Análise de Regressão e Reta Ajustada

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REGRESSÃO
Introdução
Uma vez caracterizada a relação, procuramos descrevê-la
através de uma função matemática. Neste sentido, a
análise de regressão tem por objetivo descrever, através
de um modelo matemático, a relação entre duas
variáveis.
Regressão
• Sempre que desejamos estudar determinada
variável em função de outra, fazemos uma
análise de regressão.
• A variável sobre a qual desejamos fazer uma
estimativa recebe o nome de variável
dependente e a outra recebe o nome de
variável independente.
Análise de regressão
A análise de regressão tem por objetivo
descrever, através de um modelo matemático, a
relação existente entre duas variáveis, a partir de
n observações dessas variáveis.
Supondo x a variável explicativa e y a variável
resposta, temos que:
Regressão Linear simples
Considere que a relação entre x e y seja dada através
de uma relação estatística. Sendo assim, a relação
entre x e y deverá ser escrita por
onde a variável aleatória e representa um erro
aleatório que possui média zero.
Análise de regressão
Regressão Linear simples
Dado um conjunto de valores observados de x e y,
construir um modelo de regressão linear simples
consiste em obter, a partir desses valores, uma relação
que melhor represente a relação verdadeira entre
essas variáveis.
Onde α e β são os parâmetros do modelo de
regressão. A determinação dos valores dos
parâmetros dessa reta é denominada de
ajustamento.
Regressão Linear simples
Para realizar o ajustamento do modelo de regressão ,
podemos escolher valores para α e β de tal forma a
minimizar a soma dos quadrados dos erros, ou seja:
Este método é chamado de método de mínimos
quadrados.
Método de mínimos quadrados
Costuma-se usar as seguintes notações para o numerador e
denominador da expressão que define β:
e
Método de mínimos quadrados
Assim temos: 
e 
Regressão Linear simples
Como estamos fazendo uso de uma amostra para
obtermos os valores dos parâmetros, os resultados
obtidos serão, na realidade, uma estimativa da
verdadeira equação de regressão. Sendo assim:
Exercícios
• Exemplo:
Considere os resultados de dois testes, x e y, obtidos por 
um grupo de alunos da escola A:
a)Estabeleça a equação da reta.
b)Estime y para x=23.
Xi 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37
Yi 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25
• Exercício 01:
Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis
“consumo de energia elétrica” (xi) e “volume de produção
nas empresas industriais” (yi), fez-se uma amostragem
que incluiu vinte empresas, computando-se os seguintes
valores:
a)Estabeleça a equação da reta.
b)Estime o volume de produção (y), para um consumo de 
energia elétrica (x)igual a 10, 2.
∑xi 11,34
∑yi 20,72
∑xi2 12,16
∑yi2 84,96
∑xi.yi 22,13
Exercício 02:
Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu 
produto em relação a variação de preço de venda, obteve:
a)Estabeleça a equação da reta.
b)Estime y para x=60 e x=120.
PREÇO 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110
DEMANDA 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208
• Exercício 03:
Sejam 10 observações de duas variáveis x e y, entre
os quais existe uma correlação acentuada. Determine a
reta ajustada.
∑xi 65
∑yi 65
∑xi2 481
∑yi2 475
∑xi.yi 473
O poder explicativo do modelo (R2)
Frequentemente chamado de coeficiente de determinação, o
poder explicativo da regressão tem por objetivo avaliar a
“qualidade” do ajuste. É denotado por R2 e pode ser expresso
por:
ou
onde
Análise de regressão
O poder explicativo do modelo (R2)
• O coeficiente de determinação pode assumir valores
no intervalo [0, 1].
• Quando R2 = 0, a variação explicada de y é zero, ou
seja, a reta ajustada é paralela ao eixo da variável x.
R2 = 0
O poder explicativo do modelo (R2)
• Se R2 = 1, a reta ajustada explicará toda a variação de
y.
• Quanto mais próximo de 1 estiver o valor de R2,
melhor a qualidade do ajuste da função aos pontos do
diagrama de dispersão . Quanto mais próximo de
zero, pior a qualidade do ajuste.
R2 = 1
O poder explicativo do modelo (R2)
• INTERPRETAÇÃO: Se o poder explicativo for 98%,
isto significa que 98% das variações de y são
explicadas por x através da função escolhida para
relacionar as duas variáveis. Ainda, podemos concluir
que 2% da explicação é atribuída a causas externas.
0 < R2 < 1
Exercícios
• Exercício 04:
Sejam 10 observações de duas variáveis x e y, entre
os quais existe uma correlação acentuada. Determine o
poder explicativo da regressão.
∑xi 65
∑yi 65
∑xi2 481
∑yi2 475
∑xi.yi 473