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BASES MATEMÁTICA
ESTÁCIO- FLORESTA– LUCIANA DE FÁTIMA LOPES OLIVEIRA
Belo Horizonte, 09 de Abril de 2020
IMPORTÂNCIA DA DISCIPLINA
Para o engenheiro, o conhecimento das grandezas
vetoriais é primordial. No ramo da construção civil,
grandezas como força, torque e velocidade (grandezas
vetoriais) se fazem presentes no seu dia a dia.
Guindastes, pontes, elevadores, automóveis,
dimensionamento de vigas e treliças, onde estão
envolvidas forças, carregamentos, reações de apoio, as
operações vetoriais são largamente utilizadas.
VETORES
Definição: Vetor é uma grandeza matemática que possui
módulo ou intensidade, direção e sentido.
O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da
reta suporte que o contém e o sentido é para onde ele está
apontado.
Uma mesma direção possui dois sentidos.
Geometricamente, vetores são representados por
segmentos de retas orientados.
VETORES
Na figura o ponto A é a origem e o ponto B é a extremidade.
Um vetor pode ser designado por uma letra, normalmente
minúscula, com uma seta na sua parte superior ou por duas
letras, normalmente indicativas da origem e extremidade,
também com uma seta na sua parte superior.
Este vetor pode ser representado por 𝑢 ou 𝐴𝐵 .
VETORES
TIPOS DE VETORES
- Dois vetores, 𝑢 e Ԧ𝑣, são iguais, quando possuem o
mesmo módulo, mesma direção e o mesmo sentido.
- Dois vetores são opostos quando possuem o mesmo
módulo, a mesma direção, mas o sentido é contrário.
Seja o vetor 𝑢, podemos dizemos que o vetor - 𝑢 é o vetor 
oposto.
VETORES
VETORES
- Dois vetores são paralelos e indicamos por 𝑢// Ԧ𝑣 quando
eles têm a mesma direção , não necessariamente tendo o
mesmo módulo e sentido.
- O vetor nulo é um vetor cujo módulo é igual a zero.
Representamos por 0 ou 𝐴𝐴, a origem coincide com a
extremidade. Nesse caso, o segmento se reduz a um único
ponto.
VETORES
- O vetor unitário é um vetor que possui módulo igual a
1, ou seja, um vetor 𝑢 é unitário se 𝑢 = 1.
MÓDULO DE UM VETOR
Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa (a) é
igual a soma dos quadrados dos catetos (b e c).
a² = b² + c²
Para calcularmos o módulo de um vetor basta utilizarmos o
teorema de Pitágoras como mostra a figura:
VETORES
Logo, o módulo (ou comprimento) de um vetor 𝑢 =(𝑥,𝑦)
genérico com origem no ponto (0,0), representado por
|𝑢| é um número real não negativo, dado por:
𝑢 = 𝑥² + 𝑦²
Exemplo1: Dados os vetores 𝑢=(−1,1), Ԧ𝑣 =(−2,3) e 𝑤=(8,−6), 
calcule: 
(a) |𝑢| = −1 2 + 1²= 2
(b) | Ԧ𝑣 | = −2 2 + 32 = 4 + 9= 13
(c) |𝑤| = 82 + (−6)²= 64 + 36= 100 = 10
VETORES
Exemplo2: Um vetor 𝑢 tem origem no ponto (1, 2) e
extremidade em (4, 4). Quais são as coordenadas deste
vetor? E o módulo 𝑢: Desenhe a representação desse vetor
partindo da origem(0,0) do plano cartesiano:
VETORES
B=(4, 4) ; A(1, 2)
𝑢 = (3, 2) 
𝑢 = 3² + 2²= 13
IMPORTANTE:
Grandezas escalares não precisam de direção e
sentido, sendo necessário apenas seu módulo para
que elas fiquem bem definidas. Veja alguns
exemplos: massa, tempo, área, volume, etc.
Grandezas vetoriais precisam além do módulo, de
direção e sentido para serem bem definidas. Veja
alguns exemplos: velocidade, aceleração, força etc.
VETORES
VETORES
1. (CEFET-PR) Verifique quais são as grandezas escalares e vetoriais nas 
afirmações a seguir:
I. O deslocamento de um avião foi de 100 km na direção Norte do Brasil.
II. A área da residência a ser construída é de 120 m2.
III. A força necessária para colocar uma caixa de 10 kg em uma prateleira é 
de 100 N.
IV. A velocidade marcada no velocímetro de um automóvel é de 80 km/h.
V. Um jogo de futebol tem um tempo de duração de 90 minutos.
Assinale a opção que apresenta a sequência correta:
a) Vetorial, vetorial, escalar, vetorial, escalar.
b) Vetorial, escalar, escalar, vetorial, escalar.
c) Escalar, escalar, vetorial, vetorial, escalar.
d) Vetorial, escalar, vetorial, vetorial, escalar.
e) Escalar, escalar, vetorial, escalar, escala
VETORES
OPERAÇÕES COM VETORES
Adição de vetores
A adição de vetores pode ser associada à uma sucessão de
deslocamentos, em que cada vetor representará um
deslocamento a ser realizado. O deslocamento total será o vetor
resultante.
Dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e Ԧ𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 são iguais se,
e somete se 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2
Exemplo 1: Sejam 𝑢 = 𝑥 − 1, 3 e Ԧ𝑣 = 3, 2𝑦 − 1 .
Determine 𝑥 e 𝑦 de tal forma que 𝑢 = Ԧ𝑣.
VETORES
IGUALDADE DE VETORES
Sejam dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e Ԧ𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 em 𝑅
3. 
Podemos encontrar :
𝒖 + 𝒗 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 = (𝑥1+𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1+𝑧2).
𝒖 − 𝒗 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 − 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 = (𝑥1−𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2, 𝑧1 − 𝑧2).
Exemplo 2: Sejam os vetores 𝑢 = 1,−2 e Ԧ𝑣 = 2,3 .
Então:
1. 𝑢 + Ԧ𝑣 =
2. 𝑢 − Ԧ𝑣 =
VETORES
Seja 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 . Temos:
α. 𝑢 = α. 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = α. 𝑥1, α. 𝑦1, α. 𝑧1
Exemplo 3: Dados os vetores 𝑢 = 2,−3 e Ԧ𝑣 = −1,4 ,
determinar:
(a) 3. 𝑢 + 2. Ԧ𝑣 =
(b) 3. 𝑢 − 2. Ԧ𝑣 =
MULTIPLICAÇÃO POR UMA ESCALAR
VETORES
VETORES
1- Sejam os vetores 𝑢= 3 Ԧ𝑖 + 5Ԧ𝑗 e Ԧ𝑣= 7 Ԧ𝑖 + 6 Ԧ𝑗. Calcule:
a) Ԧ𝑟 = 𝑢 + Ԧ𝑣
b) Ԧ𝑟 = 𝑢 - Ԧ𝑣
2- Sejam os vetores 𝑢 = (2,−3,5) , Ԧ𝑣 = (0,1,4) e 𝑤 = (−4,0,5).
Podemos afirmar que o vetor resultante Ԧ𝑟 = 𝑢 + Ԧ𝑣 + 𝑤 é
igual a:
a) Ԧ𝑟= (2,−2,0)
b) Ԧ𝑟= (2,0,10)
c) Ԧ𝑟= (−2,−2,14)
d) Ԧ𝑟= (−2,−3,10)
e) Ԧ𝑟= (−6,−2,14)
VETORES
Uma das aplicações de vetores é na representação de
forças, como no caso do projeto de estruturas de concreto e
estruturas metálicas. Um dos cálculos comumente realizados
nesse caso é o da força resultante que é obtida por meio da
adição de todas as forças atuantes. Considere que o ponto P
(móvel) representado na figura comece a sofrer a atuação
das forças Ԧ𝑎, 𝑏, Ԧ𝑐 e Ԧ𝑑.
Qual a força resultante, seu módulo e para qual quadrante o ponto
irá se mover?
VETORES
Decompor um vetor implica em encontrar dois ou mais
vetores que o compõem.
Seja um vetor 𝐷 no plano 𝑥𝑦 e 𝐷 faz um ângulo 𝛼 qualquer
com o eixo das abscissas (𝑥). Podemos representar o vetor
𝐷 por meio de suas componentes 𝐷𝑥 (projeção no eixo 𝑥) e
𝐷𝑦 (projeção no eixo 𝑦).
Decomposição de vetores no plano R² 
Usando as razões trigonométricas (seno e cosseno) no 
triângulo retângulo podemos encontrar o módulo das 
componentes 𝐷𝑥 e 𝐷𝑦 do vetor 𝐷:
Portanto, o módulo da componente 𝐷𝑥 do vetor 𝐷 é 
determinada por: 
𝐷𝑥 = 𝐷 𝑐𝑜𝑠𝛼
E o módulo da componente 𝐷𝑦 do vetor 𝐷 é determinada 
por:
𝐷𝑦 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛𝛼
VETORES
Exercício1: Um vetor 𝐷 de módulo igual a 50 cm faz um
ângulo α = 60° com o eixo das abscissas. Quais são
coordenadas x e y do vetor 𝐷 , nessa ordem?
a) 25 cm, 25,5 cm
b) 30 cm, 40,3 cm
c) 25 cm, 43,3 cm
d) 30 cm, 53,3 cm
e) 43 cm, 25,5 cm
VETORES
PRODUTO ESCALAR E ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
VETORES
VETORES
Exemplo 1: Encontre o ângulo formado pelos vetores 𝑢= (1,3)
e Ԧ𝑣= (9,−2) . 𝜃 = 84°
VETORES
Exemplo2: Dados os vetores 𝑢 = (1,0) , Ԧ𝑣= (1,3) e 𝑤= (0, 2),
podemos afirmar que a soma do ângulo entre 𝑢 e Ԧ𝑣 com o
ângulo entre Ԧ𝑣 e 𝑤 é: letra c
a) 38°
b) 87°
c) 90°
d) 54,6°
e) 73,9°
A P O I A D O R O F I C I A L
Estácio.
Há 45 anos, nossa vida é 
transformar a sua.
Obrigado.