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Matrizes e Determinantes Elaine Gouveˆa Pimentel DMAT/UFMG elaine@@mat.ufmg.br Maio de 2005 1 Matrizes 1.1 Introduc¸a˜o Suponhamos que o responsa´vel pelo almoxarifado de uma empresa de produtos qu´ımicos resolva organizar o seu estoque de reagentes. Para cada reagente con- tido no almoxarifado e para cada meˆs do ano, ele deve destacar a quantidade do produto em estoque. Exerc´ıcio 1 Proponha uma maneira eficiente de organizar os seguintes produ- tos, onde os nu´meros entre pareˆnteses indicam a quantidade do reagente em estoque nos meses de janeiro, fevereiro, marc¸o e abril, respectivamente: • a´cido clor´ıdrico (23, 10, 17, 32); • hidro´xido de amoˆnia (42, 13, 44, 27); • sulfato de alumı´nio (12, 15, 7, 16); A soluc¸a˜o mais utilizada para este tipo de problema e´ a construc¸a˜o de uma tabela, onde as linhas podem representar os reagentes e as colunas, os meses. E´ poss´ıvel simplificar a forma de representar o movimento do estoque na empresa colocando apenas os respectivos resultados de cada meˆs, ocultando os nomes de reagentes e meses: 23 10 17 3242 13 44 27 12 15 7 16 Desta forma, se quisermos saber a quantidade em estoque do produto hidro´xido de amoˆnia no meˆs de marc¸o, basta procurar o nu´mero que esta´ na segunda linha e terceira coluna: 44. Esse tipo de organizac¸a˜o recebe o nome de matriz.1 Formalmente, uma matriz e´ um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas. No exemplo acima, a matriz possui treˆs linhas e quatro colunas. Dizemos que esta e´ uma matriz de ordem (ou tipo) 3x4 (leˆ-se treˆs por quatro). Em geral, uma matriz de ordem mxn possui m linhas e n colunas. Exerc´ıcio 2 Uma indu´stria possui 3 fa´bricas: I, II e III, que produzem por meˆs 30, 40 e 60 unidades, respectivamente, do produto A, e 15, 20 e 10 unidades do produto B. a) Formar a matriz fa´bricas x produtos. b) Escrever o tipo da matriz anterior. Exerc´ıcio 3 Uma matriz possui 6 elementos. Quais sa˜o as suas poss´ıveis or- dens? 1Podemos utilizar tambe´m pareˆnteses, ao inve´s de colchetes, na representac¸a˜o de matrizes. 1 1.2 Representac¸a˜o Alge´brica Comec¸aremos com a notac¸a˜o: utilizaremos sempre letras maiu´sculas para in- dicar matrizes e letras minu´sculas com ı´ndices para designar seus elementos. Exerc´ıcio 4 Dada a matriz −1 2 3 12 −2 12 1 − 4 5 7 −2 1 −7 116 determinar: a) O elemento da segunda linha e primeira coluna; b) O elemento da terceira linha e quarta coluna; A matriz do exerc´ıcio anterior pode ser escrita como: A = a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 onde o elemento a21 = 12 e o elemento a34 = 116. Genericamente, uma matriz A, de ordem mxn, pode ser representada por: A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn Podemos tambe´m escrever: Definic¸a˜o 1 (Matriz) Uma matriz A e´ dada por A = (aij)mxn com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n onde o elemento aij e´ o elemento da linha i e da coluna j. Exerc´ıcio 5 Considere a matriz A: A = 5 12 −1 1 2 −5 49 − 34 3 7 65 −22 67 22 32 Responda: a) Qual e´ a ordem de A? b) Qual e´ o elemento a34? c) Quais sa˜o os elementos da segunda linha? 2 Exerc´ıcio 6 a) Escreva a matriz B = (bij)2x4 tal que bij = i + j. b) Escreva a matriz C = (cij)4x4 tal que cij = { 1 se i = j 0 se i 6= j 1.3 Matrizes Quadradas Se o nu´mero de linhas de uma matriz e´ igual ao seu nu´mero de colunas, trata-se de uma matriz quadrada e podemos dizer que a sua ordem e´ n, ao inve´s de nxn. Exerc´ıcio 7 Deˆ um exemplo de uma matriz quadrada de ordem 3. Os elementos de uma matriz quadrada de ordem n tais que i = j formam uma diagonal denominada diagonal principal. Ou seja, se A = (aij)nxn, enta˜o a diagonal principal e´ constitu´ıda pelos elementos aii, 1 ≤ i ≤ n. Exerc´ıcio 8 Escreva os elementos da diagonal principal da matriz do exerc´ıcio 7 A outra diagonal, qual seja, dos elementos aij tais que i + j = n + 1, e´ chamada diagonal secunda´ria. Figura 1: Diagonais de uma matriz quadrada 1.3.1 Matriz Diagonal Observe a matriz A: A = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 − 6 23 0 0 0 0 −1 3 Todos os elementos fora da diagonal principal sa˜o nulos. Este tipo de matriz e´ chamado matriz diagonal. Formalmente, uma matriz diagonal e´ uma matriz quadrada A = (aij)nxn, tal que aij ∈ R se i = j e aij = 0, se i 6= j. Exerc´ıcio 9 Dizer se as matrizes abaixo sa˜o diagonais: a) A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b) B = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 As matrizes do exerc´ıcio anterior sa˜o especiais: a primeira e´ chamada matriz nula, que representaremos por 0, e a segunda matriz identidade, representada por In, onde n e´ a ordem da matriz. A matriz nula pode ter qualquer ordem, na˜o sendo necessariamente uma matriz quadrada. Ja´ a matriz identidade In e´ uma matriz diagonal (e portanto quadrada), tal que todos os elementos de sua diagonal principal possuem valor 1. Voltaremos a falar sobre essas matrizes mais tarde. Exerc´ıcio 10 Dada a matriz A = [ 3 + x x + y 2x + 6 y ] a) Calcular x e y para que A seja diagonal. b) Determinar os elementos de A. R. x = −3 e y = 3. Exerc´ıcio 11 Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secunda´ria da matriz B = (bij) de ordem 4, em que bij = i− j. R. Zero. 1.4 Matriz Transposta Se A e´ uma matriz de ordem mxn, denominamos a transposta de A a` matriz de ordem nxm, obtida a partir de A trocando-se as linhas pelas colunas. Indica-se a transposta de A por At. 4 Por exemplo, a matriz transposta de A = [ −1 0 2 5 3 1 −9 0 ] e´ At = −1 3 0 1 2 −9 5 0 Exerc´ıcio 12 Determine At onde A = [ 4 −2 7 21 5 −89 ] Exerc´ıcio 13 Escrever a matriz transposta de A = (aij)4x3 tal que aij = i− j. Exerc´ıcio 14 Qual e´ a transposta de uma matriz diagonal? Justifique a sua resposta. Exerc´ıcio 15 Dada uma matriz A = (aij)mxn, determine (A t)t. 1.5 Igualdade de Matrizes Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxq, podemos afirmar que A e B sa˜o iguais se e somente se: 1. m = p e n = q (ou seja, se elas teˆm a mesma ordem); 2. aij = bij para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Exerc´ıcio 16 Determinar se as seguintes matrizes sa˜o iguais: 3 80 5 −1 2 e 4− 1 5 + 32− 1 5x1 1− 2 4 : 2 Exerc´ıcio 17 Sendo A = (aij)3x2 com aij = i 2−j2 e B = 4x + y x− yz − w 0 8 3z + w determine x, y, z e w para que A = B. R. x = − 3 5 , y = 12 5 , z = 3 4 , w = − 9 4 . 5 1.6 Operac¸o˜es com Matrizes: Adic¸a˜o Voltemos ao exemplo do exerc´ıcio 1. Suponhamos que a empresa em questa˜o possua, na verdade, dois almoxarifados, um em cada filial. A quantidade de cada produto em estoque, em cada almoxarifado, e em cada um dos meses janeiro, fevereiro, marc¸o e abril respectivamente e´ dada por: ALMOXARIFADO I: • a´cido clor´ıdrico (23, 10, 17, 32); • hidro´xido de amoˆnia (42, 13, 44, 27); • sulfato de alumı´nio (12, 15, 7, 16); ALMOXARIFADO II: • a´cido clor´ıdrico (12, 45, 3, 2); • hidro´xido de amoˆnia (2, 3, 4, 7); • sulfato de alumı´nio (15, 10, 17, 25); Exerc´ıcio 18 Calcule a quantidade total de cada reagente em cada meˆs. Disponha seus dados em uma matriz. Justifique os seus ca´lculos. Certamente, para resolver o exerc´ıcio anterior, voceˆ somou os elementos correspondentes de cada matriz. Na verdade, temos: Definic¸a˜o 2 (Adic¸a˜o) A adic¸a˜o de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn e´ a matriz C = (cij)mxn dada por cij = aij + bij, (1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n). Observe que podemos somar apenas matrizes que possuem a mesma ordem(por que?). Exerc´ıcio 19 Defina subtrac¸a˜o de matrizes. Exerc´ıcio 20 Dada a matriz A = [ 4 3 1 6 ] , determine a matriz B tal que A + B = A. Exerc´ıcio 21 Dadas as matrizes A,B e C, calcule a matriz X tal que X +A = B + C A = [ 1 2 3 4 1 0 ] B = [ 1 0 −1 3 1 2 ] C = [ −1 0 3 2 0 1 ] 6 1.6.1 Matriz Oposta Denomina-se matriz oposta de uma matriz A = (aij)mxn a matriz (−A) = (a′ij)mxn cujos elementos sa˜o os sime´tricos dos elementos correspondentes de A, ou seja, a′ij = −aij . Desta forma, a subtrac¸a˜o A−B pode ser escrita como A + (−B). Exerc´ıcio 22 Se A e´ uma matriz de ordem mxn, qual e´ o resultado da soma A + (−A)? Exerc´ıcio 23 Invente duas matrizes, A e B, de ordem 4x3, e verifique se A + B = B + A. Voceˆ acha que o resultado que voceˆ encontrou vale para qualquer soma de matrizes? Exerc´ıcio 24 Invente treˆs matrizes, A, B e C, de ordem 3x4, e verifique se (A+B)+C = A+(B +C). Voceˆ acha que o resultado que voceˆ encontrou vale para qualquer soma de matrizes? 1.6.2 Propriedades da Adic¸a˜o de Matrizes Para cada m e cada n, acabamos de definir uma operac¸a˜o bina´ria (ou seja, que possui dois operandos) sobre o conjunto das matrizes de ordem mxn: a adic¸a˜o. Chamaremos de Mmxn o conjunto das matrizes de ordem mxn. A operac¸a˜o de adic¸a˜o possui as seguintes propriedades: 1. (comutativa) Para quaisquer A,B ∈ Mmxn, tem-se A + B = B + A; 2. (associativa) Para quaisquer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se (A + B) + C = A + (B + C); 3. (elemento neutro) Existe um elemento 0 ∈ Mmxn tal que, para todo A ∈ Mmxn, tem-se A + 0 = A; 4. (elemento oposto) Para todo elemento A ∈ Mmxn, existe um elemento (−A) ∈ Mmxn tal que A + (−A) = 0. Exerc´ıcio 25 Voceˆ conhece outros conjuntos munidos de uma operac¸a˜o bina´ria que possua estas propriedades? Quais sa˜o eles? Existem, para estes conjuntos e operadores que voceˆ citou, outras propriedades que na˜o foram listadas acima? 1.7 Operac¸o˜es com Matrizes: Multiplicac¸a˜o de nu´mero real por matriz Considere a matriz A: A = [ 4 2 0 1 ] Para se obter A + A + A, escrevemos:[ 4 2 0 1 ] + [ 4 2 0 1 ] + [ 4 2 0 1 ] = [ 12 6 0 3 ] 7 ou seja, 3.A = [ 3.4 3.2 3.0 3.1 ] = [ 12 6 0 3 ] Generalizando: Definic¸a˜o 3 (Produto por escalar) O produto k.A, de um nu´mero k por uma matriz A = (aij)mxn, e´ a matriz B = (bij)mxn, na qual bij = k.aij para quaisquer 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Exerc´ıcio 26 Dadas as matrizes A e B, resolva a equac¸a˜o 2X − (A + B) = 3B + A A = [ −3 5 −2 6 ] B = [ 0 4 1 5 ] R. X = [ −3 13 0 16 ] Exerc´ıcio 27 Sabendo-se que A = [ 4 2 0 1 ] e B = [ 1 0 0 1 ] , obter as ma- trizes M e N tais que: { 2M + N = A−B M + 3N = 2A + B R. M = [ 0 2 5 0 − 3 5 ] e N = [ 3 6 5 0 6 5 ] Exerc´ıcio 28 Pesquise em um supermercado, em um sacola˜o e em uma mer- cearia os prec¸os dos seguintes produtos: uma du´zia de ovos, um quilo de laranjas e um quilo de batatas. Supondo que voceˆ queira formar duas cestas ba´sicas, a primeira contendo 2 dz. de ovos, 5kg de laranjas e 3 kg de batatas, e a segunda contendo 6 dz. de ovos, 2 kg de laranjas e 4kg de batatas, estime quanto voceˆ vai gastar, em cada estabelecimento, para fazer cada uma das cestas ba´sicas. Traduza os seus ca´lculos para a forma de matrizes. 1.8 Operac¸o˜es com matrizes: Multiplicac¸a˜o Vamos supor que, no exerc´ıcio anterior, voceˆ tenha encontrado os seguintes valores: ovos laranja batata supermercado 1,50 0,50 0,80 sacola˜o 1,00 0,70 0,80 mercearia 2,00 1,00 1,50 TABELA I: Estabelecimentos por produtos A composic¸a˜o de cada uma das cestas ba´sicas e´ dada pela seguinte tabela: 8 A B ovos 2 6 laranja 5 2 batata 3 4 TABELA II: Produtos por cestas Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento, devemos construir uma outra tabela, a saber, de estabelecimentos por cestas (esta tabela contera´ 6 elementos). Para calcular o custo da cesta A no supermercado, basta multiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (prec¸os dos produtos no supermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da Tabela II (quantidade necessa´ria de cada produto), e enta˜o somar os 3 nu´meros encon- trados: 1, 50.2 + 0, 50.5 + 0, 80.3 = 7, 90 Da mesma forma, para calcularmos o custo da cesta B na mercearia, devemos somar os treˆs nu´meros obtidos pela multiplicac¸a˜o dos elementos da terceira linha da Tabela I com os elementos correspondentes da segunda coluna da Tabela II: 2, 00.6 + 1, 00.2 + 1, 50.4 = 20, 00 Seguindo esse racioc´ınio, obtemos a Tabela III contendo o custo de cada cesta em cada estabelecimento: A B supermercado 7,90 1, 50.6 + 0, 50.2 + 0, 80.4 = 10, 20 sacola˜o 1, 00.2 + 0, 70.5 + 0, 80.3 = 7, 90 1, 00.6 + 0, 70.2 + 0, 80.4 = 10, 60 mercearia 2, 00.2 + 1, 00.5 + 1, 50.3 = 13, 50 20,00 TABELA III: Estabelecimentos por cestas Traduzindo para o vocabula´rio de matrizes, se P e´ a matriz de prec¸os (Tabela I): P = 1, 50 0, 50 0, 801, 00 0, 70 0, 80 2, 00 1, 00 1, 50 e C e´ a matriz de cestas ba´sicas (Tabela II): C = 2 65 2 3 4 enta˜o a matriz PC, que representa a matriz de custos (Tabela III), e´ dada por: PC = 7, 90 10, 207, 90 10, 60 13, 50 20, 00 = 1, 50 0, 50 0, 801, 00 0, 70 0, 80 2, 00 1, 00 1, 50 . 2 65 2 3 4 9 ou seja, a matriz PC e´ o produto da matriz P pela matriz C. Observe que, para calcularmos o elemento pc11, multiplicamos a primeira linha de P pela primeira columa de C. Da mesma forma, para calcular o elemento pc32, multiplica-se a terceira linha de P pela segunda coluna de C. Exerc´ıcio 29 Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp, escreva uma regra para determinar o elemento ckl da matriz C = (cij)mxp, tal que C = A.B. Exerc´ıcio 30 Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)qxp, qual a relac¸a˜o que deve existir entre n e q de tal forma que o produto A.B esteja definido? Justifique a sua resposta. Exerc´ıcio 31 Dadas as matrizes A = [ 2 −1 4 10 ] e B = [ 0 −1 ] , calcule a matriz C = A.B. Genericamente, podemos definir multiplicac¸a˜o de marizes da seguinte forma: Definic¸a˜o 4 (Produto) Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp, chama-se produto das matrizes A e B a matriz C = (cij)mxp, na qual cij e´ obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B, adicionando-se, em seguida, os produtos obtidos. Formalmente, escrevemos C = A.B = (cij)mxp onde cij = ∑n k=1 aik.bkj . A notac¸a˜o de somato´rio sera´ vista posteriormente no curso. Exerc´ıcio 32 Efetue as seguintes multiplicac¸o˜es: a) 1 2 14 5 2 7 8 1 . 1 02 1 4 1 b) [ 9 7 0 8 ] . [ 1 2 3 4 5 6 ] Exerc´ıcio 33 Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)qxp, quais sa˜o as relac¸o˜es que devem existir entre m,n, p, q de modo que estejam definidos os produtos A.B e B.A? Voceˆ acha enta˜o que sempre e´ verdade que A.B = B.A? Exerc´ıcio 34 Sejam A = [ 2 3 −2 1 ] e B = [ 1 0 2 1 ] . Calcule A.B e B.A. Que conclusa˜o voceˆ pode tirar? Como voceˆ deve ter observado, mesmo quando os produtos A.B e B.A de duas matrizes A e B esta˜o definidos, pode ocorrer que A.B 6= B.A. Ou seja, o produto de matrizes na˜o possui a propriedade comutativa. Se A e B sa˜o tais que A.B = B.A, enta˜o dizemos que as matrizes comutam. 10 Exerc´ıcio 35 Verificar se as matrizes A = [ 1 2 3 0 ] e B = [ 6 2 3 5 ] comu- tam. Ao contra´rio do produto de matrizes, a multiplicac¸a˜o de nu´meros reais possui a propriedade comutativa. Existem outras propriedades que a multiplicac¸a˜o de nu´meros reais possui que na˜ovalem para matrizes. Por exemplo, se a e b pertencem ao conjunto dos nu´meros reais, enta˜o a.b = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0. Isto na˜o ocorre com matrizes, como ilustrado no exerc´ıcio a seguir: Exerc´ıcio 36 Dadas as matrizes A = [ 2 0 1 0 ] e B = [ 0 0 3 0 ] , calcule A.B. Desta forma, o produto de duas matrizes pode ser nula mesmo que nenhuma delas o seja. Outra propriedade da multiplicac¸a˜o de nu´meros reais na˜o satisfeita pelo produto de matrizes e´ a de cancelamento: se a, b, c ∈ R, a 6= 0, enta˜o a.b = a.c ⇒ b = c. Contudo, podemos ter A.B = A.C para matrizes A, B, C, com A na˜o nula, tais que B 6= C. Exerc´ıcio 37 Sejam A = [ 1 2 2 4 ] , B = [ 1 1 −3 3 ] e C = [ −5 3 0 2 ] . Cal- cule A.B e A.C. Uma propriedade exclusiva de produto de matrizes e´ a seguinte: para todos A ∈ Mmxn e B ∈ Mnxp, tem-se: (A.B)t = Bt.At Exerc´ıcio 38 Verifique que, se A.B esta´ definido, enta˜o Bt.At tambe´m esta´. Exerc´ıcio 39 Prove que At.(B.C)t = (C.A)t.Bt Exerc´ıcio 40 Resolva a equac¸a˜o: X. [ 1 2 3 ] = [ 2 4 6 1 2 3 ] . Exerc´ıcio 41 Determine o valor de x, para que o produto das matrizes A e B seja a matriz identidade: A = 2 0 70 1 0 1 2 1 B = −x −14x 7x0 1 0 x 4x −2x Exerc´ıcio 42 Calcule o produto A.I3, onde A = 2 0 70 1 0 1 2 1 Exerc´ıcio 43 Calcule o produto A.I2, onde A = a bc d e f 11 Como voceˆ deve ter percebido, o produto de qualquer matriz A, de ordem mxn, pela matriz identidade In e´ a pro´pria matriz A. Esta e´ uma propriedade da multiplicac¸a˜o, chamada existeˆncia do elemento neutro com relac¸a˜o a` mul- tiplicac¸a˜o. Voceˆ saberia citar outros conjuntos, onde uma operac¸a˜o de multi- plicac¸a˜o tambe´m esta´ definida, que possuem esta propriedade? Exerc´ıcio 44 Prove que, se A e B sa˜o matrizes comuta´veis, enta˜o (A−B)2 = A2 − 2AB + B2 Esta relac¸a˜o e´ verdadeira se A e B na˜o sa˜o comuta´veis? Justifique a sua re- sposta. 1.8.1 Inversa˜o de matrizes Outra propriedade da multiplicac¸a˜o de nu´meros reais e´ que, dado a ∈ R, a 6= 0, existe um u´nico nu´mero b, tambe´m diferente de zero, tal que: a.b = b.a = 1 Neste caso, temos a notac¸a˜o b = 1 a = a−1. Como vimos na sec¸a˜o anterior, a matriz identidade I parece ter um papel semelhante ao nu´mero 1 nos nu´meros reais. Seria de se esperar, portanto, que dada uma matriz A, exista uma matriz B tal que A.B = B.A = I, onde I e´ a matriz identidade. Entretanto, no caso de matrizes, esta propriedade na˜o e´ sempre va´lida. Em primeiro lugar, note que para existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I, a matriz A deve ser quadrada. (por que?). Em segundo lugar, existem matrizes quadradas que na˜o possuem inversa. Como exemplo, vamos tentar determinar a inversa da matriz A = [ 1 2 0 0 ] . Devemos encontrar uma matriz B, de ordem 2, tal que A.B = I2, onde I2 e´ a matriz identidade de ordem 2. Escrevendo B = [ a b c d ] , devemos ter [ 1 2 0 0 ] . [ a b c d ] = [ 1 0 0 1 ] ⇒ [ a + 2c b + 2d 0 0 ] = [ 1 0 0 1 ] Esta equac¸a˜o na˜o pode ser resolvida, pois implicaria 0 = 1 (pela igualdade dos elementos da segunda linha e segunda coluna das matrizes envolvidas na igualdade). Logo, a matriz A na˜o possui inversa. Temos enta˜o a seguinte definic¸a˜o: Definic¸a˜o 5 Se existe uma matriz B tal que A.B = B.A = In, onde n e´ a ordem da matriz A, dizemos que A e´ invers´ıvel e que B e´ a inversa de A. Indicamos B = A−1. Se a matriz na˜o e´ invers´ıvel, ela e´ dita singular. Exerc´ıcio 45 Determine (caso seja poss´ıvel) a inversa das matrizes: 12 a) [ 3 4 1 0 ] b) [ 1 0 3 0 ] c) 1 0 01 3 1 1 2 0 Exerc´ıcio 46 Dadas A = [ 3 0 0 −2 ] , P = [ 2 −1 3 5 ] e B = 1 13 [ a 10 75 b ] , determine os valores de a e b, tais que B = P.A.P−1. 1.8.2 Ane´is Como vimos, o conjunto das matrizes Mmxn possui duas operac¸o˜es associadas a ele, a adic¸a˜o (+) e a multiplicac¸a˜o (.), que possuem as seguintes propriedades: A1 (a adic¸a˜o e´ comutativa) Para quaisquer A,B ∈ Mmxn, tem-se A+B = B + A. A2 (a adic¸a˜o e´ associativa) Para quaisquer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se (A + B) + C = A + (B + C). A3 (existe um elemento neutro para a adic¸a˜o) Existe um elemento 0 ∈ Mmxn tal que, para todo A ∈ Mmxn, tem-se A + 0 = A. A4 (todo elemento possui um oposto) Para todo elemento A ∈ Mmxn, existe um elemento (−A) ∈ Mmxn tal que A + (−A) = 0. M1 (a multiplicac¸a˜o e´ associativa) Para quaisquer A,B,C ∈ Mmxn, tem- se (A.B).C = A.(B.C). M2 (existe um elemento neutro para a multiplicac¸a˜o) Existe um ele- mento In ∈ Mn tal que A.In = A, para todo elemento A ∈ Mmxn. AM (a multiplicac¸a˜o e´ distributiva com relac¸a˜o a` adic¸a˜o) Para quais- quer A,B,C ∈ Mmxn, tem-se A.(B + C) = A.B + A.C e (B + C).A = B.A + C.A). Conjuntos na˜o vazios, juntamente com duas operac¸o˜es satisfazendo as pro- priedades acima, sa˜o chamados ane´is. Vimos enta˜o que o conjunto Mmxn, das matrizes de ordem mxn, juntamente com as operac¸o˜es (+) e (.) e´ um anel, assim como o conjunto dos nu´meros inteiros. Este u´ltimo, ale´m das propriedades A1 ate´ AM, possui tambe´m a propriedade de comutatividade da multiplicac¸a˜o. Por isso, o anel dos inteiros e´ dito comutativo. O conjunto dos nu´meros racionais possui uma propriedade a mais: todo elemento na˜o nulo possui um inverso mul- tiplicativo. Tais conjuntos sa˜o chamados corpos, e sera˜o descritos mais adiante no curso. 13 2 Determinantes A toda matriz quadrada de orden n, associaremos um nu´mero real segundo uma determinada lei, ou seja, definiremos uma func¸a˜o det : Mn → R do conjunto das matrizes quadradas de ordem n, Mn, no conjunto dos nu´meros reais. Chamaremos esta func¸a˜o de determinante. Comec¸aremos com uma matriz de ordem 1, A = [a11]. Neste caso, definimos o determinante de A da seguinte forma: detA = |A| = a11 ou seja, o determinante de uma matriz que conte´m apenas um elemento e´ o pro´prio elemento. A fim de definir o determinante de uma matriz de ordem 2, vamos considerar o seguinte problema: Dados A = [ 4 3 2 5 ] , X = [ x y ] e B = [ 11 9 ] , determinar x e y de modo que A.X = B. Resolvendo,[ 4 3 2 5 ] . [ x y ] = [ 11 9 ] ⇒ [ 4x + 3y 2x + 5y ] = [ 11 9 ] Pela igualdade de matrizes, obtemos o sistema { 4x + 3y = 11 2x + 5y = 9 Resolvendo pelo me´todo da adic¸a˜o, temos:{ 4x + 3y = 11 (x 5) 2x + 5y = 9 (x (−3)) ⇒ { 4x + 3y = 11 20x− 6x = 28 ⇒ x(20−6) = 28 ⇒ x = 28 20− 6 ou seja, x = 28 (4.5)− (2.3) Resolvendo agora para y, da mesma maneira,{ 4x + 3y = 11 (x (−2)) 2x + 5y = 9 (x 4) ⇒ { 4x + 3y = 11 20y − 6y = 14 ⇒ y(20−6) = 14 ⇒ y = 14 20− 6 ou seja, y = 14 (4.5)− (2.3) Notamos que a expressa˜o (4.5)−(2.3) e´ o denominador comum das expresso˜es que nos permite calcular o valor de x e de y. Ao mesmo tempo, observamos que esse nu´mero esta´ associado aos termos da matriz [ 4 3 2 5 ] . Mais precisamente, e´ a diferenc¸a entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secunda´ria. Este nu´mero e´ chamado de determinante. Em geral, 14 Definic¸a˜o 6 Dada a matriz quadrada de ordem 2, A = [ a11 a12 a21 a22 ] , chama-se determinante da matriz A o nu´mero real obtido pela diferenc¸a a11.a22 − a12.a21 Indica-se detA = |A| = ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ = a11.a22 − a12.a21 Exerc´ıcio 47 Calcular os seguintes determinantes: a) ∣∣∣∣ −5 −23 −1 ∣∣∣∣ b) ∣∣∣∣ 1 00 1 ∣∣∣∣ c) ∣∣∣∣ 5 02 0 ∣∣∣∣ Exerc´ıcio 48 Resolva as equac¸o˜es: a) ∣∣∣∣ x x + 25 7 ∣∣∣∣ = 0 b) ∣∣∣∣ x x5 x ∣∣∣∣ = 0 Exerc´ıcio 49 Dada a matriz A =[ 2 4 1 3 ] , calcule: a) detA b) detA2 c) detA−1 2.1 Menor complementar Considere uma matriz A, de ordem 3: A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 O menor complementar Dij , relativo ao elemento aij , e´ o determinante da matriz quadrada, de ordem 2, que se obte´m de A retirando-se a linha i e a coluna j. Por exemplo, D12 = ∣∣∣∣∣∣ − − − a21 − a23 a31 − a33 ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣ = a21.a33 − a31.a23 15 Exerc´ıcio 50 Dada a matriz A = 2 −1 30 1 4 5 −2 1 , calcule D11, D12, D13, D21, D32. R. 9,−20,−5, 5, 8 2.2 Cofator Dada a matriz A = (aij)3, o cofator de aij e´ o nu´mero Aij que se obte´m multiplicando-se (−1)i+j pelo menor complementar de aij . Ou seja, Aij = (−1) i+j .Dij Desta forma, para o exerc´ıcio 50, temos: A11 = (−1) 1+1.D11 = (−1) 2.9 = 9 A12 = (−1) 1+2.D12 = (−1) 3.− 20 = 20 Exerc´ıcio 51 Calcule A13, A21, A32, onde A e´ a matriz do exerc´ıcio anterior. Exerc´ıcio 52 Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3 dada por aij = i+j. Calcule A32. R. 2 2.3 Determinante de matrizes quadradas de qualquer or- dem Vamos comec¸ar com matrizes de ordem 3. Considerando a matriz A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 definimos o determinante de A como: detA = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 isto e´, a soma dos nu´meros que se obte´m da multiplicac¸a˜o de cada termo da primeira linha pelo seu respectivo cofator. Por exemplo, dada a matriz A = 1 3 2−1 2 1 3 2 2 , temos: A11 = (−1) 1+1 ∣∣∣∣ 2 12 2 ∣∣∣∣ = 1.(4− 2) = 2 A12 = (−1) 1+2 ∣∣∣∣ −1 13 2 ∣∣∣∣ = (−1).(−2− 3) = 5 A13 = (−1) 1+3 ∣∣∣∣ −1 23 2 ∣∣∣∣ = 1.(−2− 6) = −8 16 Logo, detA =11 .A11 + a12.A12 + a13.A13 = 1.2 + 3.5 + 2.(−8) = 1 Exerc´ıcio 53 Calcule: a) A = ∣∣∣∣∣∣ 2 5 1 −1 1 2 3 −1 1 ∣∣∣∣∣∣ b) A = ∣∣∣∣∣∣ 1 4 3 0 0 0 −1 2 1 ∣∣∣∣∣∣ c) A = ∣∣∣∣∣∣ 0 3 2 1 0 1 1 2 0 ∣∣∣∣∣∣ R. a) 39 b) 0 c) 7 Para uma matriz quadrada de ordem n: A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . an1 an2 . . . ann definimos o determinante de A como: detA = a11.A11 + a12.A12 + . . . + a1n.A1n isto e´, a soma dos nu´meros que se obte´m da multiplicac¸a˜o de cada termo da primeira linha pelo seu respectivo cofator. Observe que agora cada cofator envolve o determinante de matrizes de ordem n − 1. Como exemplo, vamos calcular o determinante da seguinte matriz: A = 1 0 0 0 2 3 −1 1 4 2 2 2 1 1 3 −1 Temos: detA = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 + a14.A14 = 1.(−1)2. ∣∣∣∣∣∣ 3 −1 1 2 2 2 1 3 −1 ∣∣∣∣∣∣ + 0.A12 + 0.A13 + 0.A14 = 3.(−1)2. ∣∣∣∣ 2 23 −1 ∣∣∣∣ + (−1).(−1)3. ∣∣∣∣ 2 21 −1 ∣∣∣∣ + 1.(−1)4. ∣∣∣∣ 2 21 3 ∣∣∣∣ = 3.(−8) + 1.(−4) + 1.4 = −24 17 Exerc´ıcio 54 Calcule, para a matriz A do exemplo anterior, o nu´mero: a11.A11 + a21.A21 + a31.A31 + a41.A41 Qual a relac¸a˜o entre o nu´mero encontrado e o determinante de A? O que este resultado sugere? Na verdade, a sugesta˜o do exerc´ıcio anterior e´ um fato: pode ser provado que o determinante de uma matriz pode ser desenvolvido por qualquer linha ou coluna. Isto e´: Definic¸a˜o 7 O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, e´ igual a` soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos cofatores. Assim, o determinante de uma matriz A pode ser calculado das seguintes formas: • 1a Forma: Fixando a linha i detA = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + . . . + ain.Ain • 2a Forma: Fixando a coluna j detA = a1j .A1j + a2j .A2j + . . . + anj .Anj Em geral, escolhe-se a fila (linha ou coluna) que possuir o maior nu´mero de zeros para desenvolver o determinante (por que?). Exerc´ıcio 55 Calcule os determinantes: a) A = 1 3 2 4 1 0 −3 2 2 0 −1 1 5 0 3 2 b) A = 1 0 1 0 1 2 −2 1 0 0 0 0 7 0 2 0 R. a) -42; b) 0 2.4 Regra de Sarrus Podemos obter o determinante de uma matriz de ordem 3 utilizando uma regra pra´tica muito simples, chamada Regra de Sarrus. Considere a matriz A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 . Em primeiro lugar, vamos repetir as duas primeiras colunas de A a` direita da matriz: a11 a12 a13 | a11 a12a21 a22 a23 | a21 a22 a31 a32 a33 | a31 a32 18 Em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz e os elementos das duas diagonais paralelas a` principal, somando os resultados: a11 a12 a13 | a11 a12a21 a22 a23 | a21 a22 a31 a32 a33 | a31 a32 a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 Multiplicamos agora os elementos da diagonal secunda´ria e as diagonais paralelas a ela, somando os resultados: a11 a12 a13 | a11 a12a21 a22 a23 | a21 a22 a31 a32 a33 | a31 a32 a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33 Por fim, subtra´ımos o primeiro nu´mero encontrado pelo u´ltimo, obtendo: detA = a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32−(a13.a22.a31+a11.a23.a32+a12.a21.a33) Exerc´ıcio 56 Calcule: a) ∣∣∣∣∣∣ −1 2 3 0 1 4 −2 −3 5 ∣∣∣∣∣∣ b) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 2 1 −1 2 1 3 2 0 4 1 5 1 2 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ R. a) -27; b) -19 Exerc´ıcio 57 Resolver a equac¸a˜o:∣∣∣∣∣∣ x x x x x 4 x 4 4 ∣∣∣∣∣∣ = 0 R. {0,4} 2.5 Propriedades dos determinantes Exerc´ıcio 58 Calcule o determinante das matrizes I2, I3 e I4. Qual e´ o valor do determinante de In, para qualquer n ≥ 1? Voceˆ consegue provar este resul- tado? Exerc´ıcio 59 Se uma matriz tem uma fila (linha ou coluna) toda nula, qual e´ o valor do seu determinante? Prove a sua afirmac¸a˜o. 19 Exerc´ıcio 60 Calcule o determinante das matrizes A = 1 2 32 7 5 1 2 3 e B = 1 2 32 4 6 0 −1 9 O que estas matrizes teˆm de peculiar? Exerc´ıcio 61 Prove que detA = detAt Exerc´ıcio 62 Calcule os determinantes:∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 1 −1 2 2 3 0 ∣∣∣∣∣∣ e ∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 2 3 0 1 −1 2 ∣∣∣∣∣∣ Qual a relac¸a˜o entre as duas matrizes? Qual a relac¸a˜o entre os seus determi- nantes? Exerc´ıcio 63 Calcule os determinantes: ∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 0 7 5 0 0 3 ∣∣∣∣∣∣ e ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 −1 8 0 4 6 −8 0 0 9 2 0 0 0 −1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Que concluso˜es voceˆ pode tirar? Nos exerc´ıcios 58 a 63 voceˆ deduziu algumas propriedades dos determinantes de matrizes. Veremos agora estas propriedades de maneira formal. A mais importante delas e´ a que deu origem a` definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes: Propriedade 1 det (A.B) = detA.detB Exerc´ıcio 64 Prove que det (An) = (detA)n (use induc¸a˜o em n). No exerc´ıcio 59, voceˆ provou a seguinte propriedade: Propriedade 2 Se uma matriz quadrada possui uma fila (linha ou coluna) nula, seu determinante e´ zero. O exerc´ıcio 60 e´ um exemplo da seguinte proposic¸a˜o: Propriedade 3 Se uma matriz possui duas linhas (ou duas colunas) propor- cionais, seu determinante sera´ igual a zero. O exerc´ıcio 62 ilustra a proposic¸a˜o: Propriedade 4 Se trocarmos de posic¸a˜o entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz e´ o determinante da matriz original com o sinal invertido. 20 Exerc´ıcio 65 Seja A uma matriz de ordem n. Calcule o determinante da ma- triz B, obtida a partir de A pela troca de 2 filas entre si m vezes. No exerc´ıcio 61 voceˆ provou a seguinte proposic¸a˜o: Propriedade 5 O determinante de uma matriz quadrada e´ igual ao determi- nante de sua transposta. Os exerc´ıcios 58 e 63 referem-se a` seguinte propriedade: Propriedade 6 Se os elementos de uma matriz quadrada situados de um mesmo lado da diagonal principal forem todos nulos, o determinante da matriz sera´ igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exerc´ıcio 66 Prove a propriedade 6 por induc¸a˜o na ordem da matriz. Exerc´ıcio 67 Calcule os determinantes:∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 −1 7 5 2 0 3 ∣∣∣∣∣∣ e ∣∣∣∣∣∣1 2 3 −2 14 10 2 0 3 ∣∣∣∣∣∣ Qual a relac¸a˜o entre essas duas matrizes? E entre os seus determinantes? Em geral, temos: Propriedade 7 Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou uma coluna) por um nu´mero real k, o determinante da nova matriz e´ o determinante da matriz original multiplicado por k. Exerc´ıcio 68 Prove que, se A e´ uma matriz de ordem n e k ∈ R, enta˜o det (k.A) = kn.detA. Propriedade 8 (Teorema de Jacobi) Se somarmos a uma linha (ou col- una) de uma matriz quadrada uma outra linha (ou coluna) multiplicada por um nu´mero qualquer, o determinante da matriz na˜o se altera. Por exemplo, dada a matriz A = [ 1 2 3 4 ] , o seu determinante e´ −2. Sub- stituindo a 2a linha de A pela soma desta linha com o produto da 1a linha por −3 obteremos: B = [ 1 2 0 −2 ] e detB = −2 = detA Exerc´ıcio 69 Mostre, sem desenvolver, que o determinante D = ∣∣∣∣∣∣ 1 0 3 2 4 3 3 6 6 ∣∣∣∣∣∣ e´ mu´ltiplo de 6. 21 Exerc´ıcio 70 Podemos utilizar a propriedade 8 para facilitar as contas no ca´lculo do determinante. Vamos ilustrar esta afirmac¸a˜o com o seguinte ex- emplo: Seja A = 1 1 1 1 1 1 + a 1 1 1 1 1 + b 1 1 1 1 1 + c . 1. Escalone a matriz A, de modo a obter uma matriz B cujos elementos abaixo da diagonal principal sa˜o nulos. 2. Justifique por que detA = detB. 3. Utilizando a propriedade 6, calcule o determinante de B. Exerc´ıcio 71 Demonstrar, sem desenvolver, que o determinante D = ∣∣∣∣∣∣∣∣ a b c d b c d a c d a b d a b c ∣∣∣∣∣∣∣∣ e´ nulo, sabendo-se que a + b + c + d = 0. Exerc´ıcio 72 Sabendo-se que A e B sa˜o matrizes de ordem 3, detB 6= 0 e que A.B = 4B, calcular detA. R. 64 Exerc´ıcio 73 O determinante de uma matriz A e´ 36. Qual o valor do de- terminante de uma matriz B, formada a partir de A atrave´s da multiplicac¸a˜o da primeira linha de A por 2 e pela divisa˜o da primeira coluna de A por 9? Justifique a sua resposta. Exerc´ıcio 74 Prove que, se A e´ uma matriz invers´ıvel, enta˜o det (A−1) = 1 detA Observe que voceˆ acaba de provar (exerc´ıcio 74) que se uma matriz e´ invers´ıvel, enta˜o o seu determinante e´ na˜o nulo. Na verdade, a rec´ıproca tambe´m e´ ver- dadeira ou seja, se o determinante de uma matriz e´ diferente de zero, enta˜o a matriz e´ invers´ıvel. 22
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