou da pesquisa, a probabili­
dade de que ele estude somente um dos idiomas é igual a:
p = 
380 + 200
380 + 50 + 200 + 170
 = 
580
800
 = 
29
40
 = 0,725 = 72,5%
Probabilidade da intersecção de eventos 
Uma das mais importantes relações da teoria das probabilidades é a pro­
babilidade da intersecção de eventos. Tanto problemas relacionados a acon­
tecimentos sucessivos quanto a simultâneos podem ser resolvidos com o 
auxílio dessa ferramenta.
Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de 
ocorrer A e B, indicada por p(A B), é igual à probabilidade de A multiplicada 
pela probabilidade de B, dada a ocorrência de A:
p(A B) = p(A) . p(B/A)
Observação:
Observe que p(A B) = p(B A). Assim, podemos também expressar 
p(A B) da seguinte maneira:
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
264
Probabilidades
p(A B) = p(B) . p(A/B)
Exemplo 1:
Considere um baralho comum composto por 52 cartas. Ao retirarmos uma 
carta ao acaso desse baralho, qual a probabilidade de ser um rei de copas?
O baralho possui apenas um rei de copas (K ). Logo, a probabilidade é 
dada por:
p(rei de copas) = 
1
52
A probabilidade da intersecção de eventos pode ser utilizada para calcular 
a probabilidade de obtermos um rei de copas. Para tanto, bastaria considerar­
mos que o rei de copas é uma carta que simultaneamente é “rei” e é “de copas”. 
Observe:
p(rei de copas) = p(rei e copas)
p(rei de copas) = p (R e C)
Desmembrando a probabilidade da intersecção num produto, temos:
p(rei de copas) = p(R) . p(C/R)
A probabilidade de uma carta escolhida ao acaso ser um rei é igual a:
p(R) = 
4
52
Existem 4 reis no baralho sendo que, destes, apenas um é de copas. Logo, 
a probabilidade de a carta escolhida ser de copas, sabendo­se que é um rei, 
é igual a:
p(C/R) = 
1
4
Assim, podemos escrever:
p(rei de copas) = 
4
52
 . 
1
4
p(rei de copas) = 
1
52
O resultado mostra que podemos calcular a probabilidade desmembran­
do o evento simultâneo “rei de copas” em dois outros.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
265Exemplo 2:
Considere uma urna composta por 10 bolas, sendo 3 azuis e 7 brancas. Se 
duas bolas forem retiradas ao acaso, sucessivamente e sem reposição, qual a 
probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca?
Há na urna 10 bolas, sendo 3 azuis. Logo, a probabilidade de a primeira ser 
azul é p(A1) = 
3
10
. Após a retirada da primeira bola azul, restam 9 bolas, sendo 7 
delas brancas. Assim, a probabilidade de a segunda ser branca, dado que a pri­
meira foi azul, é p(B2 / A1) = 
7
9
.
Portanto, a probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca é 
dada por:
p(A1 B2) = p(A1) . p(B2 / A1)
p(A1 B2) = 
3
10
 . 
7
9
p(A1 B2) = 
7
30
 0,2333 = 23,33%
Nesse exemplo podemos perceber que a relação da probabilidade de in­
tersecção de eventos também pode ser utilizada na resolução de problemas 
relacionados a eventos sucessivos.
Exemplo 3:
Uma urna tem 5 bolas, sendo 3 amarelas e 2 brancas. Duas bolas são reti­
radas, aleatoriamente e sem reposição, dessa urna. Qual a probabilidade de 
que ambas sejam amarelas?
p(A1 e A2) = p(A1) . p(A2 /A1)
p(A1 e A2) = 
3
5
 . 
2
4
 = 
6
20
 = 
3
10
 = 0,30 = 30%
Exemplo 4:
O corpo docente de uma escola é formado por 4 professores de Matemá­
tica e 16 professores de outras disciplinas. Três professores serão escolhidos 
ao acaso para acompanhar os alunos em uma viagem. Qual a probabilidade 
de que seja escolhido exatamente um professor de Matemática?
Sendo “M” um professor de Matemática e “O” um professor de outra disci­
plina, vamos calcular a probabilidade de ocorrer o resultado MOO.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
266
Probabilidades
p(M e O e O) = 
4
20
 . 
16
19
 . 
15
18
Devemos agora considerar que se o sorteio se desse em outra ordem 
também teríamos um professor de Matemática e dois de outras disciplinas, 
ou seja, os resultados OMO e OOM também são válidos. Logo, a probabilida­
de calculada inicialmente deve ser multiplicada por 3:
p(1M e 2O) = 
4
20
 . 
16
19
 . 
15
18
 . 3 = 
8
19
Probabilidade condicional 
Considere uma pesquisa realizada com 50 estudantes de um colégio sobre 
a preferência de estudo entre os cursos de Administração e Economia.
Os resultados da pesquisa encontram­se na próxima tabela:
Sexo 
Curso Administração Economia Total
Masculino 10 5 15
Feminino 20 15 35
Total 30 20 50
Interpretando adequadamente as informações da tabela, vamos relacio­
ná­las com o cálculo de probabilidades por meio do próximo exemplo.
Exemplo:
Escolhendo ao acaso um estudante da pesquisa, responda:
a) Qual a probabilidade de ser do sexo masculino?
Sendo p(M) a probabilidade de o estudante ser do sexo masculino, p(M e A) 
de o estudante ser do sexo masculino e preferir administração, e p(A/M) de 
o estudante preferir administração, sabendo­se que é do sexo masculino, 
temos:
p(M) = 
15
50
 ou p(M) = 0,30 = 30%
O resultado indica que 30% dos alunos são do sexo masculino.
b) Qual a probabilidade de ser do sexo masculino e preferir administração?
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
267
p(M e A) = 
10
50
 ou p (M A) = 0,20 = 20%
O resultado indica que 20% dos alunos são do sexo masculino e preferem 
administração.
c) Sabendo­se que é do sexo masculino, qual a probabilidade de preferir 
administração?
p(A / M) = 
10
15
 ou p (A / M) = 
2
3
 0,6667 = 66,67%
O resultado indica que, dos alunos do sexo masculino, 66,67% destes são 
do sexo masculino.
d) O que se pode concluir dividindo o resultado do item (b) pelo do item (a)?
Vamos dividir os resultados mencionados:
p (M A)
p (M)
 = 
10
50
15
50
 = 
10
50
 . 
50
15
 = 
10
15
 = p(A / M)
O quociente da divisão de p(M A) por p(M) é a resposta do item (c). Tal 
relação sugere que podemos obter o valor de uma probabilidade condicio­
nal, p(A/M), dividindo a probabilidade de intersecção, p(M A), pela proba­
bilidade da condição, p(M). Quando representamos uma probabilidade por 
p(A/B), estamos nos referindo à probabilidade do evento A na certeza da 
ocorrência do evento B. Assim, nesse caso, o evento B é certo, enquanto o 
evento A é incerto.
A probabilidade do evento A, dada a ocorrência do evento possível B, re­
presentada por p(A/B), é igual à probabilidade do evento A B dividida pela 
probabilidade do evento B:
p(A / B) = 
p (A B)
p (B)
, p(B) 0
É importante destacar que o cálculo de uma probabilidade condicional 
é derivado de um raciocínio simples. Isto é, na probabilidade condicional 
p(A/B), a condição é a ocorrência certa de B. Logo, o espaço amostral do 
experimento é reduzido apenas ao evento B, que passa a ser denominador 
do quociente, ou seja, p(B) é denominador. Se essa condição é certa, natu­
ralmente deve ocorrer no numerador. Portanto, o evento incerto, A, deve 
ocorrer simultaneamente ao B. Assim, o numerador é p(A B). Isso explica a 
fórmula da probabilidade condicional.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
268
Probabilidades
Em geral, p(A/B) não é igual a p(B/A). Isso ocorre porque, apesar de ambas 
as probabilidades condicionais apresentarem o mesmo numerador, cada 
uma delas tem um denominador diferente, já a condição considerada não é 
a mesma. Observe:
p(B / A) = 
p (A B)
p (A)
, p(A) 0
Exemplo 1:
Um pescador sai diariamente para pescar, com probabilidade de 30% em 
dias de chuva e de 80% nos demais dias. Se onde ele mora a probabilidade 
de chuva num dia qualquer é de 40%, então:
a) Qual a probabilidade de que o pescador vá pescar amanhã?
Sendo:
p(P) a probabilidade de pesca em um dia qualquer;
p(C/P) a probabilidade de chuva em um dia de pescaria;
p(C) = 40% a probabilidade de ocorrer chuva num dia qualquer;
p(C) = 60% a probabilidade de não ocorrer chuva num dia qualquer;
p(P/C) = 30% a probabilidade de pesca em um dia de chuva;
p(P/C) = 80% a probabilidade de pesca em um dia de não chuva, temos:
p(P) = p(C P) + p(C P)
p(P) = p(C) . p(P / C) + p(C) . p(P / C)
p(P) = 40% . 30% + 60% . 80%
p(P) = 
40
100
 . 
30
100
 + 
60
100
 . 
80
100
p(P) = 
12
100
 + 
48
100
 = 
60
100
 = 60%
b) Qual é a probabilidade de chuva em um dia de pescaria?
p(C / P) = 
p(C P)
p(P)
p(C / P) = 
12%
60%
 = 
12
60
 = 
1
5
 = 0,20 = 20%
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
269
O resultado indica que, das vezes em que o pescador vai pescar, em 20% 
delas chove.
Exemplo 2:
Dois dados não viciados foram lançados.
a) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas 
para cima tenha sido igual a 7?
O espaço amostral do experimento é o conjunto S dado por:
(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6)
(2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6)
(3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6)
(4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6)
(5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6)
(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)
S =
Existem 6 pares ordenados que fornecem soma 7.
Assim, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas 
para cima tenha sido 7 é igual a:
p(Soma 7) = 
6
36
 = 
1
6
b) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas 
para cima tenha sido igual a 5?
Existem 4 pares ordenados que fornecem soma 5. Assim, a probabilidade 
de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido 5 é igual 
a:
p(Soma 5) = 
4
36
 = 
1
9c) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas 
para cima tenha sido igual a 7, sabendo que não foi igual a 5?
Se sabemos que a soma não foi igual a 5, desconsideramos, do espaço 
amostral, os pares ordenados (1; 4), (2; 3), (3; 2) e (4; 1). Logo, a probabilidade 
de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a 
7, sabendo que não foi igual a 5, é igual a:
p(Soma 7 / não 5) = 
6
36 – 4
 = 
6
32
 = 
3
16
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
270
Probabilidades
Distribuição binomial de probabilidades 
Th
in
ks
to
ck
.
Um esportista dispara flechas em um alvo. Suponha que, em uma tentati­
va qualquer, ele tenha 80% de chance de acertar o alvo na região destacada, 
independentemente de outro disparo. Se ele realiza cinco disparos, qual a 
probabilidade de acertar exatamente dois deles?
Em cinco disparos, ele deve acertar 2 e errar 3, logo, sendo p(A) = 80% a 
probabilidade de ele acertar o alvo e p(E) = 20% a probabilidade de ele não 
acertar, temos:
p(2 Acertos) = p(A) . p(A) . p(E) . p(E) . p(E)
p(2 Acertos) = 80% . 80% . 20% . 20% . 20%
p(2 Acertos) = (0,80)2 . (0,20)3
Entretanto, se os dois acertos e os três erros ocorressem em outra ordem, 
também teríamos o resultado pretendido. Logo, é preciso ainda escolher 2 
acertos entre os 5 disparos. Isso pode ser feito de C2 5 maneiras.
Logo, a probabilidade de apenas 2 acertos em 5 disparos é dada por:
p(2 Acertos) = C2 5 . (0,80)2 . (0,20)3
p(2 Acertos) = 
5 . 4 
2 . 1
 . 0,64 . 0,008
p(2 Acertos) = 10 . 0,64 . 0,008
p(2 Acertos) = 0,0512 = 5,12%
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
271
A probabilidade de ele, em 5 disparos, acertar exatamente 2 deles é 
5,12%.
Esse exemplo ilustrou uma situação em que utilizamos a ideia de proba­
bilidade binomial.
Considere um experimento aleatório que será realizado n vezes e com as 
seguintes características:
cada resultado do experimento pode ser classificado em apenas uma �
de duas categorias: sucesso ou fracasso;
os eventos são independentes; �
p é a probabilidade de um sucesso e (1 – p) é a de um fracasso. �
Nessas condições, a probabilidade de ocorrer um número k de sucessos é 
dada por:
p(k sucessos) = Ck n . pk . (1 – p)
n–k; k = 0, 1, 2, ..., n
As probabilidades destacadas na fórmula anterior constituem­se, em 
termos, de um binômio de Newton. Por isso a denominação binomial.
Exemplo 1:
Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de ob­
termos 2 caras e 4 coroas?
Vamos inicialmente calcular a probabilidade de obtermos cara nas duas 
primeiras vezes e coroa nas outras quatro vezes:
p (CaCaCoCoCoCo) = 
1
2
 . 
1
2
 . 
1
2
 . 
1
2
 . 
1
2
 . 
1
2
 = 
1
64
No entanto, observe que poderíamos obter duas caras e quatro coroas 
em outra ordem. O total de maneiras de escolher as duas posições em que 
as caras irão aparecer é C2 6 = 15.
Assim, devemos multiplicar a primeira probabilidade obtida por 15, ou 
seja:
p (2Ca e 4Co) = 
1
64
 . 15 = 
15
64
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
272
Probabilidades
Portanto, a probabilidade de obtermos 2 caras e 4 coroas em 6 lançamen­
tos de uma moeda comum é 15/64.
Exemplo 2:
Um aluno não estudou para uma prova de Matemática e, por isso, não 
sabia resolver questão alguma de uma prova composta por 10 questões com 
5 alternativas cada uma, onde apenas uma era correta. Se esse aluno res­
pondeu todas as questões ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha 
acertado exatamente 4 questões da prova?
A probabilidade de o aluno acertar uma questão “no chute” é 
1
5
. Conse­
quentemente, a probabilidade de ele errar é 
4
5
. Assim, a probabilidade de o 
aluno ter acertado exatamente 4 questões da prova é igual a:
p(4 acertos) = C4 10 . 
1
5
 . 
4
5
 = 210 . 
1
625
 . 
4096
15625
 = 
172032
1953125
 0,088 = 8,8%
Exemplo 3:
Um casal pretende ter 5 filhos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo 
menos 4 meninas?
A probabilidade de que nasçam pelo menos 4 meninas é igual à soma das 
probabilidades de nascer 4 ou 5 meninas.
Probabilidade de nascer exatamente 4 meninas em 5 crianças:
p(4 meninas) = C4 5 . 
1
2
 . 
1
2
 = 
5
32
Probabilidade de nascer 5 meninas em 5 crianças:
p(5 meninas) = C5 5 . 
1
2
 . 
1
2
 = 
1
32
Portanto, a probabilidade do nascimento de 4 ou 5 meninas em 5 crian­
ças é dada por:
p(4 meninas ou 5 meninas) = 
6
32
 . 
3
16
 = 0,1875 = 18,75%
Exemplo 4:
Suponha que, no trajeto de carro do colégio até sua casa, a probabilidade 
de um semáforo estar aberto (luz verde) seja igual 1/3. Considere também 
que existam um total de 4 semáforos não sincronizados nesse trajeto.
4 6
4 1
5 0
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
273
a) Qual a probabilidade de que exatamente dois semáforos estejam 
abertos?
A probabilidade de o semáforo estar é 1/3 e a de não estar aberto é 2/3, 
logo:
p(2 abertos) = C2 4 . 
1
3
 . 
2
3
 
p(2 abertos) = 
4 . 3
2 . 1
 . 
1
9
 . 
4
9
 = 
24
81
 0,2963 = 29,63%
b) Qual a probabilidade de que exatamente três semáforos não estejam 
abertos?
Se exatamente três não estiverem abertos, apenas um estará aberto, então:
p(1 aberto) = C1 4 . 
1
3
 . 
2
3
 
p(1 aberto) = 4 . 
1
3
 . 
8
27
 = 
32
81
 0,3951 = 39,51%
c) Qual a probabilidade de que exatamente k semáforo(s), k = 0, 1, 2, 3, 4, 
esteja(m) aberto(s)?
p(k abertos) = Ck 4 . 
1
3
 . 
2
3
 , k = 0, 1, 2, 3, 4
Ampliando seus conhecimentos
O próximo texto foi extraído do livro Matemática, Cadê Você?: Sobre Nú-
meros, Personagens, Problemas e Curiosidades.
2 2
1 3
k 4–k
Pesquisa com pergunta proibida
(PAENZA, 2009, p. 156­158)
Esse exemplo mostra uma maneira sutil de evitar um problema. Suponha­
mos que alguém queira pesquisar um grupo de pessoas sobre um tema críti­
co, delicado. Digamos, por exemplo, que se queira averiguar a porcentagem 
de jovens que consumiram alguma droga durante o Ensino Médio.
É possível que a maioria se sentisse incomodada se tivesse que responder 
sim. Naturalmente, isso destruiria o valor de verdade da pesquisa.
Como fazer então para “contornar” o obstáculo do pudor ou incômodo que 
a pergunta gera?
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
274
Probabilidades
No exemplo, o entrevistador quer perguntar a cada aluno se ele consumiu 
alguma droga durante o Ensino Médio e diz a ele que o método que vão usar 
é o seguinte:
O jovem entrará numa “cabine cega”, como se fosse votar, e se disporá a 
jogar uma moeda. Ninguém está vendo o que ele faz. Só lhe pedem que res­
peite as regras:
1) se saiu cara, ele deve responder “sim” (seja qual for a resposta verdadeira);
2) se saiu coroa, deve responder a verdade.
De qualquer forma, a única testemunha do que o jogador faz ou diz é ele 
mesmo.
Com esse método, esperam­se pelo menos 50% de respostas positivas (que 
são as que provêm da “estimativa” de que saiu cara na metade das vezes). Em 
contrapartida, quando alguém diz que não, é porque a resposta verdadeira é 
não. Ou seja, esse jovem não se drogou. Entretanto, suponhamos que haja 70% 
das respostas positivas (disseram que sim). Isso não quer dizer algo? Ou seja, não 
é tentador dizer que com esses dadosseria possível tirar alguma conclusão?
Como sempre, convido­o a pensar um pouco sozinho. E, depois, continue 
com o raciocínio. Qualquer que seja o número de respostas positivas, era 
esperado de antemão que houvesse (ao menos) 50% delas. E isso acontece 
porque se supõe que, como a moeda não está viciada, deveria sair cara na 
metade das vezes. Com esse dado somente, sabe­se que, ao sair da cabine, 
a metade dos participantes deve dizer que sim. Mas, ao mesmo tempo, há 
outros 20% de respostas que são afirmativas e NÃO provêm do fato de que a 
moeda deu cara. Como interpretar esse dado?
O fato é que isso está dizendo que, das vezes em que saiu coroa (que é 
a outra metade das vezes), 20% dos alunos disseram sim, que se drogaram. 
Como consequência, poderíamos inferir (e o convido a pensar comigo) que 
pelo menos 40% dos alunos foram consumidores de alguma droga. Por quê? 
Porque, dos 50% restantes, 20% (nada menos!) responderam que sim. E, justa­
mente, 20% desses 50% significam 40% das pessoas.
Esse sistema evita “marcar” quem responde sim e expô­lo a uma situação 
embaraçosa. Por outro lado, mantém viva a possibilidade de pesquisar o que 
se pretende.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
275
Atividades de aplicação
1. As colunas a seguir relacionam designações de eventos com probabi­
lidades de ocorrência dos eventos. Associe as colunas corretamente:
 I. Muita chance de ocorrer ( ) 0,5
 II. Evento certo ( ) 0
 III. Pouca chance de ocorrer ( ) 0,93
 IV. Chances iguais ( ) 0,08
 V. Evento impossível ( ) 1
2. Considere o lançamento de duas moedas distintas. Descreva o espaço 
amostral S do experimento e o evento A formado pelos resultados que 
apresentam duas caras. Logo após, calcule a probabilidade de ocorrer 
o evento A.
3. Paulo está rifando uma bicicleta em sua escola. A rifa é constituída de 
100 diferentes números. Se você compra quatro desses números, que 
probabilidade tem de ganhar a bicicleta?
4. Sorteando um número natural não nulo de 1 a 100, qual a probabilida­
de de ele ser um:
a) número par?
b) número divisível por 3?
c) número cujo algarismo das unidades é 7?
d) número primo?
5. Em uma caixa encontram­se 30 bolas numeradas de 1 a 30. Ao se reti­
rar uma bola ao acaso da caixa, calcule:
a) a probabilidade de o número da bola retirada ser par.
b) a probabilidade de o número da bola retirada ser múltiplo de 5.
c) a probabilidade de o número da bola ser par ou múltiplo de 5.
6. Em uma escola foi feita uma pesquisa com os alunos do terceiro ano 
do Ensino Médio sobre o hábito de leitura de duas revistas A e B. Dos 
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
276
Probabilidades
250 alunos consultados, 112 afirmaram ler a revista A, 77 a revista B e 
22 as duas revistas. Se um aluno do terceiro ano dessa escola é escolhi­
do ao acaso, calcule:
a) a probabilidade de ele ser leitor de apenas uma das revistas.
b) a probabilidade de ele não ler qualquer uma das revistas.
c) a probabilidade de ele ser leitor da revista A ou da revista B.
7. Em uma universidade, os alunos que ingressaram no início desse ano 
estão divididos em três áreas, de acordo com a tabela a seguir:
Área Masculino Feminino
Tecnologia 845 335
Biológica 590 855
Humanística 410 465
 Se escolhermos ao acaso um aluno dessa universidade, calcule a pro­
babilidade de que ele seja do sexo masculino ou da área biológica.
8. Em uma caixa encontram­se 5 bolas verdes, 3 bolas pretas e 2 bolas 
azuis. Se retirarmos, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas dessa 
caixa, calcule a probabilidade de:
a) as duas bolas serem verdes.
b) a primeira bola ser preta e a segunda azul.
c) as duas bolas serem da mesma cor.
9. Uma amostra de um lote de peças contém 5 peças defeituosas e 15 
peças perfeitas. Retirando­se, sem reposição, três peças do lote, calcu­
le a probabilidade de que:
a) as três peças sejam defeituosas.
b) pelo menos uma peça seja defeituosa.
c) exatamente uma peça seja defeituosa.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
277
10. Dois jogadores, Lucas e João, lançam um dado. Lucas vencerá o jogo 
se o número da face voltada para cima do seu dado for maior do que 
ou igual ao número da face voltada para cima do dado de João. Calcu­
le a probabilidade de que Lucas vença o jogo.
11. Ana disse para Bruno: “Vou lançar um dado sem que você veja. Se você 
acertar, em uma única tentativa, o número da face voltada para cima, 
lhe dou R$10,00”. Suponha que Ana, após lançar o dado, informe a Bru­
no que o número da face voltada para cima é ímpar. Qual a probabili­
dade de que Bruno ganhe os R$10,00?
12. Em uma universidade, a eleição para reitor reunirá dois candidatos A 
e B. Na última pesquisa, realizada com um grupo de 500 alunos, foi 
fornecida a seguinte tabela:
Candidato Masculino Feminino Total
A 120 135 255
B 150 58 208
Branco/nulo 23 14 37
Total 293 207 500
 Escolhendo aleatoriamente um aluno da universidade que participou 
da pesquisa, calcule:
a) a probabilidade de ser do sexo masculino e ter a intenção de votar 
no candidato A.
b) a probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo que tem a inten­
ção de votar no candidato A.
c) a probabilidade de ter a intenção de votar no candidato B, saben­
do que é do sexo masculino.
13. Um dado “honesto” é lançado 10 vezes. Qual a probabilidade de a face 
voltada para cima exibir um número primo exatamente 4 vezes.
14. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é de 80%. Ao realizar 
5 disparos, qual a probabilidade de que ele acerte o alvo exatamente 
3 vezes?
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
278
Probabilidades
Referências
ASIMOV, Isaac. Cronologia das Ciências e das Descobertas. Rio de Janeiro: Civi­
lização Brasileira.
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática – contexto e aplicações. São Paulo: Ática. 472 
p. v. 2. Edição reformulada.
DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática – o talento para lidar com números e a 
evolução do pensamento matemático. Rio de Janeiro: Record, 2004.
GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron 
Books, 1997.
_____. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da 
Matemática. São Paulo: Livraria de Física, 2006.
GAZETA DO POVO, 25 set. 2008. Vida e Cidadania, p. 7.
HOGBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemática. 3. ed. Porto Alegre: Globo, 1952.
IEZZI, Gelson et al. Matemática – ciência e aplicações. 4. ed. São Paulo: Atual, 
2006. 352 p. v. 1.
LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: 
Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática).
LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade 
Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.
_____. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 2001. v. 2.
_____. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de 
Matemática, 2001. v. 3.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
PAENZA, Adrian. Matemática, Cadê Você?: sobre números, personagens, proble­
mas e curiosidades. Tradução de: LEMOS, Maria Alzira Brum. Rio de Janeiro: Civili­
zação Brasileira, 2009. 285 p.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
279
SINGH, Simon. O Último Teoremade Fermat. Rio de Janeiro: Record, 2002.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
_____. Os Números Governam o Mundo: folclore da Matemática. 3. ed. Rio de 
Janeiro: Ediouro, 1999. 398 p. 
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
280
Probabilidades
Gabarito
1. A associação correta é I­0,93; II­1; III­0,08; IV­0,5, V­0
2. Lançando duas moedas o espaço amostral é S = {(Ca,Ca); (Ca,Co); 
(Co,Ca); (Co,Co)}, no qual “Ca” representa face cara e “Co” coroa, e o 
evento A formado por duas caras é A = {(Ca,Ca)). Logo, a probabilidade 
teórica é P(A) = 1/4 = 0,25 = 25%.
3. A probabilidade de Paulo vir a ser sorteado é P = 4/100 = 0,04 = 4%.
4. Existem 100 números naturais possíveis de serem sorteados, sendo 
que 50 deles são pares (2, 4, 6, ..., 100); 33 deles são múltiplos de 3 (3, 
6, 9, ..., 99); 10 deles têm o algarismo das unidades igual a 7 (7, 17, 27, 
..., 97) e 25 deles são primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97). Logo, as probabilidades são 
dadas por:
a) P(par) = 50/100 = 0,50 = 50%
b) P(múltiplo de 3) = 33/100 = 0,33 = 33%
c) P(unidade igual a 7) = 10/100 = 0,10 = 10%
d) (primo) = 25/100 = 0,25 = 25%
5.
a) Na caixa temos 15 bolas com números pares. Logo, a probabilidade 
de o número da bola retirada ser par é 
15
30
 = 
1
2
 = 0,5 = 50%.
b) Na caixa temos 6 bolas com números múltiplos de 5.
 Assim, a probabilidade de o número da bola retirada ser múltiplo 
de 5 é igual a 
6
30
 = 
1
5
 = 0,2 = 20%.
c) Observe que na caixa temos 3 bolas com números pares e múlti­
plos de 5.
 Assim, a probabilidade de o número da bola retirada ser par ou 
múltiplo de 5 é igual a: 
15
30
 + 
6
30
 – 
3
30
 = 
18
30
 = 
3
5
 = 0,6 = 60%.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
281
6. Observe os diagramas a seguir:
112 ­ 22 = 90
A B Nenhuma
22 77 ­ 22 = 55 83
a) A probabilidade de ele ser leitor de apenas uma das revistas é 
 
90 + 55
250
 = 
145
250
 = 
29
50
.
b) A probabilidade de ele não ler qualquer uma das revistas é 
83
250
.
c) A probabilidade de ele ser leitor da revista A ou da revista B é 
 
90 + 22 + 55
250
 = 
167
250
.
7. O total de alunos é igual a 845 + 590 + 410 + 335 + 855 + 465 = 3 500.
 Sendo p(M ou B) a probabilidade do aluno ser do sexo masculino ou 
da área biológica, temos:
 p(M ou B) = 
845 + 590 + 410
3500
 + 
590 + 855
3500
 – 
590
3500
 = 
2700
3500
 = 
27
35
.
8.
a) Sendo p(V1 e V2) a probabilidade de a primeira bola retirada ser 
verde e a segunda também, temos:
 p(V1 e V2) = 
5
10
 . 
4
9
 = 
2
9
.
b) Sendo p(P1 e A2) a probabilidade de a primeira bola retirada ser 
preta e a segunda azul, temos:
 p(P1 e A2) = 
3
10
 . 
2
9
 = 
1
15
.
c) As duas bolas podem ser verdes, pretas ou azuis. Assim, temos:
 p(V1 e V2) + p(P1 e P2) + p(A1 e A2) = 
5
10
 . 
4
9
 + 
3
10
 . 
2
9
 + 
2
10
 . 
1
9
 = 
28
90
 = 
14
45
.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
282
Probabilidades
9.
a) Sendo p(D1 e D2 e D3) a probabilidade de que as três peças sejam 
defeituosas, temos:
 p(D1 e D2 e D3) = 
5
20
 . 
4
19
 . 
3
18
 = 
1
114
b) Podemos, inicialmente, calcular a probabilidade de que nenhuma 
peça seja defeituosa.
 Sendo p(D1 e D2 e D3) a probabilidade de que nenhuma peça seja 
defeituosa, temos:
 p(D1 e D2 e D3) = 
15
20
 . 
14
19
 . 
13
18
 = 
91
228
 Assim, a probabilidade de que pelo menos uma das peças seja de­
feituosa é igual a:
 P = 1 – 
91
228
 = 
137
228
c) Sendo p(1D e 2D) a probabilidade de que uma peça seja defeituo­
sa e duas peças sejam perfeitas, temos:
 p(1D e 2D) = 
5
20
 . 
15
19
 . 
14
18
 . 3 = 
35
76
10. Para que Lucas vença a partida, deverá obter em seu dado um número 
maior do que ou igual ao número do dado de João. Logo, sendo p(LV) 
a probabilidade de Lucas vencer o jogo, temos:
 p(LV) = 
1
6
 . 
6
6
 + 
1
6
 . 
5
6
 + 
1
6
 . 
4
6
 + 
1
6
 . 
3
6
 + 
1
6
 . 
2
6
 + 
1
6
 . 
1
6
 = 
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
36
 = 
21
36
11. O espaço amostral do experimento é o conjunto {1; 3; 5}, pois sabemos 
que o número da face voltada para cima é ímpar. Logo, em uma única 
tentativa, a probabilidade de que Bruno ganhe os R$10,00 é 
1
3
.
 A partir da informação de que o resultado é ímpar, a escolha deve re­
cair entre um de três números (1, 3 ou 5). Por isso, a probabilidade 
inicial igual a 1/6 passa a ser 1/3 com a informação de que o número é 
ímpar.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Probabilidades
283
12.
a) A probabilidade de ser do sexo masculino e ter a intenção de votar 
no candidato A é igual a:
 P = 
120
500
 = 
6
25
b) A probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo que tem a in­
tenção de votar no candidato A é igual a:
 
P = 
135
255
 = 
9
17
c) A probabilidade de ter a intenção de votar no candidato B, saben­
do que é do sexo masculino é igual a:
 
P = 
150
293
13. O número de maneiras de escolher as 4 vezes que um número primo 
irá aparecer é C4 10 = 210. A probabilidade de que o número da face 
voltada para cima seja primo é igual a:
 P (primo) = 
3
6
 = 
1
2
 Consequentemente, a probabilidade de que o número não seja primo 
também é igual a:
 P (não primo) = 
1
2
 Portanto, a probabilidade de obtermos um número primo exatamente 
4 vezes é igual a:
 P (4 vezes) = C4 10 . 
1
2
 . 
1
2
 = 210 . 
1
2
 = 210 . 
1
1024
 = 
210
1024
 = 
105
512
14. A probabilidade de o atirador acertar o alvo exatamente 3 vezes é igual 
a:
 P (3 vezes) = C3 5 . (0,8)3 . (0,2)2 = 10 . 
4
5
 . 
1
5
 = 10 . 
64
125
 . 
1
25
 = 
640
3125
4 6 10
3 2
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.videoaulasonline.com.br