F229 Tubo de venturi II

Prévia do material em texto

Carlos Salomé - 950279 
Frederico Guth - 950706 
Renato Werneck - 951406 
Física Experimental II 
11 de outubro de 1995 
Prof.: Munemasa Machida 
 
Preparação do Experimento 10 
Tubo de Venturi 
1 - Fenômeno 
 Um tubo de secção A (região 1 
- ver figura I), tem um estreitamento 
com secção a (região 2) e um 
manômetro entre as duas regiões do 
tubo. 
 Quando há escoamento de um 
fluido pelo tubo a diferença de pressão 
medida pelo manômetro permite 
calcular a velocidade de escoamento do 
fluido. 
2 - Objetivos 
 O experimento realizado tem por objetivos: 
a. com base no modelo da equação de Bernoulli, obter uma relação entre a 
velocidade de escoamento do fluido e a diferença de pressão no manômetro; 
b. usando o tubo de Venturi, medir a vazão do fluido, obter a velocidade de 
escoamento e verificar o modelo de Bernoulli. 
3 - Modelo teórico 
3.1 - A equação de Bernoulli 
 Seja um fluido ideal (não-viscoso e 
incompressível) como o esquematizado na figura ao 
lado, que se move de seu estado inicial (a) para o final 
(b), percorrendo uma distância horizontal L e 
movendo-se do nível y1 para y2 com uma vazão 
estacionária. 
 Pelo teorema do trabalho-energia, o trabalho 
(W) da força resultante sobre o sistema é igual à 
variação de sua energia cinética K: 
 
W=K (I) 
 
 O valor de K, em cada ponto, é dado por 
½mv2. Logo, sendo v1 a velocidade do fluido 
marcado ao entrar no tubo, v2 sua velocidade ao sair,  sua densidade e V seu 
volume, teremos: 
 
 
 
K = ½mv22  ½mv12 = ½V( v22  v12) (II) 
 
 O valor de W é a soma do trabalho exercido pelo peso do fluido (Wg) com o 
trabalho que impulsiona o fluido (Wp), exercido na extremidade de entrada: 
 
W=Wg+Wp 
W=[mg(y2y1)] + [Fx] =[mg(y2y1)]+[p(Ax)] 
W=[Vg(y2y1)]+[(p1-p2)V] (III) 
 
 F é a força exercida num elemento V do fluido, que o desloca x de sua 
posição, p1 é a pressão na entrada do tubo, p2 é a pressão na saída e p é a diferença 
de pressão (p1  p2). 
 Reescrevendo a equação I usando as equações II e III, obtemos: 
 
½V( v22  v12) =[Vg(y2y1)]+[(p1-p2)V] 
 
p1+½v12+gy1=p2+½v22+gy2 (equação de Bernoulli) 
 
 A equação de Bernoulli, portanto, mostra que a soma p+½v2+gy é 
constante para um fluido ideal que escoa num tubo com vazão estacionária. 
3.2 - Equação de continuidade 
 A figura ao lado mostra um tubo de 
escoamento definido pelas linhas de corrente de 
um fluido ideal em escoamento estacionário. Num 
certo intervalo de tempo t, determinada 
quantidade do fluido passa com velocidade v1 
pelo ponto P do tubo, onde sua secção tem área 
A1. O volume dessa quantidade de fluido é: 
 
V=v1tA1 
 
 Um fluido ideal é incompressível. Portanto, em um escoamento estacionário, se 
em um intervalo de tempo t passou por P um volume V, o mesmo volume deverá 
passar por Q no mesmo intervalo de tempo. Portanto, podemos escrever: 
 
V=v2tA2 
 
 Dessas duas equações, chegamos à seguinte conclusão: 
 
v1A1=v2A2 (Equação de Continuidade) 
 
 Em palavras, a Equação de Continuidade informa que o produto vA, que é 
denominado vazão volumar (Z), mantém-se constante em um fluido ideal contido em 
um tubo de escoamento. 
 
Figura III 
3.3 - Relação entre a velocidade do fluido e a diferença de pressão no tubo 
 O tubo de Venturi, esquematizado na figura I, é usado, em conjunto com o 
manômetro esquematizado, para que se determine a velocidade de escoamento do 
líquido em um tubo (regiões 1 e 2). Pela equação de Bernoulli, temos: 
 
p1+½v12+gy1=p2+½v22+gy2 
 
 Como as regiões 1 e 2 têm a mesma ordenada (y1=y2), a equação se reduz a: 
 
p1+½v12 =p2+½v22 
p =½(v22v12) (IV) 
 
 Da equação de continuidade, sabemos que: 
Av1=av2   v v A a2 1 (V) 
(a é a área da secção transversal do tubo em 2 e A é a área correspondente em 1) 
 Da equação anterior, observamos que, no tubo de Venturi, v2 > v1, o que 
implica, pela equação de Bernoulli aplicada a escoamentos horizontais, que p2 < p1. 
 Reescrevendo a equação IV substituindo o valor de v2, obtemos: 
     

 p v A a v v
p
A
a
v p a
A a
    



 

 
 
 
 
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2 2

 
 (VI) 
 Dessa relação surge diretamente a expressão que relaciona o valor da 
velocidade (v) do fluido num tubo horizontal (nas regiões onde não há estreitamento) 
com a diferença de pressão p obtida no manômetro: 
 
 
v a
A a
p 
 

2 2
2 2
 
 Observa-se, dessa equação, que a velocidade de escoamento no tubo é 
proporcional à raiz quadrada de p. 
3.5 - O número de Reynolds 
 As equações demonstradas nos itens 3.1 a 3.3 o foram para o caso de fluidos 
ideais. Sua aplicabilidade para fluidos reais é, portanto, limitada àquelas situações em 
que tais fluidos aproximam-se razoavelmente de fluidos ideais. 
 Essa aproximação ocorre quando o escoamento é lamelar, ou seja, não-
turbulento (nesse último caso, surgem no seio do fluido, ao acaso, correntes circulares 
locais que invalidam o modelo teórico apresentado). 
 A experiência mostra que a distinção entre um escoamento lamelar ou 
turbulento pode ser feita pelo número de Reynolds (NR), definido a seguir para um 
fluido que escoa num tubo: 
N v DR 
 

 
 Nessa equação,  é o coeficiente de viscosidade do fluido,  sua densidade, v 
sua velocidade e D é o diâmetro do tubo. 
 Para NR>3000, o escoamento é turbulento; se for menor que 2000, o 
escoamento é lamelar; a faixa de 2000 a 3000 é uma faixa de transição em que o 
escoamento é instável, podendo mudar de um tipo para outro. 
4 - Procedimentos experimentais 
4.1 - Material utilizado 
 um tubo de vidro (tubo de Venturi) ao qual se liga um manômetro de mercúrio; 
 um tubo maleável; 
 papel milimetrado; 
 béqueres de capacidades variáveis; 
 um balde; 
 instrumentos de medida: termômetro, paquímetro e cronômetro. 
4.2 - Montagem e procedimentos 
 O tubo maleável deve ter uma de suas extremidades ligada a uma torneira e a 
outra ao tubo de vidro. Deve-se cuidar para que não haja vazamento em nenhuma das 
ligações. Sob a outra extremidade do tubo deve ser colocado um balde de volume 
razoavelmente grande para recolher a água que sai. 
 Devem-se medir, inicialmente, os raios internos do tubo nas regiões 1 (R) e 2 
(r), conforme esquematizadas na figura I. Isso deve ser feito medindo-se o diâmetro 
interno do tubo com um paquímetro e dividindo-se seu valor por 2. 
 Se em alguma das regiões não for possível medir diretamente o raio interno, 
mede-se o diâmetro externo (D), subtrai-se dele o dobro da espessura (e) do vidro e 
divide-se o resultado por 2, pois raio=(diâmetro2espessura)/2. Deve-se medir 
também o desnível (d) existente entre as duas extremidades superiores do tubo em U 
que funciona como manômetro. 
 Devem ser medidas, também, as massas dos béqueres disponíveis por meio do 
uso de uma balança de precisão. Deve-se atentar para o fato de que eles devem estar 
limpos e secos, a fim de que a medida obtida seja a mais exata possível. 
 Feitas estas medidas iniciais, passa-se às medidas de grandezas dinâmicas, ou 
seja, que permitem que se determine a vazão volumar do fluido. 
 Para isso, abre-se a torneira para que se forme um fluxo contínuo de água no 
tubo. Mede-se o desnível (h) existente entre os níveis de mercúrio no tubo em U. Isso 
pode ser feito usando um papel milimetrado colocado atrás do referido tubo. 
 É importante notar que se deve evitar uma vazão muito grande, pois isso 
poderia provocar uma excessiva diferença de pressão no manômetro, o que causaria 
derramamento de mercúrio. 
 Deve-se, ainda, fazer outra medição. Quando o fluxo de água já for contínuo 
no tubo, ou seja,quando já houver escoamento estacionário, começa-se a recolher a 
água num béquer (aciona-se o cronômetro neste momento). Aguardam-se alguns 
segundos até que, simultaneamente, pára-se o cronômetro e retira-se o béquer do fluxo 
da água. Anota-se o intervalo de tempo t decorrido e mede-se a massa do conjunto 
formado pelo béquer e pela água que ele contém. Subtraindo-se desse valor a massa do 
béquer, obtemos m, que é a massa da água. 
 Para que haja uma análise estatística mais completa do fenômeno, as medições 
acima devem ser feitas mais de uma vez para uma mesma vazão (2 ou 3, pelo menos) e 
devem ser feitas para vazões diferentes (no mínimo, 4 ou 5). 
5 - Tratamento 
 Deve-se verificar experimentalmente a validade da equação de Bernoulli. Para 
isso, a vazão volumar do fluido em cada configuração será determinada de duas 
diferentes formas, uma que depende da equação de Bernoulli (Z1) e outra que deriva 
diretamente da definição de vazão volumar (Z2). 
 Evidentemente, se o modelo teórico estiver correto, devemos ter Z1=Z2 para 
cada configuração estudada. Logo, fazendo um gráfico de Z1 x Z2, esperamos obter 
uma reta que passa pela origem e tem coeficiente angular igual a 1. 
 Nos itens que se seguem, mostra-se como obter os valores de Z1 e Z2 a partir 
dos dados experimentais e, em seguida, detalham-se os procedimentos de elaboração 
do gráfico. 
5.1 - Determinação da vazão volumar (Z1) a partir da equação de Bernoulli 
 A partir da equação VI, podemos obter o valor da vazão volumar do líquido: 
     
v a p
A a
v A A a p
A a
Z a A p
A a

 
 
   
 
 
 
  
 
2 2 22
2 2
2
2 2 1
2 2
2 2
  
  
(VII) 
 A diferença de pressão entre as regiões 1 e 2 pode ser expressa em termos dos 
valores experimentalmente obtidos. De acordo com a figura I, observamos que: 
 
p1+gL1=p2+gL2+Hggh 
 
p=g[(L2-L1)+ Hgh] 
 
 Da figura I, vemos que h+L2d=L1, o que implica que L2 L1=dh. Portanto, 
 
p=g[(dh)+ Hgh]=g[h(Hg)+d] (IX) 
 
 A partir daí, podemos obter uma expressão que fornece o valor da vazão 
volumar do líquido em função das grandezas medidas experimentalmente: 
 
 
   
Z
a A g h d
A a
a A g h d
A a
Hg
Hg
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 1

       
 

     











( )  



 (X) 
5.2 - Determinação da vazão volumar (Z2) pela definição 
 Para cada medição feita, sabe-se qual a massa (m) de água que sai do tubo 
em certo intervalo de tempo (t). Da definição de vazão volumar, temos que, para 
uma vazão constante: 
Z V
t
m
t2
 





(XI) 
 
5.3 - Determinação das grandezas envolvidas nas equações de Z1 e Z2 
 Os valores de Z1 e Z2 dependem de valores que variam de acordo com a 
configuração e de valores que permanecem constantes durante todo o experimento. 
 Os que variam de acordo com a configuração são m, t e h, medidos 
conforme mostrado no item 4.2. 
 As constantes da experiência são as seguintes: 
a.  (densidade da água): tem seu valor tabelado; basta apenas que se saiba qual a 
temperatura da água, que pode ser medida diretamente com um termômetro imerso 
na água; 
b. a (área da secção transversal do estreitamento do tubo): determinada a partir do 
valor de r (obtido conforme mostrado no item 4.2): a=r2. 
c. A (área da secção transversal das demais partes do tubo): determinado a partir do 
valor de R (obtido conforme mostrado no item 4.2): A=R2. 
d. Hg (densidade do mercúrio): tem seu valor tabelado; basta que se saiba o valor de 
sua temperatura (o mesmo do item a); 
e. g (aceleração da gravidade local): tem seu valor previamente determinado em 
experiências específicas com esse fim. 
f. d (desnível entre as extremidades do tubo em U): medido diretamente, conforme 
exposto em 4.2; 
g.  (coeficiente de viscosidade da água): tem seu valor tabelado, dependendo apenas 
da temperatura. 
5.4 - Gráfico 
 Para cada configuração analisada, ou seja, para cada vazão estudada, obtêm-se 
experimentalmente os valores de m (massa de água recolhida no béquer), t (tempo 
necessário para recolher m) e h (desnível entre as extremidades da coluna de 
mercúrio no manômetro). 
 Esses valores devem ser organizados na forma de um tabela, que mostre, para 
cada configuração, o valor de h e todos os pares (t, m) analisados (2 ou 3, pelo 
menos, por configuração). Além disso, para cada trinca (h, t, m), devemos associar 
um valor para Z1 e Z2, além de um valor para a velocidade v=Z1 /A e o número de 
Reynolds associado. 
 Feita a tabela, basta que se faça o gráfico que mostra y=Z2 no eixo das 
ordenadas e x=Z1 no das abscissas. Espera-se que os pontos experimentais determinem 
uma reta, cujos coeficientes angular () e linear () podem ser determinados pelo 
método dos mínimos quadrados: 
 
 
 
   
 
 
 
N x y x y
N x x
i i i i
i i
2 2
 , sendo 
 

 

   
 

 
N y x
N x x
i i
i i
( )2
2 2
 
 
 
 
   
 
   
 
y x x x y
N x x
i i i i i
i i
2
2 2
 , sendo 
 

 

   
 
 
 
x y x
N x x
i i i
i i
2 2
2 2
( )
. 
 
Obs.: devem ser desconsideradas, no calculo dos mínimos quadrados, as configurações 
estudadas que tenham número de Reynolds maior que 2000, já que foi visto que o 
modelo teórico não se aplica a tais configurações. 
 
6 - Previsão 
 Espera-se uma temperatura de cerca de 25oC no momento de experiência, o 
que implica os seguintes valores: 
  = 9,97102 kg/m3; 
 Hg=1,35104 kg/m3; 
 =8,910-4 kgm-1s-1; 
 Sejam as seguintes as constantes do experimento: 
 g = 9,79 ms-2; 
 R = 5,010-3 m; 
 r = 3,010-3 m; 
 d = 2,010-3 m; 
 Supondo que se tenham obtido, para uma dada configuração, os seguintes 
valores: 
 m=0,24 kg; 
 t=7,0 s; 
 h=5,010-3 m; 
 
 Tais valores gerariam a seguinte linha da tabela proposta: 
 
Medida t (s) m (kg) h (mm) Z1 (m3/s) Z2 (m3/s) v (m/s) NR 
1 7,0 0,24 5,0 3,3910-5 3,4310-5 0,43 481,69