Aula 07 Trabalho e Energia em Corpos Rígidos

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➢ Desenvolver formulações para a energia cinética de um corpo e
definir os vários modos como forças e torques realizam
trabalho;
➢ Aplicar o princípio do trabalho e energia para resolver
problemas de dinâmica do movimento plano de um corpo rígido
que envolvem força, velocidade e deslocamento.
➢ Mostrar como a conservação da energia pode ser usada na
resolução de problemas.
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Objetivos desta seção:
CAP 4. DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS:
TRABALHO E ENERGIA
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4.1. Energia Cinética
4.2. Trabalho de uma Força
4.3. Trabalho de um Momento
4.4. Princípio do Trabalho e Energia
4.5. Energia Potencial
4.6. Conservação da Energia
Conteúdo desta Seção:
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4.1. Energia Cinética de Corpos Rígidos
A) Corpo em Movimento Plano Geral
22
2
1
2
1 GG JmvT 
A energia cinética deste compactador de solo
consiste na energia cinética de translação do
corpo ou da estrutura da máquina e nas energias
de translação e rotação do rolo e das rodas em
seu movimento plano geral.
Estamos excluindo as perdas cinéticas
adicionais desenvolvidas pelas partes móveis do
motor e da transmissibilidade.
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B) Corpo em Rotação em Torno de um Eixo Fixo
22
2
1
2
1 GG JmvT 
22
2
1
)(
2
1  GG JrmT  222
2
1
2
1  GG JmrT    22
2
1 GG mrJT  2
2
1
OJT 
5
B) Corpo em Translação
22
2
1
2
1 GG JmvT 
2
2
1
GmvT 0
6
Exemplo 4.1
O sistema de três elementos
mostrado na figura consiste em um
bloco B de 6 kg, um disco D de 10
kg e um cilindro C de 12 kg. Se não
há escorregamento, determine a
energia cinética total do sistema na
situação mostrada.
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4.2. Trabalho de uma Força
➢ Uma força aplicada em um corpo realiza um trabalho quando produz
um deslocamento no corpo na direção da aplicação da força.
➢ Quando uma força tem o mesmo sentido do movimento o trabalho
realizado é positivo:  >0;
➢ Quando uma força tem sentido oposto ao movimento o trabalho
realizado é negativo:  <0.
Seja uma força constante de módulo Fc aplicada em um corpo que se 
desloca de s1 a s2, o trabalho é dado por: )( 1221 ssFc 
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A) Trabalho de uma Força Variável
Se uma força externa F age num corpo rígido, o trabalho realizado por
essa força quando seu ponto de aplicação se move ao longo da trajetória
s é dado por:
 sF dsF cos
O ângulo  é o ângulo formado
entre o vetor força e o vetor
deslocamento infinitesimal.
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B) Trabalho de uma Força Constante
 sF dsF cos sFF )cos(  
Se uma força externa F agindo num
corpo rígido mantém constantes sua
intensidade e sua direção 
relativamente à trajetória, durante um
movimento de translação retilínea s,
então:
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C) Trabalho de um Peso
O peso de um corpo rígido realiza trabalho
apenas se seu centro de massa G sofre um
deslocamento vertical y. Se esse
deslocamento é para cima, o trabalho é
negativo, pois o peso e o deslocamento têm
sentidos opostos. )( yWW 
Se esse deslocamento é para baixo, o trabalho é positivo.
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D) Trabalho da Força de uma Mola agindo num Corpo
Se um corpo é ligado à extremidade livre de uma mola elástica linear, a força
elástica Fs=ks agindo no corpo realiza trabalho quando a mola se distende ou
se comprime de uma posição s1 a outra s2, mais distante.
Em ambos os casos, o trabalho é negativo, pois o deslocamento do corpo se dá
no sentido oposto ao da força elástica. O trabalho é dado por:








2
1
2
2
2
1
2
1
21 
ksksk
* O trabalho de forças 
conservativas é igual a 
diferença de suas energias 
potenciais: 2121 VV  
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E) Forças que não Realizam Trabalho
Há algumas forças externas que não realizam trabalho quando o corpo se
desloca.
Essas forças podem agir em pontos fixos do corpo ou são perpendiculares ao
deslocamento de seus pontos de aplicação.
Como exemplos temos:
- as reações em um pino de suporte em torno do
qual um corpo gira;
- a reação normal agindo num corpo que se move
sobre uma superfície fixa;
- o peso de um corpo quando o seu centro de
massa se move num plano horizontal.
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A força de resistência Fr agindo num ponto de contato de um corpo que rola
sem escorregar sobre uma superfície áspera também não realiza trabalho.
Isso ocorre porque, durante um tempo infinitesimal dt, Fr , age num ponto do
corpo que possui velocidade nula (centro instantâneo de velocidade nula, CI),
e, portanto, o trabalho realizado pela força é nulo.
Em outras palavras, o ponto não se desloca na direção da força durante esse
tempo. Como Fr contata pontos sucessivos na mesma condição, o trabalho
dessa força é nulo.
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4.3. Trabalho de um Torque ou Momento
Quando um corpo submetido a um momento (torque) M está em movimento
plano geral, esse momento realiza trabalho apenas quando o corpo sofre
uma rotação. )( 12   MM
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Exemplo 4.2
A barra mostrada na figura tem massa de 10 kg e está submetida a um
momento M = 50 N.m e uma força de intensidade P = 80 N aplicada
sempre perpendicularmente à barra, na sua extremidade livre. Além disso,
a mola tem um comprimento de 0,5 m, quando não deformada, e se
mantém na posição vertical devido à guia para o rolete B.
Determine o trabalho total
realizado por todas as forças e
momentos agindo na barra,
quando esta gira para baixo de 0o
a 90o .
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Diagrama de Corpo Livre:
17
4.4. Princípio do Trabalho e Energia 2211 TT  
A energia cinética de translação e de rotação inicial mais o
trabalho realizado por todas as forças e torques externos
agindo no corpo rígido, conforme este se move de sua posição
inicial à sua posição final, é igual à energia cinética de
translação e de rotação final do corpo.
Princípio do trabalho e energia
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O trabalho do torque ou momento desenvolvido pelas
engrenagens motrizes dos dois motores se transforma
em energia cinética de rotação da betoneira.
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Exemplo 4.3
O disco de massa 30 kg mostrado na figura pode girar em torno do pino em
seu centro. Determine o número de revoluções que ele deve realizar para
atingir a velocidade angular de 20 rad/s, a partir do repouso.
Sobre o disco agem uma força constante F =10 N, que é aplicada pela corda
enrolada em sua periferia, e um momento de valor constante M=5 N.m.
Despreze a massa da corda.
20
Diagrama de Corpo Livre:
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Exemplo 4.4
A barra de 10 kg mostrada na Figura está vinculada de forma que suas
extremidades movem-se em ranhuras. A barra está inicialmente em repouso
quando =0o. Se o bloco deslizante B está submetido a uma força horizontal
P=50 N, determine a velocidade angular da barra no instante em que =45o.
Despreze os atritos e as massas dos blocos A e B.
22
Diagrama de Corpo Livre
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4.5. Energia Potencial
Energia Potencial. Esta energia é definida como a capacidade de realizar
trabalho.
É uma medida da quantidade de trabalho que uma força
conservativa é capaz de realizar
Há a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.
Energia Cinética : Energia proveniente do movimento de um ponto material
Energia Potencial: Energia associada à posição de um corpo, medida em 
relação a uma linha ou plano de referência fixo 
* Só há energia potencial associada a forças conservativas
eg VVV 
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Força Conservativa. Quando o trabalho realizado por uma força sobre um
corpo que se move de um ponto a outro é independente da trajetória percorrida
pela partícula, diz-se que a força é conservativa.
Exemplos de forças conservativas: Força peso e força de uma mola elástica.
Exemplo de forças não-conservativas: Força de atrito e resistência do ar.
O trabalhorealizado por uma forças conservativas que deslocam o
corpo de uma posição 1 para outra posição 2 é medido pela diferença
entre as energias potenciais inicial (1) e final (2).  2121 VVcons  
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A) Energia Potencial Gravitacional Gg WyV 
A energia potencial
gravitacional do corpo é
determinada conhecendo-se a
altura do centro de gravidade
acima ou abaixo da linha ou
nível de referência escolhido.
Positivo, pois o corpo tem 
capacidade de realizar 
trabalho positivo
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B) Energia Potencial Elástica
2)(
2
1
skVe 
A energia potencial elástica armazenada pela mola quando a mesma é
deslocada a partir do repouso até a posição final s, é:
Positivo, pois o corpo tem 
capacidade de realizar 
trabalho positivo
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No caso geral, se um corpo está submetido simultaneamente a forças
gravitacionais e elásticas, a energia potencial do corpo pode ser
expressa pela soma algébrica:
eg VVV 
A medida de V depende da localização do ponto material em relação
às referências escolhidas.
O trabalho realizado por forças conservativas que deslocam o corpo
de uma posição inicial, 1, para a posição final, 2, é medido pela
diferença entre as energias potenciais inicial e final do corpo.
  2121 VVcons  
Resumo:
28
4.6. Conservação da Energia
Quando um corpo é submetido simultaneamente a forças conservativas e
não conservativas, o princípio do trabalho e energia pode ser escrito como:   2. 21211 )( TVVT consnão   
Se somente forças conservativas que realizam trabalho, a equação acima se
reduz a: 2211 VTVT Conservação da Energia 
Mecânica
Durante o movimento, a soma das energias cinética e potencial 
(isto é, a energia mecânica) permanece constante
A parcela do trabalho realizado pelas forças conservativas pode ser escrita 
em termos das diferenças das respectivas energias potenciais. Então,
    2. 21.211 TT consnãocons    
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Exemplo 4.5
A barra AB de 10 kg mostrada na figura tem seus movimentos restritos
pelas ranhuras horizontal e vertical. A mola tem uma rigidez k=800 N/m e
não está deformada quando =0o. Determine a velocidade angular de AB
quando =0o, se a barra é solta a partir do repouso quando =30o.
Despreze a massa dos blocos deslizantes.
30
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Exemplo 4.7
O disco mostrado na figura possui peso 30 lb e raio de giração kG=0,6 pé.
Ele está preso a uma mola de rigidez k=2 lb/pé e comprimento de 1 pé
quando não deformada. Se o disco é solto a partir do repouso na posição
mostrada na figura e rola sem escorregar, determine sua velocidade angular
após G ter percorrido 3 pés para a esquerda.
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4ª Avaliação
1a) Os quatro corpos da Figura 1 estão
ligados entre si por uma corda. A massa
do disco A é igual a (2× R1) kg e raio
rA=0,8 m e ele gira sem escorregar. As
roldanas B e C têm massa iguais a 3 kg e
com raios iguais a 0,4 m. O bloco D tem
massa 15 kg. Sabendo-se que o bloco D
neste instante tem velocidade de 1,2 m/s
e não há escorregamento nas roldanas,
determine a energia cinética total do
sistema.
➢ Para ser resolvida em equipe de até 3 componentes. Equipe com 4 ou 
mais não serão consideradas;
➢ Aluno 1: R1; Aluno 2: R2: Aluno 3: R3 (Cada Ri (i=1,2,3) corresponde ao 
último dígito do número de matrícula de cada aluno;
➢ Entrega: Até às 18:30h de 02/02/18 na sala 204. Multa de 3 pontos por 
dia por atraso.
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2ª) O alçapão da Fig. abaixo no piso de uma casa tem massa R2 kg e está
submetido a um momento M de 80 N.m constante no sentido anti-horário e
uma força F de 120 N aplicada sempre perpendicularmente ao alçapão na sua
extremidade de abertura D. Uma mola que desliza livremente na sua
extremidade de rolete B está fixa em C, ficando sempre na vertical à medida
que se abre o alçapão. A mola possui uma constante elástica k=50 N/m e
comprimento natural de 0,5 m. Determine o trabalho total realizado por todas
as forças e momentos agindo na alçapão quando este gira da posição
horizontal (=0o) até a posição vertical (=90o).
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3ª) A Fig. abaixo mostra uma correia transportadora que move uma massa M
de (R310) kg. Os cilindros A e B têm diâmetro de 0,3 m e massa de 15 kg cada
um. Além disso, eles possuem raio de giração de 0,12 m. Os roletes C, D, E, F e
G têm diâmetro de 75 mm, massa de 4,5 kg e raio de giração de 25 mm cada
um. Qual o valor constante de torque (aplicado em B) que elevará a velocidade
de M de 0,3 m/s para 0,9 m/s após percorrer 1,5 m? Não ocorre deslizamento
em nenhum rolete nem nos cilindros. A correia tem massa de 12 kg.
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4a) Um cabo é enrolado em torno de um cilindro de massa mC=20 kg e
raio rC=25 cm, passa por uma polia de massa mP=8 kg e raio rP= 12,5 cm e
se encontra ligado a um bloco de massa mB=5 kg. Considere que a polia e
o cilindro são discos uniformes com momento de inércias JGi=miri
2/2 em
relação ao centros de giro e que o corpo B parte do repouso. O cabo é
inextensível, de massa desprezível, e não escorrega no cilindro ou na
polia. Determine a velocidade do bloco depois de ele ter descido de uma
altura de R1 m.
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5ª) No equipamento de forjamento mostrado na Fig. abaixo, o martelo de (R210)
kg é suspenso para a posição 1 e largado. O martelo então cai e atinge a peça de
trabalho na posição 2. A constante de cada mola é k=1500 N/m, e a tensão (força
elástica) em cada mola é 150 N quando o martelo está na posição 2. Despreze o
atrito e determine:
a) Qual a velocidade do martelo no momento antes de atingir a peça de trabalho?
b) Assumindo que toda a energia cinética é transferida para a peça de trabalho,
qual a potência média que é transferida para a peça se a duração do impacto é
0,02s?