AP1 MEst I 2014 2 gabarito

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2014 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) Dado o diagrama de ramo-e-folhas para a evolução do preço de determinado 
produto em dois estados diferentes A e B (em valores inteiros): 
 
 Estado A Estado B 
 
 5 5 0 1 1 2 
 1 0 0 1 0 0 0 0 
 0 2 2 2 5 5 5 
 8 4 4 4 0 3 1 2 
 1 1 4 0 
 
a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples (absoluta e 
relativa) para cada estado A e B. 
b) (1,0 pt) Determine o preço médio deste produto nos dois estados. 
 
Solução: 
a) Para a construção da tabela, consideramos a contagem simples para as freqüências absolutas e 
a razão entre as freqüências absolutas pelos totais para as freqüências relativas. É fácil 
perceber que os preços variam de 05 a 41 para o estado A e de 01 a 40 para o estado B. Assim, 
obtemos: 
Estado 
A 
Freqüência Simples Estado 
B 
Freqüência Simples 
Absoluta Relativa Absoluta Relativa 
05 2 15,39 01 2 13,33 
10 2 15,39 02 1 6,67 
11 1 7,69 10 4 26,66 
20 1 7,69 22 2 13,33 
30 1 7,69 25 3 20,00 
34 3 23,07 31 1 6,67 
38 1 7,69 32 1 6,67 
41 2 15,39 40 1 6,67 
Total 13 100,00 Total 15 100,00 
 
b) A média é dada por: 
 
 
, para isso, completemos as tabelas com a coluna . 
 
A(xi) Freq. Abs (ni) nixi B (xi) Freq. Abs. (ni) nixi 
05 2 10 01 2 2 
10 2 20 02 1 2 
11 1 11 10 4 40 
20 1 20 22 2 44 
30 1 30 25 3 75 
34 3 102 31 1 31 
38 1 38 32 1 32 
41 2 82 40 1 40 
Total 13 313 Total 15 266 
 
Logo: 
Média A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Média B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (3,0 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências para dados agrupados (onde as 
medidas são obtidas através dos pontos médios das classes): 
 
Classes 
 
4 – 8 6 2 
8 – 12 10 
12 – 16 84 
 18 
 1 
Total 20 
 
a) (0,5 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os totais); 
b) (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
c) (0,5 pt) Determine a moda; 
d) (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que 
 
 
 
 ; 
e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
f) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 
 
Solução: 
a) Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma amplitude, logo, 
completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os pontos médios das classes, 
então, completa-se com (8+12)/2=10, (12+16)/2=14, (20+24)/2=22. Ou simplesmente, 
acrescentar 4 ao xi anterior, dado que a amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta, 
devemos observar que, tendo xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: 
 
 
 e 
observando o total, pode-se encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as colunas xi e ni 
podem-se completar as duas últimas facilmente através de produtos de colunas. Assim, obtemos: 
 
Classes 
 
4 – 8 6 2 12 72 
8 – 12 10 10 100 1.000 
12 – 16 14 6 84 1.176 
16 – 20 18 1 18 324 
20 – 24 22 1 22 484 
Total 20 236 3.056 
 
b) Média: 
 
 
 
 
 
 
c) Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior freqüência é 10 e 
a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu ponto médio, ou seja: x*=10. 
d) Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: O desvio padrão será: 
 
 
e) O coeficiente de assimetria é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) O coeficiente de variação é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (2,5 pontos) Dado o conjunto de dados referente a valores de mercado de ações de uma 
multinacional (em ordem crescente), determine a mediana, os quartis Q1 e Q3 e obtenha o Box-
plot. 
 
4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 
8 8 8 9 9 9 10 10 11 11 15 15 15 15 17 
18 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 25 30 30 30 
 
Solução: 
Como os dados estão em ordem crescente, basta verificar que temos um conjunto com 45 dados 
(impar), logo: 
Para o cálculo de e , consideremos os 23 primeiros e os 23 últimos respectivamente. 
Logo: e . 
O intervalo interquartílico é dado por: 
Para construir o Box-Plot, levemos em consideração o intervalo de . 
 
 
 
 
Como o limite inferior (LI) é menor que então na extremidade inferior do Box-plot teremos 
 
Como o limite superior (LS) é maior que então na extremidade superior do Box-plot 
teremos 
Com isso, não há dados discrepantes e o Box-plot fica assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
10 
20 
30 
4 
 
4. (2,5 pontos) Uma urna contém 4 bolas, das quais duas são brancas (numeradas 1 e 2) e duas são 
pretas (numeradas 3 e 4). Duas bolas são retiradas desta urna sem reposição e o seus números 
são verificados. Defina os seguintes eventos: 
 
 
 
 
 
a) (0,5 pt) Construa o espaço amostral deste experimento; 
b) (0,5 pt) Explicite o evento A; 
c) (0,5 pt) Explicite o evento B; 
d) (0,5 pt) Explicite o evento C; 
e) (0,5 pt) Explicite o evento D. 
 
Solução: 
 
a) O espaço amostral é o conjunto de todas as possibilidades de retiradas de duas bolas: 
 
 
 
b) Retirando-se a primeira bola branca, a segunda pode ser preta ou branca. Assim, do espaço 
amostral, selecionam-se as possibilidades começando por 1 e 2. 
 
 
 
c) Para considerar a segunda bola branca, deveremos considerar as situações que terminam 
em 1 e 2. 
 
 
d) Só há dois casos em que a as duas bolas retiradas são brancas: (1,2) e (2,1). Assim: 
 
 
 
e) De forma análoga, só há duas maneiras de se obterem ambas as bolas pretas: (3,4) e (4,3). 
Assim: