apol 1 algebra linear nota90

Prévia do material em texto

Questão 1/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre matrizes de mudança de 
base e, as bases 
 
B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B′={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B´
={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, 
 
assinale a alternativa com a matriz de mudança da base B´B´ para BB, [I]BB´.[I]BB´. 
 
Nota: 10.0 
 A [I]BB´=⎡⎢⎣0−1111−2−111⎤⎥⎦[I]BB´=[0−1111−2−111] 
 B [I]BB´=⎡⎢⎣1−2301−1−1−31⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2301−1−1−31] 
 C [I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101] 
Você acertou! 
Fazemos os vetores de B´ combinação linear dos vetores da base B. 
 
 
Resolvemos os três sistemas de equações, simultaneamente: 
 
 
⎡⎢⎣111|100011|010112|001⎤⎥⎦[111|100011|010112|001] 
 
⎡⎢⎣100|1−1001011−1001|−101⎤⎥⎦[100|1−1001011−1001|−101] 
 
[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101] 
 
(Livro-base p. 108-112). 
 D [I]BB´=⎡⎢⎣1−1221−2−203⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1221−2−203] 
 E [I]BB´=⎡⎢⎣1−2011−2−121⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2011−2−121] 
 
Questão 2/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações que seguem: 
 
Seja o espaço vetorial V=R4V=R4 
e W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R}W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R} um subconjunto do espaço 
vetorial VV. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise 
as afirmativas e assinale a sentença correta: 
Nota: 10.0 
 
 
 A WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade da soma u+v∈Wu+v∈W. 
 B WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade do produto escalar kv∈Wkv∈W. 
 C WW não é subespaço de VV, porque não satisfaz as duas propriedades da soma u+v∈Wu+v∈W e do produto escalar kv∈Wkv∈W. 
 D WW é um subespaço de VV. 
Você acertou! 
Para WW ser subespaço de VV , deve satisfazer as propriedades: 
1. u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈Wu+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈W 
2. ku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈Wku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈W 
 
Logo WW é subespaço. 
 
(Livro-base p. 82-86). 
 E WW não é subespaço, porque (x.y,0,0)∉R4(x.y,0,0)∉R4. 
 
Questão 3/10 - Álgebra Linear 
 
Sejam os vetores u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1)u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais 
que eles formam uma base do espaço vetorial R3R3. 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, 
assinale a alternativa com as coordenadas do vetor (1,1,0)∈R3(1,1,0)∈R3 com relação à 
base formada pelos vetores u,v e w.u,v e w. 
Nota: 10.0 
 A ⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦[1−1−2] 
 
Você acertou! 
Para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3R3, é necessário que existam os reais a, b e c tais que au+bv+cw=(0,0,0)au+bv+cw=(0,0,0) e que sejam todos nulos. Assim, tem-se o 
sistema linear: 
⎧⎪⎨⎪⎩a=02a+b=03a+b+c=0{a=02a+b=03a+b+c=0 
Esse sistema tem solução única, a=b=c=00. Logo, formam uma base do R3R3. 
Para determinar as coordenadas do vetor (1,1,0)(1,1,0) em relação à base{u,v,w}{u,v,w} , digamos ββ deve-se resolver o sistema: 
⎧⎪⎨⎪⎩x=12x+y=13x+y+z=0{x=12x+y=13x+y+z=0 
 
A solução do sistema é z=−2,y=−1 e x=1z=−2,y=−1 e x=1 e as coordenadas do vetor são 
⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦β[1−1−2]β (livro-base p. 96-99). 
 B ⎡⎢⎣21−2⎤⎥⎦[21−2] 
 C ⎡⎢⎣1−22⎤⎥⎦[1−22] 
 
 
 D ⎡⎢⎣2−4−2⎤⎥⎦[2−4−2] 
 E ⎡⎢⎣2−2−2⎤⎥⎦[2−2−2] 
 
Questão 4/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e 
dada as matrizes: 
 
A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10
−1−10]. 
 
 
Dado que A+B=CA+B=C, assinale a alternativa com a solução correta da equação 
matricial: 
Nota: 10.0 
 A x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.x=−3,z=−1,y=−2 e w=2. 
 B x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.x=−2,z=−1,y=−4 e w=2. 
 
Você acertou! 
A+B=C⇒A+B=C⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2. 
 
(Livro-base p. 40-51) 
 C x=−5,z=−6,y=3 e w=2.x=−5,z=−6,y=3 e w=2. 
 D x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.x=−1,z=−2,y=3 e w=−2. 
 E x=4,z=−2,y=−4 e w=3.x=4,z=−2,y=−4 e w=3. 
 
Questão 5/10 - Álgebra Linear 
 
Leia as informações abaixo: 
 
Um sistema de equações lineares pode ter uma única solução, nenhuma solução ou infinitas 
soluções. Sendo assim, podemos classificá-lo em possível e determinado, impossível, ou 
possível e indeterminado, respectivamente. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, 
determine a solução do seguinte sistema: 
 
⎧⎪ 
⎪ 
⎪ 
 
 
⎪⎨⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪⎩x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0{x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0 
 
Assinale a alternativa correta: 
Nota: 10.0 
 A Este sistema é indeterminado. 
 B Este sistema é possível e sua solução é (0,0,0). 
 C Este sistema é possível e sua solução é (0,1,1). 
 D Este sistema é impossível. 
Você acertou! 
Comentário: Podemos somar as três primeiras equações e obter 2x + 2y + 3z = 11. Dividindo por 2 teremos: x + y + z = 11/2. Como a quarta equação é x + y + z = 0, temos que o sistema é impossível. 
 
(Livro-base p. 56-58) 
 E Este sistema é possível e sua solução é (1,2,3). 
 
Questão 6/10 - Álgebra Linear 
Considere o conjunto formado pelos 
vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as 
afirmativas com V para verdadeira e F para falsa: 
 
I.( )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes. 
 
II.( )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes. 
 
III. ( ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3. 
 
Agora, marque a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 A V-F-F 
 B V-V-F 
 C V-F-V 
 D F-V-F 
 
 
Você acertou! 
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes (LD), logo não formam uma base (o determinante deve 
ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI). 
 
Primeira afirmativa é falsa, pois os vetores são LD e não LI. 
 
Segunda afirmativa é verdadeira, pois o determinante dos vetores é igual a zero (LD). 
 
Terceira afirmativa é falsa, pois como os vetores são LD, não formam uma base. 
 
 
Logo, a sequência correta é F-V-F (livro-base p. 96-103). 
 E F-V-V 
 
Questão 7/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial 
e os vetores: 
 
 
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(2,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(2,0,3). 
 
Assinale a alternativa cujo vetor são as coordenadas para o vetor t=(1,2,3)t=(1,2,3) em 
relação aos vetores da base u,v e wu,v e w. 
 
 
 
Nota: 10.0 
 A (1,2,−3)(1,2,−3) 
 B (1,−1,1)(1,−1,1) 
 C (2,−1,0)(2,−1,0) 
 D (1,0,−1)(1,0,−1) 
 E (0,1,−1)(0,1,−1) 
 
Você acertou! 
Considere o vetor ww, k=2k=2 e determine as coordenadas do vetor t=(2,3,4)t=(2,3,4) em relação aos vetores u,v e wu,v e w. 
 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+2c=1−a+b=2−2a+b+3c=3{a+2b+2c=1−a+b=2−2a+b+3c=3 
 
Efetuando o escalonamento 
 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+2c=13b+2c=35b+7c=5⎧⎪ 
 
 
⎪⎨⎪ 
⎪⎩a+2b+2c=13b+2c=3113c=0c=0,b=1,a=−1.{a+2b+2c=13b+2c=35b+7c=5{a+2b+2c=13b+2c=3113c=0c=0,b=1,a=−1. 
 
(Livro-base p. 96-100) 
 
Questão 8/10 - Álgebra Linear 
 
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear dada 
por T(x,y)=(x+2y,y).T(x,y)=(x+2y,y). 
 
De acordo com a transformação linear dada e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, 
assinale a alternativa que contém a matriz de TT com relação à base canônica do R2R2: 
Nota: 10.0 
 A [1201].[1201]. 
Você acertou! 
Observamos que 
T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1). 
 
Logo, a matriz de TT com relação à base canônica é [1201][1201] (livro-base p. 130-139) 
 B [1021].[1021]. 
 C [1210].[1210]. 
 
 D [2110].[2110]. 
 
 E [1012].[1012]. 
 
Questão 9/10 - Álgebra Linear 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre transformações 
lineares, e T:R2→R3T:R2→R3 uma transformação linear tal que 
 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4), 
 
assinale a alternativa cuja funçãoé a transformação linear T(u).T(u). 
 
 
Nota: 10.0 
 A T(u)=(−3,2,2)T(u)=(−3,2,2) 
 
 
 B T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y) 
 C T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y) 
 D T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y) 
Você acertou! 
Como {(1,2),(3,4)}{(1,2),(3,4)} é uma base de R2R2, existe uma única TL tal que T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4). Dado u=(x,y)u=(x,y), temos que: 
 
u=r(1,2)+s(3,4)u=r(1,2)+s(3,4) 
 
{r+3s=x2r+4s=y{r+3s=x2r+4s=y 
 
Escalonando o sistema, temos: 
 
{r+3s=x−2s=y−2x{r+3s=x−2s=y−2x 
 
Logo, 
r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y). 
 
Portanto, T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y). 
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2). 
 
(Livro-base p. 119-122) 
 E T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)T(u)=12(y,x+2y,2x−4y) 
 
Questão 10/10 - Álgebra Linear 
 
Considere a seguinte equação ∣∣ 
∣∣x+123x1531−2∣∣ 
∣∣|x+123x1531−2|= ∣∣∣41x−2∣∣∣|41x−2| . 
 
 
De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a 
alternativa com o valor de x: 
Nota: 0.0 
 A x=−32x=−32 
 B x=−18x=−18 
 C x=−25x=−25 
 D x=−22x=−22 
 
Resolvendo os determinantes à direita e à esquerda, temos: 
 
 
−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x 
 
(Livro-base p. 39-42). 
 E x=−20