YRB FISICA Aula 2 Cálculo vetorial4 foll

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Aula #2: Cálculo vetorial 
Disciplina: Física 1 
Prof: Yipsy Roque Benito 
 
1. Vetores: definições e representação 
2. Operações com vetores: soma, 
subtração, produto escalar e produto 
vetorial 
 
 
 
CONTEÚDOS 
OBJETIVOS 
• Diferença entre grandezas escalares e vetores, e como 
somar e subtrair vetores graficamente. 
• Quais são as componentes de um vetor e como usá-los 
para realizar cálculos. 
• O que são vetores unitários e como usá-los 
• Duas formas para multiplicar vetores. 
Escalar vs Vetorial 
• As grandezas que só precisam de seu valor ou 
intensidade associado a uma unidade para ficarem 
totalmente bem determinadas são denominadas 
grandezas escalares. 
 
• Grandezas vetoriais: precisam de seu valor associado a 
uma unidade, de sua direção e sentido para ficarem 
totalmente determinadas. 
Linguagem dos vetores 
Ao lidar com grandezas que possuem amplitude e 
orientação a Física precisa de uma linguagem matemática 
especial, a linguagem dos vetores 
 
Usaremos nos exemplos o vetor deslocamento 
Vetor deslocamento 
O deslocamento é a 
variação de posição 
de um ponto (uma 
partícula ou um 
objeto) 
Deslocamento 
Trajetória O deslocamento 
independe da 
trajetória 
Representação 
O comprimento do 
segmento fornece o 
módulo do vetor 
extremidade 
origem 
Notação 
Módulo de 
O módulo é uma grandeza 
escalar sempre positiva 
Vetores paralelos e iguais Vetores 
antiparalelos 
Vetores que possuem mesmo 
módulo, direção e sentido são 
iguais independentemente da 
sua posição no espaço 
)()( CBACBAS


SOMA VETORIAL 
A

B

R

 A soma de dois vetores é um vetor: 
Note que 
R

R

BAR


ABBA


a soma é comutativa 
 Soma de mais de dois vetores: 
Note que: a soma é associativa 
CBAS


S

S

C

A

B

A

A

B

SUBTRAÇÃO DE VETORES 
 BABA


)(0 BB


B


 O vetor nulo ( ) tem módulo zero e 
não tem direção e sentido definidos. 
B

B


A

0

A

B

SUBTRAÇÃO DE VETORES 
Subtrair é equivalente a somar 
 
Multiplicação por um escalar 
 
B
 B5,0

Componentes de um vetor 
Vetores componentes de 
Determinação do vetor a partir 
das componentes 
Determinação do vetor a partir 
das componentes 
Soma vetorial a partir das 
componentes 
Soma de mais de dois vetores 
Considerando três dimensões 
Vetores unitários 
• Têm módulo igual a 1 
• Não possuem unidade 
• Indicam uma direção e sentido 
jAA
iAA
yy
xx
ˆ
ˆ




jAiAAAA yxyx
ˆˆ

A

xA

yA

O 
y 
iˆ
jˆ
x 
x 
y 
z 
iˆ
jˆ
kˆ
Em 3D: 
kAjAiAA zyx
ˆˆˆ 

Soma de vetores usando vetores 
unitários 
Se 
 o vetor será dado em 
 componentes cartesianas por: 
jAiAA yx
ˆˆ

,ˆˆ jBiBB yx 

BAC


onde: 
,ˆˆ
ˆ)(ˆ)(
jCiC
jBAiBA
yx
yyxx


 )ˆˆ()ˆˆ( jBiBjAiAC yxyx

xxx BAC 
B

C

A

xA x
B
yA
yB
x 
y 
yyy BAC 
Exemplo 1 
R/ 17m 
Produto escalar de dois vetores 
Geometricamente, definimos 
como sendo o módulo de multiplicado 
pelo componente de paralelo ao vetor . 
Então: 
Note que: 
)BA(


A

B

 O resultado do produto escalar de 
dois vetores é um escalar. 
A

onde é o ângulo formado entre as direções de e . 
A

B
∅ 
Casos particulares: 
.0cos porque ,0BA,900 Se   
A

B

 .0cos porque ,0BA,18090 Se   
A

B


.090cos porque ,0,90 Se  

BA
A

B

vetores ortogonais 
.10cos porque ,,0 Se  

ABBA
A

B

vetores paralelos 
.1180cos porque ,,180 Se  

ABBA A
B

vetores antiparalelos 
180
Produto escalar usando 
componentes 
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆA B ( A i A j A k ) ( B i B j B k )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B i i A B i j A B i k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B j i A B j j A B j k
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆA B k i A B k j A B k k
       
     
      
     
 Podemos escrever o produto escalar de dois vetores em 
termos das suas componentes cartesianas: 
Mas como 
,0ˆˆˆˆˆˆe1ˆˆˆˆˆˆ  jkkijikkjjii
Zzyyxx BABABABA 

teremos: 
Exemplo 2 
R/ 4,5 
Produto vetorial de dois vetores 
 Definição: o produto vetorial de dois vetores 
por , é um vetor 
 i) a direção de é perpendicular 
ao plano formado por e ; 
 ii) o seu módulo é igual à área do 
paralelogramo formado por e : 
iii) o seu sentido obedece à regra da 
mão direita (figura). 
 Note que o produto vetorial não é 
comutativo: 
 
C

A

B

A

B

BAC


senBAC 
ABBA


B


A

C



C

B

A

A

B
e 
C

, representado 
BA


( ) 
tal que: 
Produto vetorial usando 
componentes 
 O produto vetorial também é distributivo. Podemos 
escrevê-lo em termos das suas componentes cartesianas 
como: 
x y z x y z
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆA B ( A i A j A k ) ( B i B j B k )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B i i A B i j A B i k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B j i A B j j A B j k
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆA B k i A B k j A B k k
       
     
      
     
0ˆˆˆˆˆˆ  kkjjii
ikjjikkji ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ 
Mas como e 
, teremos: 
kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzy
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 

 Outra forma de se escrever o produto vetorial de dois 
vetores e é através do determinante da matriz formada 
pelos versores e pelas componentes cartesianas dos 
vetores e ao longo das suas linhas: 

zyx
zyx
BBB
AAA
kji ˆˆˆ
kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzy
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 
O produto vetorial e o determinante 
B

A

B

A

kji ˆeˆ,ˆ
 As componentes Ax e Ay são as chamadas 
componentes cartesianas do vetor . 
 Podemos ainda definir um outro 
conjunto de coordenadas para descrever 
um vetor no plano: as chamadas 
coordenadas polares,dadas pelo 
módulo do vetor : 
Representação polar de um vetor 






 
x
y
A
A
tg 1

22
yx
AAA 
Ay 
Ax 
e pelo seu ângulo polar 
iˆ
jˆ
A

A

A

x 
y 
Exemplo 3 
O vetor 𝐴 possui módulo igual a 6 unidades e está contido no eixo 
+Ox. O vetor 𝐵 possui módulo igual a 4 unidades e está contido no 
plano +xy, formando um ângulo de 30° com o eixo +Ox. Calcule o 
produto vetorial 𝐴 × 𝐵. Realize o cálculo através dos seguintes 
métodos e compare os resultado: 
a) Pela definição de produto vetorial 
b) Usando as componentes dos vetores 
R/ 12𝒌 
FIM