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Métodos Quantitativos 
Medidas de Tendência Central 
Medidas de Dispersão
Aula 2
Profª. Dra. Jenai Oliveira 
Cazetta
Profª. Me. Mariany Layne 
de Souza
MEDIDA DE TENDÊNCIA CENTRAL
Valor no centro ou no meio de um conjunto de 
dados.
São usadas para indicar um valor que tende a 
representar melhor um conjunto de números. 
As três medidas mais usadas:
�Média, 
�Mediana e 
�Moda.
Medidas de tendência central
MÉDIA ARITMÉTICA
Resultado da divisão da soma de todos os valores
da amostra pela quantidade total de valores.
�̅ � 1����
�
�	
Medidas de tendência central
:No Excel
éM dia
:No Excel
éM dia
EXEMPLO : Se um estudante faz 
quatro provas obtendo as notas 
70, 60, 80 e 75
�̅ � 70 
 60 
 80 
 754 � 71,25
ALGUMAS PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
Pode ser sempre calculada.
Para um dado conjunto de números, a média é 
única.
A média é sensível a (ou afetada por) todos os 
valores do conjunto  se um número se 
modifica, a média também se modifica.
Medidas de tendência central
����� ������
�
�	
���
�
�	
�
MÉDIA PONDERADA
Média Aritmética cada observação tem a
mesma importância. 
Média Ponderada as informações não têm a 
mesma importância devem ser levados em 
conta o peso das informações 
Medidas de tendência central
Peso da 
ãObservaç o
EXEMPLO: Consideremos que um professor 
informe à classe que haverá dois exames parciais 
valendo cada um 30% da nota e um exame final 
valendo 40%. Um aluno obtém desempenho 70 na 
primeira avaliação, 65 na segunda e 80 no exame 
final.
Medidas de tendência central
����� �
70 ∗ 0,30 
 65 ∗ 0,30 
 80 ∗ 0,401,00
����� � 72,50
MÉDIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
É calculada com base no valor e na frequência 
de cada classe.
�̅ � 1����	��
�
�	
Medidas de tendência central
Para dados com perda da 
informação, utiliza-se em lugar 
de �� o ponto médio do 
intervalo.
êFrequ ncia 
da classe �
EXEMPLO:
Medidas de tendência central
âC mera de 
Documentos
Medidas de tendência central
âC mera de 
Documentos
MEDIANA
Principal característica dividir o conjunto de 
números em dois grupos iguais: uma metade 
terá valores inferiores ou iguais à mediana e 
outra metade terá valores superiores ou iguais à 
mediana.
Medidas de tendência central
No Excel MedNo Excel Med
Para calcular a mediana inicia-se ordenando os 
valores em ordem crescente. 
Em seguida conta-se até a metade deles em 
geral a mediana ocupa a posição �� 
 1 /2. 
� Para número ímpar de valores mediana é o 
valor do meio. 
� Para amostras com número par de unidades 
a mediana é a média dos dois 
valores centrais.
Medidas de tendência central
EXEMPLO:
Medidas de tendência central
âC mera de 
Documentos
OBSERVAÇÃO: Como medida de localização, a 
mediana é mais robusta do que a média. Ela não é tão 
sensível às observações que são muito maiores ou 
muito menores do que as restantes.
Estes valores são os responsáveis pela má utilização 
da média em muitas situações em que teria mais 
significado utilizar a mediana. 
Veremos que, quando a distribuição é simétrica, a 
média e a mediana coincidem. 
Medidas de tendência central
MEDIANA - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
"� � #$ 
 1�%&��'�'
�2 ( �� 
 ∗ )#$ limite inferior da classe que contém a mediana;� frequência total;∑� 
 soma de todas as frequências das classes anteriores 
à mediana;�%&��'�' frequência (classe mediana);) amplitude do intervalo da classe 
mediana.
Medidas de tendência central
EXEMPLO: No caso dos acidentes... 
Medidas de tendência central
âC mera de 
Documentos
MODA
A moda é o valor que aparece com maior 
frequência na amostra. 
Um conjunto de dados pode: não apresentar 
moda, apresentar uma moda, apresentar duas 
modas (bimodal), apresentar três modas 
(trimodal) ou apresentar mais modas 
(polimodal). 
Medidas de tendência central
EXEMPLO: A moda do conjunto 2			3			4			3			2			3			5			1			2
Medidas de tendência central
MODA PARA UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Quando não há perda da informação, a moda é 
idêntica ao valor da classe modal (a classe com 
maior frequência).
Quando há perda da informação, a moda 
representa o(s) valor(es) de � correspondente(s) 
ao(s) ponto(s) de ordenada(s) máxima(s) da 
curva.
Medidas de tendência central
"� � #$ 
 ∆
∆
 
 ∆, 	)
#$ limite inferior da classe contém a moda;∆
 excesso da frequência modal sobre a da 
classe imediatamente anterior;∆, excesso da frequência modal sobre a da 
classe imediatamente 
posterior;) amplitude do intervalo 
da classe modal.
Medidas de tendência central
EXEMPLO No caso de acidentes...
Medidas de tendência central
âC mera de 
Documentos
OBSERVAÇÃO: A distribuição pode ter mais de 
uma moda. 
As duas (três ou mais) modas não precisam, 
necessariamente, ter a mesma frequência. 
Isso acontece quando há um deslocamento da 
distribuição.
Medidas de tendência central
Medidas de tendência central
QUAL DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL É A 
MELHOR? 
Infelizmente, não há uma resposta única para 
esta questão, porque não há critérios objetivos 
para determinar a medida mais representativa 
para todos os conjuntos de dados
As diversas medidas de tendência central tem 
diferentes vantagens e 
desvantagens.
Medidas de tendência central
Medidas de tendência central
Atividade
Para os seguintes conjuntos de dados, determine 
os valores da média aritmética, da mediana e da 
moda.
(a) 12 15 16 15 12 15 15 5 7 14
(b) 2 6 3 6 3 3 4 âC mera de 
Documentos
âC mera de 
Documentos
Atividade
Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade 
mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, 
durante 15 dias intercalados a partir do primeiro dia de um mês. Esse 
tipo de procedimento é frequente uma vez que os dados coletados 
servem de referência para estudos e verificação de tendências 
climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse 
período estão indicadas na tabela.
âC mera de 
Documentos
âC mera de 
Documentos
Atividade
âC mera de 
Documentos
âC mera de 
Documentos
Em relação à 
temperatura, quais os 
valores da média, da
mediana e da moda.
MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DE DISPERSÃO
Indicam se os valores estão relativamente próximos 
ou não uns dos outros. 
Na análise de um conjunto de dados é necessário 
que sejam observados tanto as informações 
relativas à localização (medidas de tendência 
central) quanto as informações de dispersão
(medidas de variabilidade).
Medidas de dispersão
Consideraremos quatro medidas de dispersão: 
Amplitude, Variância, Desvio padrão e 
Coeficiente de variação. 
Todas elas, exceto a amplitude, têm o ponto de 
referência na média. 
Em cada caso, o valor zero indica ausência de 
variação. 
Medidas de dispersão
AMPLITUDE ou INTERVALO
Diferença entre o maior e o menor valor, ou seja, 
entre os valores extremos. 
-"./01234 � �%'5 ( �%��
Inconveniente só levar em conta os dois 
valores extremos da série, descuidando do 
conjunto de valores 
intermediários. Ela é apenas 
uma indicação aproximada da 
dispersão ou variabilidade.
Medidas de dispersão
Faz-se uso da amplitude total quando se quer:
Determinar a amplitude da temperatura em um 
dia ou no ano,
Em estudos sobre controle de qualidade;
Como uma medida de cálculo rápido, etc. 
Medidas de dispersão
Medidas de dispersão
AMPLITUDE PEQUENA
AMPLITUDE GRANDE
EXEMPLO: Calcule a amplitude dos seguintes 
conjuntos de dados. 
(a) 15 15 12 14 16 164 15
(b) 5 4 5 4 6 5 16 4
Medidas de dispersão
VARIÂNCIA
6, � ∑ �� ( �̅ ,� ( 1
Quando se deseja a variância populacional (7,), 
deve-se substituir � ( 1 por �	na fórmula. 
Usualmente iremos utilizar a variância amostral.
Medidas de dispersão
No Excel 
Var.A
VARIÂNCIA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
6, � ∑ �� ( �̅ ,��� ( 1
�� ponto médio da classe.
Medidas de dispersão
DESVIO PADRÃO
O desvio padrão foge a falha que ocorre na 
amplitude, por levar em conta todos os valores 
em questão. 
É muito mais conveniente no cálculo da 
dispersão.
Medidas de dispersão
No Excel 
DesvPad.A
No Excel 
DesvPad.A
6 � 6, � ∑ �� ( �̅ ,� ( 1
Como anteriormente, a substituição de � ( 1
por �	produz as fórmulas para a população
(7).
A unidade na qual o desvio padrão é expresso é 
a mesma dos dados originais, ou seja, se os 
dados são em reais, o desvio padrão também 
será em reais (e a variância em reais2).
Medidas de dispersão
DESVIO PADRÃO DISTRIBUIÇÃO FREQUÊNCIAS
6 � 6, � ∑ �� ( �̅ ,��� ( 1
�� ponto médio da classe.
Medidas de dispersão
EXEMPLO: Considere a amostra das velocidades 
máximas (km/h) das cinco voltas dadas em um 
teste de Fórmula 1: 
190 198 196 204 202
Nessas condições, determine:
(a) a média e a mediana das velocidades;
(b) a variância;
(c) o desvio-padrão.
Medidas de dispersão
âC mera de 
Documentos
âC mera de 
Documentos
EXEMPLO: Calcule a variância e o desvio padrão da 
seguinte distribuição, considerando:
(1) que a distribuição é de uma população.
(2) que a distribuição é de uma amostra.
Medidas de dispersão
Classe ��
0 |--- 4 2
4 |--- 8 6
8 |--- 12 8
12 |--- 16 3
16 |--- 20 1
âC mera de 
Documentos
âC mera de 
Documentos
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Medida de variação útil para comparar 
conjuntos de dados diferentes. 
Fornece uma ideia da precisão de um 
experimento ou da dispersão de um conjunto de 
dados. 
Ele é usualmente expresso em percentual.
Medidas de dispersão
89 � 34:;0<	.=3>ã<"é30= . 100 � 6�̅ . 100
EXEMPLO: As várias medições do diâmetro de um 
mancal, efetuadas com um micrômetro, acusaram 
uma média de 2,49 mm e um desvio padrão de 
0,012 mm, e as várias medições do comprimento 
natural de uma mola (não distendida) efetuadas 
com um outro micrômetro acusaram uma média de 
0,75 cm e um desvio padrão de 0,002 cm. 
Qual dos dois micrômetros é relativamente mais 
preciso?
Medidas de dispersão
âC mera de 
Documentos
âC mera de 
Documentos
Atividade
Num estudo sobre consumo de combustível, 200 
automóveis do mesmo ano e modelo tiveram seu 
consumo observado durante 1000 quilômetros. A 
informação obtida é apresentada na tabela a seguir em 
km/litro. Calcular a média, mediana, moda, variância e 
desvio-padrão dos dados.
âC mera de 
Documentos
âC mera de 
Documentos
MEDIDA DE ASSIMETRIA
Indicam qual o formato da distribuição dos 
dados.
Grau de desvio, ou afastamento da simetria, de 
uma distribuição. 
Medidas de dispersão
No Excel 
Distorção
PRIMEIRO COEFICIENTE DE ASSIMETRIA DE 
PEARSON
-6B
 � �̅ ( "�6
SEGUNDO COEFICIENTE DE ASSIMETRIA DE 
PEARSON
-6B, � 3��̅ ( "� 6
Medidas de dispersão
Teoricamente, o segundo coeficiente de 
assimetria de Pearson pode variar entre −3 e + 
3. Na prática, porém, raramente ultrapassará os 
limites de −1 e +1.
Os valores dos dois coeficientes serão iguais 
somente quando a distribuição for simétrica. 
Quando a distribuição não tiver forte assimetria, 
o segundo coeficiente deverá 
ser usado preferencialmente.
Medidas de dispersão
Valor igual a zero indica uma distribuição 
simétrica;
Valor positivo indica uma distribuição com 
uma ponta assimétrica que se estende em 
direção a valores mais positivos;
Valor negativo indica uma distribuição com 
uma ponta assimétrica que se estende em 
direção a valores mais 
negativos.
Medidas de dispersão
ASSIMETRIA, MÉDIA, MEDIANA E MODA
Comparando a média, a moda e a mediana, podemos 
concluir sobre assimetria da distribuição:
Medidas de dispersão