RAZAO E PROPORCAO

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Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
1 
ÍNDICE 
 
 
CAPÍTULO 1 .................................................................................................................................................... 2 
RAZÕES E PROPORÇÕES ........................................................................................................................... 2 
1.1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................... 2 
1.2. RAZÃO ..................................................................................................................................................... 2 
Exemplo .................................................................................................................................................... 2 
Problema Proposto ................................................................................................................................... 3 
1.3. PROPORÇÕES ........................................................................................................................................... 3 
Exemplos ................................................................................................................................................... 4 
1.4. CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO ............................................................................................... 4 
Problemas Propostos ................................................................................................................................ 5 
1.5. SÉRIES DE RAZÕES................................................................................................................................... 8 
Exemplo .................................................................................................................................................... 8 
1.6. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS .......................................................................................... 8 
1.7. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ........................................................................................ 8 
Exemplos ................................................................................................................................................... 9 
Problemas Propostos .............................................................................................................................. 10 
1.8. MÉDIAS ................................................................................................................................................. 10 
Exercícios ............................................................................................................................................... 12 
1.9 NÚMEROS PROPORCIONAIS .................................................................................................................... 13 
Exercícios Propostos .............................................................................................................................. 14 
1.10 PORCENTAGENS ................................................................................................................................... 16 
Exercícios Propostos .............................................................................................................................. 17 
CAPÍTULO 2 .................................................................................................................................................. 19 
DIVISÕES PROPORCIONAIS .................................................................................................................... 19 
2.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 19 
2.2. DIVISÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAL ............................................................................................... 19 
Exemplo .................................................................................................................................................. 19 
Problemas Propostos .............................................................................................................................. 20 
2.3. DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL ............................................................................................. 21 
Exemplos ................................................................................................................................................. 21 
Problemas Propostos .............................................................................................................................. 23 
2.4. DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA .................................................................................................... 23 
Exemplos ................................................................................................................................................. 24 
Problemas Propostos .............................................................................................................................. 26 
Resumo do Conteúdo e Exemplos ........................................................................................................... 27 
Exercícios Propostos .............................................................................................................................. 29 
 
 
 
 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
2 
 
 
CCAAPPÍÍTTUULLOO 11 
RRAAZZÕÕEESS EE PPRROOPPOORRÇÇÕÕEESS 
 
 
 
11..11.. IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
 
Iniciamos o estudo da matemática financeira apresentando o conceito de Razões e 
Proporções; dada a sua aplicação imediata nos itens que abordam taxas de juros, porcentagem e 
regimes de capitalização dentre outros assuntos. 
 
11..22.. RRAAZZÃÃOO 
 
Definimos razão entre dois números a e b reais, onde b é diferente de zero, o quociente 
exato de a dividido por b. Representamos essa razão por: 
 
 a (lemos de a para b) 
 b 
 
 
Exemplo 
 
1. Determine a razão de cada uma das expressões abaixo: 
a) de 5 para 15 
b) de 30 para 6 
c) de 8 para 1/2 
 
Na definição de razão entre grandezas temos que a e b são duas grandezas. Assim, na 
razão entre grandezas podemos expressar qual a variação de uma das grandezas para cada 
variação unitária da outra. 
 
Vejamos alguns exemplos do cotidiano: "A velocidade do carro era de 150 Km/ h ",isto 
significa que se o carro mantivesse essa velocidade durante uma hora teria percorrido a distância 
de 150 Km ou, em outras palavras, "variando a grandeza tempo (em horas) de uma unidade 
provocaríamos uma variação da grandeza espaço (em Km) de 150 unidades." 
 
1.1 Razão de dois números a e b (com b  0) é o quociente de a por b. 
 a 
 Indica-se:  ou a : b e lê-se: a para b. 
 b 
 O número a é chamado antecedente e o número b conseqüente. 
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3 
 Exemplo: 
No vestibular de 1990 da Unicamp, concorreram, para 90 vagas da opção Medicina, 
7.830 candidatos. Qual a razão candidato vaga para essa opção? 
 7.830 87 
 =  , ou seja, 87 candidatos para cada vaga. 
 90 1 
1.2 Razões inversas. Duas razões são chamadas razões inversas entre si quando o 
antecedente de uma for igual ao conseqüente da outra, e vice-versa. 
Exemplos: 
 2 3 1 
 e  ; -  e - 5 
 3 2 5 O produto de duas razões inversas é 1. 
 
Problema Proposto 
 
1. Calcule a razão entre as grandezas ou entre os números abaixo: 
a) 30 quilômetros para 5 litros de gasolina; 
b) 80 para 20; 
c) 15 gramas para 3 centímetros cúbicos; 
d) 180 cm para 90 cm. 
 
11..33.. PPRROOPPOORRÇÇÕÕEESS 
 
 
Definimos proporções como sendo a igualdade entre duas razões. Representamos uma 
proporção entre os números a, b, c e d, nesta ordem, conforme a expressão abaixo: 
 
a
b
c
d

 
 
 E lemos, a está para b assim como c está para d. 
 
Os elementos a, b, c e d, que representam uma proporção, possuem denominação 
própria. Como você pode ver a e d estão nas extremidades enquanto c e b estão no meio da 
seqüência. Por essa razão a e d são chamados de extremos enquanto b e c de meios. 
 
Pela própria representação da proporção podemos afirmar que o produto dos meios e igual 
ao produto dos extremos. Isto é, 
 
 a.d = b.c 
 
 Por exemplo, 
80
20
24
6

 

 6.80 = 24.20 = 480 
 
 Esta afirmação constitui a propriedade fundamental das proporções. 
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4 
 
Proporções. A igualdade de duas razões a : b e c : d (com a, b, c e d  0) é chamada proporção. 
 a c 
  =   proporção ; onde a e d são chamados extremos e b e c de meios. 
 b d 
1.4 Propriedade fundamental das proporções. Em toda proporção, o produto dos meios é 
igual ao produto dos extremos, e vice-versa. 
Exemplo: 
 x 4 
1) Encontrar o valor de x na proporção:  =  
 20 10 
 x . 10 = 4 . 20  10x = 80  x = 80 / 10  x = 8 
2) Se em cada calça são usados 4 botões e disponho ainda de 104 botões, quantas calças 
poderei aprontar? 
 calça 1 c 
 =  =   4c = 104  c = 26 calças. 
 botões 4 104 
Exemplos 
 
1. Verifique se há proporção entre os números 3, 5, 9 e 15. 
 
Solução 
 

 3.15 = 5.9 = 45. Logo é uma proporção. 
 
2. Verifique se é verdadeira a seguinte proporção, 
Solução 
 
 

 2.150 = 300 e 100.5 = 500 
 
 Logo não é uma proporção 
 
 
11..44.. CCÁÁLLCCUULLOO DDEE UUMM TTEERRMMOO DDEESSCCOONNHHEECCIIDDOO 
 
 Usando a propriedade fundamental das proporções é possível determinar o valor de uma 
incógnita conhecendo o valor das outras 3 partes. 
 
Exemplos 
 
1. Usando a propriedade fundamental das proporções, determine o valor de x em cada caso. 
 
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5 
a) 
3
x
45
15

 b) 
24
2 3

x
 
c)
7 5/
4 / 3 5 / 3

x
 d) 
x
4 x

9
 
 
Solução 
 
a) 15.3 = 45.x x = 1 
b) 24.3 = 2.x x = 36 
c) 
7 3
3 4
.
.
 x
 x = 7/4 
d) x² = 36 x = 6 ou x = -6 
 
2. Um carro desenvolve um velocidade de 100 Km/h. Quanto tempo levará para percorrer 450 Km 
entre uma cidade e outra? 
 
Solução 
 100 Km ---------------------- 1 hora 
 450 Km ---------------------- x horas 
 
100
450
1

x
 
 x = 4,5 horas ou 4 horas e 30 minutos 
 
3. Sabendo-se que a taxa de juros numa dada operação financeira é de 10 % ao mês, calcule a 
taxa proporcional ao ano. 
 
Solução 
 
 10% ----------------------- 1 mês 
 x ---------------------- 1 ano = 12 meses 
 
 
10 1
x 12

 

 x = 10.12 = 120% ao ano 
Problemas Propostos 
 
1. Usando a propriedade fundamental das proporções calcule o valor de x em cada um dos casos. 
 
a) 
46
23 6

x
 b) 
36
9 8

x
 
 
c) 
5 3/
2 8 / 25

x
 d) 
x
25
44
x

1
 
 
2. Um cidadão solicitou um empréstimo ao banco Caixa Alta cuja a taxa ao ano é de 360%. 
Calcule a taxa proporcional ao mês e ao semestre. 
 
3. Um avião viaja numa velocidade de 900 Km/h, após 15 minutos de viagem, qual a distância 
percorrida pelo avião durante esse intervalo? 
 
4. A densidade do material utilizado na fabricação de uma peça de automóvel é de 5 g/cm³. 
Sabendo que um bloco feito desse material possui 300 cm³ de volume, qual o peso desse 
bloco? 
 
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6 
5. Calcule dois números sabendo que a diferença vale 4 e que a razão vale 2. 
 
6. Verifique se os números 5, 3, 25 e 9 formam uma proporção. 
 
7. Considerando agora os números 4, 7, 16, e 28 podemos dizer que eles formam uma 
proporção? 
 
8. Encontre, em cada item, a razão do 1º para o 2º número. 
 a) 2 e 4 b) 4 e 2 c) 2 e 9 d) 1 e 4 e) 20 e 100.000 
9. Numa prova de 45 questões, uma pessoa acertou 15. Calcule a razão entre o número de 
acertos e o número de questões. 
10. Numa cidade de 500.000 habitantes, foi feita uma pesquisa sobre o número de espectadores 
de TV regulares e chegou-se aos dados abaixo: 
Número de espectadores do Canal 10 ......................... 75.000 
Número de espectadores do Canal 6 ......................... 110.000 
N.º de pessoas que não assistem regularmente a TV ... 315.000 
Qual a razão entre o número de espectadores regulares de TV e o número de habitantes 
dessa cidade? 
11. Comprei bilhetes para concorrer em duas rifas. Da primeira, numerada de 1 a 300, adquiri 20 
bilhetes. Da segunda, numerada de 1 a 450, adquiri 30 bilhetes. Em qual das duas rifas tenho 
maior chance de ganhar? 
12. Uma pesquisa entre indivíduos que pertencem aos dois grupos de maior risco de serem 
portadores do vírus da AIDS revelou que, de 80 homossexuais masculinos testados, 16 eram 
portadores do vírus e que, de 64 viciados em drogas injetáveis, 12 eram portadores. Com base 
nesses dados, qual dos dois grupos é o mais propenso a transferir a doença? 
13. Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a 
área dessa região. Em uma determinada época, a cidade de Natal, no Rio Grande do Norte, 
tinha uma população de 653.000 habitantes. Qual era a densidade demográfica nessa época, 
se a cidade de Natal ocupa uma área de 172 km2? 
14. Se a razão de a para b é 2/3, qual o maior, a ou b? 
15. A razão de a para b é 3/5, qual a razão de b para a? 
16. Calcule o valor de x nas seguintes proporções: 
 2x 1 2 3 3 5 1 x - 1 
a)  =  b)  =  c)  =  d)  =  
 9 2 x + 1 1 - 2x x + 2 x 3 x + 1 
17. Numa turma de alunos, a razão do número de moças para o número de rapazes é 3/2. se 
nessa turma tem 14 rapazes, qual é o número de moças. 
18. Sr. Manoel, em sua padaria, deseja lucrar R$ 2,00 em cada R$ 1,00 que paga ao adquirir suas 
mercadorias. Se um objeto custou-lhe R$ 12,00, por quanto deveria vendê-lo? 
19. No Distrito federal, a razão do número de funcionários públicos para o número de habitantes, 
em 1989, era, aproximadamente, de 2 : 45. Se, nessa época, a população do DF era de 
1.567.609 habitantes, quantos funcionários públicos existiam? 
20. Um supermercado fazia, em um determinado dia, a seguinte promoção: Pague 3 sabonetes e 
leve 5. Aproveitando a promoção, levei 30 sabonetes. Quantos sabonetes paguei? 
21. Calcule:Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
7 







3
2
y
x
75yx
 
 
22. Calcule: 
 







515
76 y -x 
yx 
 
Respostas: 
 
 Problemas Propostos 
8. a 1 / 2 
8. b 2 
8. c 0,222 ... 
8. d 0,25 
8. e 1 / 5000 
9. 1 / 3 
10. 37 / 100 
11. As chances são iguais 
12. O grupo de homossexuais. 
13. 3.800 habitantes/km2 
14. a > 0 b é o maior. 
 a < 0 a é o maior 
15. 5 / 3 
16.a 9 / 4 
16.b - 1 / 7 
16.c -5 
16.d 2 
17. 21 
18. 36 
19. 69.672 
20. 18 
21. x = 30 e y = 45 
22. x = 114 e y = 38 
 
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8 
11..55.. SSÉÉRRIIEESS DDEE RRAAZZÕÕEESS 
 
Definimos séries de razões iguais como sendo a igualdade de duas ou mais razões. 
 
3
15 5 25 40
  
1 5 8
 
 
No caso de séries de razões a propriedade fundamental é que a razão da soma de todos 
os numeradores pela soma de todos os denominadores de duas ou mais razões é igual a qualquer 
uma das razões envolvidas. 
 
Exemplo 
 
 Se 
3
15 5 25 40
  
1 5 8
 então; 
 
 
3
15 5 + 25 + 40 70 5

 
 
1 5 8 14 1
. 
 
 
 
11..66.. GGRRAANNDDEEZZAASS DDIIRREETTAAMMEENNTTEE PPRROOPPOORRCCIIOONNAAIISS 
 
Definimos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao multiplicarmos 
uma das grandezas por um fator conhecido então a outra também ficará multiplicada por esse 
mesmo fator. 
 
Suponhamos que uma determinada obra seja finalizada em 3 dias quando um único 
operário trabalha sobre ela. Podemos afirmar que o número de dias e o número de obras 
finalizadas são grandezas diretamente proporcionais. É fácil ver isso, não é? Se em 3 dias 
realizamos uma obra e em 6 dias teremos finalizado 2 obras, e assim por diante. 
 
 
 
 No Dias No Obras No Operários 
 3 1 1 
 
 No Dias = 3xK Então No Dias = 12 
 No_ Obras = 1xK se K = 4 No Obras = 4 
 
 
 
11..77.. GGRRAANNDDEEZZAASS IINNVVEERRSSAAMMEENNTTEE PPRROOPPOORRCCIIOONNAAIISS 
 
Definimos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando ao multiplicarmos 
uma das grandezas por um fator conhecido então ocorrerá o inverso com a outra, isto é, ficará 
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9 
dividida por esse mesmo fator. Se A e B são grandezas inversamente proporcionais e duplicamos 
a grandeza A e então a grandeza B será reduzida a metade. 
 
 Assim, A1 = A x 2 e B1 = B x 1
2
 
 
Podemos também definir grandezas inversamente proporcionais como sendo aquelas em 
que o produto das mesmas é uma constante. No problema das obras explicado no item anterior, 
temos que o número de operários e o número de dias são grandezas inversamente proporcionais. 
 
Quando contratamos mais operários para trabalhar numa obra, ela termina antes do prazo, 
isto é, num tempo menor. 
 
Bem vejamos então. 
Se um operário realiza uma obra em 3 dias então o dobro de operários realizaria essa obra 
na metade do tempo. Razoável não é? 
Expressando esse raciocínio em termos matemáticos teríamos 
 
 # Dias = 3/k 
 # Operários = 1.k 
 
Assim o produto das duas grandezas será: 
 
 #Dias x #Operários = 3/k x 1.k = 3 
 
 
Exemplos 
 
1. Um conhecido material possui densidade de 300 g/cm³. Se aumentarmos o volume do material 
guardado num depósito o peso total aumentará ou não? 
 
Solução 
 
 Peso Volume 
 300 ------------------------ 1 cm³ 
 x ------------------------ k cm³ 
 
 x = 300.k se a grandeza volume é dada por y = 1.k e x = 300.k então são diretamente 
proporcionais. Assim aumentando o volume aumentaremos o peso. 
 
2. Um corredor possui velocidade média numa competição de 36 km/h. Se ele aumentar essa 
média horária para 40 km /h o seu tempo de corrida aumentará ou não? 
 
Solução 
 
 Velocidade = 
 
 
Considerando que o espaço percorrido pelo atleta nas duas oportunidades seja o mesmo 
nas duas competições, temos que: 
 
 Velocidade x Tempo = Espaço 
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10 
 
Como o produto das grandezas é constante concluímos que elas são inversamente 
proporcionais. Assim se a velocidade aumenta o tempo diminui. 
 
3. Se uma casa é construída em 3 dias, quando nela trabalham 4 operários, quantos dias serão 
necessários para a construção de 6 casas por 8 operários? 
 
 Solução 
 
 
 No Dias No Casas No Operários 
 3 1 4 
 x 6 8 
 
 
Dias e Casas são Diretamente Proporcional 
Dias e Operários são Inversamente Proporcionais 
 
 
3 1
6
8
4
3 6 4
8
9
x
x x    .
. .
 
 
Problemas Propostos 
 
1. Um automóvel viaja com velocidade média de 80 km/h e percorre a distância entre Vila Nova e 
Vila Velha em 2 horas. Quanto tempo esse mesmo automóvel gastará para fazer esse trajeto 
com velocidade média de 100 km/h? 
 
2. Se um datilógrafo escreve 18 cartas em 4 horas, quantas cartas serão escritas em 2 dias se 3 
datilógrafos trabalharem 6 horas por dia cada um? 
 
3. Uma casa é construída em 4 dias quando nela trabalham 6 operários. Quantos operários serão 
necessários para a construção de 3 casas em 8 dias? 
 
 
11..88.. MMÉÉDDIIAASS 
 
 
Médias são razões especiais que utilizamos para comparar e classificar sucessões de números. 
2.2 Média aritmética simples (Ms) dos números a1; a2; a3; ... ; an é a razão: 
 a1 + a2 + a3 + ... + an 
 Ms =  , onde n é o número de elementos da sucessão. 
 n 
 Exemplos: 
a) Encontrar a média aritmética simples de 2; 3; 4 e 11. 
 2 + 3 + 4 + 11 
Ms =   Ms = 5 
 4 
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11 
b) Um comerciante lucrou nos três primeiros meses do ano, as seguintes quantias: no 1º 
mês R$ 2.000,00, no 2º mês, R$ 3.000,00; e, no 3º mês, R$ 2.500,00. Qual foi a média 
mensal de lucro nesses meses? 
 2.000,00 + 3.000,00 + 2.500,00 
Ms =   Ms = R$ 2.500,00 
 3 
2.3 Média aritmética ponderada (Mp) dos números a1; a2; a3; ... ; an, aos quais foram atribuídos 
os pesos p1, p2, p3, ... , pn, respectivamente, é: 
 p1a1 + p2a2 + p3a3 + ... + pnan 
 Mp =  
 p1 + p2 + p3 + ... + pn 
Exemplos: 
a) Calcular a média aritmética ponderada do números 4, 5 e 9, com pesos 1, 2 e 5, 
respectivamente. 
 4 . 1 + 5 . 2 + 9 . 5 59 
Mp =  =   Mp = 7,375 
 1 + 2 + 5 8 
b) Um professor combinou com seus alunos que a nota de um determinado bimestre seria 
calculada através da média ponderada dos testes T1, T2 e T3, realizados durante o 
bimestre, com os respectivos pesos 3, 3 e 4. As notas do aluno Marcos foram T1 =7, .... 
T2 = 5 e T3 = 9. Qual foi a nota de Marcos? 
 3 . 7 + 3 . 5 + 4 . 9 
Mp =   Mp = 7,2 
 3 + 3 + 4 
2.4 Depreciação. Imagine um aparelho de TV que tenha sido comprado por R$ 500,00, há dois 
anos. É quase certo que não se conseguirá vendê-lo, hoje, por mais de R$ 300,00, o que 
significa que houve uma perda no valor desse bem provocada, entre outros fatores, pelo 
uso. Essa perda recebe o nome de depreciação, e o valor do bem ao final de sua vida útil, 
devalor residual. Assim, podemos dizer que: 
Valor de depreciação = valor de compra - valor residual 
 A fim de viabilizar a reposição de um bem físico, como máquinas, móveis, etc., no final de 
sua vida útil, algumas empresas reservam uma parte de seu lucro para um fundo de 
depreciação, no qual anualmente é depositado o valor de depreciação média anual. Esse 
valor é obtido por: 
 valor de depreciação 
Depreciação média anual =  
 n.º de anos de vida útil 
 
Exemplo: 
 Uma máquina custa R$ 23.000,00. Sua vida útil está estimada em 4 anos e seu valor 
residual, ao final desse período, em R$ 3.000,00. Qual o valor da depreciação e da 
depreciação média anual? 
Depreciação = 23.000 - 3.000 = R$ 20.000,00 
Depreciação média anual = 20.000 : 4 = R$ 5.000,00 
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12 
Ano Valor Depreciação 
0 23.000 - 
1 18.000 5.000 
2 13.000 10.000 
3 8.000 15.000 
4 3.000 20.000 
Exercícios 
1) Encontre, em cada item, a média aritmética simples dos números dados. 
 a) 1; 3; 5; 7 b) -2; 1; 9; 3; 1/3 c) 1; 2; 0 d) 0,2; 0,3; 0,4; 0,6; 0,7; 0,8 
2) Calcule, em cada item, a média ponderada. 
 a) 5; 9; 8 com pesos 1, 3 e 5 respectivamente. b) 3; 1; 2 com pesos 8, 7, e 10, 
 respectivamente. 
 
3) No quadro abaixo, temos a idade e altura de cada uma das jogadoras de uma Seleção 
Brasileira de Vôlei. Calcule: (a) a idade média e (b) a altura média das jogadoras. 
Nome Idade Altura Nome Idade Altura 
Kelly 20 1,87 Ana Volponi 23 1,80 
Ana Moser 22 1,84 Cilene 23 1,83 
Denise 22 1,82 Fátima 21 1,87 
Ida 25 1,78 Márcia Fu 21 1,85 
Ana Richa 23 1,76 Ana Flávia 20 1,85 
Tina 24 1,85 Fernanda Venturini 19 1,81 
 
4) Qual o número que devemos juntar a 5; 7; 8 e 10, de modo que sua média seja 7? 
5) Sabe-se que a média aritmética simples de três números inteiros e consecutivos é 5. Quais 
são esses números? 
6) A média aritmética simples de um conjunto de 10 números é 35. Se o número 12 for retirado 
do conjunto, qual será a média aritmética dos números restantes? 
7) A nota de Matemática de uma turma estava prevista para ser calculada como a média 
aritmética de 4 testes. Dessa maneira, Luciana obteve nota 7. O professor, no entanto, 
resolveu anular um dos testes no qual ela havia tirado 8. Qual vai ser a nota de Luciana? 
8) Em um concurso público, três provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na 
primeira prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda prova, que tinha peso 2, e nota 
8 na terceira prova, que tinha peso 5. Qual a média (ponderada) desse candidato? 
9) Quantos litros de azeite tipo A, que custa R$ 3,00 o litro, devem ser misturados a 20 litros de 
azeite do tipo B, que custa R$ 4,00 o litro, e a 5 litros de azeite do tipo C, que custa .... R$ 
5,00 o litro, de modo a obtermos uma mistura que custa R$ 3,75 o litro? 
10) Numa escola há 800 alunos, dos quais 500 estudam no período matutino e 300 no 
vespertino. Numa prova, a média geral do colégio foi 8. No entanto, considerando-se 
somente os alunos do vespertino, a média caiu para 7. Qual a média dos alunos do 
matutino? 
 
Respostas : 
Questão Respostas Questão Respostas 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
13 
1. a 4 5. 4, 5 e 6 
1. b 34 / 15 6. 37,55... 
1. c 1 7. 6,7 
1. d 0,5 8. 7,0 
2. a 8 9. 15 litros 
2. b 2,04 10. 8,6 
3. (a) 22 anos (b) 1,83 m 
4. 5 
 
11..99 NNÚÚMMEERROOSS PPRROOPPOORRCCIIOONNAAIISS 
 
1 Números diretamente proporcionais. Os números de uma sucessão numérica ............... A 
= (a1, a2, a3, ...) são ditos diretamente proporcionais aos números de uma sucessão 
numérica B = (b1, b2, b3, ...) quando as razões de cada termo de A, pelo correspondente em 
B, forem iguais, isto é: 
 a1 a2 a3 
  =  =  = . . . = k , onde k é o coeficiente de proporcionalidade. 
 b1 b2 b3 
 Exemplos: 
a) Verificar se os números da sucessão (18, 6 , 3, ...) são ou não diretamente proporcionais 
aos números da sucessão (6, 2, 1, ...). 
 18 6 3 
 =  =  = . . . = 3  diretamente proporcionais. 
 6 2 1 
b) Encontrar x e y, sabendo que os números da sucessão (20, x, y) são diretamente 
proporcionais aos números da sucessão (4, 2, 1). 
 20 x y x 
 =  =  , logo y = 5 e  = 5  x = 10 
 4 2 1 2 
3.2 Números inversamente proporcionais. Os números de uma sucessão numérica ............. A 
= (a1, a2, a3, ...) são ditos inversamente proporcionais aos números de uma sucessão 
numérica B = (b1, b2, b3, ...) quando os números da sucessão A forem diretamente 
proporcionais aos números da sucessão ( 1/b1, 1/b2, 1/b3, ...), formada pelos inversos dos 
números B, isto é: 
 a1 a2 a3 
  =  =  = . . . = k , o que eqüivale a: 
 1 1 1 
    
 b1 b2 b3 
 a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = k , onde k é o coeficiente de proporcionalidade. 
Exemplos: 
a) Verificar se os números da sucessão (30, 24, 20) são ou não inversamente proporcionais 
aos números da sucessão (4, 5, 6). 
30 . 4 = 24 . 5 = 20 . 6 = 120  inversamente proporcionais. 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
14 
b) Encontrar x, y e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente 
proporcionais com o coeficiente de proporcionalidade k = 36. 
9x = 36  x = 4 ; 3y = 36  y = 12 ; 36z = 36  z = 1 
3.3 Divisão proporcional. Dividir um número em partes proporcionais aos números de uma 
dada sucessão significa encontrar parcelas desse número que formem uma sucessão 
proporcional àquela e que, somadas, reproduzam esse número. 
Exemplo: 
 Dividir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4. 
 Sejam x e y as partes procuradas: 
x + y = 18 e (x, y) é diretamente proporcional a (5, 4) 
 x y x + y x 18 x x 
 =    =    =    = 2  x = 10 e y = 8 
 5 4 5 + 4 5 9 5 5 
Exercícios Propostos 
1) Classifique os números das sucessões dadas em cada item, como diretamente 
proporcionais (dp) ou inversamente proporcionais (ip), quando possível. 
 a) (1, 3, 4) e (2, 6, 8) b) (5, 1, 4) e (1, 5, 5/4) c) (1, 3, 2) e (18, 6, 10) 
2) Encontre os valores desconhecidos, sabendo-se que os números da sucessões (x; 5; 2) e 
(3; y; 6) são diretamente proporcionais. 
3) Encontre os valores desconhecidos, sabendo-se que os números da sucessões (x; 1; 30) e 
(3; 15; y) são inversamente proporcionais. 
4) Os números das sucessões A = (a; b; c) e B = (1/5; 1/4; e 1) são inversamente 
proporcionais. Encontre a, b e c, sabendo que a + b = 36. 
5) Encontre a, b, e c, sabendo que os números das sucessões (a; b; c) e (18; 12; 4) são 
inversamente proporcionais e que a + b = 5. 
6) Divida o número 81 em partes diretamente proporcionais a 2, 4 e 3. 
7) Divida o número 200 em partes inversamente proporcionais a 1/3 e 1/5. 
8) Três pessoa A, B e C, compram juntas um bilhete de rifa que premia o sorteado com ...... R$ 
10.000,00. Na compra do bilhete, a pessoa A colaborou com a quantia de R$ 10,00, a 
pessoa B com R$ 15,00 e a pessoa C com R$ 25,00. Caso o bilhete que compraram saia 
premiado, quanto receberá cada pessoa se o combinado foi que cada uma receba uma 
quantia proporcional ao dinheiro gasto? 
9) Marcos e Francisco montaram uma locadora de vídeo, empregando, respectivamente, 
capitais de R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00. Em um determinado mês, a loja obteve um lucro de 
R$ 1.600,00. Quanto coube a cada um? 
10) Duas pessoas formaram uma sociedade comercial e combinaram que o lucro da firma seria 
dividido em partesdiretamente proporcionais às quantias investidas por cada um na 
formação da sociedade. A primeira pessoa investiu R$ 20.000,00 e a segunda ................. R$ 
30.000,00. Sabendo que a sociedade rendeu, no final de um ano R$ 15.000,00, calcule a 
parte desse lucro que tocará a cada sócio. 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
15 
11) João e Carlos associaram-se, aplicando capitais idênticos. No final de certo período, a 
sociedade apresentou um prejuízo de R$ 500,00. Qual o prejuízo de cada um, se João 
aplicou o capital por 3 meses e Carlos por 7? 
12) Dois sócios lucraram, em um determinado período, R$ 28.000,00. O primeiro aplicou ...... R$ 
80.000,00 na sociedade, durante 9 meses, e o segundo R$ 20.000,00, durante 11 meses. 
Qual foi o lucro de cada um? 
13) Três amigos, A, B e C, saíram para comer uma pizza. No final, perceberam que A comeu 1/4 
da pizza, B comeu 1/3 e C comeu 1/5. O preço da pizza era R$ 14,10. Calcule a parte da 
despesa de cada um, sabendo que desejavam dividir a despesa em partes proporcionais ao 
consumo de cada um. 
14) O custo de uma ponte foi estimado em R$ 10.000.000,00 e será dividido entre duas cidades 
em partes de proporcionalidade direta as suas populações e inversa à distância que separa 
cada uma da ponte. Com base no quadro abaixo, quanto coube a cada cidade? 
Cidade População Distância 
A 150.000 30 km 
B 220.000 11 km 
15) O dono de uma empresa resolveu distribuir entre seus três gerentes uma gratificação de ... 
R$ 133.700,00. Quanto coube a cada um, se a distribuição foi feita em partes de 
proporcionalidade direta ao tempo de serviço e inversa aos seus salários? 
Gerente Tempo (anos) Salário (R$) 
A 15 12.000,00 
B 13 9.100,00 
C 12 10.800,00 
 
Respostas 
 
1. a dp 
1. b ip 
1. c não proporcionais 
2. x = 1 e y = 15 
3. x = 5 e y = 1 / 2 
 4. a = 20 b = 16 c = 4 
 5. a = 2 b = 3 c = 9 
 6. 18; 36; 27 
 7. 75; 125 
 8. A = 2.000 B = 3.000 C = 5.000 
 9. Marcos 1.000 e Francisco 600 
 10. 6.000 e 9.000 
 11. João 150 e Carlos 350 
12. 21.447 e 6.553 
13. 4,50 6,00 3,60 
14. A = 2.000.000 B = 8.000.000 
15. A = 44.100 B = 50.400 C = 39.200 
 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
16 
11..1100 PPOORRCCEENNTTAAGGEENNSS 
 
Razão centesimal. É toda razão com denominador igual a 100. 
 Exemplos: 
 3 20 735 
 ;  ;  
100 100 100 
Taxa de porcentagem. Dada a grande importância das razões centesimais, elas costumam ser 
representadas por um símbolo especial (%) que substitui o denominador 100. Neste caso, as 
razões centesimais também recebem uma denominação especial: taxa de porcentagem. 
Exemplos: 
 4 
 = 4% (quatro por cento) 
100 
 75 
 = 75% (setenta e cinco por cento) 
100 
Porcentagem é o resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem a um dado 
valor. 
Exemplo: 
 Calcular a porcentagem de 10% de 480. 
1ª maneira: Usando a regra de três simples. 
taxa de porcentagem porcentagem 
100% 480 
10% x 
100 480 
 =   100x = 480 . 10  100x = 4.800  x = 48 
 10 x 
2ª maneira: Forma direta. 
 10 10 
10% de 480 =  de 480   . 480 = 48 
 100 100 
Forma genérica para o cálculo de porcentagem: 
P = i . p onde: P = porcentagem; i = taxa de porcentagem; p = principal 
 
Taxas sobre taxas. Em muitas situações, ocorrem casos em que uma taxa percentual refere-se a 
outra taxa percentual. Nesses casos, as taxas não devem ser somadas, e sim aplicadas uma 
sobre a outra. 
Exemplo: 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
17 
 Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um 
determinado dia, comparecem às aulas 75% das moças. Quantas alunas foram às aulas 
nesse dia? 
 60 75 
40 .  .  = 18 alunas. 
 100 100 
Exercícios Propostos 
1) Calcule as porcentagens. 
 a) 15% de 250 b) 3% de 1.000 c) 30% de 20 d) 0,5% de 30.000 
 e) 0,03% de 9.000 
2) Calcule o número cujos: 
a) 4% são 50 b) 80% são 1.200 c) 3,5% são 21 d) 0,5% são 4 
e) 200% são 40 
3) Calcule quantos % são: 
a) 18 de 36 b) 9 de 36 c) 16 de 20 d) 10 de 5 e) 44 de 75 
4) R$ 280,00 representam quanto por cento de 800? 
5) 15% do preço de um bem é R$ 2.100,00. Qual o preço desse bem? 
6) Um vendedor é contratado na condição de ganhar 4% sobre a venda de cada dia. Quanto 
receberá num dia em que vende R$ 2.500,00? 
7) Ao pagar uma conta no valor de R$ 350,00, tive de pagar R$ 70,00 de multa. De quanto por 
cento foi a multa? 
8) Um bolo foi dividido em muitos pedaços iguais. Sabendo-se que 8 deles representam 20% 
do total, em quantas partes foi dividido o bolo? 
9) Um líquido depositado em um balde perdeu, por evaporação, 3% do seu volume, restando 
19,4 litros. Qual era o volume original do líquido? 
10) Comprei uma moto por R$ 7.000,00. Algum tempo depois, vendi-a com prejuízo de 15%. De 
quanto foi o meu prejuízo? 
11) Uma conta no valor de R$ 750,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 20%. Qual o 
valor da multa? 
12) O salário de uma pessoa era de R$ 1.400,00 até ser promovida e receber uma aumento de 
20%. De quanto foi o aumento de seu salário? 
13) Na eleição do grêmio de uma escola, votaram 1.500 alunos, dos quais 75% votaram na 
chapa A. Quantos alunos votaram nessa chapa? 
14) Numa cidade, o preço da passagem de ônibus era de R$ 0,40 e sofreu um aumento de ... 
R$ 0,05. Qual a taxa de aumento? 
15) Ao comprar um eletrodoméstico por R$ 150,00 obtive um desconto de R$ 18,00. Qual a taxa 
do desconto? 
16) Em uma escola, as 1.120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total? 
17) Depositei em uma caderneta de poupança R$ 800,00. Depois de um certo período meu 
saldo era de R$ 980,00. Qual foi a taxa percentual de rendimento da poupança naquele 
período? 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
18 
18) Uma peça de tecido de 30 m de comprimento, após ficar algumas horas de molho, encolheu 
e ficou com 29,7 m. Qual foi a taxa percentual de encolhimento desse tecido? 
19) Prestei serviços a uma empresa e fui ao seu escritório para receber o que previa o contrato, 
no caso, R$ 4.000,00. Ao receber o dinheiro percebi que houve um desconto de 5% a titulo 
de ICMS. Qual o valor do desconto? 
20) Um fio de arame submetido a alta temperatura aumentou 0,3% do seu comprimento, 
atingindo 36,05 m. Qual o comprimento do fio antes do aquecimento? 
21) Um terreno foi medido por um instrumento que possui erro máximo de  0,3%. Pela medida 
concluiu-se que o perímetro do terreno era de 590 m. Se considerarmos o erro máximo, qual 
o menor perímetro que esse terreno pode ter? 
22) Comprei uma casa cujo preço estipulado foi de R$ 50.000,00. Além disso, paguei 8% desse 
valor a título de impostos e 3% para o corretor. Quanto paguei no total? 
RESPOSTAS: 
 
 Respostas 
1. a 37,5 7. 20% 
1. b 30 8. 40 pedaços 
1. c 6 9. 20 LITROS 
1. d 150 10. R$ 1.050,00 
1. e 2,7 11. R$ 150,00 
2. a 1.250 12. R$ 280,00 
2. b 1.500 13. 1.125 alunos 
2. c 600 14. 12,5% 
2. d 800 15. 12% 
2. e 20 16. 2.000 alunos 
3. a 50% 17. 22,5% 
3. b 25% 18. 1% 
3. c 80% 19. R$ 200,00 
3. d 200% 20. 35,94 m 
3. e 58,666...% 21. 588,23 m 
4. 35% 22. R$ 55.000,00 
5. R$ 14.000,00 
6. R$ 100,00 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
19 
 
 
CCAAPPÍÍTTUULLOO 22 
DDIIVVIISSÕÕEESS PPRROOPPOORRCCIIOONNAAIISS22..11.. IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
 
Dentro da matemática financeira e comercial encontramos a necessidade de dividir um 
determinado montante em partes, tais que estas respeitem uma dada regra de proporcionalidade 
em relação a grandezas conhecidas. Esta divisão poderá ser feita de dois modos diferentes, 
diretamente e inversamente proporcional. Veremos a seguir cada um desses critérios. 
 
 
22..22.. DDIIVVIISSÃÃOO DDIIRREETTAAMMEENNTTEE PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL 
 
Para dividirmos uma quantia Q em n partes diretamente proporcionais às grandezas a1, a2, 
a3, a4,...; consideramos que x1, a parte que cabe ao primeiro, será proporcional a a1; x2, a parte que 
cabe ao segundo, será proporcional a a2; e assim sucessivamente. 
 
Assim usando o conceito de grandezas diretamente proporcionais temos que: 
 
 x1 + x2 + x3 + x4 +... + xn = Q (pois Q é dividido em n partes) 
 
 
x
a
x
a
x
a
x
a
xn
an
1
1
2
2
3
3
4
4
    ...
 
 
Exemplo 
 
 Marcos, Lizander, Eduardo e Fabius compraram, em sociedade, uma pousada em Porto 
Seguro cujo valor era de R$ 12.700,00. Marcos contribuiu com R$ 4.200,00, Lizander e Eduardo 
com R$3.000,00 cada um, e Fabius com R$ 2.500,00. Após alguns anos essa pousada foi vendida 
por R$57.150,00. Quanto caberá desse total a cada um dos amigos? 
 
Solução 
 
Chamaremos a participação de cada um dos amigos pelas iniciais dos seus respectivos 
nomes. Assim, 
 
 M = Parte de Marcos 
 L = Parte de Lizander 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
20 
 E = Parte de Eduardo 
 F = Parte de Fabius 
 
É natural que quem participou com mais capital para a compra da pousada terá uma parte 
maior da quantia obtida na venda da pousada. Assim, teremos uma divisão diretamente 
proporcional. O total obtido com a venda da pousada será igual a soma do que cada um dos 
amigos receberá. Assim, teremos que: 
 
M + L + E + F = 5.715 
 
700.12
150.57
2500
F
3000
E
3000
L
4200
M

 
 
Assim a parte de Marcos será calculada por uma igualdade de razões. A primeira é igual a última. 
 
 
700.12
150.57
4200
M

  
900.18
12700
4200x57150
M 
 
 
Marcos receberá R$ 18.900,00 
 
Analogamente as partes dos demais amigos serão: 
 
 
700.12
150.57
3000
L

  
500.13
12700
3000x57150
L 
 
 
 
12700
57150
3000
E

  
50013
12700
3000 x57150
E 
 
 
 
700.12
150.57
500.2
F

  
250.11
700.12
500.2 x 015.57
F 
 
 
Eduardo e Lizander receberão R$ 13.500,00 e Fabius receberá R$ 11.250,00 
 
 
Problemas Propostos 
 
1. Os Srs A, B e C abriram um restaurante no qual os três trabalham em igualdade de condições. 
O Sr A aplicou R$ 850,00 enquanto que os Srs. B e C aplicaram respectivamente R$ 1.100,00 e 
R$ 900,00. Após o primeiro mês de atividades o lucro do restaurante foi de R$ 500,00. Quanto 
desse lucro caberá para cada sócio, sabendo que o critério adotado será a divisão proporcional 
a participação no capital inicial para abertura da empresa? 
 
2. Um galpão com 3.600 m2 será dividido em 3 espaços com 800m2, 1.200m2 e 1.600 m2. 
Quanto custará o aluguel de cada espaço, considerando que o galpão inteiro seria alugado por 
R$ 720,00 e a divisão desse valor será proporcional a área ocupada por cada um deles? 
 
3. As amigas Ana Paula, Janete, Carla e Marta abriram uma confecção. Ficou combinado que o 
"bônus" de fim de ano seria proporcional ao tempo em que cada uma trabalhou durante o ano. 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
21 
Janete trabalhou 8 meses, Ana Paula 6 meses, Carla 4 meses e Marta 12 meses. 
Considerando que o "bônus" desse ano será de R$ 4.800,00, quanto cada uma delas receberá? 
 
4. Uma mãe deseja distribuir uma mesada no valor de R$ 240,00 para seus três filhos com idades 
de 15, 12 e 8 anos. Quanto receberá cada um dos filhos considerando uma divisão diretamente 
proporcional a idade deles? 
 
 
22..33.. DDIIVVIISSÃÃOO IINNVVEERRSSAAMMEENNTTEE PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL 
 
Para dividirmos uma quantia Q em n partes inversamente proporcionais as grandezas a1, 
a2, a3, a4,...; consideramos que x1, a parte que cabe ao primeiro, será proporcional a a1, x2 a parte 
que cabe ao segundo, será proporcional a a2; e assim sucessivamente. 
 
Assim usando o conceito de grandezas inversamente proporcionais temos que: 
 
x1 + x2 + x3 + x4 +... + xn = Q (pois Q é dividido em n partes) 
 
a1. x1 = a2. x2 = a3. x3 = a4. x4 =.... = an. xn = constante 
 
Exemplos 
 
1. Dividir o número 810 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. 
 
Solução 
 
Denominaremos as 3 partes por A, B e C. Deste modo teremos as duas condições do problema: 
 
(1) A + B + C = 810 
 
(2) 3.A = 4.B = 6.C = Constante 
 
Igualando a primeira parte com a terceira teremos 
A
x C
C 
6
3
2
 (*) 
 
Igualando a segunda parte com a terceira teremos 
B
x C C
 
6
4
3
2
 (**) 
 
Substituindo os resultados (*) e (**) na expressão (1) obtemos: 
 
A + B + C = 810  2.C + 
3
2
C
 + C = 810  
2
1
3
2 1
810
1
C C C
  
 
 
 4.C + 3.C + 2.C = 810. 2  9.C = 810. 2  C = 180 
 
Pela expressão assinalada com um (*) obtemos o valor de A. 
 
A
x C
C x   
6
3
2 2 180 360
 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
22 
 
Pela expressão assinalada com um (**) obtemos o valor de B. 
 
B
C x
  
3
2
3 180
2
270
 
 
2. Os lucros das 3 empresas de um empresário do ramo têxtil foram: 
 
 Malharia "M" - R$ 3.000,00 
 Confecção "C" - R$ 1.000,00 
 Tinturaria "T" - R$ 1.500,00 
 
O empresário deseja investir um capital de R$ 12.000,00 para incrementar seus negócios. 
Considerando que ele fará uma divisão inversamente proporcional aos lucros das empresas, 
quanto que cada uma delas receberá? 
 
Solução 
 
Denominaremos as 3 partes por M, C e T. Deste modo teremos as duas condições do 
problema: 
 
(1) M + C + T = 12.000 
 
(2) 3.000 xM = 1.000 xC = 1.500 xT = Constante 
 
 Igualando a primeira parte com a terceira teremos: 
 
T
xM
M 
3 000
1 500
2
.
.
 (*) 
 
Igualando a primeira parte com a segunda teremos: 
 
C
xM
M 
3 000
1 000
3
.
.
 (**) 
 
 Substituindo os resultados (*) e (**) na expressão (1) obtemos 
 
M + C + T = 12.000  M + 3.M + 2.M = 12.000  
 
6.M = 12.000  M = 2.000 
 
Pela expressão assinalada com um (*) obtemos o valor de T. 
 
 T = 2.M = 4.000 
 
 Pela expressão assinalada com um (**) obtemos o valor de C. 
 
 C = 3.M = 6.000Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
23 
 
Problemas Propostos 
 
1. Deseja-se dividir a quantia de R$ 800,00, de modo inversamente proporcional as idades de 3 
pessoas. Quanto cada uma delas receberá, sabendo que as idades de A, B e C são 
respectivamente 20, 40 e 16 anos? 
 
2. Será construído um shopping center num distrito de 30.000 habitantes composto por três 
cidades C1, C2 e C3. A localização do shopping foi feita de modo que as distâncias a cada uma 
das cidades fosse inversamente proporcional ao número de habitantes, isto é, o shopping ficará 
perto da cidade mais populosa e longe da menos populosa. Quantos habitantes vivem em cada 
cidade, sabendo que as distâncias que as separam do shopping valem respectivamente 6, 10 e 
15 quilômetros? 
 
3. Divida 900 em 4 partes inversamente proporcionais 2, 3, 9, e 12. 
 
 
22..44.. DDIIVVIISSÃÃOO PPRROOPPOORRCCIIOONNAALL CCOOMMPPOOSSTTAA 
 
Neste caso o problema consiste em dividir, em n parcelas, um determinado valor V de 
modo que os valores sejam diretamente ou inversamente proporcionais as grandezas g1, g2, g3,..., 
gn e ao mesmo tempo seja diretamente ou inversamente proporcionais as grandezas p1, p2, 
p3,..., pn. 
 
Para resolver este problema é necessário encontrar as grandezas compostas das 
condições apresentadas pelo problema. 
 
Chamaremos de divisão diretamente-diretamente proporcional o caso de dividirmos um 
valor V de modo que as parcelas sejam diretamente proporcionais à g1, g2, g3,..., gn e também 
diretamente proporcionais à p1, p2, p3,..., pn. Para essa situação as grandezas compostas c1, c2, 
c3,..., cn assumiriam os seguintes resultados: 
 
 c1 = g1. p1 
 c2 = g2. p2 
 c3 = g3. p3 
 ... 
 cn = gn. pn 
 
 
Se fosse diretamente-inversamente proporcionais teríamos de modo análogo 
 
 c1 = g1 / p1 
 c2 = g2 / p2 
 c3 = g3 / p3 
 ... 
 cn = gn / pn 
 
 E se fosse inversamente -inversamente proporcionais, 
 
C
g p
1
1
1 1

.
 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
24 
 
C
g p
2
1
2 2

.
 
 
C
g p
3
1
3 3

.
 
 
.... 
 
Cn
gn pn

1
.
 
 
 
 Desse ponto em diante teremos uma divisão diretamente proporcional as grandezas 
compostas encontradas conforme cada caso. 
Se denominarmos cada parcela de x1, x2, x3,..., xn teremos, 
 
 
 x1 + x2 + x3 + x4 +... + xn = V (pois V é dividido em n partes) 
 
 
 
x
c
x
c
x
c
x
c
xn
cn
1
1
2
2
3
3
4
4
    ...
 
 
 
Exemplos 
 
1. Divida o número 188 em 3 partes de modo que cada uma delas seja diretamente proporcional a 
2, 3 e 4, e diretamente proporcional a 4, 5 e 6. 
 
Solução 
 
1) Calculamos as grandezas compostas 
 
c1 = 2 x 4 = 8 
c2 = 3 x 5 = 15 
c3 = 4 x 6 = 24 
 
2) Equacionamos o problema de divisão diretamente proporcional 
 
 x1 + x2 + x3 = 188 
 
 
x x x1
8
2
15
3
24
 
 
 
3) Resolvemos o sistema 
 
x x
x
x1
8
2
15
2
15 1
8
  
 
 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
25 
x x
x
x
x1
8
3
24
3
24 1
8
3 1   
 
 
Substituindo os valores de x2 e x3 na equação 
 
 x1 + x2 + x3 = 188, obtemos: 
 
x
x
x1
15 1
8
3 1 188  
  
 
x x x1
1
15 1
8
3 1
1
188  
 
 
Calculando o denominador comum, obtemos 8: 
 
8 1
8
15 1
8
24 1
8
188
x x x
  
 
 
47 1
8
188
x

 
 
188 8
47
1 1 32
.
  x x
 
 
Substituindo na equação dos valores de x2 e x3 obtemos: 
 
x
x
x2
15 1
8
1 60  
.
 
 
x3 = 3. x1 = 3. 32 = 96 
 
As partes serão 32, 60 e 90 
 
2. Divida o número 57 em 3 partes de modo que sejam diretamente proporcionais a 5, 12, 32 e 
inversamente proporcionais a 1, 2 e 4. 
 
 Solução 
 
1) Calculamos as grandezas compostas 
 
c1 = 5 / 1 = 5 
c2 = 12 / 2 = 6 
c3 = 32 / 4 = 8 
 
2) Equacionamos o problema de divisão diretamente proporcional 
 
 x1 + x2 + x3 = 57 
 
 
x x x1
5
2
6
3
8
 
 
 
 
3) Resolvemos o sistema 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
26 
 
x x
x
x1
5
2
6
2
6 1
5
  
 
 
x x
x
x1
5
3
8
3
8 1
5
  
 
 
Substituindo os valores de x2 e x3 na equação 
 
 x1 + x2 + x3 = 57, obtemos: 
 
 
x
x x
1
6 1
5
8 1
5
57  
  
 
x x x1
1
6 1
5
8 1
5
57  
  
 
Calculando o denominador comum, obtemos 5. 
 
5 1
5
6 1
5
8 1
5
57
x x x
  
  
 
19 1
5
57
x

  
 
x1 15
 
 
x
x
x2
6 1
5
1 18  
.
 
 
 
x
x
x3
8 1
5
1 24  
.
 
 
 
As partes serão 15, 18 e 24 
 
 
 
Problemas Propostos 
 
1. Divida o número 132 em 3 partes de modo que sejam diretamente proporcionais a 1, 3 e 5; e a 
2, 4 e 6. 
 
2. Divida o número 268 em 3 partes de modo que sejam diretamente proporcionais a 4, 
2
3
 e 1 e 
inversamente proporcionais a 5, 2 e 7. 
 
3. Divida o número 1.070 em partes de modo que sejam inversamente proporcionais a 5, 3 e 2 e 
inversamente proporcionais a 2, 4 e 7. 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
27 
 
 Resumo do Conteúdo e Exemplos 
 
Grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais 
quando o aumento do valor de uma leva ao aumento proporcional do valor da outra. 
 Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma é 
igual à razão dos dois valores correspondentes a eles na outra. 
 Exemplos: 
a) As grandezas tempo de viagem e distância percorrida, relacionadas a um trem que viaja 
à velocidade constante de 70 km/h, são diretamente proporcionais. 
Tempo de viagem (h) 1 2 3 4 
Distância percorrida (km) 70 140 210 280 
 
Observe que o aumento do tempo de viagem corresponde a um aumento proporcional na 
distância percorrida. Isso pode ser comprovado pela razão constante entre valores 
correspondentes: 
 1 2 3 4 
 =  =  =  = . . . 
 70 140 210 280 
b) Encontrar x e y, sabendo que os números da sucessão (20, x, y) são diretamente 
proporcionais aos números da sucessão (4, 2, 1). 
 20 x y x 
 =  =  , logo y = 5 e  = 5  x = 10 
 4 2 1 2 
Grandezas inversamente proporcionais. Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais 
quando o aumento do valor de uma leva à diminuição proporcional do valor da outra. 
 Se duas grandezas são inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma 
grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes a eles na outra. 
Exemplo: 
 As grandezas número de horas e numero de trabalhadores, relacionadas à colheita de 
um lote de laranjas, são inversamente proporcionais. 
N.º de trabalhadores 1 2 3 4 
N.º de horas gastas 12 6 4 3 
(Considere que, normalmente, 1 lote é colhido por 1 trabalhador em 12 horas). 
Observe que o aumento do número de trabalhadores corresponde a uma diminuição 
proporcional do número de horas gastas, e que: 
 1 1 1 1 1 4 
 = =  ;  =  =  ; etc. 
 2 12 2 3 12 12 
   
 6 4 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
28 
Regra de três simples. É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas 
proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois de B. Essas grandezas formam 
uma proporção em que se conhecem três termos e o quarto é o procurado. 
Exemplos: 
a) Cinco metros de tecido custam R$ 80,00. Quanto custam 9 metros desse mesmo tecido? 
comprimento (m)  preço (R$)  
5 80 
9 x 
5 80 
 =   5x = 9 . 80  5x = 720  x = R$ 144,00 
9 x 
b) Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1 hora e 30 minutos. 
Quantas torneiras iguais a essas seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 
54 minutos? 
tempo  n.º torneiras  
90 3 
54 x 
 90 x 
 =   54x = 90 . 3  54x = 220  x = 5 torneiras 
 54 3 
c) Uma cachoeira tem vazão de 2.830.000 m3/s. Quantos m3 de água passam por essa 
cachoeira em 1 dia? 
tempo (s)  volume (m3)  
1 2.830.000 
86.400 x 
x = 2.830.000 . 86.400  x = 244.512.000.000 m3 
d) Um navio partiu para uma viagem em alto mar, levando a bordo reservas suficientes para 
alimentar seus 12 tripulantes durante 31 dias. Após 1 dia de viagem, percebeu-se a 
presença de 3 passageiros clandestinos, que precisavam também de ser alimentados. 
Nessas condições, quantos dias ainda vão durar as reservas de alimentos? 
 Como já passou 1 dia, restam 30 dias. 
nº de pessoas  n.º de dias  
12 30 
15 x 
 12 x 
 =   15x = 12 . 30  15x = 360  x = 24 dias 
 15 30 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
29 
Exercícios Propostos 
1) Por 8 metros de um tecido paguei R$ 32,00. Quanto pagaria se tivesse comprado 15 metros 
do mesmo tecido? 
2) Sabe-se que 8 kg de café cru resultam em 6 kg de café torrado. Quantos quilos de café cru 
devem ser levados ao forno para obtermos 27 kg de café torrado? 
3) Um automóvel percorreu 300 km com 20 litros de gasolina. Quantos quilômetros esse 
automóvel percorre com apenas 1 litro de gasolina? 
4) Desejo ler um livro de 400 páginas. Nas primeiras 2 horas consegui ler 25 páginas. 
Continuando nesse ritmo em quantas horas lerei o livro inteiro? 
5) Para transportar certo volume de areia para uma construção foram utilizados 30 caminhões, 
carregados com 4 m3 de areia cada um. Adquirindo-se caminhões com capacidade para 5 
m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer tal serviço? 
6) Uma árvore de 4,2 m de altura projeta uma sombra de 3,6 m. No mesmo instante, outra 
arvore projeta uma sombra de 2,8 m. Qual a altura da segunda árvore? 
7) Um terreno retangular tem 12 m de comprimento e 15 m de largura. Se diminuirmos 2 m no 
comprimento do terreno, quantos metros devemos aumentar na largura para que a área 
permaneça a mesma? 
8) A distância entre duas cidades é de 800 km. Um trem com velocidade constante percorreu 
em 3 horas os primeiros 120 km. Quanto tempo levará para percorrer os quilômetros 
restantes? 
9) Em três dias foram construídos 3/10 do comprimento de um muro. Supondo que o trabalho 
continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias o muro estará pronto? 
10) Uma placa de chumbo de 8 cm de comprimento e 6 cm de largura pesa 36 u.p. (unidade de 
peso). Quanto pesará outra placa do mesmo material e da mesma espessura, só que 
quadrada, com 10 cm de lado? 
11) Um tanque tem 3 torneira. A primeira enche o tanque em 25 horas; a segunda, em 40 horas; 
já a terceira o esvazia em 20 horas. Abrindo-se as três torneiras e estando o tanque vazio, 
em quanto tempo o tanque ficará cheio? 
12) Um tanque tem três torneiras. A primeira despeja 7 litros e 3/4 por minuto; a segunda 8 litros 
e 2/5 e a terceira 10 litros e 3/8. A capacidade do tanque é de 4.244 litros. Abrindo-se as três 
torneiras ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque ficará cheio? 
13) Um tanque tem duas torneiras. A primeira enche o tanque em 15 horas e a segunda em 18 
horas. Abrem-se as duas. Depois de 5 horas fecha-se a segunda. Em quanto tempo a 
primeira acabará de encher o tanque? 
14) Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 kg de alfafa durante 7 dias. Para alimentar 8 
cavalos durante 10 dias, quantos quilos de alfafa serão necessários? 
15) Se 20 operários levam 10 dias para levantar um muro de 2 m de altura e 25 m de 
comprimento, quantos dias levarão 15 operários para construir um outro (de mesma largura), 
mas com 3 m de altura e 40 m de comprimento? 
16) Para fazer compras nos EUA dispunha de 1.000 marcos alemães. A cotação americana para 
compra de marcos, naquele dia, era de 0,305. Quantos dólares comprei? 
17) Se com um dólar americano posso comprar 2,52 marcos alemães ou 10,08n francos 
franceses, pergunta-se: quantos marcos posso comprar com 1.000 francos? 
Matemática Aplicada ao Marketing 26/06/14 
 
30 
 
 Respostas 
1. R$ 60,00 
2. 36 kg 
3. 15 km 
4. 32 horas 
5. 24 caminhões 
6. 3,27 m 
7. 3 m 
8. 17 horas 
9. 10 dias 
10. 75 u.p. 
11. 66 h e 40 min 
12. 160 min 
13. 5 h e 50 min 
14. 800 kg 
15. 32 dias 
16. 305,00 dólares 
17. 250 marcos