Lista de Algebra linear

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Centro de Tecnologia e Urbanismo
Curso de Graduação em Engenharia Civil
Disciplina: Álgebra Linear
Professor: Me. Victor Carvalho
Lista de Exercícios
1. Verifique se são espaços vetoriais, com a operação definida:
(a) {(x,2x,3x);x ∈R} com operações usuais;
(b) {(x,y) ∈R2;y = 5x} com operações usuais;
(c) R2, com as operações: (a,b) + (c,d) = (a,b) e α(a,b) = (αa,αb);
(d) R2, com as operações: (a,b) + (c,d) = (a+ c,b+ d) e α(a,b) = (αa,0);
(e) O espaço das matrizes de ordem 2 (M2) com as operações usuais.
(f) M2 com as operações
(
a1 b1
c1 d1
)
+
(
a2 b2
c2 d2
)
=
(
a1 + a2 b1 + b2
c1 + c2 d1 + c2
)
e α·
(
a b
c d
)
=
(
αa αb
c d
)
(g) O espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 (P2) cujo gráfico passam pelo ponto (0,0) com
as operações usuais.
2. Verifique se são subespaços vetoriais:
(a) S = {(x,y) ; y = −x};
(b) S = {(x,y) ; x+ 3y = 0};
(c) S = {(x,y) ; y = x2};
(d) S = {(x,y) ; y = x+ 1};
(e) S = {(x,x,y,y) ; x,y ∈R}.
3. Seja S = {(1,1), (2,2)} ⊂R2:
(a) Mostre que o vetor (−5,−5) é combinação linear dos vetores de S;
(b) Mostre que o vetor (1,0) não é combinação linear dos vectores S;
(c) S gera R2?
4. Considere em R3 o conjunto S = {(1,1,1), (0,1,1), (1,2,2)}:
(a) Mostre que o vector (2,3,3) é combinação linear dos vectores S;
(b) Mostre que o vector (0,0,1) não é combinação linear dos vectores S.
(c) O conjunto S gera R3?
5. Considere em P2(R) (espaço dos polinômios com grau ≤ 2) o conjunto S = {1 + t,1− t2}.
(a) Mostre que o vector t + t2 é combinação linear dos vectores de S;
(b) Mostre que o vector t não é combinação linear dos vectores de S;
(c) S gera P∈?
6. Decida quais dos seguintes conjuntos geram R3:
(a) {(1,1,0,0), (0,0,1,1), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,1,−1)}
(b) {(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0)};
7. Calcule o único valor de a que faz com que S = (1,1,1), (1,0,1), (0,2,0), (3,2, a) não seja um conjunto
gerador de R3.
8. Considere em R3 o conjunto S = (1,0,1), (0,1, a), (1,1,b), (1,1,1). Calcule o único par (a,b) ∈ R2 que faz
com que S não gere R3. .
9. Mostre que os seguintes conjuntos de vectores são linearmente dependentes:
1
(a) Em R3 :~v1 = (1,1,2) e ~v2 = (2,2,4);
(b) Em R3 : ~v1 = (1,1,1), ~v2 = (3,3,3), ~v3 = (0,1,1);
(c) Em R4: ~v1 = (0,1,0,1), ~v2 = (1,0,1,0), ~v3 = (2,3,2,3)
10. Verifique se os polinômios p1(t) = 1 + 2t + t2, p2(t) = 3 + t22, p3(t) = 5 + 4t − t2, P4(t) = −2 + 2t − t2 geram
P2(R).
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