FUNCAO DO 2 GRAU

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PROF. FABRÍCIO TORRES – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 1 
I. EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax² + bx + c, com coeficientes 
numéricos a, b e c com a ≠ 0. 
Exemplos: 
Equação a b c 
x² + 2x + 1 1 2 1 
5x -2x² - 1 -2 5 -1 
 
Classificação: 
 
- Incompletas: Se um dos coeficientes (b ou c) for nulo, temos uma equação do 2º grau 
incompleta. 
 
1º caso: b=0 
x² - 9 = 0  x² = 9  x = ± √9  x= ± 3 
 
2º caso: c=0 
x² - 9x = 0  Basta fatorar o fator comum x: 
x(x-9) = 0  x = 0,9 
 
3º caso: b=c=0 
2x² = 0  x=0 
 
Resolução de equações do 2º grau: 
 
Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela 
fórmula de Bháskara. Considerando a equação: ax² + bx + c = 0, vamos determinar a fórmula 
de Bháskara: 
 
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 
 
1) 3x² - 7x + 2 = 0  a = 3, b = -7 e c = 2 
 
Δ = b2 – 4ac = (-7)² - 4.3.2 = 49 - 24 = 25 
 
Substituindo na fórmula: 
= 
 e 
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é S = {1/3 , 2} 
 
 
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2) -x² + 4x – 4 = 0  a = -1, b = 4 e c = -4 
Δ = b2 – 4ac = 4² - 4.(-1).(-4) = 16 -16 = 0 
 
Substituindo na fórmula de Bháskara: 
 
x=2 
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é S = {2} 
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 
 
3) 5x² - 6x + 5 = 0  a = 5, b = -6, c = 5 
Δ = b2 – 4ac = (-6)² - 4.5.5 = 36 -100 = -64 
Note que Δ < 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não 
possui nenhuma raiz real. 
Logo: S =∅ (conjunto vazio) 
 
Propriedades: 
 Duas raízes reais e diferentes 
 Duas raízes reais e iguais 
 Nenhuma raiz real 
 
Relações entre coeficientes (a, b e c) e as raízes (x1 e x2) 
 
Soma das raízes: x1 + x2 = -
𝑏
𝑎
 
Produto das raízes: x1 . x2 = 
𝑐
𝑎
 
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau: 
x² - Sx + P = 0 
Exemplos: 
 
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: 
a) x² - 4x + 3=0 
Sendo a=1, b=-4 e c=3: 
 
 
b) 2x² - 6x -8 =0 
Sendo a=2, b=-6 e c=-8 
 
 
c) 4-x² = 0 
Sendo a=-1, b=0 e c=4: 
 
 
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Exercícios: 
1) Complete o quadro conforme o exemplo: 
Equação 
Coeficientes 
a b c 
6x² - 3x + 1 = 0 
-3x² = 5/2 + 4x 
y² = 5 y 
6x² = 0 
 
2) Determine as raízes das seguintes equações: 
a) x² - 3x + 2 = 0 
b) 2y² - 14y + 12 = 0 
c) -x² + 7x – 10 = 0 
d) 5x² - x + 7 = 0 
e) y²- 25 = 0 
f) x² - ¼ =0 
g) 5x² - 10x =0 
h) 5 + x² = 9 
i) 7x² - 3x = 4x + x² 
j) z²- 8z + 12 = 0 
 
2) Determine o valor de k nas equações, de modo que: 
a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais 
b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais 
c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais 
d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes 
 
3) Complete o quadro: 
 
Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -b/a 
 Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a 
Equação 
Soma das raízes Produto das raízes 
x² - 6x + 9 = 0 6 9 
x² - 2x + 3 = 0 
2x² + 5x - 8 = 0 
x² + 5x -24=0 -5 24 
 5 -6 
 -6 -3 
 
 
 
 
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II. FUNÇÃO DO 2º GRAU 
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: 
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e 
 
Exemplos: 
a) y = x² + 3x + 2 ( a=1; b=3; c= 2 ) 
b) y = x² ( a=1; b=0; c= 0 ) 
c) y = x² - 4 ( a=1; b=0; c=-4 ) 
 
 
Gráfico de uma função do 2º grau: 
 
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Podemos visualizar uma parábola 
em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa. 
 
 
Sua representação gráfica é dada em torno de eixos: 
 
Representação gráfica 
 
Exemplo: 
Construa o gráfico da função y = x²: 
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores 
correspondentes para y. 
 
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x y = f(x) = x² 
-2 4 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
 
 
Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do 
eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos 
todos os outros pontos. 
Coordenadas do vértice 
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por: 
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y = x² - 4x + 3 
 Temos: a=1, b=-4 e c=3 
 
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? 
 
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. 
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y = x² - 4x + 3, devemos 
substituir o valor de x por 2. 
 
y = (2)² - 4.(2) + 3 = 4 – 8 + 3= -1 
 
Logo, as coordenadas do vértice serão V = (2,-1) 
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o 
valor da coordenada x (através de x = -b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a 
coordenada y!!! 
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau 
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. 
y=f(x)=0 
 
Exemplo: na função y = x² - 4x + 3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de 
seus vértices, as raízes da função serão x1 = 1 e x2 = 3. 
 
 
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Vejamos o gráfico: 
 
Notem que quando x1 = 1 e x2 = 3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x. 
 
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau? 
 
Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior. 
 
Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6: 
Fazendo y = f(x) = 0, temos x² + 5x + 6 =0 
Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara. 
x² + 5x + 6 =0 
 
Acharemos que x = -2 e x` = -3. 
 
Concavidade da parábola 
Explicarei esta parte com um simples desenho. 
 
a > 0 a < 0 
Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que 
nos importa agora é que quando a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima 
(carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste). 
 
 
 
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Exemplos: 
y = f(x) = x² - 4 
 
a = 1 >0 
[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima 
(a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para 
baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo. 
Quando o discriminante é igual a zero 
Quando o valor de Δ = b2 – 4ac = 0, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y 
será igual a zero. 
Exemplo: y = f(x) =x² + 2x + 1 
 x² + 2x + 1 =0 
 
x1 = x2 = - 
𝑏
2𝑎
 = -1 
As coordenadas do vértice serão V=(-1,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico: 
y = f(x) = -x² + 4 
 
a = -1 < 0 
 
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Quando o discriminante é maior que zero 
Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as 
raízes ou zeros da função vistos anteriormente). 
Exemplo: y = f(x) = x² -4x + 3 
 x² - 4x + 3 =0 
 
x1=1, x2=3 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
Quando o discriminante é menor que zero 
Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou 
zeros da função. 
Exemplo: y = f(x) = x²-x+2 
x²-x+2=0Gráfico: 
 
Resumindo: 
 
 
 
 
 
a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 
Esboçando o gráfico 
 
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Para finalizarmos, vamos desenhar o gráfico da função y = -x² - 4x - 3 
1ª etapa: Raízes ou zeros da função -x² - 4x – 3 =0 
Aplicando a fórmula de Bháskara x1 =-1, x2 = -3 
2ª etapa: Coordenadas do vértice 
Coordenada x: xv = -b/2a xv = -(-4)/2.(-1) = -2 
Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função 
y = -x² - 4x - 3 = -(-2)² - 4.(-2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 
Portanto, V=(-2,1) 
3ª etapa: Concavidade da parábola 
y= -x² - 4x - 3 
Como a = -1<0, a concavidade estará voltada para baixo 
 
Feito isso, vamos esboçar o gráfico: 
 
Exercícios: 
1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as 
coordenadas do vértice que a representa: 
a) f(x)= x² - 4x + 5 
b) f(x)= x² +4x - 6 
c) f(x)= 2x² +5x - 4 
d) f(x)= -x² + 6x - 2 
e) f(x)= -x² - 4x +1 
 
2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes: 
a) f(x)= 3x² - 7x + 2 
b) f(x)= -x² + 3x - 4 
c) f(x)= -x² + 3/2x + 1 
d) f(x)= x² -4 
e) f(x)= 3x² 
Não existe zeros em (b) 
 
 
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3) Construa o gráfico das seguintes funções: 
a) f(x)= x² - 16x + 63 
b) f(x)= 2x² - 7x + 3 
c) f(x)= 4x² - 4x +1 
d) f(x)= -x² + 4x - 5 
e) f(x)= -2x² +8x- 6 
 
4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em 
metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t. 
a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? 
[Nota]: observem o vértice 
 
b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola? 
 
c) Esboce o gráfico que represente esta situação. 
Respostas: 4: a)4s; b) 16m