Algebra Linear - Apol 1, 2 e 3

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Questão 1/10 - Álgebra Linear
De acordo com os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre sistemas de equações lineares, as matrizes A=(aij)∈M2×3A=(aij)∈M2×3 e B=(bij)∈M3×3B=(bij)∈M3×3  são definidas por aij=2i+3j−2 e bij={2i+j, se i=j2j−i, se i≠jaij=2i+3j−2 e bij={2i+j, se i=j2j−i, se i≠j. O produto AB é a matriz:
Nota: 10.0
	
	A
		[054120474156][054120474156]
Você acertou!
Construção das matrizes A e B.
A=[a11a12a13a21a22a23]=[3695811]A=[a11a12a13a21a22a23]=[3695811]  e B=⎡⎢⎣a11a12a13a21a22a23a31a22a33⎤⎥⎦=⎡⎢⎣335064−119⎤⎥⎦=[a11a12a13a21a22a23a31a22a33]=[335064−119].  O produto AB=[3695811][3695811]⎡⎢⎣335064−119⎤⎥⎦[335064−119]=[3695811][3695811]. 
(Livro-base p. 40-52)
	
	B
	⎡⎢⎣7294729284102⎤⎥⎦[7294729284102]
	
	C
	[72941207292156][72941207292156]
	
	D
	[05484472156][05484472156]
	
	E
	⎡⎢⎣7294729284102⎤⎥⎦[7294729284102]
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Observe a transformação linear T:R2→R3T:R2→R3, onde  T(x,y)=(x,y,x−y)T(x,y)=(x,y,x−y), sendo u= (1, 3) e v =(-2, -1).
De acordo com a transformação linear dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine T(u) e T(v).T(u) e T(v).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−1)T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−1)
Você acertou!
T(1,3)=(1,3,1−3)=(1,3,−2)T(−2,−1)=(−2,−1,−2+1)=(−2,−1,−1).T(1,3)=(1,3,1−3)=(1,3,−2)T(−2,−1)=(−2,−1,−2+1)=(−2,−1,−1).
(Livro-base p. 119-122)
	
	B
	T(u)=(1,−3,−2) e T(v)=(−2,1,−1)T(u)=(1,−3,−2) e T(v)=(−2,1,−1)
	
	C
	T(u)=(1,3,2) e T(v)=(−2,−1,1)T(u)=(1,3,2) e T(v)=(−2,−1,1)
	
	D
	T(u) = (1,3,-2) \ e \ T(v) = (-2, -1, 1)
	
	E
	T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−3)T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−3)
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Na fabricação de três misturas de bolos, sabores chocolate, canela e baunilha, são usados três ingredientes: farinha de trigo, leite em pó e gordura vegetal. A quantidade de ingredientes para cada mistura, isto é, para cada embalagem, é dada pela tabela: 
ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524
O número de misturas produzidas, de cada sabor, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:
MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, sobre produto de matrizes, assinale a alternativa que apresenta o total de cada ingrediente usado nos meses de maio e junho:
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣640000161000204000560005440029600⎤⎥⎦[640000161000204000560005440029600]
	
	B
	⎡⎢⎣53000062100014000580003440026000⎤⎥⎦[53000062100014000580003440026000]
	
	C
	⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600]
Você acertou!
O problema se resume na multiplicação de matrizes:
⎡⎢⎣230250240605040302524⎤⎥⎦[230250240605040302524].⎡⎢⎣1000500400200600400⎤⎥⎦[1000500400200600400] = ⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600] 
(Livro-base p. 36-39).
	
	D
	⎡⎢⎣2300001250000240005100001800010000⎤⎥⎦[2300001250000240005100001800010000]
	
	E
	⎡⎢⎣640000305000541000560001240039600⎤⎥⎦[640000305000541000560001240039600]
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3). 
De acordo com os vetores dados acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que descreve o vetor uu como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:v1, v2 e v3:
Nota: 10.0
	
	A
	u=v1−2v2+3v3u=v1−2v2+3v3.
	
	B
	u=2v1−v2+4v3.u=2v1−v2+4v3.
Você acertou!
Queremos encontrar α,β,γ∈Rα,β,γ∈R tais que u=αv1+βv2+γv3u=αv1+βv2+γv3, isto é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹⎧⎨⎩α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.(−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹{α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.Resolvendo o sistema linear anterior, obtemos α=2, β=−1 e γ=4.α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3u=2v1−v2+4v3    (livro-base p. 89-93).
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3.u=−2v1+v2+4v3.
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3.u=10v1−7v2+4v3.
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.u=2v1−v2−4v3.
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 uma transformação linear, definida por T(x,y)=(x−2y,x).T(x,y)=(x−2y,x).  
De acordo com a transformação linear dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz de transformação, considerando a base canônica de R2,R2, {e1=(1,0),e2=(0,1)}{e1=(1,0),e2=(0,1)}. 
Nota: 10.0
	
	A
	[T]=[0−201][T]=[0−201]
	
	B
	[T]=[11−21][T]=[11−21]
	
	C
	[T]=[1011][T]=[1011]
	
	D
	[T]=[1−210][T]=[1−210]
Você acertou!
A TL é definida por T(x, y) = (x-2y, x) =
[1−210][1−210].[xy][xy] , logo, 
A=[1−210]A=[1−210]  
(Livro-base p. 130-139).
	
	E
	[T]=[1−225][T]=[1−225]
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y).T(x,y)=(x+2y,y). 
De acordo com a transformação linear dada e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que contém a matriz de TT com relação à base canônica do R2R2:
Nota: 10.0
	
	A
	[1201].[1201].
Você acertou!
Observamos que
T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).
Logo, a matriz de TT com relação à base canônica é [1201][1201]  (livro-base p. 130-139)
	
	B
	[1021].[1021].
	
	C
	[1210].[1210].
	
	D
	[2110].[2110].
	
	E
	[1012].[1012].
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as matrizes:
A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10].
Dado que A+B=CA+B=C, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial:
Nota: 10.0
	
	A
	x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.
	
	B
	x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
Você acertou!
A+B=C⇒A+B=C⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
(Livro-base p. 40-51)
	
	C
	x=−5,z=−6,y=3 e w=2.x=−5,z=−6,y=3 e w=2.
	
	D
	x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.
	
	E
	x=4,z=−2,y=−4 e w=3.x=4,z=−2,y=−4 e w=3.
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre operações com matrizes, e as seguintes matrizes A=(xyz−w), B=(3x−yz+w6+y) e C=(x+y52z2w−z)A=(xyz−w), B=(3x−yz+w6+y) e C=(x+y52z2w−z).
Os valores de x,y,z e wx,y,z e w que satisfazem a equação matricial 2A−B=C2A−B=C são respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	2,- 3, 4 e 7.
	
	B
	2, -1, -2 e 2.
	
	C
	7,4, 2 e -2.
Você acertou!
2(xyz−w)−(3x−yz+w6+y)=(x+y52z2w−z)(2x−32y−x+y2z+z+w−2w−6−y)=(x+y52z2w−z)2(xyz−w)−(3x−yz+w6+y)=(x+y52z2w−z)(2x−32y−x+y2z+z+w−2w−6−y)=(x+y52z2w−z)
Temos os seguintes sistemas de equações:
{x−y=3−x+3y=5{−2z+w=2z−4w+z=−10x=7,y=4,z=2 e w=−2.{x−y=3−x+3y=5{−2z+w=2z−4w+z=−10x=7,y=4,z=2 e w=−2.
(Livro-base p. 8-10)
	
	D
	5, 2, 3 e  -3.
	
	E
	7, 4, -4 e 4.
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considere o vetor v=(3,2,1)v=(3,2,1) do R3R3 e o conjunto de vetores α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)}α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)} também do R3R3. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas a seguir, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas.
( ) vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
( ) αα é  uma base do R3R3.
( ) Os vetores v1,v2 e v3v1,v2 e v3 são linearmente independentes. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F
	
	B
	V-V-V
Você acertou!
Comentário:  A sequência correta é V-V-V.
Se vv é combinação linear dos vetores de αα, então existe a, b e c, tal que   v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3
Como o determinante dos vetores de αα é diferente de zero, logo existe a, b e c e vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
Alternativa I é verdadeira porque o determinante dos vetores é diferente de zero.
Alternativa II é verdadeira porque vv é uma combinação linear dos vetores.
Alternativa III é verdadeira porque o determinante é diferente de zero, 
v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3(Livro-base p. 89-103).
	
	C
	F-V-V
	
	D
	V-F-F
	
	E
	F-F-F
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Seja o espaço vetorial V=R2V=R2  e W={(x,y)∈R2/y=3x}W={(x,y)∈R2/y=3x}.  
De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto WW.
Nota: 10.0
	
	A
	(3x,x)∈W(3x,x)∈W
	
	B
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u+v∉Wu+v∉W.
	
	C
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u.v∉Wu.v∉W
	
	D
	 WW  não é um subespaço vetorial de V.V.
	
	E
	 WW  é um subespaço vetorial de V.V.
Você acertou!
Considere os vetores u=(x1,y1)u=(x1,y1)  e v=(x2,y2)v=(x2,y2) de V=R2.V=R2.   
Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições:
1. Se u,v∈Wu,v∈W então, u+v∈Wu+v∈W.   
u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.
2. Se u∈W,então,αu∈W,u∈W,então,αu∈W,  para todo α∈R.α∈R.
αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.
Logo, pode-se afirmar que WW é um subespaço de V.V.
(Livro-base p. 82-88).
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considere a transformação T:R3→R3T:R3→R3 definida por T(x,y,z)=(x,y,0).T(x,y,z)=(x,y,0). 
De acordo com a transformação dada e com os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa:
I. (   ) TT é uma transformação linear.
II. (   ) O núcleo de TT é N(T)={(0,0,z); z∈R}N(T)={(0,0,z); z∈R}.
III. (   ) O conjunto imagem de TT satisfaz dim(Im(T))=2.dim(Im(T))=2.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V - V - V
Você acertou!
Dados u,v∈R3 e λ∈Ru,v∈R3 e λ∈R, observamos que TT satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).
Assim, TT é uma transformação linear e a afirmativa I é verdadeira. Além disso, T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,
o que mostra que zz pode ser tomado qualquer. Desse modo, N(T)={(0,0,z), z∈R}N(T)={(0,0,z), z∈R} e a afirmativa II é verdadeira. Segue do Teorema do Núcleo e da Imagem que 
dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.
Portanto, a afirmativa III também é verdadeira (livro-base p. 124-130).
	
	B
	V - F - V
	
	C
	V - V - F
	
	D
	V - F - F
	
	E
	F - V - V
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Na fabricação de três misturas de bolos, sabores chocolate, canela e baunilha, são usados três ingredientes: farinha de trigo, leite em pó e gordura vegetal. A quantidade de ingredientes para cada mistura, isto é, para cada embalagem, é dada pela tabela: 
ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524
O número de misturas produzidas, de cada sabor, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:
MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, sobre produto de matrizes, assinale a alternativa que apresenta o total de cada ingrediente usado nos meses de maio e junho:
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣640000161000204000560005440029600⎤⎥⎦[640000161000204000560005440029600]
	
	B
	⎡⎢⎣53000062100014000580003440026000⎤⎥⎦[53000062100014000580003440026000]
	
	C
	⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600]
Você acertou!
O problema se resume na multiplicação de matrizes:
⎡⎢⎣230250240605040302524⎤⎥⎦[230250240605040302524].⎡⎢⎣1000500400200600400⎤⎥⎦[1000500400200600400] = ⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600] 
(Livro-base p. 36-39).
	
	D
	⎡⎢⎣2300001250000240005100001800010000⎤⎥⎦[2300001250000240005100001800010000]
	
	E
	⎡⎢⎣640000305000541000560001240039600⎤⎥⎦[640000305000541000560001240039600]
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre operações com matrizes, e as seguintes matrizes A=(xyz−w), B=(3x−yz+w6+y) e C=(x+y52z2w−z)A=(xyz−w), B=(3x−yz+w6+y) e C=(x+y52z2w−z).
Os valores de x,y,z e wx,y,z e w que satisfazem a equação matricial 2A−B=C2A−B=C são respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	2,- 3, 4 e 7.
	
	B
	2, -1, -2 e 2.
	
	C
	7,4, 2 e -2.
Você acertou!
2(xyz−w)−(3x−yz+w6+y)=(x+y52z2w−z)(2x−32y−x+y2z+z+w−2w−6−y)=(x+y52z2w−z)2(xyz−w)−(3x−yz+w6+y)=(x+y52z2w−z)(2x−32y−x+y2z+z+w−2w−6−y)=(x+y52z2w−z)
Temos os seguintes sistemas de equações:
{x−y=3−x+3y=5{−2z+w=2z−4w+z=−10x=7,y=4,z=2 e w=−2.{x−y=3−x+3y=5{−2z+w=2z−4w+z=−10x=7,y=4,z=2 e w=−2.
(Livro-base p. 8-10)
	
	D
	5, 2, 3 e  -3.
	
	E
	7, 4, -4 e 4.
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Seja o espaço vetorial V=R2V=R2  e W={(x,y)∈R2/y=3x}W={(x,y)∈R2/y=3x}.  
De acordo com o espaço vetorial dado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa cuja afirmativa é correta com relação ao conjunto WW.
Nota: 10.0
	
	A
	(3x,x)∈W(3x,x)∈W
	
	B
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u+v∉Wu+v∉W.
	
	C
	Para todos vetores u,v∈W,u,v∈W, temos u.v∉Wu.v∉W
	
	D
	 WW  não é um subespaço vetorial de V.V.
	
	E
	 WW  é um subespaço vetorial de V.V.
Você acertou!
Considere os vetores u=(x1,y1)u=(x1,y1)  e v=(x2,y2)v=(x2,y2) de V=R2.V=R2.   
Deve-se verificar se são satisfeitas as seguintes condições:
1. Se u,v∈Wu,v∈W então, u+v∈Wu+v∈W.   
u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,3x1)+(x2,3x2)==(x1+x2,3(x1+x2))∈W.
2. Se u∈W,então,αu∈W,u∈W,então,αu∈W,  para todo α∈R.α∈R.
αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.αu=α(x1,y1)=(αx1,αy1)=(αx1,3αx1)∈W.
Logo, pode-se afirmar que WW é um subespaço de V.V.
(Livro-base p. 82-88).
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Sejam A=[−1−2−3−5],A=[−1−2−3−5], B=[2−1]B=[2−1] , C=[14−4−8] e X=[xy]C=[14−4−8] e X=[xy] . 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale aquela que contém a matriz XX que satisfaz a equação A+BX=C.A+BX=C.
Nota: 10.0
	
	A
	X=[31].X=[31].
	
	B
	X=[−31].X=[−31].
	
	C
	X=[1−3].X=[1−3].
	
	D
	X=[13].X=[13].
Você acertou!
Fazendo X=[xy],X=[xy], segue da equação A+BX=CA+BX=C que
[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].
Logo, x=1 e y=3x=1 e y=3
(Livro-base p. 26-39).
	
	E
	X=[−12].X=[−12].
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Sejam os vetores u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1)u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais que eles formam uma base do espaço vetorial R3R3.  
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale  a alternativa com as coordenadas do vetor (1,1,0)∈R3(1,1,0)∈R3 com relação à base formada pelos vetores u,v e w.u,v e w. 
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦[1−1−2]
Você acertou!
Para que os vetores u,v e wu,v e w  formem uma base do R3R3, é necessário que existam os reais a, b e c tais que au+bv+cw=(0,0,0)au+bv+cw=(0,0,0)  e que sejam todos nulos. Assim, tem-se o sistema linear:
⎧⎪⎨⎪⎩a=02a+b=03a+b+c=0{a=02a+b=03a+b+c=0
Esse sistema tem solução única, a=b=c=00.  Logo, formam uma base do  R3R3.
Para determinar as coordenadas do vetor (1,1,0)(1,1,0)  em relação à base{u,v,w}{u,v,w} , digamos ββ  deve-se resolver o sistema:
⎧⎪⎨⎪⎩x=12x+y=13x+y+z=0{x=12x+y=13x+y+z=0
A solução do sistema é z=−2,y=−1 e x=1z=−2,y=−1 e x=1 e as coordenadas do vetor são
⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦β[1−1−2]β  (livro-base p. 96-99).
	
	B
	⎡⎢⎣21−2⎤⎥⎦[21−2]
	
	C
	⎡⎢⎣1−22⎤⎥⎦[1−22]
	
	D
	⎡⎢⎣2−4−2⎤⎥⎦[2−4−2]
	
	E
	⎡⎢⎣2−2−2⎤⎥⎦[2−2−2]
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear definida por T(x,y)=(2x−y,5x+y).T(x,y)=(2x−y,5x+y).
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, se o vetor  v=(−4,−3)v=(−4,−3)  pertence à imagem de TT, assinale a alternativa com as coordenadas de vetor uu tal que  T(u)=v.T(u)=v. v.v.
Nota: 10.0
	
	A
	u=(−2,3)u=(−2,3)
	
	B
	u=(−1,2)u=(−1,2)
Você acertou!
Para que vv pertença à imagem de TT, deve existir x e y talque T(x,y)=(2x−y,5x+y)=(−4,−3).T(x,y)=(2x−y,5x+y)=(−4,−3).
Resolvendo o sistema linear:
{2x−y=−45x+y=−3{2x−y=−45x+y=−3
solução: x=−1 e y=2.x=−1 e y=2.
logo,  u=(−1,2)u=(−1,2)  
(Livro-base p. 119-123).
	
	C
	u=(−2,5)u=(−2,5)
	
	D
	u=(2,−1)u=(2,−1)
	
	E
	u=(−3,−3)u=(−3,−3)
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre transformações lineares,  e  T:R2→R3T:R2→R3  uma transformação linear tal que 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),
assinale a alternativa cuja função é a transformação linear T(u).T(u).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(−3,2,2)T(u)=(−3,2,2)
	
	B
	T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)
	
	C
	T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)
	
	D
	Você acertou!
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)
Como {(1,2),(3,4)}{(1,2),(3,4)}  é uma base de R2R2,  existe uma única TL tal que T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4).  Dado u=(x,y)u=(x,y), temos que:
u=r(1,2)+s(3,4)u=r(1,2)+s(3,4)
{r+3s=x2r+4s=y{r+3s=x2r+4s=y
Escalonando o sistema, temos:
{r+3s=x−2s=y−2x{r+3s=x−2s=y−2x
Logo, 
r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).
Portanto,  T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).
(Livro-base p. 119-122)
	
	E
	T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa:
I.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. (  ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-F
	
	B
	V-V-F
	
	C
	V-F-V
	
	D
	F-V-F
Você acertou!
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes (LD), logo não formam uma base (o determinante deve ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI).  
Primeira afirmativa é falsa, pois os vetores são LD e não LI.
Segunda afirmativa é verdadeira, pois o determinante dos vetores é igual a zero (LD).
Terceira afirmativa é falsa, pois como os vetores são LD, não formam uma base.
Logo, a sequência correta é F-V-F (livro-base p. 96-103).
	
	E
	F-V-V
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre matrizes de mudança de base e, as bases
B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B′={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B´={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, 
assinale a alternativa com a matriz de mudança da base B´B´  para BB, [I]BB´.[I]BB´.
Nota: 10.0
	
	A
	[I]BB´=⎡⎢⎣0−1111−2−111⎤⎥⎦[I]BB´=[0−1111−2−111]
	
	B
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−2301−1−1−31⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2301−1−1−31]
	
	C
	Você acertou!
[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101]
Fazemos os vetores  de B´ combinação linear dos vetores da base B.
Resolvemos os três sistemas de equações, simultaneamente:
⎡⎢⎣111|100011|010112|001⎤⎥⎦[111|100011|010112|001]
⎡⎢⎣100|1−1001011−1001|−101⎤⎥⎦[100|1−1001011−1001|−101]
[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101]
(Livro-base p. 108-112).
	
	D
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−1221−2−203⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1221−2−203]
	
	E
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−2011−2−121⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2011−2−121]
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Seja T:R3→R3T:R3→R3 a transformação linear dada por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z).T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z). 
De acordo com a transformação linear acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que apresenta o vetor u∈R3u∈R3 tal que T(u)=(−7,7,−3)T(u)=(−7,7,−3).
Nota: 10.0
	
	A
	u=(1,2,−1).u=(1,2,−1).
Você acertou!
Basta verificar que T(1,2,−1)=(−7,7,−3)T(1,2,−1)=(−7,7,−3).  Outra forma de resolução é determinar a solução do sistema ⎧⎪⎨⎪⎩x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3{x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3 
(livro-base p. 124-129).
	
	B
	u=(2,2,−1).u=(2,2,−1).
	
	C
	u=(−3,−2,−1).u=(−3,−2,−1).
	
	D
	u=(6,4,−2).u=(6,4,−2).
	
	E
	u=(3,0,−5).u=(3,0,−5).
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as matrizes:
A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10].
Dado que A+B=CA+B=C, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial:
Nota: 10.0
	
	A
	x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.
	
	B
	x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
Você acertou!
A+B=C⇒A+B=C⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
(Livro-base p. 40-51)
	
	C
	x=−5,z=−6,y=3 e w=2.x=−5,z=−6,y=3 e w=2.
	
	D
	x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.
	
	E
	x=4,z=−2,y=−4 e w=3.x=4,z=−2,y=−4 e w=3.
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y).T(x,y)=(x+2y,y). 
De acordo com a transformação linear dada e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que contém a matriz de TT com relação à base canônica do R2R2:
Nota: 10.0
	
	A
	[1201].[1201].
Você acertou!
Observamos que
T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).
Logo, a matriz de TT com relação à base canônica é [1201][1201]  (livro-base p. 130-139)
	
	B
	[1021].[1021].
	
	C
	[1210].[1210].
	
	D
	[2110].[2110].
	
	E
	[1012].[1012].
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre mudança de base e coordenadas de um vetor, e as bases 
A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3}A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3} do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa cuja matriz é a 
matriz de mudança de base de A para B, [M]AB[M]BA.
Nota: 10.0
	
	A
	[M]AB=[M]BA=[1712−10−7].[1712−10−7].
Você acertou!
Para determinar a matriz de mudança de base de A para B, devemos fazer A como combinação linear de B.
p1=4−3x=a(x+2)+b(2x+3)p2=3−2x=c(x+2)+d(2x+3)[12|−3−223|43].p1=4−3x=a(x+2)+b(2x+3)p2=3−2x=c(x+2)+d(2x+3)[12|−3−223|43].
Escalonando
[10|171201|−10−7].[10|171201|−10−7].
[M]AB=[M]BA=[1712−10−7].[1712−10−7].
(Livro-base p. 108-112)
	
	B
	[M]AB=[M]BA=[182−12−8].[182−12−8].
	
	C
	[M]AB=[M]BA=[1813−11−6].[1813−11−6].
	
	D
	[M]AB=[M]BA=[2210−11−9].[2210−11−9].
	
	E
	[M]AB=[M]BA=[1813−158].[1813−158].
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Na fabricação de três misturas de bolos, sabores chocolate, canela e baunilha, são usados três ingredientes: farinha de trigo, leite em pó e gordura vegetal. A quantidade de ingredientes para cada mistura, isto é, para cada embalagem, é dada pela tabela: 
ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524
O número de misturas produzidas, de cada sabor, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:
MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, sobre produto de matrizes, assinale a alternativa que apresenta o total de cada ingrediente usado nos meses de maio e junho:
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣640000161000204000560005440029600⎤⎥⎦[640000161000204000560005440029600]
	
	B
	⎡⎢⎣53000062100014000580003440026000⎤⎥⎦[53000062100014000580003440026000]
	
	C
	⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600]
Você acertou!
O problema se resume na multiplicação de matrizes:
⎡⎢⎣230250240605040302524⎤⎥⎦[230250240605040302524].⎡⎢⎣1000500400200600400⎤⎥⎦[1000500400200600400]= ⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600] 
(Livro-base p. 36-39).
	
	D
	⎡⎢⎣2300001250000240005100001800010000⎤⎥⎦[2300001250000240005100001800010000]
	
	E
	⎡⎢⎣640000305000541000560001240039600⎤⎥⎦[640000305000541000560001240039600]
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3) 
Assinale a alternativa com o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3. 
Nota: 10.0
	
	A
	k≠8
	
	B
	k≠−7
	
	C
	k≠5
	
	D
	k≠−9
Você acertou!
Determine o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Montamos o sistema linear 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0
Efetuamos o escalonamento
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0{a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9
(Livro-base p. 95-100)
	
	E
	k≠6
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considere o vetor v=(3,2,1) do R3 e o conjunto de vetores α={v1=(1,2,3), v2=(1,1,1), v3=(1,0,0)} também do R3. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas a seguir, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas.
( ) v é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
( ) α é  uma base do R3.
( ) Os vetores v1,v2 e v3 são linearmente independentes. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F
	
	B
	V-V-V
Você acertou!
Comentário:  A sequência correta é V-V-V.
Se vv é combinação linear dos vetores de αα, então existe a, b e c, tal que   v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3
Como o determinante dos vetores de αα é diferente de zero, logo existe a, b e c e vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
Alternativa I é verdadeira porque o determinante dos vetores é diferente de zero.
Alternativa II é verdadeira porque vv é uma combinação linear dos vetores.
Alternativa III é verdadeira porque o determinante é diferente de zero, 
v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3
(Livro-base p. 89-103).
	
	C
	F-V-V
	
	D
	V-F-F
	
	E
	F-F-F
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Analise as matrizes  A=[2002] e  B=[3003].
De acordo com as matrizes acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz X, tal que  X=A.Bt+B.
Nota: 10.0
	
	A
	X=[120012] 
	
	B
	X=[180018]
	
	C
	X=[9009]
Você acertou!
X=A.Bt+B=X=A.Bt+B= [2002][2002].[3003][3003]+ [3003][3003]=
=[6006][6006] +[3003][3003] =[9009][9009]
(Livro-base p. 26-38)
	
	D
	X=[8448] 
	
	E
	X=[101110] 
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre matrizes de mudança de base e, as bases B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B´={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, 
assinale a alternativa com a matriz de mudança da base B´  para B, [I]BB´.
Nota: 10.0
	
	A
	 [I]BB´=[0−1111−2−111]
	
	B
	 [I]BB´=[1−2301−1−1−31]
	
	C
	 [I]BB´=[1−1011−1−101]
Você acertou!
Fazemos os vetores  de B´ combinação linear dos vetores da base B.
Resolvemos os três sistemas de equações, simultaneamente:
⎡⎢⎣111|100011|010112|001⎤⎥⎦[111|100011|010112|001]
⎡⎢⎣100|1−1001011−1001|−101⎤⎥⎦[100|1−1001011−1001|−101]
[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101]
(Livro-base p. 108-112).
	
	D
	 [I]BB´=[1−1221−2−203]
	
	E
	I]BB´=[1−2011−2−121]
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Leia as informações que seguem:
Seja o espaço vetorial V=R4 e W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R} um subconjunto do espaço vetorial  V.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale a sentença correta:
Nota: 10.0
	
	A
	W não é um subespaço de V, porque não satisfaz somente a propriedade da soma  u+v∈Wu+v∈W.
	
	B
	W não é um subespaço de V, porque não satisfaz somente a propriedade do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	C
	W não é subespaço de V, porque não satisfaz as duas propriedades da soma u+v∈W e do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	D
	W é um subespaço de V.
Você acertou!
Para W ser subespaço de V , deve satisfazer as propriedades:
1. u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈Wu+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈W
2. ku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈Wku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈W
Logo WW  é subespaço.  
(Livro-base p. 82-86).
	
	E
	W não é subespaço, porque (x.y,0,0)∉R4.