Integrais resolvidas

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Integrais - Parte 2 - Cálculo 1
Exercícios:
1. Calcular as integrais abaixo (imediatas):
(푎)
∫
sec2푥d푥 = tg푥+ 퐶.
(푏)
∫
tg2푥d푥.
Como tg2푥+ 1 = sec2푥 temos:
tg2푥 = sec2푥− 1 ⇒ ∫ tg2푥d푥 = ∫ (sec2푥− 1)d푥 ⇒ ∫ sec2푥d푥− ∫ 1d푥 = tg푥− 푥+ 퐶
(푐)
∫
3 d푥 = 3
∫
d푥 = 3푥+ 퐶.
(푑)
∫
푥5 d푥 =
푥6
6
+ 퐶.
(푒)
∫ √
푥 d푥 =
∫
푥
1
2 d푥 =
푥
3
2
3
2
+ 퐶 =
2
3
푥
3
2 + 퐶.
(푓)
∫
5
√
푥4 d푥 =
∫
푥
4
5 d푥 =
푥
9
5
9
5
+ 퐶 =
5
9
푥
9
5 + 퐶 =
5
9
5
√
푥9 + 퐶 =
5
9
푥
5
√
푥4 + 퐶 =
5푥
5
√
푥4
9
+ 퐶.
(푔)
∫
푥−4 d푥 =
푥−3
−3 + 퐶 = −
1
3푥3
+ 퐶 = −1
3
푥−3 + 퐶.
(ℎ)
∫
1
푥3
d푥 =
∫
푥−3 d푥 =
푥−2
−2 + 퐶 = −
1
2푥2
+ 퐶.
(푖)
∫
3− 2푥+ 5푥2 − 7푥3
푥2
d푥 =
∫ (
3
1
푥2
− 2 푥
푥2
+ 5
푥2
푥2
− 7 푥
3
푥2
)
d푥 =
∫ (
3푥−2 − 2푥−1 + 5− 7푥)d푥 =
=
∫ (
3푥−2 − 2푥−1 + 5− 7푥) d푥 = 3 푥−1−1 − 2 ln푥+ 5푥− 7 푥22 + 퐶 = − 3푥 − 2 ln푥+ 5푥− 7푥22 + 퐶.
(푗)
∫ (
1
푥
+
1
푥3
)
d푥 =
∫
1
푥
d푥+
∫
푥−3d푥 = ln푥+
푥−2
−2 + 퐶 = ln푥−
1
2푥2
+ 퐶.
(푘)
∫ (
3푥5 − 3
푥
)
d푥 = 3
∫
푥5d푥− 3
∫
1
푥
d푥 = 3
푥6
6
− 3 ln푥+ 퐶 = 푥
6
2
− 3 ln푥+ 퐶.
(푙)
∫
푥+ 1
푥
d푥 =
∫ (
푥
푥
+
1
푥
)
d푥 =
∫ (
1 +
1
푥
)
d푥 =
∫
d푥+
∫
1
푥
d푥 = 푥+ ln푥+ 퐶.
(푚)
∫ (
푒푥 − 7 ) d푥 = ∫ 푒푥d푥− 7∫ d푥 = 푒푥 − 7푥+ 퐶.
(푛)
∫ (
4푥5−3푥2+2푥−3 )d푥 = ∫ 4푥5d푥−∫ 3푥2d푥+∫ 2푥d푥−∫ 3d푥 = 4 ∫ 푥5d푥−3∫ 푥2d푥+2∫ 푥d푥−3∫ d푥 =
= 4
푥6
6
− 3 푥
3
3
+ 2
푥2
2
− 3푥+ 퐶 = 2 푥
6
3
− 푥3 + 푥2 − 3푥+ 퐶 = 2
3
푥6 − 푥3 + 푥2 − 3푥+ 퐶.
(표)
∫
cos푥+ sen푥d푥 =
∫
(cos푥+ sen푥)d푥 =
∫
cos푥d푥+
∫
sen푥d푥 = sen푥− cos푥+ 퐶.
2. Calcular as integrais abaixo (substituição1):
(푎)
∫
cos(2푥) d푥.
Chamando 2푥 = 푡 temos: 2d푥 = d푡 → d푥 = 12 d푡, assim:∫
cos(2푥) d푥 =
∫
cos(푡)
1
2
d푡 =
1
2
∫
cos(푡)d푡 =
1
2
sen(푡) + 퐶 =
1
2
sen(2푥) + 퐶.
(푏)
∫
푒−푥 d푥.
Chamando −푥 = 푡 temos: −d푥 = d푡 → d푥 = −d푡, assim:∫
푒−푥 d푥 =
∫
푒푡(−d푡) = −
∫
푒푡d푡 = −푒푡 + 퐶 = −푒−푥 + 퐶.
(푐)
∫
(2푥+ 10)11 d푥
Chamando 2푥+ 10 = 푡 temos: 2d푥 = d푡 → d푥 = 12 d푡, assim:∫
(2푥+ 10)11 d푥 =
∫
(푡)11
1
2
d푡 =
1
2
푡12
12
+ 퐶 =
(2푥+ 10)12
24
+ 퐶
(푑)
∫
2푥푒5푥
2
d푥.
Chamando 5푥2 = 푡 temos: 10푥d푥 = d푡 → 푥d푥 = 110 d푡, assim:∫
2푥푒5푥
2
d푥 =
∫
2푒5푥
2 ⋅ 푥d푥 =
∫
2푒푡
1
10
d푡 =
2
10
∫
푒푡d푡 =
1
5
푒푡 + 퐶 =
1
5
푒5푥
2
+ 퐶.
(푒)
∫ −sen푥+ 3푥2
cos푥+ 푥3
d푥.
Chamando (cos푥+ 푥3) = 푡 temos: (−sen푥+ 3푥2)d푥 = d푡, assim:∫ −sen푥+ 3푥2
cos푥+ 푥3
d푥 =
∫
1
cos푥+ 푥3
(−sen푥+ 3푥2)d푥 =
∫
1
푡
d푡 = ln(푡) + 퐶 = ln(cos푥+ 푥3) + 퐶.
(푓)
∫
5√
2푥− 8 d푥.
Chamando 2푥− 8 = 푡 temos: 2d푥 = d푡 → d푥 = 12 d푡, assim:∫
5√
2푥− 8 d푥 = 5
∫
1√
2푥− 8 d푥 = 5
∫
1√
푡
1
2
d푡 =
5
2
∫
푡−
1
2 d푡 =
5
2
푡
1
2
1
2
+ 퐶 =
5
2
2푡
1
2 + 퐶 = 5푡
1
2 + 퐶 =
= 5(2푥− 8) 12 + 퐶 = 5√ 2푥− 8 + 퐶.
(푔)
∫
sen(−4푡)d푡.
Chamando −4푡 = 푥 temos: −4d푡 = d푥 → d푡 = − 14 d푥, assim:∫
sen(−4푡) d푡 =
∫
sen(푥)
(
− 1
4
d푥
)
= − 1
4
∫
sen(푥)d푥 = − 1
4
(− cos(푥) ) + 퐶 = 1
4
cos푥+ 퐶 =
1
4
cos(−4푡) + 퐶.
(ℎ)
∫
cos
√
3푡 d푡.
Chamando
√
3 푡 = 푥 temos:
√
3d푡 = d푥 → d푡 = 1√
3
d푥, assim:∫
cos
√
3푡d푡 =
∫
cos(푥)
1√
3
d푥 =
1√
3
sen푥+ 퐶 =
1√
3
sen(
√
3 ⋅ 푡) + 퐶.
(푖)
∫
푎d푥 = 푎
∫
d푥 = 푎푥+ 퐶.
(푗)
∫ (
푥+
4
7
cos(3푥)
)
d푥 =
∫
푥d푥+
4
7
∫
cos(3푥)d푥 =
푥2
2
+
4
7
∗︷ ︸︸ ︷
1
3
sen(3푥)+퐶 =
푥2
2
+
4
21
sen(3푥) + 퐶.∫
cos(3푥)d푥 chamando 3푥 = 푡 temos: 3 d푥 = d푡 ⇒ d푥 = 13 d푡, assim:∫
cos(3푥)d푥 =
∫
cos(푡)
1
3
d푡 =
1
3
∫
cos(푡) d푡 =
1
3
sen (푡) + 퐶 =
1
3
sen (3푥) + 퐶.
(푘)
∫
푒−푥 d푥 = −푒−푥 + 퐶 (já feito!).
(푙)
∫
sen(2푥)
cos푥
d푥. Se eu "arrumar" o 2푥 eu "desarrumo" o 푥 !.
Portanto aqui o indicado é usar uma identidade trigonométrica:
sen (푎+ 푏) = sen푎+ cos 푏+ sen푏 cos 푎, usando a identidade para 푎 = 푥 e 푏 = 푥, temos:
sen (푥+ 푥) = sen푥 cos푥+ sen푥 cos푥 ⇒ sen(2푥) = 2 sen푥 cos푥, assim:∫
sen(2푥)
cos푥
d푥 =
∫
2 sen푥 cos푥
cos푥
d푥 = 2
∫
sen푥d푥 = −2 cos푥+ 퐶.
(푚)
∫
( 5 + cos 3푥 )2 d푥.
Aqui, não adianta chamar (5 + cos 3푥) de 푡! Vamos então executar a conta: elevar ao quadrado!
( 5 + cos 3푥 )2 = 25 + 10 cos(3푥) + cos2(3푥)∫
( 5 + cos 3푥 )2 d푥 =
∫
[ 25 + 10 cos(3푥) + cos2(3푥) ] d푥 = 25
∫
d푥+ 10
∫
cos(3푥)d푥+
∫
cos2(3푥)d푥 =
= 25푥+
∗︷ ︸︸ ︷
10
3
sen(3푥)+
∗∗︷ ︸︸ ︷
1
2
푥+
1
12
sen(6푥)+퐶.
∗: Ver letra (푗).
∗∗: Sabemos que:
{
sen2 푥+ cos2 푥 = 1
cos(2푥) = cos2 푥− sen2푥 ⇒
{
cos2 푥+ sen2 푥 = 1
cos2 푥− sen2푥 = cos(2푥) .
Somando, temos: 2 cos2 푥 = 1 + cos(2푥) ⇒ cos2 푥 = 1
2
+
1
2
cos(2푥) ⇒
⇒
∫
cos2 푥d푥 =
∫ (
1
2
+
1
2
cos(2푥)
)
d푥 =
1
2
푥+
1
4
sen(2푥) + 퐶.
Assim:
∫
cos2(3푥)d푥 =
∫
cos2(푡)d푡 =
∫ (
1
2
+
1
2
cos(2푡)
)
d푡 =
1
2
푡+
1
4
sen(2푡) + 퐶1 =
=
1
3
{
1
2
(3푥) +
1
4
sen
[
2(3푥)
]
+ 퐶1
}
=
1
6
(3푥) +
1
12
sen(6푥) +
퐶1
3
=
∗∗︷ ︸︸ ︷
1
2
푥+
1
12
sen(6푥)+퐶.
(푛)
∫
3푥 d푥 =
∫
푒ln 3
푥
d푥 =
∫
푒푥⋅ln 3 d푥
Chamando 푥 ⋅ ln 3 = 푡 ⇒ ln 3d푥 = d푡 ⇒ d푥 = 1ln 3 d푡, temos:∫
3푥 d푥 =
∫
푒푥⋅ln 3 d푥 =
∫
1
ln 3
푒푡 d푡 =
1
ln 3
푒푡 + 퐶 =
1
ln 3
푒푥⋅ln 3 + 퐶 =
1
ln 3
푒ln 3
푥
+ 퐶 =
1
ln 3
3푥 + 퐶 =
3푥
ln 3
+ 퐶
(표)
∫
5√
1− 9푥2 d푥 = 5
∫
1√
1− (3푥)2 d푥.
Chamando 3푥 = 푡 ⇒ 3d푥 = 1d푡 ⇒ d푥 = 13 d푡, temos:∫
5√
1− 9푥2 d푥 = 5
∫
1√
1− (3푥)2 d푥 = 5
∫
1
3
1√
1− 푡2 d푡 =
5
3
arcsen 푡+ 퐶 =
5
3
arcsen(3푥) + 퐶.
(푝)
∫
푥 cos푥2 d푥.
Chamando 푥2 = 푡 ⇒ 2푥d푥 = d푡 ⇒ 푥d푥 = 12 d푡, temos:∫
푥 cos푥2 d푥 =
∫
cos푥2 ⋅ 푥 d푥 =
∫
cos 푡
1
2
d푡 =
1
2
∫
cos 푡d푡 =
1
2
sen푡+ 퐶 =
1
2
sen(푥2) + 퐶.
(푞)
∫
푥2
√
푥+ 1 d푥.
Chamando: 푥+ 1 = 푡 ⇒ d푥 = d푡, temos:∫
푥2
√
푥+ 1 d푥 =
∫
푥2
√
푡 d푡.
Mas, não pode "sobrar" 푥 na "nova" integral. Assim, vamos trocar: 푥+ 1 = 푡 ⇒ 푥 = (푡− 1), ou seja:∫
푥2
√
푥+ 1 d푥 =
∫
(푡− 1)2√ 푡 d푡 =
∫
(푡2− 2푡+1) ⋅ 푡 12 d푡 ==
∫ (
푡2 ⋅ 푡 12 − 2푡 ⋅ 푡 12 +1 ⋅ 푡 12 )d푡 = ∫ (푡 52 −2 ⋅ 푡 32 + 푡 12 ) d푡 =
=
푡
7
2
7
2
−2 푡
5
2
5
2
+
푡
3
2
3
2
+퐶 =
2
7
푡
7
2 +2
2
5
푡
5
2 +
2
3
푡
3
2 +퐶 =
2
7
푡
7
2 − 4
5
푡
5
2 +
2
3
푡
3
2 +퐶 =
2
7
(푥+1)
7
2 − 4
5
(푥+1)
5
2 +
2
3
(푥+1)
3
2 +퐶.
Sendo elegante e voltando para notação de raiz:∫
푥2
√
푥+ 1 d푥 =
2
7
√
(푥+ 1)7 − 4
5
√
(푥+ 1)5 +
2
3
√
(푥+ 1)3 + 퐶.
(푟)
∫
푥3
√
1 + 푥2 d푥.
Chamando 1 + 푥2 = 푡 ⇒ 2푥 d푥 = d푡 ⇒ 푥d푥 = 12 d푡, e 푥2 = 푡− 1 temos:∫
푥3
√
1 + 푥2 d푥 =
∫
푥2
√
1 + 푥2 ⋅ 푥d푥 =
∫
(푡− 1)√ 푡 1
2
d푡 =
1
2
∫
(푡− 1) 푡 12 d푡 = 1
2
∫
(푡 ⋅ 푡 12 − 1 ⋅ 푡 12 )d푡 =
=
1
2
∫
(푡
3
2 − 푡 12 ) d푡 = 1
2
푡
5
2
5
2
− 푡
3
2
3
2
)
+퐶 =
1
2
(
2
5
푡
5
2 − 2
3
푡
3
2
)
+퐶 =
1
5
푡
5
2 − 1
3
푡
3
2 +퐶 =
1
5
(1+푥2)
5
2 − 1
3
(1+푥2)
3
2 +퐶
Sendo elegante e voltando para notação de raiz, temos:∫
푥3
√
1 + 푥2 d푥 =
1
5
√
(1 + 푥2)5 − 1
3
√
(1 + 푥2)3 + 퐶.