Modelos Probabilisticos

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Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Cieˆncias Exatas e das Tecnologias
Nu´cleo Docente de Matema´tica, Probabilidade e Estat´ıstica
Varia´veis Aleato´rias e Modelos Probabil´ısticos
Prof. Dr. Marcelo de Paula
Barreiras, BA
Janeiro de 2017
Resumo
Modelos sa˜o descric¸o˜es aproximadas da realidade cujo objetivo e´ substituir, de maneira
simplificada e objetiva, um problema real. Podemos afirmar que um modelo e´ uma tentativa
de representar as caracter´ısticas mais importantes de um problema para a tomada de deciso˜es.
Os modelos probabil´ısticos, que nada mais sa˜o modelos matema´ticos, demandam um n´ıvel
adicional de abstrac¸a˜o por ser descric¸o˜es aproximadas de modelos. Por meio do formalismo
matema´tico tentamos substituir nosso modelo do problema real por um modelo matema´tico.
Este material dida´tico tem como pretensa˜o dar um suporte ba´sico e necessa´rio para o pros-
seguimento dos estudos em amostragem e te´cnicas de estimac¸a˜o em infereˆncia estat´ıstica.
Palavras-chave: Probabilidade, Varia´veis Aleato´rias, Modelos Probabil´ısticos.
Universidade Federal do Oeste da Bahia Prof. Dr. Marcelo de Paula
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 5
1.1 Conceitos ba´sicos em probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Definic¸a˜o axioma´tica de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Varia´veis aleato´rias discretas 7
2.1 Exemplo de Varia´vel aleato´ria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Func¸a˜o distribuic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Esperanc¸a matema´tica de uma Varia´vel aleato´ria discreta . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Variaˆncia de uma Varia´vel aleato´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Propriedades da esperanc¸a matema´tica e da Variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1 Propriedades da esperanc¸a de uma Varia´vel aleato´ria . . . . . . . . . . . 10
2.5.2 Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel aleato´ria . . . . . . . . . . . 11
2.6 Exemplo de aplicac¸a˜o em jogos de azar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Exemplo de aplicac¸a˜o na a´rea comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Varia´veis aleato´rias cont´ınuas 17
3.1 Definic¸a˜o e conceitos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Func¸a˜o distribuic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Esperanc¸a matema´tica e variaˆncia de uma v.a.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Exemplo de aplicac¸a˜o gene´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7 Exemplo de aplicac¸a˜o na engenharia industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Distribuic¸a˜o binomial 25
4.1 Distribuic¸a˜o ou modelo de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Distribuic¸a˜o ou modelo Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Exemplo de aplicac¸a˜o na a´rea gene´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Exemplo de aplicac¸a˜o na explorac¸a˜o de petro´leo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Distribuic¸a˜o ou modelo de Poisson 31
5.1 Exemplo de aplicac¸a˜o em doenc¸as raras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Exemplo de aplicac¸a˜o: abalos s´ısmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Distribuic¸a˜o da soma de distribuic¸o˜es de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Exemplo de aplicac¸a˜o no tra´fego urbano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Distribuic¸a˜o Normal 39
6.1 O modelo normal de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Propriedades da curva normal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 Distribuic¸a˜o normal padra˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4 Exemplo de aplicac¸a˜o: vaza˜o de rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
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7 Combinac¸a˜o Linear de Distribuic¸o˜es Normais 46
7.1 Distribuic¸a˜o da soma de distribuic¸o˜es normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2 Exemplo de aplicac¸a˜o gene´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3 Exemplo de aplicac¸a˜o em carga de elevadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 Exerc´ıcios de fixac¸a˜o 49
8.1 Exerc´ıcios sobre varia´veis aleato´rias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.2 Exerc´ıcios sobre varia´veis aleato´rias cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3 Exerc´ıcios sobre distribuic¸a˜o binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.4 Exerc´ıcios sobre distribuic¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.5 Exerc´ıcios sobre distribuic¸a˜o Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.6 Exerc´ıcios sobre combinac¸a˜o linear de distribuic¸o˜es Normais . . . . . . . . . . . 55
8.7 Respostas dos exerc´ıcios sobre varia´veis aleato´rias discretas . . . . . . . . . . . . 57
8.8 Respostas dos exerc´ıcios sobre varia´veis aleato´rias cont´ınuas . . . . . . . . . . . 57
8.9 Respostas dos exerc´ıcios sobre distribuic¸a˜o binomial . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.10 Respostas dos exerc´ıcios sobre distribuic¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.11 Respostas dos exerc´ıcios sobre distribuic¸a˜o Normal . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.12 Respostas dos exerc´ıcios sobre combinac¸a˜o linear de distribuic¸o˜es Normais . . . 61
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1 Introduc¸a˜o
A origem e o desenvolvimento da teoria das probabilidades encontram-se nos jogos de
azar por volta do se´culo XVII. Na sociedade francesa em 1650, por exemplo, o jogo era ha´bito
popular e elegante.
Ainda hoje em tempos contemporaˆneos ha´ muitas aplicac¸o˜es que envolvem jogos de azar,
tais como os diversos tipos de loterias, os cassinos, as corridas de cavalos, etc. Hoje em dia,
os governos, as empresas, as organizac¸o˜es profissionais, incorporam a teoria das probabilidades
em seus processos de deliberac¸o˜es, pois a probabilidade auxilia a desenvolver estrate´gias.
Em geral, os experimentos da natureza podem ser classificados em:
ˆ Experimentos determin´ısticos: Sa˜o aqueles que, repetidos va´rias vezes, produzem
resultados ideˆnticos.
ˆ Experimentos probabil´ısticos ou aleato´rios: Sa˜o aqueles que, repetidos va´rias vezes,
produzem resultados distintos.
1.1 Conceitos ba´sicos em probabilidade
Alguns conceitos ba´sicos em probabilidade sa˜o:
ˆ Espac¸o amostral: E´ o conjunto de todos os resultados poss´ıveis de um experimento
aleato´rio. Em geral e´ denotado pela letra grega maiu´scula Ω.
ˆ Evento: E´ um subconjunto do espac¸o amostral Ω. Em geral e´ denotado por letras
maiu´sculas do nosso alfabeto: A, B, C, etc.
ˆ Ensaio: E´ uma repetic¸a˜o de um experimento aleato´rio. Por exemplo, se um experimento
aleato´rio for repetido 10 vezes, enta˜o temos 10 ensaios deste experimento.
A seguir apresentamos alguns exemplos de experimento probabil´ıstico e seu espac¸o amos-
tral:
ˆ Exemplo 1. Lanc¸ar uma moeda e observar a face voltada para cima.
Ω = {c, k} , em que c = cara; k = coroa;
ˆ Exemplo 2. Lanc¸ar um dado e observar a face voltada para cima.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ˆ Exemplo 3. Lanc¸ar uma moeda indefinidamente, parar quando obter a primeira cara e
contar o nu´mero de coroas obtidas.
Ω = {0, 1, 2, 3, ...}
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ˆ Exemplo 4. Escolher ao acaso uma famı´lia da populac¸a˜o e contar o nu´mero de filhos
desta famı´lia.
Ω = {0, 1, 2, 3, ...}
ˆ Exemplo 5. Escolher ao acaso um indiv´ıduo da populac¸a˜o medir sua altura em metros.
Ω = { [0 m; 2 m[ }
Observac¸a˜o: Os exemplos 1 ao 4 referem-se a um espac¸o amostral discreto (pontos da
reta) e o exemplo 5 refere-se a um espac¸o amostral cont´ınuo (intervalos da reta).
1.2 Definic¸a˜o axioma´tica de probabilidade
Probabilidade e´ uma func¸a˜o P que liga partes do espac¸o amostral, ou seja, os eventos, ao
intervalo [0, 1], obedecendo os seguintes axiomas:
i. Se A e´ um evento associado ao espac¸o amostral Ω, enta˜o
0 ≤ P (A) ≤ 1.
ii. Se Ω e´ o espac¸o amostral, enta˜o
P (Ω) = 1.
iii. Sejam A1, A2, ..., An eventos dois a dois disjuntos, isto e´, dois a dois mutuamente
exclusivos, enta˜o
P
(
n⋃
i=1
Ai
)
=
n∑
i=1
P (Ai) .
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2 Varia´veis aleato´rias discretas
Definic¸a˜o de Varia´vel aleato´ria: Uma Varia´vel aleato´ria X e´ uma func¸a˜o que liga
partes do espac¸o amostral Ω a` reta real, isto e´,
X : Ω −→ R.
Denota-se uma Varia´vel por letra maiu´scula (por exemplo X, Y , Z) e os valores assumidos
por ela por letra minu´scula (x, y, z).
Definic¸a˜o de Varia´vel aleato´ria discreta: Se X e´ uma Varia´vel aleato´ria (v.a) que
assume pontos da reta x1, x2, ..., xn, enta˜o dizemos que X e´ uma Varia´vel aleato´ria discreta
(v.a.d) se:
(i) 0 < P (X = xk) < 1, para k = 1, 2, ..., n.
(ii)
n∑
k=1
P (X = xk) = 1.
Os itens (i) e (ii) compo˜em a chamada distribuic¸a˜o de probabilidades de X.
Alguns exemplos de Varia´veis aleato´rias discretas (v.a.d) sa˜o: nu´mero de filhos por famı´lia,
nu´mero de acidentes de traˆnsito numa certa rodovia, nu´mero de ovos depositados por um inseto,
nu´mero de pec¸as defeituosas, nu´mero de clientes insatisfeitos, nu´mero de alunos reprovados,
etc.
2.1 Exemplo de Varia´vel aleato´ria discreta
Suponha o lanc¸amento de 4 moedas honestas (equilibradas). O espac¸o amostral deste
experimento aleato´rio e´ composto por 16 pontos amostrais:
Ω =
{
(cccc) (ccck) (cckc) (cckk) (ckcc) (ckck) (ckkc) (ckkk)
(kccc) (kcck) (kckc) (kckk) (kkcc) (kkck) (kkkc) (kkkk)
}
Considere X uma Varia´vel aleato´ria discreta (v.a.d) que conta o nu´mero de caras obtidas
neste experimento aleato´rio. Enta˜o os poss´ıveis valores que X pode assumir e´ X = 0, 1, 2, 3, 4,
conforme ilustrac¸a˜o abaixo:
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Observe que cada parte do espac¸o amostral Ω deste experimento aleato´rio esta´ associado
a um dos cinco pontos da reta. Desta forma temos a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidades:
P (X = 0) = 1/16;
P (X = 1) = 4/16;
P (X = 2) = 6/16;
P (X = 3) = 4/16;
P (X = 4) = 1/16.
Note que cada probabilidade esta´ no intervalo [0, 1] e a soma de todas as probabilidades
vale 1.
2.2 Func¸a˜o distribuic¸a˜o
A func¸a˜o distribuic¸a˜o, ou distribuic¸a˜o acumulada de probabilidades, e´ a probabilidade da
v.a.c X ser menor que um ponto x, isto e´,
F (x) = P (X ≤ x) .
Em nosso exemplo temos que X = 0, 1, 2, 3, 4. Enta˜o segue que
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F (0) = P (X ≤ 0) = P (X = 0) = 1
16
F (1) = P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 5
16
F (2) = P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 11
16
F (3) = P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 15
16
F (4) = P (X ≤ 4) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 16
16
= 1.
2.3 Esperanc¸a matema´tica de uma Varia´vel aleato´ria discreta
A esperanc¸a matema´tica de uma Varia´vel aleato´ria discreta e´ definida como:
E (X) =
∑
k
kP (X = k) .
A esperanc¸a matema´tica pode ser interpretada como a me´dia dos resultados de um expe-
rimento aleato´rio, quando este e´ realizado muitas vezes. Em nosso exemplo do lanc¸amento das
4 moedas temos:
E (X) = 0P (X = 0) + 1P (X = 1) + 2P (X = 2) + 3P (X = 3) + 4P (X = 4)
= 0× 1
16
+ 1× 4
16
+ 2× 6
16
+ 3× 4
16
+ 4× 1
16
=
32
16
E (X) = 2 caras.
Interpretac¸a˜o: Neste exemplo esperamos 2 caras, isto e´, ao repetir este experimento
aleato´rio muitas vezes, a me´dia a longo prazo dos resultados obtidos e´ de 2 caras.
2.4 Variaˆncia de uma Varia´vel aleato´ria
A Variaˆncia e´ definida como a esperanc¸a do segundo momento menos o quadrado da
esperanc¸a do primeiro momento:
V ar (X) = E
(
X2
)− [E (X)]2 ,
em que
E
(
X2
)
=
∑
k
k2P (X = k) .
Em nosso exemplo temos que a esperanc¸a do segundo momento e´ dada por:
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E
(
X2
)
= 02P (X = 0) + 12P (X = 1) + 22P (X = 2) + 32P (X = 3) + 42P (X = 4)
= 0× 1
16
+ 1× 4
16
+ 4× 6
16
+ 9× 4
16
+ 16× 1
16
=
80
16
E
(
X2
)
= 5 caras2.
Desta forma, a Variaˆncia de X e´ tal que
V ar (X) = E
(
X2
)− [E (X)]2 = 5− 22 = 1 cara2
V ar (X) = 1 cara2.
Observac¸a˜o: A unidade da Variaˆncia e´ o quadrado da unidade da esperanc¸a de X. Desta
maneira pode-se usar o desvio padra˜o de X, que e´ a raiz quadrada da Variaˆncia.
σ (X) =
√
V ar (X) =
√
1 cara2 = 1 cara
σ (X) = 1 cara.
2.5 Propriedades da esperanc¸a matema´tica e da Variaˆncia
As propriedades da esperanc¸a matema´tica e da Variaˆncia de uma Varia´vel aleato´ria sa˜o
de extrema importaˆncia para os principais to´picos em infereˆncia estat´ıstica, como a teoria da
amostragem e a estimac¸a˜o de paraˆmetros populacionais, que sera˜o estudados posteriormente.
O pro´prio conceito de amostra aleato´ria envolve a aplicac¸a˜o das propriedades da esperanc¸a e
da Variaˆncia.
2.5.1 Propriedades da esperanc¸a de uma Varia´vel aleato´ria
Considere X uma Varia´vel aleato´ria e c uma constante arbitra´ria, tal que c ∈ R. Enta˜o
ˆ Propriedade 1. A esperanc¸a da constante e´ a pro´pria constante.
E (c) = c
ˆ Propriedade 2. A esperanc¸a de uma v.a X adicionado ou subtra´ıdo uma constante c,
e´ dada por
E (X ± c) = E (X)± c.
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ˆ Propriedade 3. A esperanc¸a de uma v.a X multiplicada por uma constante c, e´ dada
por
E (Xc) = E (X) c.
ˆ Propriedade 4. Sejam duas constantes arbitra´rias a e b. Enta˜o, pelas propriedades 1, 2
e 3, temos
E (a± bX) = a± bE (X) .
ˆ Propriedade 5. Sejam X e Y duas v.as, enta˜o a esperanc¸a da soma ou da diferenc¸a e´
a soma ou diferenc¸a das esperanc¸as.
E (X ± Y ) = E (X)± E (Y ) .
Observac¸a˜o: Esta propriedade vale para mais de 2 Varia´veis aleato´rias.
ˆ Propriedade 6. Considere X1, X2, ..., Xn Varia´veis aleato´rias. Enta˜o a esperanc¸a da
soma e´ a soma das esperanc¸as.
E
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
E (Xi) .
ˆ Propriedade 7. Considere X1, X2, ..., Xn Varia´veis aleato´rias independentes. Enta˜o a
esperanc¸a do produto e´ o produto das esperanc¸as.
E
(
n∏
i=1
Xi
)
=
n∏
i=1
E (Xi) .
2.5.2 Propriedades da Variaˆncia de uma Varia´vel aleato´ria
ˆ Propriedade 1. A Variaˆncia de uma constante e´ nula.
V ar (c) = 0.
ˆ Propriedade 2. A Variaˆncia de uma v.a X adicionado ou subtra´ıdo uma constante c, e´
a pro´pria Variaˆncia de X
V ar (X ± c) = V ar (X) .
ˆ Propriedade 3. A Variaˆncia de uma v.a X multiplicada por uma constante c, e´ a
Variaˆncia de X multiplicada pela constante c ao quadrado.
V ar (Xc) = V ar (X) c2.
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ˆ Propriedade 4. Sejam duas constantes arbitra´rias a e b. Pelas propriedades 1, 2 e 3,
temos
V ar (a± bX) = b2V ar (X) .
ˆ Propriedade 5. Sejam X e Y duas v.as, enta˜o a variaˆncia da soma ou da diferenc¸a e´
dada por.V ar (X ± Y ) = V ar (X) + V ar (Y )± 2COV (XY ) ,
onde COV denota a covariaˆncia entre as varia´veis X e Y , e e´ dada pela esperanc¸a do
produto menos o produto das esperanc¸as:
COV (XY ) = E (XY )− E (X)E (Y )
ˆ Propriedade 6. Considere X1, X2, ..., Xn varia´veis aleato´rias. Enta˜o a variaˆncia da soma
e´ dada por
V ar
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
V ar (Xi) +
n∑
i=1
∑
j 6=i
COV (XiXj) .
Observac¸a˜o: SeX1, X2, ..., Xn sa˜o varia´veis aleato´rias independentes, enta˜o a variaˆncia
da soma e´ a soma das variaˆncias
V ar
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
V ar (Xi)
2.6 Exemplo de aplicac¸a˜o em jogos de azar
Suponha que, em um determinado jogo, o apostador faz o lanc¸amento de dois dados
independentes e equilibrados. Defina como S a Varia´vel aleato´ria discreta que denota a soma
das duas faces voltadas para cima.
a. Determine a distribuic¸a˜o de probabilidades de S.
b. Encontre a esperanc¸a de S.
c. Encontre a Variaˆncia e o desvio-padra˜o de S.
Resoluc¸a˜o do item a: Neste exemplo de aplicac¸a˜o, para determinarmos a distribuic¸a˜o de
probabilidades de S, e´ necessa´rio encontrarmos o espac¸o amostral deste experimento aleato´rio
que e´ dado por:
Ω =

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

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Portanto, a soma S das duas faces voltadas para cima e´ uma v.a.d que assume os seguintes
valores:
S = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Dessa maneira, a distribuic¸a˜o de probabilidades de S e´ dada por:
P (S = 2) = 1/36 ; P (S = 6) = 5/36 ; P (S = 10) = 3/36
P (S = 3) = 2/36 ; P (S = 7) = 6/36 ; P (S = 11) = 2/36
P (S = 4) = 3/36 ; P (S = 8) = 5/36 ; P (S = 12) = 1/36
P (S = 5) = 4/36 ; P (S = 9) = 4/36
Resoluc¸a˜o do item b:
E (S) =
12∑
k=2
kP (S = k)
= 2P (S = 2) + 3P (S = 3) + 4P (S = 4) + · · ·+ 12P (S = 12)
= 2
1
36
+ 3
2
36
+ 4
3
36
+ 5
4
36
+ 6
5
36
+ 7
6
36
+ 8
5
36
+ 9
4
36
+ 10
3
36
+ 11
2
36
+ 12
1
36
=
256
36
E (S) = 7.
Resoluc¸a˜o do item c: Para encontrarmos a Variaˆncia de S, e´ necessa´rio encontrar
primeiramente a esperanc¸a do segundo momento de S.
E
(
S2
)
=
12∑
k=2
k2P (S = k)
= 22P (S = 2) + 32P (S = 3) + 42P (S = 4) + · · ·+ 122P (S = 12)
= 4
1
36
+ 9
2
36
+ 16
3
36
+ 25
4
36
+ 36
5
36
+ 49
6
36
+ 64
5
36
+ 81
4
36
+ 100
3
36
+ 121
2
36
+ 144
1
36
=
1974
36
E
(
S2
)
=
329
6
.
Por sua vez, sabemos que a Variaˆncia de S e´ a diferenc¸a entre a esperanc¸a do segundo
momento e o quadrado da esperanc¸a do primeiro momento de S, isto e´:
V ar (S) = E
(
S2
)− [E (S)]2
=
329
6
− 72
V ar (S) =
35
6
= 5, 8333.
O desvio-padra˜o, por definic¸a˜o, e´ a ra´ız quadrada da Variaˆncia de S, ou seja:
σ (S) =
√
V ar (S) =
√
35
6
= 2, 4153.
13
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2.7 Exemplo de aplicac¸a˜o na a´rea comercial
Em uma grande rede de loja de calc¸ados, os funciona´rios ganham um adicional no sala´rio
em func¸a˜o das vendas. Esse adicional e´ dado em nu´mero de boˆnus que Variam de 0 a 8. O
nu´mero X de boˆnus que cada funciona´rio ganha, ale´m do sala´rio fixo, e´ uma Varia´vel aleato´ria
discreta tal que sua distribuic¸a˜o de probabilidades e´ dada por:
P (X = k) =
(9− k)2
285
, k = 0, 1, 2, ..., 8. (1)
a. Encontre a probabilidade de um funciona´rio qualquer ganhar no ma´ximo 7 boˆnus no
final do meˆs.
b. Encontre a probabilidade de um funciona´rio qualquer ganhar pelo menos 2 boˆnus no
final do meˆs.
c. Encontre e interprete a esperanc¸a do nu´mero X de boˆnus a receber no final do meˆs.
d. Encontre a Variaˆncia e o desvio padra˜o do nu´mero X de boˆnus a receber no final do
meˆs. Ajuda: Encontre primeiramente a esperanc¸a do segundo momento da Varia´vel aleato´ria
X, isto e´, E (X2).
e. Considere Y como a quantia em reais que o funciona´rio ganha em func¸a˜o dos boˆnus.
Sabendo que cada boˆnus equivale a` 300 reais, encontre a esperanc¸a, a Variaˆncia e o desvio
padra˜o de Y . Interprete a esperanc¸a encontrada.
Soluc¸a˜o: A distribuic¸a˜o de probabilidades de X expressa em (1) e´ expressa por extenso
por:
P (X = 0) =
81
285
; P (X = 1) =
64
285
; P (X = 2) =
49
285
P (X = 3) =
36
285
; P (X = 4) =
25
285
; P (X = 5) =
16
285
P (X = 6) =
9
285
; P (X = 7) =
4
285
; P (X = 8) =
1
285
Soluc¸a˜o do item a. A probabilidade de um funciona´rio qualquer ganhar no ma´ximo 7
boˆnus no final do meˆs e´
P (X ≤ 7) = 1− P (X = 8) = 1− 1
285
=
284
285
P (X ≤ 7) = 0, 9965 ou 99, 65%.
Soluc¸a˜o do item b. A probabilidade de um funciona´rio qualquer ganhar pelo menos 2
boˆnus no final do meˆs e´
14
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P (X ≥ 2) = 1− P (X = 0)− P (X = 1)
= 1− 64
285
− 49
285
=
140
285
P (X ≥ 2) = 0, 4912 ou 49, 12%.
Soluc¸a˜o do item c. Pela definic¸a˜o, a esperanc¸a do nu´mero X de boˆnus a receber no
final do meˆs e´ tal que:
E (X) =
8∑
k=0
kP (X = k)
= 0P (X = 0) + 1P (X = 1) + 2P (X = 2) + ...+ 8P (X = 8)
= 0
81
285
+ 1
64
285
+ 2
49
285
+ 3
36
285
+ 4
25
285
+ 5
16
285
+ 6
9
285
+ 7
4
285
+ 8
1
285
=
540
285
E (X) = 1, 89 boˆnus.
Soluc¸a˜o do item d. Para determinarmos a Variaˆncia, e´ necessa´rio encontrarmos primei-
ramente a esperanc¸a do segundo momento da Varia´vel aleato´ria X, isto e´, E (X2):
E
(
X2
)
=
8∑
k=0
k2P (X = k)
= 02P (X = 0) + 12P (X = 1) + 22P (X = 2) + ...+ 82P (X = 8)
= 02
81
285
+ 12
64
285
+ 22
49
285
+ 32
36
285
+ 42
25
285
+ 52
16
285
+ 62
9
285
+ 72
4
285
+ 82
1
285
= 0
81
285
+ 1
64
285
+ 4
49
285
+ 9
36
285
+ 16
25
285
+ 25
16
285
+ 36
9
285
+ 49
4
285
+ 64
1
285
=
1968
285
E
(
X2
)
= 6, 91 boˆnus2.
A Variaˆncia de X, por sua vez, e´ tal que:
V ar (X) = E
(
X2
)
= [E (X)]2
= 6, 91− 1, 892
V ar (X) = 3, 34 boˆnus2.
Dessa forma, como a Variaˆncia e´ V ar (X) = 3, 34, enta˜o o desvio padra˜o do nu´mero X de
boˆnus a receber no final do meˆs e´ σ (X) = 1, 83 boˆnus.
Soluc¸a˜o do item e. Se Y e´ a quantia em reais que o funciona´rio ganha em func¸a˜o dos
boˆnus e, sabendo que cada boˆnus equivale e´ 300 reais, enta˜o temos
15
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E (Y ) = E (X)× 300 reais
E (Y ) = 567 reais.
V ar (Y ) = V ar (X)× 3002 = 3, 34× 90.000 reais
V ar (Y ) = 300.600 reais2.
Dessa forma, o desvio-padra˜o da quantia e´ σ (Y ) = 549 reais.
16
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3 Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Alguns exemplos de varia´veis aleato´rias cont´ınuas (abreviac¸a˜o v.a.c) sa˜o: peso e altura de
indiv´ıduos, ı´ndice de massa corporal, pressa˜o atmosfe´rica, temperatura dia´ria de uma deter-
minada regia˜o, ı´ndice pluviome´trico para medir a quantidade de chuva, velocidade do vento,
vaza˜o de um rio, tempo de vida u´til de um determinado componente eletroˆnico, sala´rios dos
funciona´rios de uma empresa, renda familiar ou renda per capta, etc.
3.1 Definic¸a˜o e conceitos ba´sicos
Definic¸a˜o: Dizemos que X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua v.a.c se:
i. 0 ≤ P (a < X < b) =
b∫
a
f (x)dx ≤ 1.
ii.
+∞∫
−∞
f (x) dx = 1.
em que f (x) e´ chamada de func¸a˜o densidade de probabilidade (f.d.p).
3.2 Func¸a˜o distribuic¸a˜o
A func¸a˜o distribuic¸a˜o, ou distribuic¸a˜o acumulada de probabilidades, e´ a probabilidade da
v.a.c X ser menor que um ponto arbitra´rio x, isto e´,
F (x) = P (X ≤ x) =
x∫
−∞
f (x) dx.
Resultado 1: A derivada da func¸a˜o distribuic¸a˜o e´ a func¸a˜o densidade de probabilidade
(f.d.p):
F
′
(x) = f (x) = f.d.p.
Resultado 2:
lim
x→−∞
F (x) = 0
lim
x→+∞
F (x) = 1.
17
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3.3 Mediana
Por definic¸a˜o a mediana e´ uma medida de tendeˆncia central que divide um conjunto
quantitativo ordenado de dados em duas partes iguais. No caso de uma varia´vel aleato´ria
cont´ınua, a mediana e´ o valor que deixa uma a´rea igual a 0, 5 abaixo e 0, 5 acima dela. Para
encontrar o valor da mediana basta encontrar o valor Me que satisfac¸a a expressa˜o abaixo:
Me∫
−∞
f (x) dx =
1
2
.
3.4 Moda
A moda de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua e´ o valor nume´rico de x que maximiza f (x),
caso exista ma´ximo. Para isso, basta encontrar a derivada f
′
(x) e igualar a zero. Neste caso,
x e´ chamado de moda ou valor modal. A figura abaixo apresenta um exemplo de varia´vel
aleato´ria cont´ınua e seu valor modal.
3.5 Esperanc¸a matema´tica e variaˆncia de uma v.a.c
A esperanc¸a matema´tica de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua e´ definida como:
E (X) =
+∞∫
−∞
xf (x) dx.
A variaˆncia, por sua vez, e´ definida como a esperanc¸a do segundo momento menos o
quadrado da esperanc¸a do primeiro momento:
V ar (X) = E
(
X2
)− [E (X)]2 ,
18
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em que
E
(
X2
)
=
+∞∫
−∞
x2f (x) dx.
3.6 Exemplo de aplicac¸a˜o gene´rica
Considere X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua (v.a.c) tal que sua f.d.p seja dada por:
f (x) =
{
3x2
125
se 0 < x < 5.
0 caso contra´rio
a. Verifique se f (x) e´ uma f.d.p.
b. Determine a func¸a˜o distribuic¸a˜o F (x).
c. Determine P (2 < X < 4).
d. Encontre a mediana da v.a.c X.
e. Determine a esperanc¸a matema´tica da v.a.c X.
f. Determine a variaˆncia da v.a.c X.
Resoluc¸a˜o do item a. Para que f (x) seja uma f.d.p, sua integral tem que ser 1.
+∞∫
−∞
f (x) dx =
5∫
0
3x2
125
dx =
3
125
(
x3
3
)
|50
=
3
125
(
53
3
− 0
3
3
)
=
3
125
× 125
3
+∞∫
−∞
f (x) dx = 1.
Logo, f (x) e´ uma func¸a˜o densidade de probabilidade (f.d.p).
Resoluc¸a˜o do item b. Por definic¸a˜o temos que F (x) = P (X ≤ x).
F (x) = P (X ≤ x) =
x∫
−∞
f (x) dx
=
x∫
0
3x2
125
dx =
3
125
(
x3
3
)
|x0
=
3
125
(
x3
3
− 0
3
3
)
=
x3
125
F (x) =
x3
125
.
Note que F
′
(x) = f (x)
19
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Resoluc¸a˜o do item c. Para encontrar a probabilidade da v.a.c estar num intervalo
definido [a, b], basta integrar f (x) neste intervalo, isto e´,
P (2 < X < 4) =
4∫
2
f (x) dx =
4∫
2
3x2
125
dx
=
3
125
(
x3
3
)
|42=
3
125
(
43
3
− 2
3
3
)
=
3
125
(
64
3
− 8
3
)
=
3
125
× 56
3
=
56
125
P (2 < X < 4) = 0, 4480.
Resoluc¸a˜o do item d. Encontrar a mediana da v.a.c X.
Me∫
0
f (x) dx =
1
2
=⇒
Me∫
0
3x2
125
dx =
1
2
=⇒ 3
125
(
x3
3
)
|Me0 =
1
2
=⇒ 3
125
(
Me3
3
− 0
3
3
)
=
1
2
=⇒ Me
3
125
=
1
2
=⇒ Me = 3, 9685.
Resoluc¸a˜o do item e. Determinar a esperanc¸a matema´tica da v.a.c X.
E (X) =
+∞∫
−∞
xf (x) dx =
5∫
0
x
3x2
125
dx =
5∫
0
3x3
125
dx
=
3
125
(
x4
4
)
|50=
3
125
(
54
4
− 0
4
4
)
=
3
125
× 625
4
=
15
4
E (X) = 3, 75.
Resoluc¸a˜o do item f. Para determinar a variaˆncia, e´ necessa´rio encontrar primeiramente
a esperanc¸a do segundo momento de X.
E
(
X2
)
=
+∞∫
−∞
x2f (x) dx =
5∫
0
x2
3x2
125
dx =
5∫
0
3x4
125
dx
=
3
125
(
x5
5
)
|50=
3
125
(
55
5
− 0
5
5
)
=
3
125
× 3125
5
E
(
X2
)
= 15.
A variaˆncia e´ dada pela esperanc¸a do segundo momento menos o quadrado da esperanc¸a
do primeiro momento.
20
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V ar (X) = E
(
X2
)− [E (X)]2 = 15− 3, 752
V ar (X) = 0, 9375.
3.7 Exemplo de aplicac¸a˜o na engenharia industrial
O tempo X de acionamento de um sistema automa´tico numa linha de produc¸a˜o e´ uma
varia´vel aleato´ria cont´ınua (v.a.c), cuja func¸a˜o densidade de probabilidades (f.d.p) e´ expressa
por
f (x) =
−3x2 + 36x− 60
256
, 2 ≤ x ≤ 10.
a. Verifique se esta f (x) e´, de fato, uma f.d.p.
b. Determinar P (4 ≤ X ≤ 8), isto e´, a probabilidade do tempo de acionamento estar
entre 4 e 8 minutos.
c. Encontre o tempo modal Mo, ou seja, o tempo de acionamento mais frequente deste
sistema.
d. Encontre o tempo mediano de acionamento deste sistema. Mostre que a mediana dessa
v.a.c na˜o possui forma expl´ıcita e e´ dada pela soluc¸a˜o de um polinoˆmio de grau 3.
e. Encontre a esperanc¸a matema´tica E (X). Use o valor nume´rico da esperanc¸a ma-
tema´tica no polinoˆmio do item (a) e fac¸a comenta´rios pertinentes.
f. Encontre a variaˆncia V ar (X) do tempo de acionamento deste sistema. Em seguida
encontre o desvio-padra˜o σ (X).
Resoluc¸a˜o do item a. Para que f (x) seja uma f.d.p temos que verificar se
+∞∫
−∞
f (x) dx = 1.
Em nosso exemplo temos que
21
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+∞∫
−∞
f (x) dx =
10∫
2
−3x2 + 36x− 60
256
dx
=
1
256
(−3x3
3
+
36x2
2
− 60x
)
|102
=
1
256
(−x3 + 18x2 − 60x) |102
=
1
256
[(−1000 + 1800− 600)− (−8 + 72− 120)]
=
1
256
(200 + 56)
=
1
256
× 256 = 1
+∞∫
−∞
f (x) dx = 1.
Logo, esta f (x) e´ de fato uma f.d.p.
Resoluc¸a˜o do item b. Para determinar a probabilidade do tempo de acionamento estar
entre 4 e 8 minutos, basta integrar f (x) no intervalo [4 , 8], ou seja:
P (4 ≤ X ≤ 8) =
8∫
4
−3x2 + 36x− 60
256
dx
=
1
256
(−3x3
3
+
36x2
2
− 60x
)
|84
=
1
256
(−x3 + 18x2 − 60x) |84
=
1
256
[(−512 + 1152− 480)− (−64 + 288− 240)]
=
1
256
(160 + 16)
=
1
256
× 176 = 0, 6875
P (4 ≤ X ≤ 8) = 0, 6875 ou 68, 75%.
Resoluc¸a˜o do item c. Para encontrar o tempo modal Mo de acionamento do sistema,
basta encontrar o valor nume´rico de x que maximize f (x). Para isso, e´ necessa´rio encontrarmos
a sua derivada, isto e´:
f
′
(x) =
−6x+ 36
256
.
Igualando a derivada a zero, temos:
22
Universidade Federal do Oeste da Bahia Prof. Dr. Marcelo de Paula
−6x+ 36
256
= 0
⇒ −6x+ 36 = 0
⇒ −6x = −36
⇒ x = 36
6
⇒ x = 6 minutos.
Logo, o valor de x que maximiza f (x) e´ 6. Portanto, o tempo modal de acionamento deste
sistema e´ de Mo = 6 minutos.
Resoluc¸a˜o do item d. Para encontrar o tempo mediano de acionamento deste sistema,
basta fazer:
Me∫
0
f (x) dx =
1
2
Dessa maneira temos que
Me∫
2
−3x2 + 36x− 60
256
dx =
1
2
=⇒ 1
256
(
−3x
3
3
+
36x2
2
− 60x
)
|Me2 =
1
2
=⇒ 1
256
(−x3 + 18x2 − 60x) |Me2 = 12
=⇒ 1
256
[(−Me3 + 18Me2 − 60Me)− (−23 + 18× 22 − 60× 2)] = 1
2
=⇒ 1
256
(−Me3 + 18Me2 − 60Me+ 56) = 1
2
=⇒ −Me3 + 18Me2 − 60Me+ 56 = 128
=⇒ −Me3 + 18Me2 − 60Me− 72 = 0.
Dessa forma, a mediana na˜o possui forma expl´ıcita e e´ dada pela soluc¸a˜o do polinoˆmio
acima.
Resoluc¸a˜o do item e. A esperanc¸a matema´ticae´ E (X) = 6, que e´ a pro´pria soluc¸a˜o
do polinoˆmio no item a.
23
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E (X) =
+∞∫
−∞
xf (x) dx
=
10∫
2
x
−3x2 + 36x− 60
256
dx
=
10∫
2
−3x3 + 36x2 − 60x
256
dx
=
1
256
(
−3x
4
4
+
36x3
3
− 60x
2
2
)
|102
=
1
256
[1500− (−36)] = 1536
256
= 6
E (X) = 6 minutos.
Resoluc¸a˜o do item f. Para encontrar a variaˆncia e´ necessa´rio encontrar primeiramente
a esperanc¸a do segundo momento
E
(
X2
)
=
+∞∫
−∞
x2f (x) dx
=
10∫
2
x2
−3x2 + 36x− 60
256
dx
=
10∫
2
−3x4 + 36x3 − 60x2
256
dx
=
1
256
(
−3x
5
5
+
36x4
4
− 60x
3
3
)
|102
=
1
256
[10000− (−35, 2)] = 10035, 2
256
E
(
X2
)
= 39, 2 minutos2.
E, finalmente, a variaˆncia e´ dada por
V ar (X) = E
(
X2
)− [E (X)]2
= 39, 2− 62
V ar (X) = 3, 2 minutos2.
O desvio-padra˜o, por sua vez, e´ expresso pela ra´ız quadrada da variaˆncia, isto e´
σ (X) = 1, 79 minutos.
24
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4 Distribuic¸a˜o binomial
Dentre os inu´meros modelos discretos, o modelo binomial e´ um dos modelos mais impor-
tantes e usados nas diversas a´reas. Para introduzirmos este assunto, e´ necessa´rio abordarmos
um outro modelo discreto que deu base para o modelo binomial. Trata-se da distribuic¸a˜o ou
modelo de Bernoulli.
4.1 Distribuic¸a˜o ou modelo de Bernoulli
Jakob Bernoulli1 (Ou Jacques Bernoulli, Basileia 1654−1705) foi o primeiro matema´tico a
desenvolver o ca´lculo infinitesimal para ale´m do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o
a novos problemas.
Publicou a primeira integrac¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial; deu soluc¸a˜o ao problema dos
isoper´ımetros, que abriu caminho ao ca´lculo das variac¸o˜es de Euler e Lagrange e estendeu suas
principais aplicac¸o˜es ao ca´lculo das probabilidades. E´ considerado o pai do ca´lculo exponen-
cial. Foi professor de matema´tica em Basileia, tendo sido important´ıssima sua contribuic¸a˜o a`
geometria anal´ıtica, a` teoria das probabilidades e ao ca´lculo de variac¸o˜es.
Em 1713, depois de sua morte, foi publicado seu grande tratado sobre a teoria das pro-
babilidades Ars Conjectandi, que ainda oferece interesse pra´tico na aplicac¸a˜o da teoria da
probabilidade no seguro e na estat´ıstica.
Distribuic¸a˜o de Bernoulli: Considere Y uma varia´vel aleato´ria discreta (v.a.d) que
assume apenas dois resultados poss´ıveis. Por exemplo:
a. Face obtida em um lanc¸amento de uma moeda: cara ou coroa;
b. Nascimento de filhote macho ou feˆmea de uma espe´cie de mamı´fero;
c. Fabricac¸a˜o de uma pec¸a defeituosa ou na˜o defeituosa numa linha de produc¸a˜o;
d. Uma empresa de extrac¸a˜o de petro´leo encontra ou na˜o petro´leo num ponto de sonda-
gem;
e. O gerente do banco libera ou na˜o libera o empre´stimo para um determinado cliente;
f. O indiv´ıduo e´ ou na˜o portador de uma determinada doenc¸a;
g. O aluno e´ aprovado ou reprovado numa determinada disciplina;
Usualmente adota-se o valor nume´rico 1 para a ocorreˆncia do evento de interesse, que
chamamos de sucesso e adota-se o valor nume´rio 0 se na˜o ocorrer o evento de interesse, que
1Jakob Bernoulli era da famı´lia Bernoulli, que destacou-se devido ao fato de ter dado ao mundo, durante um
se´culo, oito nota´veis cientistas na a´rea da matema´tica e da f´ısica. O progenitor Nicolau residia em Antue´rpia
na Be´lgica, foi forc¸ado a abandonar o pa´ıs por ser protestante, na e´poca da perseguic¸a˜o dos espanho´is aos na˜o
cato´licos. Mudou-se para Basileia, na Su´ıc¸a onde se continuou a dedicar ao nego´cio das especiarias, vindo a
casar com Margarette Schoenauer ligada a uma grande famı´lia de banqueiros, tendo-se tornado um mercador
de sucesso. Dos treˆs filhos apenas o mais novo, Nicolau (apelidado o filho), seguiu os passos do pai. Os outros,
bem como a descendeˆncia, dedicaram-se a`s matema´ticas. A histo´ria dos descendentes seria muito semelhante:
na˜o revelando queda para o nego´cio da famı´lia, inscreveram-se na Universidade onde cursaram Magistratura ou
Medicina. Anos mais tarde acabariam por se dedicar a` Matema´tica onde viriam a dar contribuic¸o˜es importantes,
nomeadamente na a´rea do ca´lculo.
25
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chamamos de fracasso, de tal forma que
Y =
{
1 se sucesso, tal que P (Y = 1) = p
0 se fracasso, tal que P (Y = 0) = 1− p
Dizemos que Y tem distribuic¸a˜o de Bernoulli ou Y segue o modelo de Bernoulli de
paraˆmetro p se sua distribuic¸a˜o de probabilidades e´ dada por
P (Y = k) = pk (1− p)1−k , k = 0, 1. (2)
A esperanc¸a matema´tica e a variaˆncia de Y sa˜o dadas respectivamente por
E (Y ) = p e V ar (Y ) = p (1− p) .
Notac¸a˜o: Y ∼ Bernoulli (p). Leˆ-se: Y tem distribuic¸a˜o de Bernoulli ou Y segue o
modelo de Bernoulli com paraˆmetro p.
Demonstrac¸a˜o de 2: Por definic¸a˜o, a esperanc¸a matema´tica de uma varia´vel aleato´ria
discreta e´ tal que
E (Y ) =
∑
k
kP (X = k)
= 0P (X = 0) + 1P (X = 1)
= 0 (1− p) + 1p
E (Y ) = p.
Por sua vez, a esperanc¸a do segundo momento de uma v.a.d e´ tal que
E
(
Y 2
)
=
∑
k
k2P (X = k)
= 02P (X = 0) + 12P (X = 1)
= 0 (1− p) + 1p
E
(
Y 2
)
= p.
Como a variaˆncia de uma v.a.d e´ a diferenc¸a entre a esperanc¸a do segundo momento e o
quadrado da esperanc¸a do primeiro momento, temos
V ar (Y ) = E
(
Y 2
)− [E (Y )]2
= p− p2
V ar (Y ) = p (1− p) .
Demonstrando assim (2).
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4.2 Distribuic¸a˜o ou modelo Binomial
Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta (v.a.d) que conta o nu´mero k de sucessos em n
ensaios independentes de Bernoulli cada qual com probabilidade de sucesso igual a p. Enta˜o
X =
n∑
i=1
Yi e assume os valores inteiros 0, 1, 2, ..., n, e a probabilidade de X assumir o valor k e´
dada pela seguinte distribuic¸a˜o de probabilidades:
P (X = k) =
(
n
k
)
pk (1− p)n−k , k = 0, 1, 2, ..., n.
A esperanc¸a e a variaˆncia de X sa˜o dadas respectivamente por
E (X) = np e V ar (X) = np (1− p) .
Notac¸a˜o: X ∼ Binomial (n, p). Leˆ-se: X tem distribuic¸a˜o binomial com paraˆmetros n e
p.
4.3 Exemplo de aplicac¸a˜o na a´rea gene´tica
A probabilidade de que algue´m apresente uma determinada caracter´ıstica gene´tica e´ de
0, 25. Em uma amostra de 8 indiv´ıduos, calcule a probabilidade de que
a. 3 indiv´ıduos apresentem tal caracter´ıstica gene´tica.
b. 5 indiv´ıduos apresentem tal caracter´ıstica gene´tica.
c. pelo menos 1 indiv´ıduo apresente tal caracter´ıstica gene´tica.
d. no ma´ximo 2 indiv´ıduos apresentem tal caracter´ıstica gene´tica.
e. nenhum indiv´ıduo apresente tal caracter´ıstica gene´tica.
f. Determine a esperanc¸a e a variaˆncia do nu´mero de indiv´ıduos que apresentam tal
caracter´ıstica gene´tica.
Resoluc¸a˜o do item a.
P (X = k) =
(
n
k
)
pk (1− p)n−k
P (X = 3) =
(
8
3
)
0, 253 (1− 0, 25)8−3
P (X = 3) = 0, 2076
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que 3 indiv´ıduos apresentem tal caracter´ıstica gene´tica
e´ de 0, 2076 ou 20, 76%.
Resoluc¸a˜o do item b.
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P (X = k) =
(
n
k
)
pk (1− p)n−k
P (X = 5) =
(
8
5
)
0, 255 (1− 0, 25)8−5
P (X = 5) = 0, 0231
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que 5 indiv´ıduos apresentem tal caracter´ıstica gene´tica
e´ de 0, 0231 ou 2, 31%.
Resoluc¸a˜o do item c.
P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + ...+ P (X = 8)
= 1− P (X = 0)
= 1−
(
8
0
)
0, 250 (1− 0, 25)8−0
= 1− 0, 1001
P (X ≥ 1) = 0, 8999
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que pelo menos 1 indiv´ıduo apresente talcarac-
ter´ıstica gene´tica e´ de 0, 8999 ou 89, 99%.
Resoluc¸a˜o do item d.
P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
=
(
8
0
)
0, 250 (1− 0, 25)8−0 +
(
8
1
)
0, 251 (1− 0, 25)8−1 +
(
8
2
)
0, 252 (1− 0, 25)8−2
= 0, 1001 + 0, 2670 + 0, 3115
P (X ≤ 2) = 0, 6786
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que no ma´ximo 2 indiv´ıduos apresentem tal carac-
ter´ıstica gene´tica e´ de 0, 6786 ou 67, 86%.
Resoluc¸a˜o do item e.
P (X = k) =
(
n
k
)
pk (1− p)n−k
P (X = 0) =
(
8
0
)
0, 250 (1− 0, 25)8−0
P (X = 0) = 0, 1001
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que nenhum indiv´ıduo apresente tal caracter´ıstica
gene´tica e´ de 0, 1001 ou 10, 01%.
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Resoluc¸a˜o do item f.
E (X) = np = 8× 0, 25
E (X) = 2.
Interpretac¸a˜o: A esperanc¸a do nu´mero de indiv´ıduos que apresentam tal caracter´ıstica
gene´tica e´ de 2 indiv´ıduos.
V AR (X) = np (1− p) = 8× 0, 25× 0, 75
V AR (X) = 1, 5.
Interpretac¸a˜o: A variaˆncia do nu´mero de indiv´ıduos que apresentam tal caracter´ıstica
gene´tica e´ de 1, 5 indiv´ıduos2. A fim de trabalharmos com a mesma unidade de medida da
esperanc¸a, pode-se extrair a sua ra´ız, denominada de desvio-padra˜o: σ = 1, 22 indiv´ıduos com
tal caracter´ıstica.
4.4 Exemplo de aplicac¸a˜o na explorac¸a˜o de petro´leo
Num processo de sondagem para a instalac¸a˜o de uma plataforma de explorac¸a˜o de petro´leo
em a´guas oceaˆnicas, numa certa regia˜o, a probabilidade de encontrar petro´leo e´ de 0, 04. Uma
empresa de extrac¸a˜o de petro´leo e seus derivados realiza a sondagem em 25 pontos diferentes
nessa regia˜o. Qual a probabilidade de que
a.) em apenas 2 pontos de sondagem encontre petro´leo.
b.) em 10 pontos de sondagem encontre petro´leo.
c.) pelo menos 1 ponto de sondagem encontre petro´leo.
d.) determine a esperanc¸a do nu´mero de pontos de sondagem que encontre petro´leo.
Resoluc¸a˜o do item a.
P (X = k) =
(
n
k
)
pk (1− p)n−k
P (X = 2) =
(
25
2
)
0, 042 (1− 0, 04)25−2
P (X = 2) = 0, 1877
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que em apenas 2 pontos de sondagem encontre
petro´leo nessa regia˜o e´ de 0, 1877 ou 18, 77%.
Resoluc¸a˜o do item b.
P (X = k) =
(
n
k
)
pk (1− p)n−k
P (X = 10) =
(
25
10
)
0, 0410 (1− 0, 04)25−10
P (X = 10) ∼= 0
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Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que em 10 pontos de sondagem encontre petro´leo
nessa regia˜o e´ aproximadamente igual a zero.
Resoluc¸a˜o do item c.
P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + ...+ P (X = 25)
= 1− P (X = 0)
= 1−
(
25
0
)
0, 040 (1− 0, 04)25−0
= 1− 0, 3604
P (X ≥ 1) = 0, 6396.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que pelo menos 1 ponto de sondagem encontre
petro´leo nessa regia˜o e´ de 0, 6396 ou 63, 96%.
Resoluc¸a˜o do item d.
E (X) = np = 25× 0, 04
E (X) = 1.
Interpretac¸a˜o: a esperanc¸a do nu´mero de pontos de sondagem que encontra petro´leo
nessa regia˜o e´ de 1 ponto.
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5 Distribuic¸a˜o ou modelo de Poisson
Em estat´ıstica, especificamente na Teoria das Probabilidades, a distribuic¸a˜o ou o modelo
de Poisson e´ uma distribuic¸a˜o de probabilidades de uma varia´vel aleato´ria discreta (v.a.d.) que
expressa a probabilidade de uma se´rie de eventos independentes ocorrer num certo per´ıodo de
tempo.
A distribuic¸a˜o foi descoberta por Sime´on-Denis Poisson2 (1781–1840) e publicada, con-
juntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la
probabilite´ des jugements en matie`res criminelles et matie`re civile (”Inque´rito sobre a proba-
bilidade em julgamentos sobre mate´rias criminais e civis”). O trabalho focava-se basicamente
em varia´veis aleato´rias discretas que contavam, entre outras coisas, o nu´mero de ocorreˆncias
discretas durante um intervalo de tempo determinado.
Sa˜o alguns exemplos de varia´veis que seguem uma distribuic¸a˜o de Poisson:
1. Nu´mero dia´rio de acidentes de traˆnsito em uma grande cidade;
2. Nu´mero de aeronaves que pousam ou decolam em um determinado per´ıodo de tempo em
um aeroporto;
3. Nu´mero de filhos por famı´lia em uma determinada comunidade;
4. Nu´mero de chamadas telefoˆnicas recebidas em uma central, num per´ıodo de tempo;
5. Nu´mero de ovos depositados por uma determinada espe´cie de tartaruga;
No contexto da distribuic¸a˜o binomial, quando o tamanho da amostra aumenta (n −→∞) e
quando a probabilidade de sucesso diminui (p −→ 0), o produto np converge para uma constante
λ, isto e´,
np −→ λ > 0, quando n −→∞ e p −→ 0.
Dessa maneira, dizemos que X tem distribuic¸a˜o de Poisson ou X segue o modelo de
Poisson com paraˆmetro λ se sua distribuic¸a˜o de probabilidades e´ dada por:
P (X = k) =
e−λλk
k!
, para k = 0, 1, 2, ... (3)
em que
2Sime´on Denis Poisson (Pithiviers, 21 de junho de 1781 — Paris, 25 de abril de 1840) foi um matema´tico
e f´ısico franceˆs. Em 1798 entrou na E´cole Polytechnique em Paris, como primeiro colocado de sua turma,
atraindo imediatamente a atenc¸a˜o dos professores da escola, deixando-o livre para escolher o que estudar. Em
1800, menos de dois anos depois de seu ingresso, publicou duas memo´rias, uma sobre o me´todo da eliminac¸a˜o
de E´tienne Be´zout, e a outra sobre o nu´mero de integrais de uma equac¸a˜o em diferenc¸as finitas. Esta u´ltima
foi examinada por Sylvestre Franc¸ois Lacroix e Adrien-Marie Legendre, que recomendaram sua publicac¸a˜o no
Recueil des savants e´trangers, uma honra sem precedentes para um jovem de dezoito anos. Poisson desenvolveu o
expoente de Poisson, usado na transformac¸a˜o adiaba´tica de um ga´s. Este expoente e´ a raza˜o entre a capacidade
te´rmica molar de um ga´s a pressa˜o constante e a capacidade te´rmica molar de um ga´s a volume constante. A
lei de transformac¸a˜o adiaba´tica de um ga´s diz que o produto entre a pressa˜o de um ga´s e o seu volume elevado
ao expoente de Poisson e´ constante.
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ˆ e: e´ a base do logaritmo natural (2, 718282...).
ˆ λ: e´ uma constante positiva (λ > 0) que denota o nu´mero esperado de ocorreˆncias num
intervalo de tempo.
ˆ k! e´ o fatorial do nu´mero k.
A esperanc¸a e a variaˆncia sa˜o dados por:
E (X) = V ar (X) = λ. (4)
Notac¸a˜o: X ∼ Poisson (λ).
Leˆ-se: ”X tem distribuic¸a˜o de Poisson ou X segue o modelo de Poisson com paraˆmetro
λ”.
Observac¸a˜o: A distribuic¸a˜o de Poisson possui uma propriedade interessante de que a
esperanc¸a de X e´ sempre igual a sua variaˆncia.
A Figura abaixo apresenta a forma da distribuic¸a˜o considerando treˆs valores para o paraˆmetro
laˆmbda.
Figura 1. Distribuic¸a˜o de Poisson com diferentes valores de λ.
Demonstrac¸a˜o de 3: Vamos mostrar que a distribuic¸a˜o expressa em (3) trata-se de fato
de uma distribuic¸a˜o de probabilidades.
∞∑
k=0
P (X = k) =
∞∑
k=0
e−λλk
k!
= e−λ
∞∑
k=0
λk
k!
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Como ∞∑
k=0
xk
k!
=
x0
0!
+
x1
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+ ... = ex, ∀x ∈ R,
temos que
∞∑
k=0
λk
k!
= eλ. Portanto
∞∑
k=0
P (X = k) = e−λeλ = 1.
Demonstrac¸a˜o de 4: Vamos demonstrar que E (X) = λ. Por definic¸a˜o temos que a
esperanc¸a de uma varia´vel aleato´ria discreta e´ tal que
E (X) =
∑
k
kP (X = k) .
Enta˜o
E (X) =
∞∑
k=0
kP (X = k) =
∞∑
k=0
k
e−λλk
k!
=
∞∑
k=1
e−λλk
(k − 1)! = e
−λλ
∞∑
k=1
λk−1
(k − 1)!
Fazendo s = k − 1 temos
E (X) = e−λλ
∞∑
s=0
λs
s!
.
Como
∞∑
s=0
λs
s!
= eλ, ∀λ ∈ R. Temos enta˜o que
E (X) = e−λλeλ= λ
Vamos demonstrar agora que V ar (X) = λ. Primeiramente devemos encontrar a esperanc¸a
do segundo momento de X, isto e´, E (X2), que e´ expressa por:
E
(
X2
)
=
∑
k
k2P (X = k) .
Enta˜o
E
(
X2
)
=
∞∑
k=0
k2P (X = k) =
∞∑
k=0
k2
e−λλk
k!
=
∞∑
k=1
k
e−λλk
(k − 1)! = λ
∞∑
k=1
k
e−λλk−1
(k − 1)!
Fazendo k = s+ 1 temos
E
(
X2
)
= λ
∞∑
s=0
(s+ 1)
e−λλs
s!
= λ
∞∑
s=0
s
e−λλs
s!
+ λ
∞∑
s=0
e−λλs
s!
Como
∞∑
s=0
s e
−λλs
s!
= E (X) = λ e
∞∑
s=0
e−λλs
s!
= 1, enta˜o segue que:
E
(
X2
)
= λλ+ λ = λ2 + λ.
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Por definic¸a˜o, sabemos que a variaˆncia de uma varia´vel aleato´ria e´ expressa pela diferenc¸a
entre a esperanc¸a do segundo momento e o quadrado da esperanc¸a do primeiro momento, isto
e´,
V ar (X) = E
(
X2
)− [E (X)]2
= λ2 + λ− λ2
V ar (X) = λ.
Desta forma esta´ provado a relac¸a˜o dada em (4).
5.1 Exemplo de aplicac¸a˜o em doenc¸as raras
A probabilidade de que uma pessoa da populac¸a˜o tenha uma determinada doenc¸a rara e´
de 1 em 80000. Numa populac¸a˜o de 400000 habitantes, determine a probabilidade de que:
a. Haja exatamente 3 indiv´ıduos com a doenc¸a.
b. Haja exatamente 1 indiv´ıduos com a doenc¸a.
c. Haja pelo menos 1 indiv´ıduo com a doenc¸a.
d. Determine a esperanc¸a e a variaˆncia do nu´mero X de indiv´ıduos com a doenc¸a nesta
populac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o do item a. Como o tamanho da populac¸a˜o e´ de n = 400000 e a probabilidade
de sucesso e´ p = 1
80000
, enta˜o o paraˆmetro laˆmbda da distribuic¸a˜o de Poisson e´ λ = np =
400000× 1
80000
= 5, isto e´, X ∼ Poisson (5). Dessa maneira segue que
P (X = k) =
e−λλk
k!
=⇒ P (X = 3) = e
−553
3!
P (X = 3) = 0, 1404.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que haja exatamente 3 indiv´ıduos com a doenc¸a nesta
populac¸a˜o e´ de 0, 1404 ou 14, 04%.
Resoluc¸a˜o do item b. Para k = 1 indiv´ıduo com esta doenc¸a rara temos:
P (X = k) =
e−λλk
k!
=⇒ P (X = 1) = e
−551
1!
P (X = 1) = 0, 0337.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que haja exatamente 1 indiv´ıduo com a doenc¸a nesta
populac¸a˜o e´ de 0, 0337 ou 3, 37%.
Resoluc¸a˜o do item c. Considerando a probabilidade de pelo menos 1 indiv´ıduo com a
doenc¸a nesta populac¸a˜o temos:
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P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + ...
P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− e
−550
0!
= 1− 0, 0067
P (X ≥ 1) = 0, 9933.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que haja pelo menos 1 indiv´ıduo com a doenc¸a nesta
populac¸a˜o e´ de 0, 9933 ou 99, 33%.
Resoluc¸a˜o do item d. Como no modelo de Poisson tanto esperanc¸a quanto a variaˆncia
sa˜o iguais ao paraˆmetro laˆmbda, enta˜o temos que
E (X) = V ar (X) = λ = 5.
Interpretac¸a˜o da esperanc¸a: Esperamos, a longo prazo, um nu´mero me´dio de 5 in-
div´ıduos com a doenc¸a nesta populac¸a˜o.
5.2 Exemplo de aplicac¸a˜o: abalos s´ısmicos
O nu´mero dia´rio X de abalos s´ısmicos em uma determinada regia˜o do Japa˜o e´ uma varia´vel
aleato´ria discreta que segue uma distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ = 3, isto e´, X ∼
Poisson (3). Encontrar a probabilidade de que, em um determinado dia,
a. Ocorra exatamente 2 abalos s´ısmicos.
b. Ocorra exatamente 4 abalos s´ısmicos.
c. Ocorra no ma´ximo 4 abalos s´ısmicos.
d. Ocorra no mı´nimo 1 abalo s´ısmico.
e. Determine a esperanc¸a e a variaˆncia do nu´mero dia´rio X de abalos s´ısmicos desta regia˜o
do Japa˜o.
Resoluc¸a˜o do item a. Para k = 2 abalos s´ısmicos temos
P (X = k) =
e−λλk
k!
=⇒ P (X = 2) = e
−332
2!
P (X = 2) = 0, 2240.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que ocorra exatamente 2 abalos s´ısmicos, em um
determinado dia, nesta regia˜o do Japa˜o, e´ de 0, 2240 ou 22, 40%.
Resoluc¸a˜o do item b. Para k = 4 abalos s´ısmicos temos
P (X = k) =
e−λλk
k!
=⇒ P (X = 4) = e
−334
4!
P (X = 4) = 0, 1680.
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Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que ocorra exatamente 4 abalos s´ısmicos, em um
determinado dia, nesta regia˜o do Japa˜o, e´ de 0, 1680 ou 16, 80%.
Resoluc¸a˜o do item c. Considerando no ma´ximo 4 abalos s´ısmicos temos
P (X ≤ 4) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4)
=
e−330
0!
+
e−331
1!
+
e−332
2!
+
e−333
3!
+
e−334
4!
= 0, 0498 + 0, 1494 + 0, 2240 + 0, 2240 + 0, 1680
P (X ≤ 4) = 0, 8152.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que ocorra no ma´ximo 4 abalos s´ısmicos, em um
determinado dia, nesta regia˜o do Japa˜o, e´ de 0, 8152 ou 81, 52%.
Resoluc¸a˜o do item d. Considerando a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 abalo
temos:
P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + ...
P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− e
−330
0!
= 1− 0, 0498
P (X ≥ 1) = 0, 9502.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que ocorra no mı´nimo 1 abalo s´ısmico, em um deter-
minado dia, nesta regia˜o do Japa˜o, e´ de 0, 9502 ou 95, 02%.
Resoluc¸a˜o do item e. Como no modelo de Poisson tanto esperanc¸a quanto a variaˆncia
sa˜o iguais ao paraˆmetro laˆmbda, enta˜o temos que
E (X) = V ar (X) = λ = 3.
Interpretac¸a˜o da esperanc¸a: Esperamos, a longo prazo, um nu´mero me´dio dia´rio de 3
abalos s´ısmicos nesta regia˜o do Japa˜o.
5.3 Distribuic¸a˜o da soma de distribuic¸o˜es de Poisson
Considere X1, X2, ..., Xn varia´veis aleato´rias discretas tal que Xi ∼ Poisson (λi), com
i = 1, 2, ..., n. Seja Y =
n∑
i=1
Xi, enta˜o:
Y =
n∑
i=1
Xi ∼ Poisson
(
n∑
i=1
λi
)
. (5)
Em particular, se λi = λ, com i = 1, 2, ..., n, enta˜o
Y =
n∑
i=1
Xi ∼ Poisson (nλ) .
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Demonstrac¸a˜o de 5: Pelas propriedades da esperanc¸a e da variaˆncia de uma varia´vel
aleato´ria, temos que
E (Y ) = E
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
E (Xi)
= E (X1) + E (X2) + ...+ E (Xn)
= λ1 + λ2 + ...+ λn
E (Y ) =
n∑
i=1
λi.
A variaˆncia, por sua vez, e´ tal que
V ar (Y ) = V ar
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
V ar (Xi)
= V ar (X1) + V ar (X2) + ...+ V ar (Xn)
= λ1 + λ2 + ...+ λn
V ar (Y ) =
n∑
i=1
λi.
Como E (Y ) = V ar (Y ) =
n∑
i=1
λi, esta´ provado a expressa˜o (5).
5.4 Exemplo de aplicac¸a˜o no tra´fego urbano
Em uma grande cidade ha´ 5 avenidas principais. O nu´mero mensal de acidentes de traˆnsito
para cada uma delas segue uma distribuic¸a˜o de Poisson, conforme quadro abaixo:
Avenida Descric¸a˜o Poisson com paraˆmetro
X1 Nu´mero de acidentes na avenida 1 λ = 0, 8
X2 Nu´mero de acidentes na avenida 2 λ = 2, 0
X3 Nu´mero de acidentes na avenida 3 λ = 1, 5
X4 Nu´mero de acidentes na avenida 4 λ = 1, 2
X5 Nu´mero de acidentes na avenida 5 λ = 0, 5
Seja Y a soma do nu´mero total de acidentes de traˆnsito nestas 5 avenidas, isto e´, Y =
5∑
i=1
Xi. Vamos encontrar a distribuic¸a˜o de Y .
37
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E (Y ) = E
(
5∑
i=1
Xi
)
=
5∑
i=1
E (Xi)
= E (X1) + E (X2) + E (X3) + E (X4) + E (X5)
= λ1 + λ2 + λ3 + λ4 + λ5
= 0, 8 + 2, 0 + 1, 5 + 1, 2 + 0, 5 = 6
E (Y ) = 6 acidentes semanais.
Logo, temos que Y ∼ Poisson (6).
Qual a probabilidade, por exemplo, de observarmos um total de 8 acidentes em uma
determinada semana?
P (X = 8) =
e−668
8!
= 0, 1033 ou 10, 33%.
Qual a probabilidade de observarmos pelo menos 1 acidente em uma determinada semana?
P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + ...
P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− e
−660
0!
= 1− 0, 0025
P (X ≥ 1) = 0, 9975 ou 99, 75%.
38
Universidade Federal do Oeste da Bahia Prof. Dr. Marcelo de Paula6 Distribuic¸a˜o Normal
Esta e´ a mais importante distribuic¸a˜o de probabilidade para descrever uma varia´vel
aleato´ria cont´ınua abrangendo uma grande variedade de fenoˆmenos. A distribuic¸a˜o normal de
probabilidade e´ utilizada em uma ampla variedade de aplicac¸o˜es pra´ticas pois diversas varia´veis
aleato´rias cont´ınuas seguem uma distribuic¸a˜o ou modelo normal de probabilidades. Alguns
exemplos sa˜o: altura de indiv´ıduos, peso de indiv´ıduos, ı´ndice de massa corporal, pressa˜o, tem-
peratura, velocidade, vaza˜o de um rio, tempo, sala´rios dos funciona´rios de uma empresa, renda
familiar, etc.
A distribuic¸a˜o normal foi estudada inicialmente no se´culo XVIII, quando uma ana´lise
de erros experimentais levou a uma curva em forma de sino. Embora ela tenha aparecido
pela primeira vez em 1733 por meio de DeMoivre3, a distribuic¸a˜o normal recebe o nome de
distribuic¸a˜o gaussiana, em homenagem ao cientista alema˜o Johann Carl Friedrich Gauss4, que
foi o primeiro a utiliza´-la em 1809.
Nos se´culos 18 e 19, matema´ticos e f´ısicos desenvolveram uma func¸a˜o densidade de pro-
babilidade que descrevia bem os erros experimentais obtidos em medidas f´ısicas. Esta func¸a˜o
densidade de probabilidade resultou na bem conhecida curva em forma de sino, chamada de
distribuic¸a˜o normal ou gaussiana. Esta distribuic¸a˜o fornece uma boa aproximac¸a˜o de curvas
de frequeˆncia para medidas de dimenso˜es e caracter´ısticas humanas, como a altura de uma
populac¸a˜o. Conhecida como a curva em forma de sino, a distribuic¸a˜o normal tem sua origem
associada aos erros de mensurac¸a˜o. A distribuic¸a˜o normal desempenha papel preponderante
na estat´ıstica, e os processos de infereˆncia nela baseados teˆm larga aplicac¸a˜o.
6.1 O modelo normal de probabilidades
E´ a mais importante distribuic¸a˜o ou modelo de probabilidades, pois os testes estat´ısticos
parame´tricos requer a normalidade dos dados. Considere o seguinte experimento aleato´rio:
observamos o peso (em quilos) de 1500 pessoas selecionadas ao acaso da populac¸a˜o. Os dados
foram agrupados em classes e o Histograma de frequ¨eˆncia encontra-se na figura 1 abaixo:
3Abraham de Moivre (Vitry-le-Franc¸ois, Champagne, Franc¸a, 26 de maio de 1667 — Londres, Reino Unido,
27 de novembro de 1754) foi um matema´tico franceˆs famoso pela Fo´rmula de De Moivre, que relaciona os nu´meros
complexos com a trigonometria, e por seus trabalhos na distribuic¸a˜o normal e na teoria das probabilidades. De
Moivre foi o primeiro a usar princ´ıpios atuariais e bases cient´ıficas para o ca´lculo de seguros de vida, no ano
de 1725. Era huguenote e migrou para a Inglaterra em 1685, com a revogac¸a˜o do E´dito de Nantes. Foi eleito
membro da Royal Society em 1697. Foi amigo de Isaac Newton e Edmond Halley. Dentre seus alunos mais
nota´veis destaca-se James Dodson.
4Johann Carl Friedrich Gauss (ou Gauss) (Braunschweig, 30 de abril de 1777 — Go¨ttingen, 23 de fevereiro
de 1855) foi um matema´tico, astroˆnomo e f´ısico alema˜o que contribuiu muito em diversas a´reas da cieˆncia,
dentre elas a teoria dos nu´meros, estat´ıstica, ana´lise matema´tica, geometria diferencial, geode´sia, geof´ısica,
eletroesta´tica, astronomia e o´ptica. Gauss tinha uma marca influente em muitas a´reas da matema´tica e da
cieˆncia e e´ um dos mais influentes na histo´ria da matema´tica. Ele considerava a matema´tica como ”a rainha
das cieˆncias”.
39
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Figura 1: Histograma de frequ¨eˆncias dos pesos de 1500 pessoas da populac¸a˜o.
Observe agora a figura 6.1 em que ha´ uma curva sobreposta ao histograma:
Figura 2: Curva normal sobreposta ao histograma de frequeˆncias.
A curva sobreposta ao histograma de frequeˆncias e´ a distribuic¸a˜o Normal ou Gaussiana
de probabilidades. Trata-se de um modelo teo´rico em que a grande maioria dos conjuntos de
dados quantitativos cont´ınuos se ajustam.
Definic¸a˜o: Dizemos que X tem distribuic¸a˜o normal se sua func¸a˜o densidade de probabi-
lidade (f.d.p) e´ dada por:
f (x) =
1√
2piσ2
exp
{
− 1
2σ2
(x− µ)2
}
, −∞ < x <∞, −∞ < µ <∞ e σ2 > 0.
Notac¸a˜o: X ∼ N (µ, σ2).
Leˆ-se: X tem distribuic¸a˜o Normal com paraˆmetros µ e σ2.
O paraˆmetro de locac¸a˜o µ e´ a me´dia da curva normal e o paraˆmetro de escala σ2 e´ a sua
variaˆncia, em que σ =
√
σ2 e´ o desvio-padra˜o.
Forma da curva normal: A distribuic¸a˜o normal tem forma campanular (forma de sino)
conforme figura 6.3 abaixo:
40
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Figura 3: Curva normal de probabilidades.
6.2 Propriedades da curva normal:
ˆ A a´rea toda abaixo da curva e´ 1, pois f (x) e´ uma func¸a˜o densidade de probabilidade
(f.d.p).
ˆ A curva tem forma campanular (sino).
ˆ A curva e´ perfeitamente sime´trica em torno de µ.
ˆ A curva e´ assinto´tica no eixo x.
ˆ A esperanc¸a matema´tica X e´ exatamente igual as treˆs medidas de tendeˆncia central:
me´dia, mediana e moda, isto e´, E (X) = µ = Me = Mo.
ˆ O ponto ma´ximo da func¸a˜o densidade de probabilidade f (x) ocorre em µ.
ˆ O intervalo [µ− σ , µ+ σ] contem 68, 26% dos dados.
ˆ O intervalo [µ− 2σ , µ+ 2σ] contem 95, 44% dos dados.
ˆ O intervalo [µ− 3σ , µ+ 3σ] contem 99, 74% dos dados.
ˆ Os pontos de inflexa˜o da curva ocorrem em [µ− σ , µ+ σ].
A figura 4 apresenta curvas normais com me´dias diferentes e desvios padra˜o iguais.
41
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Figura 4: Curvas normais com me´dias diferentes e desvios padra˜o iguais.
A figura 5 apresenta curvas normais com me´dias iguais e desvios padra˜o diferentes.
Figura 5: Curvas normais com me´dias iguais e desvios padra˜o diferentes.
6.3 Distribuic¸a˜o normal padra˜o
Uma a´rea sob uma curva de densidade e´ uma proporc¸a˜o das observac¸o˜es em uma distri-
buic¸a˜o. Podemos responder qualquer pergunta acerca de qual proporc¸a˜o de observac¸o˜es esta´
em uma determinada amplitude de valores, determinando uma a´rea sob a curva. Como todas
as distribuic¸o˜es normais sa˜o iguais quando as padronizamos, podemos determinar a´reas sob a
curva Normal utilizando uma u´nica tabela que fornec¸a as a´reas sob a curva para a distribuic¸a˜o
normal padra˜o.
Resultado: Se X e´ uma v.a.c tal que X ∼ N (µ, σ2), enta˜o
Z =
X − µ
σ
∼ N (0, 1) .
A figura 6 apresenta a curva normal padra˜o:
42
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Figura 6: Distribuic¸a˜o normal padra˜o.
A distribuic¸a˜o normal padra˜o tambe´m e´ chamada de distribuic¸a˜o normal padronizada,
distribuic¸a˜o normal reduzida, distribuic¸a˜o Z, distribuic¸a˜o standard ou ainda distribuic¸a˜o zero
um.
6.4 Exemplo de aplicac¸a˜o: vaza˜o de rio
A vaza˜o X de um rio em m3/s e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua (v.a.c) que segue uma
distribuic¸a˜o normal com me´dia µ = 1250 m3/s e desvio padra˜o σ = 320 m3/s. Desta forma,
temos a seguinte curva normal da vaza˜o:
Qual a probabilidade de que, num determinado momento, a vaza˜o
a. esteja entre 1250 m3/s e 1800 m3/s.
b. esteja entre 350 m3/s e 1250 m3/s.
c. esteja entre 500 m3/s e 1500 m3/s.
d. esteja entre 725 m3/s e 2120 m3/s.
e. seja menor que 2000 m3/s.
f. seja maior que 1980 m3/s.
g. seja menor que 400 m3/s.
43
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Resoluc¸a˜o do item a.
P (1250 ≤ X ≤ 1800) = P
[
1250− 1250
320
≤ Z ≤ 1800− 1250
320
]
= P (0 ≤ Z ≤ 1, 72) = 0, 4573
P (1250 ≤ X ≤ 1800) = 0, 4573.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que, num determinado momento, a vaza˜o do rio esteja
entre 1250 m3/s e 1800 m3/s e´ de 0, 4573 ou 45, 73%.
Resoluc¸a˜o do item b.
P (350 ≤ X ≤ 1250) = P
[
350− 1250
320
≤ Z ≤ 1250− 1250
320
]
= P (−2, 81 ≤ Z ≤ 0) = 0, 4975P (350 ≤ X ≤ 1250) = 0, 4975.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que, num determinado momento, a vaza˜o do rio esteja
entre 350 m3/s e 1250 m3/s e´ de 0, 4975 ou 49, 75%.
Resoluc¸a˜o do item c.
P (500 ≤ X ≤ 1500) = P
[
500− 1250
320
≤ Z ≤ 1500− 1250
320
]
= P (−2, 34 ≤ Z ≤ 0, 78)
= P (−2, 34 ≤ Z ≤ 0) + P (0 ≤ Z ≤ 0, 78) = 0, 4904 + 0, 2823
P (500 ≤ X ≤ 1500) = 0, 7727.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que, num determinado momento, a vaza˜o do rio esteja
entre 500 m3/s e 1500 m3/s e´ de 0, 7727 ou 77, 27%.
Resoluc¸a˜o do item d.
P (725 ≤ X ≤ 2120) = P
[
725− 1250
320
≤ Z ≤ 2120− 1250
320
]
= P (−1, 64 ≤ Z ≤ 2, 72)
= P (−1, 64 ≤ Z ≤ 0) + P (0 ≤ Z ≤ 2, 72) = 0, 4495 + 0, 4967
P (725 ≤ X ≤ 2120) = 0, 9462.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que, num determinado momento, a vaza˜o do rio esteja
entre 720 m3/s e 2120 m3/s e´ de 0, 9462 ou 94, 62%.
Resoluc¸a˜o do item e.
P (X ≤ 2000) = P
[
Z ≤ 2000− 1250
320
]
= P (Z ≤ 2, 34) = 0, 5 + P (0 ≤ Z ≤ 2, 34)
= 0, 5 + 0, 4904
P (X ≤ 2000) = 0, 9904.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que, num determinado momento, a vaza˜o do rio esteja
menor que 2000 m3/s e´ de 0, 9904 ou 99, 04%.
44
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Resoluc¸a˜o do item f.
P (X ≥ 1980) = P
[
Z ≥ 1980− 1250
320
]
= P (Z ≥ 2, 28) = 0, 5− P (0 ≤ Z ≤ 2, 28)
= 0, 5− 0, 4887
P (X ≥ 1980) = 0, 0113.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que, num determinado momento, a vaza˜o do rio esteja
maior que 1980 m3/s e´ de 0, 0113 ou 1, 13%.
Resoluc¸a˜o do item g.
P (X ≤ 400) = P
[
Z ≤ 400− 1250
320
]
= P (Z ≤ −2, 66) = 0, 5− P (−2, 66 ≤ Z ≤ 0)
= 0, 5− 0, 4961
P (X ≤ 400) = 0, 0039.
Interpretac¸a˜o: A probabilidade de que, num determinado momento, a vaza˜o do rio esteja
menor que 400 m3/s e´ de 0, 0039 ou 0, 39%.
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7 Combinac¸a˜o Linear de Distribuic¸o˜es Normais
E´ extremamente comum na pra´tica termos o interesse na distribuic¸a˜o de uma func¸a˜o linear
de distribuic¸o˜es normais, como por exemplo a soma.
7.1 Distribuic¸a˜o da soma de distribuic¸o˜es normais
Se X1, X2, ..., Xn sa˜o n varia´veis aleato´rias independentes tal que Xi ∼ N (µi, σ2i ), para
i = 1, 2, ..., n, enta˜o a soma destas varia´veis tambe´m tem distribuic¸a˜o normal com me´dia igual
a soma das me´dias das varia´veis e variaˆncia igual a soma das variaˆncias das varia´veis, isto e´,
n∑
i=1
Xi ∼ N
(
n∑
i=1
µi,
n∑
i=1
σ2i
)
. (6)
O resultado acima obedece diretamente as propriedades da esperanc¸a e da variaˆncia de
uma varia´vel aleato´ria.
Demonstrac¸a˜o: Encontrando primeiramente a esperanc¸a matema´tica de
n∑
i=1
Xi temos:
E
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
E (Xi)
= E (X1) + E (X2) + ...+ E (Xn)
= µ1 + µ2 + ...+ µn
E
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
µi.
Por sua vez, a variaˆncia de
n∑
i=1
Xi e´ tal que:
V ar
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
V ar (Xi)
= V ar (X1) + V ar (X2) + ...+ V ar (Xn)
= σ21 + σ
2
2 + ...+ µ
2
n
V ar
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
σ2i .
Como
n∑
i=1
Xi e´ uma combinac¸a˜o linear de distribuic¸o˜es normais, enta˜o esta soma tambe´m
trata-se de uma distribuic¸a˜o normal e segue imediatamente o resultado dado em (6).
Em particular, se µi = µ e σ
2
i = σ
2, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o
n∑
i=1
Xi ∼ N
(
nµ, nσ2
)
.
46
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7.2 Exemplo de aplicac¸a˜o gene´rica
Considere X e Y duas varia´veis aleato´rias cont´ınuas tal que X ∼ N (100, 100) e Y ∼
N (120, 400). Use as propriedades da esperanc¸a e da variaˆncia para determinar qual a distri-
buic¸a˜o da varia´vel aleato´ria W , em que W = 260 + 4X − 3Y .
Resoluc¸a˜o: Devemos encontrar primeiramente a esperanc¸a matema´tica da varia´vel aleato´ria
W :
E (W ) = E (260 + 4X − 3Y ) = E (260) + E (4X)− E (3Y )
= 260 + 4E (X)− 3E (Y ) = 260 + 4× 100− 3× 120 = 300
E (W ) = 300.
Em seguida, devemos encontrar a variaˆncia da varia´vel aleato´ria W :
V ar (W ) = V ar (260 + 4X − 3Y ) = V ar (260) + V ar (4X) + V ar (3Y )
= 0 + 16V ar (X) + 9V ar (Y ) = 16× 100 + 9× 400 = 5200
V ar (W ) = 5200.
Como a varia´vel W e´ uma combinac¸a˜o linear de distribuic¸o˜es normais, temos que W
tambe´m segue uma distribuic¸a˜o normal tal que:
W ∼ N (300, 5200) .
7.3 Exemplo de aplicac¸a˜o em carga de elevadores
Suponha que o peso X de indiv´ıduos adultos segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia
µ = 70 kg e variaˆncia σ2 = 121 kg2. O fabricante de um elevador diz que, por motivos de
seguranc¸a, ele pa´ra toda vez que o peso total da carga do elevador for superior a 1500 kg. Uma
amostra de n = 22 pessoas entrou no elevador.
a. Encontre a probabilidade de uma pessoa qualquer no elevador pesar acima de 75 quilos.
b. Encontre a probabilidade do peso me´dio das 22 pessoas no elevador estar acima de 75
quilos.
c. Encontre a probabilidade do elevador parar por motivos de seguranc¸a.Uma amostra de
n = 22 pessoas entrou no elevador. Qual a distribuic¸a˜o de probabilidades da carga total deste
elevador? Em outras palavras, qual a distribuic¸a˜o de probabilidades de
22∑
i=1
Xi?
Ajuda: Devemos encontrar primeiramente a esperanc¸a matema´tica da varia´vel aleato´ria
22∑
i=1
Xi:
47
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E
(
22∑
i=1
Xi
)
=
22∑
i=1
E (Xi) = E (X1) + E (X2) + ...+ E (X22)
= µ+ µ+ ...+ µ = 70 + 70 + ...+ 70 = 22× 70 = 1540 kg.
E
(
22∑
i=1
Xi
)
= 1540 kg.
Em seguida, devemos encontrar a variaˆncia da varia´vel aleato´ria
22∑
i=1
Xi:
V ar
(
22∑
i=1
Xi
)
=
22∑
i=1
V ar (Xi) = V ar (X1) + V ar (X2) + ...+ V ar (X22)
= σ2 + σ2 + ...+ σ2 = 121 + 121 + ...+ 121 = 22× 121 = 2662 kg2.
V ar
(
22∑
i=1
Xi
)
= 2662 kg2.
Como a varia´vel
22∑
i=1
Xi e´ uma combinac¸a˜o linear de distribuic¸o˜es normais, temos que
22∑
i=1
Xi
tambe´m segue uma distribuic¸a˜o normal. Logo, a distribuic¸a˜o de probabilidades da carga total
deste elevador e´ dada por
22∑
i=1
Xi ∼ N (1540, 2662)
O fabricante de um elevador diz que, por motivos de seguranc¸a, ele pa´ra toda vez que o
peso total da carga do elevador for superior a 1500 kg. Encontre a probabilidade do elevador
parar por motivos de seguranc¸a, isto e´, encontre P
(
22∑
i=1
Xi > 1500
)
.
P
(
22∑
i=1
Xi > 1500
)
= P
(
Z >
1500− 1540√
2662
)
= P (Z > −0, 78) = 0, 7823
P
(
22∑
i=1
Xi > 1500
)
= 0, 7823 ou 78, 23%.
Logo, a probabilidade do elevador parar por motivos de seguranc¸a e´ P
(
22∑
i=1
Xi > 1500
)
=
0, 7823 ou 78, 23%.
48
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8 Exerc´ıcios de fixac¸a˜o
8.1 Exerc´ıcios sobre varia´veis aleato´rias discretas
Exerc´ıcio 1. Considere X uma varia´vel aleato´ria discreta (v.a.d) cuja distribuic¸a˜o de
probabilidades seja tal que
P (X = k) =
k
55
, k = 1, 2, ..., 10.
a. Encontre F (a) = P (X ≤ a), k = 1, 2, ..., 10. Ajuda:
a∑
k=1
k = a(a+1)
2
.
b. Determine E (X) e V AR (X).
Exerc´ıcio 2. Uma varia´vel aleato´ria W assume os valores 1, 2, ..., N com igual probabilida-
des, isto e´, P (W = k) = 1
N
, k = 1, 2, ..., N . Determine:
a) E(W ) b) V AR(W ) c) P (W ≤ c), c ≤ N .
Ajuda:
N∑
k=i
k = N(N+1)
2
e
N∑
k=i
k2 = N(N+1)(2N+1)
6
.
Exerc´ıcio 3. Se P (X = k) = 1
5
, para k = 1, 2, 3, 4, 5, calcule E (X) e V ar (X).
Exerc´ıcio 4. Um determinado inseto bota uma quantidade de ovos que varia sempre entre
1 e N . Seja X : nu´mero de ovos depositados por esse inseto, isto e´, X = 1, 2, ..., N . Sabendo
que P (X = k) = ck, para k = 1, 2,..., N , determinar
a.) c b.) E (X) c.) V AR (X)
Ajuda 1: Determine primeiramente o valor da constante c, e depois encontre a distribuic¸a˜o
de probabilidades de X.
Ajuda 2:
N∑
k=1
k = N(N+1)
2
;
N∑
k=1
k2 = N(N+1)(2N+1)
6
e
N∑
k=1
k3 =
[
N(N+1)
2
]2
Exerc´ıcio 5. Seja X uma v.a discreta tal que sua distribuic¸a˜o de probabilidades e´ dada
por:
P (X = k) = (1− q)2 kqk−1, k = 1, 2, 3, ...
e q e´ uma constante positiva tal que 0 < q < 1.
a. Mostre que
∞∑
k=1
P (X = k) = 1.
b. Determine o quociente P (X=k+1)
P (X=k)
e mostre que
lim
k→∞
P (X = k + 1)
P (X = k)
= q.
c. Determine P (X ≥ 2) em func¸a˜o de q.
d. Determine E (X) e mostre que lim
q→0
E (X) = 1.
Ajudas: para 0 < q < 1 temos
∞∑
k=1
kqk−1 = 1
(1−q)2 e
∞∑
k=1
k2qk−1 = (1+q)
(1−q)3 .
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8.2 Exerc´ıcios sobre varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Exerc´ıcio 1. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua e f (x) dada por f (x) = a + 4x,
0 ≤ x ≤ 1
2
.
a. Para que u´nico valor de a, f (x) e´ uma f.d.p?
b. Determine P
(
X ≤ 1
3
)
.
Exerc´ıcio 2. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua tal que:
f (x) =
2x
θ2
, 0 ≤ x ≤ θ.
a. Mostre que se trata de uma f.d.p.
b. Obtenha E (X) e V ar (X).
c. Obtenha F (x) e a mediana de X, ou seja, o valor do qual existe uma probabilidade 50%
de X ocorrer.
Exerc´ıcio 3. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua tal que:
f (x) =
8− 2x
7
, 0 ≤ x ≤ 1.
Determine:
a. Verifique que f (x) e´ uma f.d.p d. P
(
1
4
≤ X ≤ 3
4
)
b. P
(
X ≤ 1
2
)
e.) F (x)
c. P
(
X ≥ 1
3
)
f.) F
(
7
8
)
Exerc´ıcio 4. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua tal que f (x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1.
Determine:
a. Verifique que f (x) e´ uma f.d.p. b. P
(
X ≤ 1
2
)
.
Exerc´ıcio 5. Dada a func¸a˜o:
f (x) =
{
2e−2x, x ≥ 0
0, x < 0
a. Verifique que f (x) e´ uma f.d.p
b. Determine P (X ≥ 10).
Exerc´ıcio 6. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua tal que:
f (x) = c
(
x2 + 5x+ 6
)
, 0 ≤ x ≤ 4.
Determine:
a. O valor da constante c da f.d.p d.) F (3) = P (X ≤ 3)
b. P (0 ≤ X ≤ 1) e.) F (x)
c. F (2) = P (X ≤ 2) f.) P (X ≥ 7
2
)
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Exerc´ıcio 7. Seja X uma v.a.c tal que sua f.d.p (func¸a˜o densidade de probabilidade) e´
dada por:
f (x) =
3x2
2a3
, − a < x < a.
Determine
a.) P (−a/2 < X < a/2) b.) E (X) c.) V AR (X)
Exerc´ıcio 8. Seja X uma v.a.c tal que sua f.d.p (func¸a˜o densidade de probabilidade) e´
dada por:
f (x) =
3x2
125
, 0 < x < 5.
a. Verifique que se trata de uma f.d.p
b. Determine P (X < 1) e P (X > 3).
c. Encontre a E (X) e V AR (X).
d. Encontre a mediana Me.
e. Determine F (x) = P (X ≤ x).
Exerc´ıcio 9. Seja X uma v.a cont´ınua tal que sua f.d.p e´ dada por:
f (x) =
3x2
250
, − 5 < x < 5.
a. Verifique que se trata de uma f.d.p.
b. Mostre que Mo = Me = E (X) = 0.
c. Determine V AR (X) e σ (X).
8.3 Exerc´ıcios sobre distribuic¸a˜o binomial
Exerc´ıcio 1. Segundo um levantamento da secretaria da sau´de do munic´ıpio de Barrei-
ras, 28 a cada 100 pessoas da cidade tem o ha´bito de fumar. Supondo que o nu´mero X de
pessoas fumantes numa amostra de tamanho n = 14 obedec¸a uma distribuic¸a˜o binomial, qual
a probabilidade:
a. de que haja pelo menos 2 pessoas fumantes?
b. de que haja exatamente 7 pessoas fumantes?
c. no ma´ximo 12 pessoas fumantes?
Exerc´ıcio 2. Considerando cada uma das distribuic¸o˜es abaixo, determine o que se pede.
a. Se X ∼ Binomial (4; 0, 12), determine P (X = 0).
b. Se X ∼ Binomial (10; 0, 40), determine P (X = 9).
c. Se X ∼ Binomial (10; 0, 50), determine P (X = 8).
d. Se X ∼ Binomial (6; 0, 83), determine P (X = 5).
e. Se X ∼ Binomial (10; 0, 90), determine P (X = 9).
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Exerc´ıcio 3. Determine E (X) e V ar (X) para cada um dos casos abaixo:
a. X ∼ Binomial (40; 0, 10)
b. X ∼ Binomial (40; 0, 40)
c. X ∼ Binomial (50; 0, 80)
d. X ∼ Binomial (30; 0, 50)
e. X ∼ Binomial (20; 0, 25)
Exerc´ıcio 4. Para efetuar a regulac¸a˜o hormonal de uma linha metabo´lica, injeta-se em
ratos albinos um fa´rmaco que inibe a s´ıntese de prote´ınas do organismo. Geralmente, quatro de
cada vinte ratos morrem por causa do fa´rmaco antes que o experimento tenha sido conclu´ıdo.
Se tratarmos dez animais com o fa´rmaco, qual a probabilidade de que pelo menos oito cheguem
vivos ao final do experimento?
Exerc´ıcio 5. Uma moeda honesta e´ lanc¸ada 20 vezes. Qual a probabilidade de sa´ırem 8
caras?
Exerc´ıcio 6. Sabe-se que o nu´mero X de pessoas com uma certa patologia dentre n
pessoas escolhidas ao acaso segue uma distribuic¸a˜o binomial. Para esta patologia espec´ıfica
sabe-se que X ∼ Binomial (n, p) tal que E (X) = 7, 2 e V ar (X) = 4, 32. Enta˜o quais sa˜o os
valores nume´ricos dos paraˆmetros n e p?
Exerc´ıcio 7. O nu´mero de mulheres gra´vidas que sofrem de complicac¸o˜es no momento
do parto segue uma distribuic¸a˜o Binomial, ou seja, X ∼ Binomial (n, p) tal que P (X = 4) =
P (X = 5). Enta˜o qual o valor do paraˆmetro p em func¸a˜o de n?
Exerc´ıcio 8. O nu´mero de pessoas com uma certa doenc¸a dentre n pessoas escolhidas ao
acaso segue uma distribuic¸a˜o Binomial (n, p) tal que E (X) = 5 e V ar (X) = 3, 75. Quais os
valores nume´ricos dos paraˆmetros n e p?
Exerc´ıcio 9. O nu´mero X de laˆmpadas defeituosas para cada lote de n unidades pro-
duzidas em uma fa´brica e´ uma varia´vel alato´ria discreta que segue um modelo binomial tal
que E (X) = 1, 25V AR (X). Encontre a probabilidade de haver pelo menos uma laˆmpada
defeituosa num lote de n = 12 laˆmpadas.
8.4 Exerc´ıcios sobre distribuic¸a˜o de Poisson
Exerc´ıcio 1. Suponha uma distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ.
a. Se λ = 2, determine P (X ≥ 2).
b. Se λ = 8, determine P (X ≥ 3).
c. Se λ = 0, 5, determine P (X ≤ 1).
d. Se λ = 4, determine P (X ≥ 1).
e. Se λ = 5, determine P (X ≤ 3).
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Exerc´ıcio 2. Em uma certa populac¸a˜o, observou-se um nu´mero me´dio anual de 12
mortes por caˆncer de pulma˜o. Se o nu´mero de mortes causado por esta enfermidade segue uma
distribuic¸a˜o de Poisson, qual a probabilidade de que, durante o ano
a. haja exatamente 10 mortes por caˆncer de pulma˜o?
b. morram 2 ou mais pessoas por causa desta enfermidade?
c. morram 2 ou menos pessoas por causa desta enfermidade?
Exerc´ıcio 3. Numa estrada ha´ 2 acidentes para cada 100km. Qual a probabilidade de
que em:
a. 250km ocorram pelo menos 3 acidentes?
b. 300km ocorram 5 acidentes?
Exerc´ıcio 4. A experieˆncia mostra que de cada 400 laˆmpadas, 2 se queimam ao serem
ligadas. Qual a probabilidade de que numa instalac¸a˜o de:
a. 600 laˆmpadas, no mı´nimo 3 se queimem?
b. 900 laˆmpadas, exatamente 8 se queimem?
Exerc´ıcio 5. Uma fa´brica de automo´veis verificou que ao testar seus carros na pista de
prova ha´, em me´dia, um estouro de pneu em cada 300km, e que o nu´mero de pneus estourados
segue razoavelmente uma distribuic¸a˜o de Poisson. Qual a probabilidade de que:
a. num teste de 900 km haja no ma´ximo um pneu estourado?
b. um carro ande 450 km na pista sem estourar nenhum pneu?
Exerc´ıcio 6. Um caixa de banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de
que atenda:
a. Nenhum cliente em 4 minutos.
b. No ma´ximo 2 clientes em 2 minutos.
Exerc´ıcio 7. O nu´mero X de ovos que uma determinada espe´cie de avestruz bota obe-
dece uma distribuic¸a˜o de Poisson de paraˆmetro laˆmbda, isto e´, X ∼ Poisson (λ), tal que
P (X = 4) = 5P (X = 5). Enta˜o qual o valor da esperanc¸a matema´tica do nu´mero de ovos que
essa espe´cie