NOTA DE AULA III Cap 18 Ondas II

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NOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULA 
 
 
03 
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA 
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202) 
Coordenação: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo 
CAPÍTULO 18 – ONDAS II 
 
 
 
3.1 Ondas Sonoras 
 
 Por definição onda sonora é uma onda longitudinal se propagando em um meio 
qualquer, produzindo vibração das partículas desse meio. 
 Uma fonte sonora pontual emite ondas sonoras em todas as direções. As superfícies 
sobre as quais as oscilações do ar devido à onda sonora tem o mesmo valor são chamadas 
de FRENTES DE ONDA. 
 Próximo às fontes puntuais, as frentes de ondas são chamadas esféricas. Quando 
muito afastadas da fonte, as frentes são chamadas planas. 
 
3.2 Velocidade do Som 
 
 Seja um pulso isolado onde o ar comprimido se propaga da direita para a esquerda 
com uma velocidade v através de um tubo. Se o referencial for estabelecido sobre o pulso, o 
que se vê é o ar se deslocando para a esquerda, passando no interior do pulso, como na 
figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 02 
 
 
 Quando o elemento de ar penetra na região comprimida, ele reduz a velocidade por 
causa da força atuante sobre ele ( )p p+ ∆ ∆ . O tempo para completar essa redução de 
velocidade é dada por: 
x
t
v
∆∆ = 
 
 Da segunda Lei de Newton, a força resultante sobre o elemento de ar ao penetrar no 
pulso é dada por: 
 
( )
.
F pA p p
p A
= + − + ∆ ∆
= −∆
 
 
O volume do elemento é dado por .A x∆ . Então, usando x v t∆ = ∆ , vem: 
 
. .m V x Av tρ ρ ρ∆ = = ∆ ∆ = ∆ 
 
A aceleração média do elemento no intervalo de tempo t∆ é dada por: 
 
v
a
t
∆
=
∆
 
como F = ma, obtém-se: 
 
vpA ma Av t
t
ρ ∆−∆ = ∆ = ∆
∆
 
ou 
2
/
p
v
v v
ρ ∆= −
∆
 
O volume 
 
 Se o volume do ar fora do pulso é A v t vV
v t v
∆ ∆ ∆∆ = =
∆ ∆
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 03 
 
 
Assim: 
 
2
/
p p
v BVv v
V
ρ ∆ ∆= − = − = →∆∆
 
B
v
ρ
= 
 
3.3 Ondas Sonoras Progressivas 
 
 Examinamos agora os deslocamentos e variações de pressão relativos a uma onda 
senoidal se propagando no ar. A figura a seguir mostra uma onda com essa característica se 
propagando para a direita. Pode-se produzir uma onda como essa com um pistão se 
movendo na extremidade esquerda do tubo. Esse movimento do pistão para a direita produz 
um deslocamento e uma compressão do elemento de ar na sua proximidade. Quando o 
pistão se move para a esquerda permite-se que o elemento de ar se mova para a esquerda e 
que a pressão diminua. Como cada elemento de ar empurra o próximo elemento, esse 
movimento do ar da direita para a esquerda e a variação de pressão se propagam ao longo 
do tubo como uma onda sonora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em uma onda que se propaga ao longo do tubo o elemento de ar x∆ se desloca para 
a direita e esquerda descrevendo um movimento harmônico simples em torno de sua 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 04 
 
 
posição de equilíbrio. Em analogia com a equação de onda para uma onda que se propaga 
em uma corda, a equação de onda para essa onda longitudinal será: 
 
( , ) cos( ),S x t Sm kx tω= − 
 
onde ( , )S x t representa o deslocamento longitudinal do elemento de ar x∆ , Sm é o 
deslocamento máximo (amplitude). O número de onda angular k, a freqüência angular ω , a 
freqüência f, o comprimento de onda λ , a velocidade v e o período T tema mesma 
definição e relações que para as ondas transversais. Para ondas sonoras, o comprimento de 
onda é à distância entre duas compressões. 
 Quando a onda se move, a pressão no ar é dada pela relação a seguir: 
 
( , ) ( )mp x t p sen kx tω∆ = ∆ − 
 
A amplitude de pressão é dada por: 
( )m mp v Sρω∆ = 
 
Dedução das Relações 
 
 A variação da pressão no elemento deslocado é dada por: 
 
Vp B
V
∆∆ = − 
 onde: 
 .V x= ∆ ∆ → Volume do elemento deslocado 
 .V A S∆ = ∆ → Variação do volume do elemento 
 
Das relações anteriores e passando ao limite do diferencial obtém-se: 
 
0 [ ( )] ( )m m
S sp B B s cos kx t ks sen kx t
X x x
ω ω
∆ ∂∆ = − = − = − = − −
∆ ∂ ∂
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 05 
 
 
logo 
( )mAp BkS sen kx tω= − 
onde 
2( ) ( )m m m mp BkS v k S v Sρ ρω∆ = = = 
 
3.4 Interferência 
 
 Analogamente às ondas transversais, as ondas sonoras podem sofrer interferência. 
Seja o caso particular de interferência entre duas ondas sonoras idênticas se propagando na 
mesma direção. 
 Essa situação pode ser representada pela figura 
ao lado, onde duas fontes puntuais S1 e S2 emitem ondas 
sonoras que estão em fase. O que se deseja saber é o 
resultado dessa interferência no ponto P. Supõe-se que a 
distância até P seja muito maior que a distância entre as 
fontes. Assim pode-se imaginar as ondas se propagando na mesma direção. 
 Como as trajetórias percorridas pelas ondas, L1 e L2 respectivamente, são diferentes, 
elas podem não estar em fase no ponto P. Então, a diferença de fase φ depende da 
diferença de comprimento das trajetórias 2 1L L L∆ = − . Uma diferença de fase de 2π rad 
corresponde a um comprimento de onda λ . Portanto: 
 
2
Lφ
pi λ
∆
= 
ou 
2Lφ piλ
∆
= 
 
uma interferência totalmente construtiva ocorre quando: 
 
(2 ) 0,1, 2,3m mφ pi= = 
então 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 06 
 
 
0,5; 1,5; 2,5;3,5,...Lλ
∆
= 
 
 Uma interferência destrutiva ocorre porque uma onda se encontra completamente 
fora de fase com a outra onda. 
 
3.5 Intensidade e Nível Sonoro 
 
 A intensidade de uma onda sonora em uma superfície é a taxa média por unidade de 
área com que se transfere energia pela onda, ou seja: 
 
PI
A
= 
 
onde P é a taxa de transferência de energia no tempo e A a área da superfície. 
 Para uma fina camada de ar de espessura dx, área A e massa dm, oscilando quando a 
onda sonora passa, por ela, a energia cinética é dada por: 
 
21
2 s
dk dmv= 
 
 Nesta equação vs é a velocidade do elemento de ar que está oscilando, sendo dada 
por: 
( )s m
S
v s sen kx t
t
ω ω
∂
= = − −
∂
 
 
 sendo dm Adxρ= , e usando a relação para vs tem-se: 
2 21 ( )( ) ( )
2 m
dk Adx s sen kx tρ ω ω= − − 
dividindo-se a relação anterior por dt obtém-se a taxa com que a energia cinética se desloca 
junto com a onda. Sendo dx/dt a velocidade das ondas transversais, obtém-se: 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 07 
 
 
2 2 21 ( )
2 m
dk Av s sen kx t
dt
ρ ω ω= − 
usando a relação para o valor médio de uma função, dado por 
0
1 ( )
T
f x dx
T ∫
, obtém-se o valor 
médio da energia cinética: 
 
2 21
4 mmed
dk Av s
dt
ρ ω  = 
 
 
 
 Supondo-seque a energia potencial tenha o mesmo valor da energia cinética, a 
intensidade da onda será dada por: 
 
2 21
2
med
m
dkZ
P dtI v S
A
ρ ω
 
 
 
= = =
∆
 
 
OBS: Conforme definição, o valor médio de 2sen x é dado por: 
 
2 2
2 22
0 0
00
1 1 1 cos 2 1 1 2
2 2 2 4 2
xM sen x dx dx x sen x
pi pi
pi pi
pi pi pi
−  
= = = −  
∫ ∫ 
 
Variação Da Intensidade Com A Distância. 
 
 A forma com a intensidade de uma fonte varia com a distância é complexa. 
Entretanto, em algumas situações, podemos imaginar uma fonte sonora puntual emitindo 
som isotropicamente. Supondo que a energia mecânica da onda se conserva para uma onda 
se propagando esfericamente, obtém-se: 
 
2 ,4
sPI
rpi
= 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 08 
 
 
onde 24 rpi é a área da superfície da esfera. 
 
A Escala Decibel 
 
A amplitude de deslocamento no ouvido humano varia de 10-5 m (som tolerável) a 
10-11 m (som mais fraco), que representa uma razão às amplitudes de 106m. A intensidade 
do som varia com o quadrado da amplitude, logo a razão entre as intensidades nos dois 
limites é de 1012. 
 O conceito de logaritmo pode ser usado para se trabalhar com grande faixa de 
valores. Para a relação a seguir 
logy x= 
multiplicando-se x por 10 y aumenta em um, ou seja 
 
' log10 log10 log 1 logy x x x= = + = + 
 A definição de nível sonoro β é usada no lugar da intensidade I para se reduzir a 
faixa de valores: 
0
(10 ) log Idb
I
β = 
 
 I0 é uma intensidade de referência padrão dada por 10-12 W/m2, o qual está próximo 
do limite inferior da audição humana. Para I = I0 obtém-se 10 log1 0β = = , ou seja o nível 
de referência padrão corresponde a zero. O nível sonoro β aumenta 10dB cada vez que a 
intensidade do som aumenta de uma ordem de grandeza, isto é, para β = 40 tem-se uma 
intensidade 104 vezes o nível de referência padrão. Segue tabela de diversos níveis sonoros: 
 
 dB 
Limiar da Audição 0 
Roçar das Folhas 10 
Conversação 60 
Concerto de Rock 110 
Limiar da Dor 120 
Motor a Jato 130 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 09 
 
 
3.6 Fonte Sonoras Musicais 
 
 Sons musicais podem ser gerados por cordas vibrando (violão, violino, piano), 
membranas (tambor), colunas de ar (flauta, órgão de tubo) e outros corpos oscilantes. Já 
vimos que ondas estacionárias podem ser geradas em uma corda esticada fixada em suas 
extremidades quando o comprimento de onda das ondas coincide adequadamente com o 
comprimento da corda, a superposição das ondas se propagando em sentido contrário 
produz ondas estacionárias. 
 Pode-se gerar ondas estacionárias de som em tubos cheios de ar de modo 
semelhante. Ondas sonoras se propagando através do ar no tubo são refletidas, mesmo que 
a extremidade do tubo esta aberta (apesar da reflexão não ser tão completa como se o tubo 
estivesse fechado). Se o comprimento de onda das ondas sonoras coincidir adequadamente 
com o comprimento do tubo, a superposição de ondas se propagando em sentido contrário 
através do tubo gera uma onda estacionária. 
 Ondas sonoras estacionárias são semelhantes às ondas em cordas. Pode-se 
considerar a extremidade fechada de um tubo análoga à extremidade fixa de uma corda, por 
notar-se a existência de um nó(deslocamento nulo) na mesma. Para a extremidade aberta de 
um tubo considera-se a extremidade da corda presa em um anel que pode mover-se 
livremente da vertical. 
 O padrão de onda estacionária mais simples que pode ser gerado em um tubo com 
as extremidades abertas é mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 Nota-se a existência de um antinó em cada extremidade e um nó na seção no meio 
do tubo. Este padrão de nada é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico. Para 
se obter este padrão, o comprimento do tubo L deve igual a λ /2, ou seja λ =2L. Outros 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 010 
 
 
padrões de ondas sonoras estacionárias para um tubo com as extremidades abertas estão 
mostradas na figura a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O segundo harmônico necessita de ondas com comprimento de onda de Lλ = , o 
terceiro de 2
3
Lγ = e assim sucessivamente. De um modo geral, os comprimentos de onda 
para ondas sonoras estacionárias em um tubo com as extremidades abertas são dados por: 
 
2
,
L
n
λ = para n = 1,2,3,... 
 
 Então, as freqüências de ressonância são dadas por: 
 
,
2n
v nvf
Lλ= = para n = 1,2,3,... 
 
 Os padrões de onda estacionárias obtidos em um tubo com apenas uma extremidade 
aberta também são mostradas na figura anterior. Nota-se a existência de um nó na 
extremidade fechada e um antinó na extremidade aberta. O padrão mais simples é obtido 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 011 
 
 
quando / 4L λ= , ou seja, 4Lγ = . O padrão seguinte obtém-se para 3 / 4L λ= , ou 
4 / 3Lλ = . De um modo geral tem-se: 
 
4
,
L
n
λ = para n = 1,3,5,... 
ou seja 
,
4n
v nvf
Lλ= = para n = 1,3,5,... 
 
 O comprimento de um instrumento musical reflete a faixa de freqüência no qual o 
instrumento é projetado para funcionar. 
 
3.7 Batimentos 
 
 A superposição de duas ondas sonoras com freqüências aproximadas resulta em um 
fenômeno chamado de batimento. Nesse caso a intensidade do som varia em batimentos 
lentos e trêmulos que se repetem com uma freqüência dada pela diferença das duas ondas 
sonoras iniciais. A figura a seguir representa graficamente esse fenômeno. 
 
 
 
 
 
 Para se compreender melhor esse fenômeno, suponha que as duas ondas sejam 
representadas pelas equações a seguir: 
 
1 1cosmS S tω= e 2 2cos ,mS S tω= 
 
onde 1 2ω ω> . De acordo com o princípio da superposição, a onda resultante é dada por: 
1 2 1 2(cos cos )mS S S S t tω ω= + = + 
como 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 012 
 
 
1 1
cos cos 2cos ( )cos ( ),
2 2
A B A B A B+ = − + 
obtemos: 
1 2 1 2
1 12 cos ( ) cos ( )
2 2m
S S t tω ω ω ω   = − +      
 
ou 
'2 cos cosmS S t tω ω =   
com 
'
1 2 1 2
1 1( ) ( )
2 2
eω ω ω ω ω ω= − = + 
 
 Essa onda resultante possui freqüência angular de 1 2
1 ( )
2
ω ω+ e amplitude igual a 
'2 cos .mS tω 
 Uma amplitude máxima é obtida sempre que 'cos tω for +1 ou -1, o que acontece 
duas vezes no ciclo da função cosseno. Como a freqüência angular de 'cos tω é 'ω a 
freqüência do batimento é de '2batω ω= , ou seja: 
'
1 2 1 2
12 2 ( )
2bat
xω ω ω ω ω ω= = − = − 
sendo 1 22 batf f f fω pi= → = − 
 
3.8 O Efeito Doppler 
 
 O efeito Doppler proposto em 1842 pelo físico austríaco Johann Christian Doppler é 
oriundo do movimento relativo entre fonte e detector de ondas sonoras, promovendo uma 
alteração na freqüência original destas ondas. O efeito Doppler se aplica também para 
ondas eletromagnéticas (microondas, ondas de rádio e luz visível). Vamos analisar alguns 
casos. 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 013 
 
 
Detector Em Movimento; Fonte Estacionária 
 
 Considere-se o caso de um detector de ondas sonoras D, se aproximando de uma 
fonte S, com uma velocidade vD. A fonte S emite ondas com freqüência f e comprimento de 
onda λ , e velocidade v. A freqüência captada pelo detector D é a taxa com que D 
intercepta as frentes de onda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considerandoo detector D em repouso, no tempo t as frentes de onda se movem 
para a direita de uma distância vt. O número de comprimentos de onda nessa distância vt é 
o número de comprimentos de onda interceptados por D no tempo t, que é /vt λ . A taxa 
com que D intercepta os comprimentos de onda, que é a freqüência f detectada por D é: 
 
/vt vf
t
λ
λ= = 
 
 Nesta situação, com D e S estacionários, não há efeito Doppler. Por outro lado, para 
o detector D se movendo para a esquerda com uma velocidade vD, em um tempo t, o 
mesmo se move de uma distância vDt, e as frentes de ondas se movem para a direita de uma 
distância vt. Então, neste tempo à distância que as frentes de onda se moveram em relação a 
D é vt + vDt . O número de comprimentos de onda nesta distância relativa (vt + vDt) é o 
número de frentes de onda interceptadas por D no tempo t, ou seja, (vt + vDt)/ λ . A nova 
freqüência f’, é a taxa com que D intercepta os comprimentos de onda, isto é: 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 014 
 
 
( )
'
/D Dvt v t v vf
t
λ
λ
+ +
= = 
sendo / ,v fλ = obtém-se: 
 
'
/
D Dv v v vf f
v f v
+ + 
= =  
 
 
onde v é a velocidade do som no ar. O caso geral para o detector se aproximando ou se 
afastando é dada por: 
 
' Dv vf f
v
± 
=  
 
 
 
Fonte Em Movimento; Detector Estacionário 
 
 O comprimento de onda original de uma onda sonora é modificado pelo movimento 
da fonte. Considere T o intervalo de tempo entre a emissão de duas frentes de onda 
sucessivas 1θ e 2θ . Durante T, a frente de onda 1θ se move de uma distância vt e a fonte se 
move de um distância vst. Após transcorrido o tempo T, a frente de onda 2θ é emitida. O 
comprimento de onda, desta onda corresponde à distância entre 1θ e 2θ , dado por vt – vst. 
A nova freqüência detectada por D será: 
 
'
'
ss s
v v v vf f
vvvt v t v v
f f
λ
 
= = = =  
− − 
−
 
 
A fonte se propagando em sentido contrário tem-se: 
 
'
s
vf f
v v
 
=  
+ 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA III 015 
 
 
Equação Geral Do Efeito Doppler 
 
 Quando a fonte e o detector estiverem se movendo, a freqüência detectada f’,será 
dada por: 
 
' D
s
v vf f
v v
±
=
±
 
onde: 
 
'f → Freqüência detectada 
 f → Freqüência original 
 v → Velocidade do som no ar 
 Dv → Velocidade do detector 
 sv → Velocidade da fonte