1 Posição relativa de duas retas

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POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS 
Disciplina: Geometria Descritiva – MAT012 
Professor Vinícius Barbosa de Paiva 
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Duas retas no espaço podem ser: 
– Concorrentes; 
– Paralelas; 
– Reversas. 
 
 Se estiverem situadas em um mesmo plano serão 
concorrentes ou paralelas, caso contrário, serão 
reversas. 
 
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Considere a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(r) está situada no plano (α); 
(s) possui apenas um ponto, (M), em comum com o plano (α); 
 
Conclusão: 
O ponto (M) e a reta (r) definem o plano (α) e a reta (s) a ele 
não pertence. 
 
Dizemos que as retas (r) e (s) são reversas ou não coplanares, 
ou seja, não estão no mesmo plano. 
 
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(r) e (s) são concorrentes – possuem o ponto (M) em 
comum; 
 
(r1) e (s1) são paralelas – não admitem ponto em comum; 
Caso estejam situadas em um mesmo plano (α), dizemos 
que são coplanares; 
RETAS CONCORRENTES – (No espaço) 
 Se duas retas (r) e (s) são concorrentes, existe um 
ponto (P) que pertence simultaneamente às duas retas. 
(Obs: Considerando-se que nenhuma delas é de perfil): 
 
(P) Є (r)  P Є r e P' Є r'  (1) 
(P) Є (s)  P Є s e P' Є s'  (2) 
 
De (1) e (2), tem-se: 
 P Є (r  s) e P' Є (r' s‘) 
Sabemos que P e P' são projeções de um mesmo ponto 
(P), então, estarão situados em uma mesma linha de 
chamada, ou seja, pertencem a uma perpendicular à 
linha de terra. 
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Conclusão: 
 Para que duas retas sejam concorrentes, as 
interseções das projeções horizontais e verticais devem 
estar sobre uma mesma linha de chamada do ponto (P), 
interseção das duas retas. 
 
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Observação: 
 
 Duas projeções de mesmo nome se confundem 
(coincidentes) e as outras duas se cortam. 
 
 
 
1º Caso: 
(r) e (s) possuem projeções verticais coincidentes: serão 
concorrentes, se as projeções horizontais se interceptarem. 
 
 
 
 
 
 
É o caso em que os planos projetantes, das duas retas, 
sobre o plano vertical, coincidem. Existe o ponto (P) comum 
às duas retas, já que suas projeções estão situadas sobre as 
projeções de mesmo nome das retas (r) e (s). 
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2º Caso: 
(r) e (s) possuem projeções horizontais coincidentes: serão 
concorrentes, se as projeções verticais se interceptarem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As retas (r) e (s) são concorrentes, pois, existe um ponto (P) 
que pertence às duas retas, por ter projeções sobre as 
projeções de mesmo nome das retas. 
 
 
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3º Caso: 
Uma das projeções de uma das retas se reduz a um ponto 
situado sobre a projeção de mesmo nome da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As retas (r) e (s) são concorrentes, pois, existe um ponto 
(M) que pertence às duas retas, por ter projeções sobre as 
projeções de mesmo nome das retas. 
 
 
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Conclusão: 
 
 Verificar se duas retas são concorrentes, é verificar 
se existe um ponto comum às duas retas, ou seja, que 
tenha projeções sobre as projeções de mesmo nome das 
duas retas, por uma linha de chamada. 
 
 
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RETAS PARALELAS 
 Se duas retas (r) e (s) forem paralelas, os planos 
projetantes de ambas, sobre o plano horizontal, serão 
paralelos. Portanto, suas projeções horizontais são 
paralelas e de forma análoga, suas projeções verticais 
serão também paralelas. 
 
 Reciprocamente, se r for paralela à s, o plano (α) 
que contém r, perpendicular ao plano horizontal será 
paralelo ao plano (β) que contém s, perpendicular ao 
plano horizontal e, se r' for paralela à s', o plano (α') que 
contém r' perpendicular ao plano vertical será paralelo 
ao plano (β') que contém s', perpendicular ao plano 
vertical. 
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Mas: 
 (r) Є (a)  (a') 
 e 
 (s) Є (b)  (b') 
 
 
 Como (a) // (b) e (a') // (b')  (r) // (s) 
Exemplos de retas paralelas: 
 
r // s e r' // s'  (r) // (s). 
 
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r  s  (a)  (b)  (r) e (s) estão situadas em um mesmo plano. 
 
Mas, duas retas de um plano ou são concorrentes ou paralelas. 
 
(r) e (s) não são concorrentes, pois, r' // s'  (r) // (s) 
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r'  s'  (a')  (b')  (r) e (s) estão situadas em um mesmo plano. 
 
Mas, duas retas de um plano ou são concorrentes ou paralelas. 
 
(r) e (s) não são concorrentes, pois, r // s  (r) // (s). 
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RETAS REVERSAS 
Duas retas são reversas se não estiverem situadas em um 
mesmo plano, ou seja, se não forem concorrentes ou paralelas. 
Alguns exemplos de retas reversas: 
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 Os pontos de interseção das projeções horizontal e 
vertical não estão situados em uma mesma linha de chamada, 
portanto, as retas (r) e (s) são reversas. 
• Os pontos (P) de (r) e (s) que têm projeções horizontais 
coincidentes, têm projeções verticais distintas. 
• Os pontos (Q) de (r) e (s) que têm projeções verticais 
coincidentes, têm projeções horizontais distintas. 
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 As retas (r) e (s) não são concorrentes porque as projeções 
verticais são paralelas e, não são paralelas porque as projeções 
horizontais são concorrentes. Portanto, as retas (r) e (s) são 
reversas. 
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 As retas (r) e (s) não são concorrentes porque as 
projeções horizontais são paralelas e, não são paralelas porque 
as projeções verticais são concorrentes. 
 Portanto, as retas (r) e (s) são reversas. 
Referências Bibliográficas: 
• GUIMARÃES, H. Silva. Geometria Descritiva: Notas de aula. Universidade 
Federal de Ouro Preto – Minas Gerais. 
• MAMAR, Rubens. Exercícios de geometria descritiva. São Paulo : Plêiade, 
2007. 
• MANDARINO, D. Geometria descritiva. São Paulo : Plêiade, 2003 
• PRÍNCIPE JUNIOR, A. dos R. Noções de geometria descritiva: volume 1. 
São Paulo : Nobe 
• FORSETH, K. Projetos em Arquitetura. São Paulo : Hemus, [20--]. 
• JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. Florianópolis : Ed. UFSC, 2006. 
• LACOURT, H. Noções e fundamentos de geometria descritiva. Rio de 
Janeiro : Guanabara Koogan, 1995. 
• MONTENEGRO, G. Geometria descritiva: volume 1. São Paulo : Edgard 
Blücher, 2004. 
• PEREIRA, A. A. Geometria descritiva: volume 1. Rio de Janeiro : Quartet, 
2001.l, 1983. 
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