Matrizes e Determinantes - Alga 2018

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Alga – UEM/FE 2018 
 
1 
 
1. MATRIZES 
 
1.1.Noção de matriz 
Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de 
transformações lineares. matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas 
(filas verticais). 
 
 
 
 
Uma matriz Am,n pode ser entendida 
como um conjunto de mn (m 
multiplicado por n) números, 
dispostos em m linhas e n colunas, 
conforme figura ao lado. 
Os elementos de uma matriz podem 
ser números (reais ou complexos), 
funções ou ainda outras matrizes. 
 
 
1.2.Notação de uma matriz 
Usamos a letra maiúscula para denotar matrizes, Por exemplo: 
 
1. Uma matriz de ordem 2×2: ou 
2. Uma matriz de ordem 2×3: 
 onde: a11 = 4, a12 = -3, a21 = , a1 3= 0, a22 = 1, 
 a23 =6 
 
1.3.Igualdade de matrizes 
 
Definição:Duas matrizes Am,n e Br,s são iguais, se e somente se, os elementos da mesma posição são 
iguais, ou seja, têm o mesmo numero de linhas (m = r) e colunas (n = s)os elementos 
correspondentes são iguais. 
Por exemplo: 
 
1.4.Tipos de matrizes 
 
Matriz quadrada é aquela cujo o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) 
Exemplo: é uma matriz quadrada de ordem 2×2 (matriz quadrada de ordem 2). 
 é uma matriz quadrada de ordem 3×3 (matriz quadrada de ordem 3). 
 é uma matriz quadrada de ordem 1×1 (matriz quadrada de ordem 1). 
 












=
mnmm
n
n
nm
aaa
aaa
aaa
A
L
MLMM
L
L
21
22221
11211
,





 −
=
40
12
A
40
12 −
=A







 −
= 61
5
2
034
D
5
2






=








542
0º909
522
1lg13
2
2 sen






=
20
71
A










−
−
=
654
103
021
B
7=A
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2 
 
Matriz nula é aquela em que = 0, para tudo i e j. 
 Exemplo: 
 
Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1). 
 Exemplo: 
Matriz linha é aquela onde (m = 1). 
Exemplo: 
 
Matriz diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde = 0, para 
i ≠ j, isto é os elementos que não estão na “diagonal” são nulos. 
 Exemplo: ; e 
Matriz Identidade ou Matriz Unidade é uma matriz quadrada em que = 1 e = 0, 
para i ≠ j. 
Exemplo: , matriz identidade de ordem 2; 
 , matriz identidade de ordem 3; 
 , matriz identidade de ordem 4, e etc. 
 
Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal 
são nulos, isto é m = n e = 0, para i > j 
 Ex: 
 
 
Matriz triangular inferior é aquela que m = n e = 0, para i < j. 
Exemplo: 
ija






=





= ×× 00000
00000
00
00
5322 BeA






=










−=
y
x
BeA
9
7
2
( ) [ ]0054,019 == BeA
ija









−
=
800
070
002
A












−
=
10000
0300
0040
0009
B










=
000
000
000
C
iia ija






=
10
01
2I










=
100
010
001
3I












=
1000
0100
0010
0001
4I
ija






=












−
−
=
c
ba
eA
0
6000
5300
7410
8012
B
ija










−
=












−
=
574
032
001
4501
0221
0011
0002
BeA
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3 
 
Matriz simétrica é aquela que m = n e = . 
Exemplo: 
 
 
1.5.Operações sobre Matrizes 
 
 1.5.1.Adição de matrizes 
 A soma de duas matrizes e é a matriz , ambas do mesmo tipo 
. 
Exemplo: Dadas as matrizes e , calcular A + B. 
A + B = + = 
 
Propriedades da Adição de Matrizes: 
 
Sejam A , B e C matrizes de mesma ordem m×n, então: 
1. A adição de matrizes é comutativa: A + B = B + A 
2. A adição de matrizes é associativa: (A + B) + C = A+ (B +C) 
3. A matriz nula é neutra na adição: A + O = O + A = A, onde O denota a matriz nula m×n. 
 
1.5.2.Transposição de Matrizes 
Quando se troca ordenadamente as linhas pelas colunas de uma matriz, a nova matriz é chamada 
matriz transposta. 
Exemplo: a sua transposta é . 
 
Propriedades da Matriz Transposta 
Sejam A e B matrizes m×n e k um escalar. Então: 
1. 
2. 
3. 
Obs: Se A é simétrica então . 
 
 
Matriz Anti-simétrica 
Uma matriz quadrada , diz-se anti-simétrica quando para todo i, , para 
todo j, . 
Obs: Se A é simétrica então ; os elementos da diagonal principal são todos nulos. 
 
ija jia












=










−
−
=
kigd
ihfc
gfeb
dcba
BeA
501
023
134
( )ijaA = ( )ijbB = ( )ijij baBA +=+
mxn





 −
=
95
61
A 





−
=
43
20
B





 −
95
61






− 43
20





 −
132
41










=
0110
864
752
A










=
087
165
1042
tA
( ) AA tt =
( ) ttt BABA +=+
( ) tt AkAk .. =
tAA =
[ ]
nxnij
aA = jiij aa −= ni ≤≤1
nj ≤≤1
tAA −=
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4 
 
Exemplo: A matriz é anti-simétrica 
 
1.5.3.Multiplicação de uma Matriz por uma Constante 
Seja a matriz Am,n e k um escalar (k ∈ IR). A matriz P = k A é uma matriz m×n tal que cada elemento 
de P é dado por: pij = kaij. 
Exemplo: 
 
Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar 
 
Sejam A e B matrizes m×n e k1 e k2 escalares. Então: 
 
1. k1 (A + B) = k1A + k1B 
2. k2 (k1A) = (k2 k1)A. 
3. k2A + k1A = (k2 + k1)A 
4. Se k1A = k1B então A = B. 
 
Matriz Oposta 
Matriz oposta de uma matriz A é uma que somada com a matriz A, resulta na matriz Nula. 
Exemplo: a sua oposta é: 
 
1.5.4.Multiplicação de Matrizes 
Sejam e . Definimos , onde 
Observação: É preciso que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas 
da segunda matriz. Caso isso não aconteça a multiplicação é impossível. 
Assim, por exemplo: 
a) � , isso significa que se você multiplica uma matriz de ordem 2x3 por uma 
matriz 3x4, o resultado, ou seja, o produto é uma matriz de ordem 2x4; 
b) � 
 
Exemplo: 
1. Dadas as matrizes e Calcule 
Resolução: 
 
1. Dadas as matrizes e Calcule e 
 










−−
−=
0
0
0
cb
ca
ba
A










−=










−=
0210
282
1464
015
141
732
2A





−
=
13
07
A 





−−
=−
13
07
A
[ ] nmijaA ×= [ ] pnrsbB ×= [ ] pmuvcAB ×= nvunvu
n
k
kvukuv bababac L+==∑
=
11
1
4332 xx XBA 42xC
1443 . xx AM 13xD








=×
3
2
5
4
12
23A 




 −
=× 40
11
22B BA ⋅
( )
( )
23
22
23 75
44
22
43150315
42)1(40214
41120112
40
11
3
2
5
4
12
×
×
×










=










⋅+−⋅⋅+⋅
⋅+−⋅⋅+⋅
⋅+−⋅⋅+⋅
=




 −
⋅








=⋅ BA










−
−−
−
=
012
123
111
A










=
321
642
321
B BA ⋅ AB ⋅
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5 
 
 
Resolução: 
 
= 
 
= 
Obs. ≠ e que = O, sem que A = O ou B = O. 
Propriedades de multiplicação de matrizes 
 
1. A multiplicação de matrizes não é comutativa. 
2. A multiplicação de matrizes é associativa: (A⋅B) ⋅C = A⋅ (B⋅C) 
 3. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição: A.(B + C) = A⋅B+A⋅C 
4. Multiplicação de um número real por uma matriz: 
5. Multiplicação pela matriz identidade: 
6. Multiplicação pela matriz nula: 
7. , se A 
8. A1=A 
9. para p N 
10. AP=A.A.A.….A, p fatores 
11. 
 
1.6.Matrizes especiais 
• Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se: Ak = 0 
• Uma matriz A é periódica de índice k natural, se: Ak+1= A 
• Uma matriz A é idempotente, se: A2 = A 
• As matrizes A e B são comutativas, se: A B = B A 
• As matrizes A e B são anti-comutativas, se: A B = - B A 
 
 
EXERCÍCIOS : 
 
1. Seja: 
 
 
a) Qual é a ordem de M? 
b) Escreva os elementos da segunda linha. 
c) Escreva os elementos da quarta coluna. 
d) Escrevao elemento , o elemento , e o elemento . 
 
⋅










−
−−
−
=⋅
012
123
111
BA










321
642
321










000
000
000










=⋅
321
642
321
AB










−
−−
−
⋅
012
123
111










−−
−−
−−
1611
21222
1611
BA ⋅ AB ⋅ BA ⋅
( ) ( )BABA .... αα =
AAIIA nn =⋅=⋅
OOIOA n =⋅=⋅
nIA =
0 0≠
,.1 AAA pp =+ ∈
( ) ttt ABBA .. =
















=
07-112
3739
0540
1137
02-83
M )4,3( )4,1( )1,3(
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6 
 
 a)Quantos elementos há numa matriz ? 
 b) Quantos elementos há numa matriz ? 
 c) Quantos elementos há numa matriz ? 
 d) Quantos elementos há numa matriz ? 
2. Sendo as matrizes e , achar os valores de x, y, m e n para 
que se tenha A=B. 
 
3. Escreva a matriz cujos elementos são a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B, 
onde: e . 
4. Dados: , e . 
Calcule: a) ; b) ; c) . 
 
5. Sejam: 
Encontre: a) A + B b) A - C c) B - C d) -2D 
 e) A·C f) C·A g)D·B h) B·A 
6. Se D é uma matriz diagonal então Dt = _____ 
7. Sendo as matrizes e , calcule x e y de modo que . 
 
8. Sejam as matrizes e . Se , Determine x, 
y, z e t. 
9. Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem mxn. Demonstre que: . 
10. Seja . Determine o valor de a, b, c, d. 
11. Seja , e . 
 Determine o resultado das seguintes operações: 
a) ; b) ; c) ; d) . 
12. Dadas as matrizes: e . 
Determine a matriz M tal que . 
 
13. Dadas as matrizes: 
11×
53×
nm×
rr ×






+−
−+
=
nmyx
nmyx
A
32 






−
=
101
68
B









−
=
06
43
12
A










−
=
12
43
06
B








−
=
2
101
853
A 




 −−
=
301
850
B 







−
=
90
710
C
2
1
CBA −+ CBA ++ )( )( CBA +−
[ ]12
4
2
1
,
103
102
,
112
321
−=









−
=




−
=





−
= DeCBA






−
=
112
52
A 





−−
+−
=
152y
yxyx
B tBA =












−−
−
−+
=
16
40
323
24
tz
yx
z
yx
A












−−
−
−
=
136
140
323
245
B tt BA =
( ) ttt BABA −=−






−
=




 −
−





40
21
51
24
dc
ba









 −
=
093
164
721
M










=
702
051
130
N










−
−
−
=
170
471
172
P
PM −3 PNM 32 +− )2(2 PNM −+ )(33 PNM −−






=
8617
12513
A 




−
=
1215
3116
B
B3M2A =−












−−
−
=





−
=












−
−
=
142
960
724
531
512
014
72
12
31
01
CBA
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7 
 
 Calcule: a) A · B + 2C b) B · C 
14. Mostre que a equação é satisfeita por cada uma das seguintes matrizes: 
 a) , b) , c) 
15. Dadas as matrizes: , e . 
 
 Mostre que , embora . 
 
16. Verifique que: 
17. Seja A = . Se A′ = A, então x = ____ 
18. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: 
a) (-At) = -( At) 
b) (A + B)t = At + Bt 
c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 
d) (-A) (-B) = - (AB) 
19. Se A2 = A⋅⋅⋅⋅A, então ________ 
20. Dadas matrizes: 
 
 
 Mostre que AB = AC 
 
21. Calcule: 
a) ; b) ; c) 
. 
 
22. Determine quais das seguintes matrizes são simétricas, explique porquê: 
 
a) ; b) ; c) ; d) ; e) 
23. Seja . Mostre que . 
24. Escreva a matriz tal que . 
 
25. a)Se A é uma matriz triangular superior, qual é a transposta de A ? 
0I4x5x 2
2 =+−






10
01






40
04






−
−
21
23










=
202
110
201
A










−=
032
140
031
B










=
633
422
756
X
BXAX = BA ≠






⋅





=





⋅





11
11
23
32
23
32
11
11








− 012
2 2
x
x
=




 −
2
23
12










−−
−−−
−−
=










−
=










−−
−
−
=
0152
1123
2112
,
2121
1112
0141
,
134
312
231
CBA
( )









 −
⋅−
0213
1050
2101
232










−
⋅









 −
⋅









 −
10
04
31
705
241
032
005
430
121










−
−
⋅









 −
10705
04241
31032
005
430
121










45
12
21










−
−
−
257
523
732










−
−
023
202
320










756
551
613









 −
023
221
310










=
001
100
010
A 3
3 I5A ⋅=
32)( ×= ijaA jiaij 23
2 +=
Alga – UEM/FE 2018 
 
8 
 
 b) Se A é uma matriz triangular inferior, qual é a transposta de A? 
26. Determine o número b R, para que a matriz , seja simétrica. 
27. Seja a matriz , para a qual . 
Determine A e At. A é simétrica? 
28. Se = , determine os números a, b e c. 
29. Seja a matriz A, quadrada de ordem n. Demonstre que A+A t é simétrica. 
 
2.4.Operações elementares sobre as linhas de uma matriz 
 
São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz a saber: 
1. Permuta das i-ésima e j-ésima linhas ( Li → Lj). 
 Exemplo: L2 → L3 
 → 
2. Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (Li → kLi). 
Exemplo: L2 → -5L2 
 → 
 
3. Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (Li → Li + kLj). 
Exemplo: L3 → L3 + 2L2 
 → 
 
 
2.5.Matriz Reduzida à forma Escada 
 
Definição: Uma matriz m×n é linha reduzida à forma escada se: 
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. 
2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus 
elementos iguais a zero. 
3. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. 
4. Se as linhas 1, 2, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i 
ocorre na coluna ki então k1< k2< ... < kr . Esta condição impõe a forma escada, isto é, o 
número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada 
linha, até que sobrem apenas linhas nulas, se houverem. 
 
 
 
 
∈ 





=
bb
b
A 2
23
[ ]
44xij
aA =





≤<≤+=
=
=
41,
0
jisejia
aa
a
ij
jiij
ii
( )








+
+
ααα
ααα
33
2
cossen4cos
cossen2sen








ca
b
2
1










−1
7
5
3
01










−
73
15
01










−
73
15
01










−
73
525
01










−
73
15
01










−
513
15
01
Alga – UEM/FE 2018 
 
9 
 
Exemplos. 
a) 
 
 
Não é a forma reduzida à escada porque a 2ª condição não 
é satisfeita. 
 
 b) 
 
 
Não é a forma reduzida à escada pois a 1ª e 4ª condições 
não são satisfeita. 
 
c) 
 
 
Não é a forma reduzida à escada porque não satisfaz a 1ª 
nem a 3ª condição. 
d) 
 
 
É forma reduzida à escada porque todas as condições são 
satisfeitas. 
 
Teorema 2: Toda matriz A m×n é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida a forma escada. 
 
Definição: Dada matriz A m××××n, seja B m××××n a matriz-linha reduzida a forma escada linha equivalente de 
A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de A é o número 
n - p. 
 
Observação: Para achar o posto de uma matriz dada é necessário primeiro encontrar a sua matriz-
linha reduzida a forma escada, e depois contar suas linhas não nulas. E a nulidade é a diferença entre 
colunas de A e o posto. 
 
 
Exemplo: 
Encontre o posto da matriz . 
Resolução: 
Reduzindo à forma escada temos: 
 
pc = 2 e pa = 3, isto é pc ≠ pa O sistema é impossível.









−=
0100
0210
0001
A










−=
100
401
130
B










−
−
=
41000
00000
10710
C










=
00000
71000
90810
D










−
−=
2111
1111
3111
A










−
−=
2111
1111
3111
A










−−
−−→
1200
2200
3111
→










−−
→
1200
1100
3111










1000
1100
2011
Alga – UEM/FE 2018 
 
10 
 
EXERCÍCIOS : 
 
30. Descreva todas as possíveis matrizes 2×2, que estão na forma escada reduzida por linhas. 
 
31. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas: 
 
32. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão 3. 
 
33. Reduzir cada matriz seguinte à forma escalonada e depois à sua forma canônica por linhas. Calcule 
também o posto de cada uma 
 
a) ; b) ; c) ; d) ; 
 
34. Determine o posto das seguintes matrizes para os diferentes valores do parâmetro . 
 
 
 a) ; b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(Ar










−
−
−
56263
32142
12121










−−
−
−
75654
40213
15232














−
−
−
5114
1352
35110
2131














−
−
−
4350
1200
3140
2310
λλλλ












=
3314
417101
2741
213 λλλλ
A












−
−−−
−−
=
11221
1101
1111
11121
λλλλ
λλλλ
A









 −
=












−
−
=










−
−−
=
960
724
531
132
243
311
220
3213
3212
1321
CBA
Alga – UEM/FE 2018 
 
11 
 
2. Determinantes 
 
A toda matriz quadrada A = [aij] está associado um número real chamado determinante. E denota-se 
por detA ou |A| ou det [aij]. 
Então: 
det (a) = |a| = a 
 
det = 
Para facilitar o cálculo do determinate de 2ª 
ordem podemos usar o esquema ao lado 
apresentado. 
 
 
 
 
Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes: 
a) b) 
Resolução: 
a) detA = 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 = 40 
b) detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2 
 
4.1.Regra de Sarrus 
 
Para facilitar o cálculo do determinate de 3ª ordem podemos formar um dispositivo prático, 
denominado regra de Sarrus 
 
 
A regra de Sarrus consiste em: 
• Repetir ao lado do determinante as 
duas primeiras colunas. 
• Obter o produto como mostra ao 
esquema 
 
 
 
1⋅3⋅1 + 1⋅(-2) ⋅3 + (-1) ⋅2⋅(-2) – (-1) ⋅3⋅3 - 1⋅(-2)⋅(-2)- 
1⋅2⋅1= 4 
 
 






2221
1211
aa
aa
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
−=





 −
=
76
24
A 





=
24
35
B
=
−
76
24
=
24
35
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
=
−
−
−
123
232
111
Alga – UEM/FE 2018 
 
12 
 
Definição: 
onde é o número de inversões da permutação e ρ indica que a 
soma é estendida a todas as n! Permutações de (1,2, ...,n). 
 
Em relação a esta definição podemos fazer três observações: 
i) Se a permutação tem um número par de inversões, o coeficiente (-1)J do 
termo correspondente na somatória terá sinal positivo; caso contrário, terá sinal negativo. 
ii) Em cada termo da somatória, existe um e apenas um elemento de cada linha , e um e 
apenas um elemento de cada coluna da matriz. 
 
 Propriedades dos determinantes 
Sejam A, B, In e N matrizes quadradas e k um escalar: 
1. Se In é a matriz identidade, então: det(In) = 1 
2. Se N é uma matriz nula, então: det(N) =0 
3. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então: det(A) =0 
4. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é: det(At) = 
det(A) 
5. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, 
então: det(B) = k det(A) 
6. Se B = kA, onde k é um escalar, então: det(B) = kn det(A) 
7. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então: det(B) = - det(A) 
8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então: det(A) = 0 
9. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma 
constante, então: det(A) = 0 
10. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então: det(A) = 
0 
11. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz excepto uma delas, o determinante de A será 
uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz. 
12. O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma 
constante. Esta propriedade é válida para as colunas. 
13. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o 
determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k. 
4.2.Desenvolvimento de Laplace 
 
Vimos que: 
 
Podemos escrever esta soma como: 
 Ou ainda: 
 
Observe que o determinate da matriz inicial 3×3 pode ser expresso em função dos determinantes de 
submatrizes 2×2 , isto é, 
 
[ ] ( )∑ −=
ρ
nnjjj
J
ij aaaa L21 211det
),,( 21 njjjJJ L= ),,( 21 njjj L
),,( 21 njjj L
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211 aaaaaaaaaaaaaaa −+−−−
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a +−
131312121111det AaAaAaA +−=
Alga – UEM/FE 2018 
 
13 
 
Onde Aij é a submatríz da inicial, de onde a i-ésima linha e a j-ésima coluna foram retiradas. Além 
disso, se considerarmos obtemos a seguinte expressão: 
 
Esta propriedade continua a ser válida para matrizes de ordem n, e assim podemos expressar. 
 ou ainda: 
 
Ao número (que é o determinante afectado pelo sinal (-1)i+j da submatriz Aij, obtida de A 
retirando a i-ésima linha e a j-ésima coluna) chamamos de cofactor ou complemento algébrico do 
elemento aij 
 
Observe que na fórmula dada, o determinante foi desenvolvido pela i-ésima linha. Uma fórmula 
análoga é valida para as colunas. 
 
Exemplo1: 
 
= 1 + 4 + 0 = 5 
 
Poderiamos também fazer o desenvolvimento para uma coluna. Vejamos: 
= 4 + 8 -7 = 5 
 
O desenvolvimento de Laplace é um fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de 
uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1. O 
procedimento fica simplificado se for aplicado as outras propridades dos determinantes. 
 
Por exemplo no exercício anterior poderiamos aplicar a propriedade 12, isto é, o determinante não se 
altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante. 
Neste caso L3 → L2 + L3 
 
 
Exemplo 2 
 
 Aplicando a propriedade 12, isto é, C1→ C1-2C2 podemos criar mais um zero 
na 2ªlinha. 
 
( ) ijjiij A+−=∆ 1
131312121111det ∆+∆+∆= aaaA
∑ ∆=∆++∆+∆+∆=×
n
j
ijijininiiiiiinn aaaaaA L332211det
( )∑ +× −=
n
j
ij
ji
ijnn AaA det1det
ij∆
( ) ( ) ( ) ( ) =
−−
−+
−
−
−−
−
−
−⋅=∆+∆−+∆=
−−
−
−
= +++
12
12
13
22
12
12
21
11
11321
212
112
321
det 312111131211A
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =
−
−−+
−
−⋅+
−
−
−⋅−=∆−+∆+∆−=
−−
−
−
= +++
12
31
11
22
31
11
22
12
12112
212
112
321
det 232221322212A
( ) 551
12
21
11
100
112
321
212
112
321
det 33 =⋅=
−
−⋅=−
−
=
−−
−
−
= +A
1352
0321
0024
4321
−−
−−
Alga – UEM/FE 2018 
 
14 
 
 Aplicando a 
propriedade 13 (ao multiplicar a 1ªcoluna por -1 a matriz fica também multiplicada por -1). 
 aplicando a propriedade 12, isto é, L1→ L1+4L3 podemos criar 
mais um zero na 3ªColuna. 
 
 
Exercícios 
 
35. Dadas as matrizes , Calcule 
a) detA + detB b) det(A + B) 
 
36. Resolva a equação . 
 
37. Calcule o determinante . 
 
38. Mostre que . 
 
39. Calcule os seguintes determinantes aplicando a regra de Sarrus:a) b) c) 
 
 
40. Resolva a equação . 
 
41. Aplicando o teorema de Laplace, calcule o valor dos seguintes determinantes : 
 
a) b) c) d) 
138
035
435
2
138
035
435
)1(2
1358
0325
0020
4325
1352
0321
0024
4321
22
−
−−
−−
⋅=
−
−−
−−
−=
−
−−
−−
=
−−
−−
+
138
035
435
2
138
035
435
2 −
−
−=
−
−−
−−
⋅
( ) ( ) 372751112
35
1537
112
138
035
01537
2
138
035
435
2 33 =−−−=
−
−⋅⋅−=−−=−
−
− +





 −
=





=
10
13
01
21
BeA
0
69
2
=
x
1cos
1
2
2
x
xsen −
0
1log
log1
=
b
a
a
b
123
232
111
−
−
−
224
612
053
−
−
300
030
003
−
0
643
62
231
=
−
x
506
235
406
9118
7234
6103
5000
3214
1120
0312
3142
−
1035
4202
3150
4203
−
−
−
Alga – UEM/FE 2018 
 
15 
 
e) 
 
42. Dada a matriz A: 
 
 
a) Determine k e w de modo que o determinante de A seja nulo. 
b) Calcule o determinante de a se k = 1 e w = 0 
 
 
1265
1220
2413
0237
−
−
−
−












−
−
−
2011
3200
232
1201
w
k
Alga – UEM/FE 2018 
 
16 
 
3. Matriz inversa 
 
5.1.Matriz Adjunta 
Dada uma matriz A. Com os cofactores dos elementos aij da matriz A podemos 
formar uma nova matriz A, denominada matriz dos cofactores de A, . 
 
Exemplo: Determinar a matriz dos cofactores da Matriz 
Resolução: ; ; 
 ; ; 
 
 
Então, 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamamos de matriz adjunta de A à transposta da matriz 
dos cofactores de A, isto é . 
No Exemplo anterior 
Teorema: 
 
Vamos verificar este teorema a partir do exemplo anterior. 
 
= det A ⇔ = 1· 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal 
que A · B = B · A = I, onde I é a matriz identidade. Denomidamos A-1 para inversa de A. 
 
Suponhamos agora que An×n tenha inversa, isto é, existe A
-1 tal que A · A-1 = I. Usando o 
determinande temos, det(A · A-1) = det I ⇔ detA · detA-1 = 1. 
Da última relação concluimos que se A tem inversa então. 
1. detA ≠ 0 
2. 
Ou seja detA ≠ 0, é condição necessária para que A tenha inversa. 
Vamos de seguida que esta condição é também suficiente: 
( ) ijjiij Adet1 +−=∆
[ ]ijA ∆=










−−
=
231
452
341
A
( ) 2
23
45
1 1111 =−−
−=∆ + ( ) 8
21
42
1 2112 =−
−=∆ + ( ) 11
31
52
1 3113 −=−
−=∆ +
( ) 1
23
34
1 1221 −=−−
−=∆ + ( ) 5
21
31
1 2222 −=−
−=∆ + ( ) 7
31
41
1 3223 =−
−=∆ +
( ) 1
45
34
1 1331 =−=∆
+ ( ) 2
42
31
1 2332 =−=∆
+ ( ) 3
52
41
1 3333 −=−=∆
+










−
−−
−
=
321
751
1182
A
AadjA ′=










−−
−
−
=
3711
258
112
adjA
( ) IAAA ⋅=′⋅ det
( ) IAAA ⋅=′⋅ det










−− 231
452
341










−−
−
−
⋅
3711
258
112










100
010
001










100
010
001










100
010
001
A
A
det
1
det 1 =−
Alga – UEM/FE 2018 
 
17 
 
Sabemos que . Considerando detA ≠ 0 podemos afirmar que , então. 
 
Teorema: uma matriz quadrada A admite uma inversa se , e somente se detA ≠ 0. 
 
Exemplo: Determine a inversa da matriz 
Resolução: ; ; 
 ; ; 
 
 
 
Então, A matriz dos cofactores é e a Adjunta é 
 
Sabendo que o , logo 
 
 
 Propriedades das matrizes inversas 
Sejam A e B matrizes inversíveis então: 
1. (A–1)–1 = A 
2. (A–1)t = (At)–1 
3. (AB)–1 = B–1 · A–1 
4. 
 
 
5.2.Método de Jordan para a inversão de Matrizes 
 
Teorema: Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por sequência de operações 
elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz 
identidade, aplicando-se a mesma sequência de operações. 
 
( ) IAAA ⋅=′⋅ det IA
A
A =′⋅
det
1
( )adjA
A
A
det
11 =−










−=
561
413
012
A
( ) 19
56
41
1 1111 −=−=∆
+ ( ) 19
51
43
1 2112 =
−
−=∆ + ( ) 19
61
13
1 3113 −=
−
−=∆ +
( ) 5
56
01
1 1221 −=−=∆
+ ( ) 10
51
02
1 2222 =−=∆
+ ( ) 11
61
12
1 3223 −=−=∆
+
( ) 4
41
01
1 1331 =−=∆
+ ( ) 8
43
02
1 2332 −=−
−=∆ + ( ) 5
13
12
1 3333 =−
−=∆ +










−
−−
−−
=
584
11105
191919
A










−−
−
−−
=′=
51119
81019
4519
AadjA
19
561
413
012
det −=−=A ( )










−−
−
−−
−
==−
51119
81019
4519
19
1
det
11 adjA
A
A


















−
−−
−
=−
19
5
19
11
1
19
8
19
10
1
19
4
19
5
1
1A
A
A
det
1
det 1 =−
Alga – UEM/FE 2018 
 
18 
 
Na prática, operamos simultaneamente com matrizes A e I, através de operações elementares, até 
chegarmos à matriz identidade I na posição correspondente à matriz A. A matriz obtida no lugar 
correspondente à matriz I será a inversa de A: 
 
Exemplo: 
Determinar a inversa de A= . 
Resolução: 
Coloquemos a matriz junto com a Identidade e apliquemos as operações com linhas, para reduzir a 
parte esquerda (que corresponde a A) à forma escada linha reduzida e efectuando simultaneamente 
cada operação na parte direita. 
 
 
 
 
 
Trocando a 1ª linha 
e 2ª linha obtemos 
 
 
 
Agora, 
Somando à 4ª 
a 1ª , e à 
segunda, a 1ª 
multiplicada 
por -2. 
Subtraindo a 
2ª linha da 
3ª obtemos 
 
Trocando o sinal da 3ª 
linha e, 
subsequentemente, 
anulamos o resto da 3ª 
coluna 
 
Finalmente, obtemos a 
identidade à esquerda e a 
inversa de A à direita. 
 
 Portanto A -1 = 
 
Exemplo: Seja Determine B-1 
 
Partimos 
de 
e de seguida fazemos 
operações com linhas, 
para converter a parte 
esquerda á forma 
escada linha reduzida. 
 
 
Como a forma escada não é a identidade, a matriz B não tem inversa. 
 
( ) ( )1−→ AIIA MM












−
−
3001
1110
1101
0012












−
−
10003001
01001110
00101101
00010012
M
M
M
M












−
−
10003001
01001110
00010012
00101101
M
M
M
M












−
−−
−
10104100
01001110
00212210
00101101
M
M
M
M












−
−−
−−
−
10104100
01213100
00212210
00101101
M
M
M
M












−−
−−−
−−
−−−
11111000
01213100
02214010
01112001
M
M
M
M














−−
−−
−−
−−
11111000
34540100
46650010
23330001
M
M
M
M














−−
−−
−−
−−
1111
3454
4665
2333










=
020
121
101
B










=
100020
010121
001101
M
M
M
B












−
−−=
111000
0
2
1
2
1
110
001101
M
M
M
B
Alga – UEM/FE 2018 
 
19 
 
EXERCÍCIOS : 
 
43. Dada a matriz . Obtenha a matriz C dos cofactores 
44. Dada amatriz Calcule: a) ; b) ; c) . 
45. Dada a matriz A = Calcule: a) Adj A b)Det A c)A-1 
 
46. Em cada caso determinar a inversa da matriz dada e verificar o resultado 
 
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; 
 
f) ; g) ; g) ; h) ; i) ; 
 
j) ; l) m) ; n) 
 
47. Verifique se são inversas uma da outra as matrizes é . 
Caso não sejam, determine a inversa da matriz A. 










=
264
390
158
A










=
315
120
312
A AAdj || A 1−A









 −
315
120
312





 −
12
53






−
−
25
13





 −
θθ
θθ
cos
cos
sen
sen










−
−−
−
824
442
224










001
010
100










100
001
010










−
−−
−
225
5615
113










−−
−
1535
020
515










− 300
0200
004
.










574
232
111










100
110
011











−
−
1170
0132
0013
2214














1000
0100
1010
1101














−
−
1000
2100
3210
7531










=
142
810
163
A










−
−
−−
=
302
24116
47231
B