Assimetria e Curtose Parte 2

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 Mo = Md = x
Estatística – Prof. Júlio Lociks
Medidas de Assimetria e de Curtose
Assimetria
As medidas de assimetria indicam o grau de assimetria de uma distribuição de freqüências
unimodal em relação a uma linha vertical que passa por seu ponto mais elevado. 
Distribuição Simétrica
Graficamente, uma distribuição simétrica tem associada a si uma curva de freqüências
unimodal apresentando duas "caudas" simétricas em relação a uma linha vertical que passa por seu
ponto mais alto (eixo de simetria).
Simétrica: Mo = Md = x
Distribuições Assimétricas
Uma distribuição assimétrica tem associada a si uma curva de freqüências unimodal que
apresenta, a partir do seu ponto mais alto, uma "cauda" mais longa para a direita (assimetria
positiva) ou para a esquerda (assimetria negativa).
Nas distribuições assimétricas os valores da moda, da mediana e da média divergem sendo
que a média sempre estará do mesmo lado que a cauda mais longa .
xMd
 f
 Mo
Assimétrica à direita (Positiva): x à direita da Mo (Mo < Md < x )
x Md
 f
 Mo
Assimétrica à esquerda (Negativa): .... x à esquerda da Mo (x < Md < Mo)
Coeficientes de Assimetria (AS)
Um coeficiente de assimetria quantifica o desvio de uma distribuição em relação a uma
distribuição simétrica e o sinal resultante do seu cálculo nos dá o tipo de assimetria da distribuição.
Coeficientes de Pearson
Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson:
S
MoxAS P
−
=1
Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson:
S
MdxAS P
)(3
2
−⋅
=
Teoricamente, o segundo coeficiente de assimetria de Pearson pode variar entre −3 e +3. Na
prática, porém, raramente ultrapassará os limites de −1 e +1.
Os valores dos dois coeficiente de assimetria de Pearson serão iguais somente quando a
distribuição for simétrica. 
Segundo Toledo & Ovale (Estatística Básica – Ed. Atlas), quando a distribuição não tiver forte
assimetria, o segundo coeficiente deverá ser usado preferencialmente ao primeiro.
Coeficiente Quartílico de Assimetria
Sejam A1 distância entre a mediana e o primeiro quartil e A2 a distância entre a mediana e o
terceiro quartil, ambas tomadas em termos positivos, como ilustra a figura abaixo: 
Define- se o coeficiente quartílico de assimetria como:
12
12
AA
AAASQ
+
−
=
O coeficiente quartílico de assimetria está sempre compreendido entre −1 e +1.
Coeficiente Momento de Assimetria
Sejam m 2 e m 3 os momentos de segunda e de terceira ordem centrados na média, define-
se o coeficiente momento de assimetria como sendo:
3
3
3
2
3
)( S
m
m
m
AS m ==
Curtose
Denomina - se curtose ao grau de “achatamento” de uma distribuição de freqüências,
geralmente unimodal, medido em relação ao de uma distribuição normal (de Gauss) que é tomada
como padrão.
Muito embora seja comum explicar a curtose como o “grau de achatamento” de uma
distribuição de freqüências, o que as medidas de curtose buscam indicar realmente é o grau de
concentração de valores da distribuição em torno do centro desta distribuição.
Numa distribuição unimodal, quanto maior for a concentração de valores em torno do centro da
mesma, maior será o valor da sua curtose. Graficamente isto será associado a uma curva com a
parte central mais afilada, mostrando um pico de freqüência simples mais destacado, mais
pontiagudo, caracterizando a moda da distribuição de forma mais nítida.
Dizemos que uma distribuição de freqüências é:
Mesocúrtica – quando apresenta uma medida de curtose igual à da distribuição normal.
Platicúrtica – quando apresenta uma medida de curtose menor que a da distribuição normal.
Leptocúrtica - quando apresenta uma medida de curtose maior que a da distribuição normal.
Coeficiente Percentílico de Curtose
Este coeficiente é definido como o quociente entre a amplitude semi- interquar tílica e a
amplitude entre o 10 o e o 90 o percentis.
1090
13
2
PP
QQ
Cp
−


 −
=
O valor deste coeficiente para a curva normal é 0, 26367... 
Assim sendo, ao calcularmos o coeficiente percentílico de curtose de uma distribuição
qualquer teremos:
Quando Cp ≅ 0,263 → diremos que a distribuição é mesocúrtica .
Quando Cp < 0,263 → diremos que a distribuição é platicúrtica .
Quando Cp > 0,263 → diremos que a distribuição é leptocúrtica .
Coeficiente Momento de Curtose
O coeficiente momento de curtose é definido como o quociente entre o momento centrado
de quarta ordem (m 4) e o quadrado do momento centrado de segunda ordem (variância).
( ) 4
4
2
2
4
S
m
m
mCm ==
O valor deste coeficiente para a curva normal é 3,00. 
Portanto:
Quando Cm ≅ 3,00 → diremos que a distribuição é mesocúrtica .
Quando Cm < 3,00 → diremos que a distribuição é platicúrtica .
Quando Cm > 3,00 → diremos que a distribuição é leptocúrtica .