Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba Coordenação de Matemática e suas Tecnologias Disciplina: Estatística Cursos: CST em Sistemas de Telecomunicações / Bacharelado em Engenharia Elétrica Professor: Alberto Barros Lista de Exercícios – Valor Esperado e Variância (Aula 5) 1. Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição de probabilidade: x -2 -1 0 1 2 P(X = x) 0,1 0,3 0,1 0,2 0,3 a) Obtenha o valor esperado e a variância de X. b) Seja Y = X2 + 1. Obtenha E(Y) e Var(Y). 2. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidades: X 1-2k k-1 k 2k P(X = x) p 3p p p a) Sabendo que E(X) = 1/3 calcule o valor de p e k. b) Obtenha Var(X). c) Se Y = X2, obtenha E(Y). 3. De um lote com 20 peças, das quais 4 são defeituosas são escolhidas 3 ao acaso. Seja X o número de peças defeituosas encontradas. Calcule o valor esperado e o desvio padrão de X, supondo que as peças são escolhidas: a) sem reposição; b) com reposição; 4. A função de probabilidade de uma variável aleatória X é P(X = x) = 1/6 para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. a) Calcule E(X) e E(X2); b) Utilize as propriedades do valor esperado e da variância para obter E[(X-3)2] e Var(3X + 2); 5. Um fornecedor de um produto de laboratório tem uma capacidade de armazenamento de 150 kg. No início de cada mês é reposto o estoque até a capacidade máxima de armazenamento. As vendas mensais deste produto em centenas de kg são dadas por uma variável aleatória X, cujo comportamento é bem descrito pela seguinte função densidade de probabilidade: 2 f(x) = ≤< ≤≤ xde valoresoutros para 0, 1,5 x 1 se 1, 1 x 0 se ,x a) Qual é o valor médio mensal das vendas do produto? b) O lucro, Y , da venda do referido produto é função de vários fatores. Considere a seguinte expressão (simplificada) do lucro em função das vendas Y = 50X− 25. Qual o valor esperado do lucro mensal? Qual a probabilidade de, num dado mês, não haver prejuízo? 6. O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por: f(x) = >< ≤≤− 1 ou x 0 x se 0, 1x0 se ),xk(2x 2 a) Determine o valor de k; b) Obtenha E(X) e Var(X); c) Seja Y = 3X. Obtenha E(Y) e Var(Y) 7. Considere a seguinte função de distribuição acumulada da variável aleatória contínua X F(x) = > ≤< ≤ 3 x se 1, 3 x 1 se ,1)-k(x 1 x se ,0 2 a) obtenha a função densidade f(x); b) obtenha o valor esperado, a variância e o desvio padrão de X; 8. Uma certa liga é formada pela reunião da mistura em fusão de 2 metais. A liga resultante contém uma certa percentagem de chumbo X, que pode ser considerada como uma variável aleatória. Suponha que X tenha a seguinte função densidade: 100x0 se x),x(10010 5 3 f(x) 5- ≤≤−= Suponha que P, o lucro líquido obtido pela venda dessa liga (por libra), seja a seguinte função da percentagem de chumbo contida: P = C1 + C2X. Calcule o lucro líquido esperado (por libra). 3 9. Suponha que a variável aleatória contínua X tenha função densidade f(x) = 8/x3, x > 2. Seja Y = X/3. Ache o valor esperado de Y de 2 formas: a) Achando a função densidade de Y, e depois utilizando-a para obter E(Y); b) Diretamente, sem usar a função densidade de Y; 10. Uma corrente elétrica oscilante I pode ser considerada uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade: f(i) = 1/2, se 9 ≤ i ≤ 11 Se essa corrente passar em um resistor de 2 ohms, qual será o valor esperado da potência P= 2I2? 11. Num grupo de casais em que ambos os elementos estão empregados, a distribuição de probabilidade conjunta do salário da mulher (X) e do homem (Y), em euros, é dada por: Y X 1000 1500 2000 500 0,05 0,1 0,15 1000 0,1 0,2 0,1 1500 0,15 0,1 0,05 Seja Z = (X + Y)/2. Determine o valor esperado de Z. 12. Suponha que a tabela seguinte represente a distribuição de probabilidade conjunta da variável aleatória discreta (X,Y). Ache o valor esperado da variável Z, onde Z = XY. X Y 1 2 3 1 0 2 0 3 4 13. Se X tiver densidade g(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1 e Y tiver densidade h(y) = y2/9, 0 ≤ y ≤ 3 e forem independentes, encontre o valor esperado de Z = XY. 14. Quando uma corrente I (em ampéres) passa através de um resistor R (em ohms), a potência gerada é dada por W = I2R (em watts). Suponha que I e R sejam variáveis aleatórias independentes, com as seguintes funções densidades: ≤≤ = valoresoutrosquaisquer para 0, 1 i 0 para i),-6i(1 f(i) :I << = valoresoutrosquaisquer para 0, 1 r 0 para 2r, g(r) :R Encontre o valor esperado e a variância da variável W. 15. Suponha que X seja uma variável aleatória contínua tal que E(X) = 5 e Var(X) = 25/3. Utilize a Desigualdade de Tchebycheff para calcular um limite superior para P[|X – 5| ≥ 4] 16. Suponha que X é uma variável aleatória cuja média e variância são ambas iguais a 20. O que podemos afirmar sobre a P( 0 < X < 40)? 17. A partir de experiências passadas, um professor sabe que a nota de um exame final da sua disciplina é uma variável aleatória com média 75 e variância igual a 25. O que podemos dizer sobre a probabilidade da nota da prova ser maior que 65 e menor que 85? 18. Um cliente de uma livraria pode fazer encomendas de livros estrangeiros em inglês e francês que não existam em estoque. O número de livros em inglês e francês encomendados semanalmente é a variável aleatória bidimensional (X,Y) com a seguinte distribuição de probabilidades: Y X 1 2 3 4 0 0,01 0,02 0,04 0,03 1 0,05 0,10 0,20 0,15 2 0,04 0,08 0,16 0,12 a) Seja Z = X + Y. Obtenha E(Z) b) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y. 5 19. Seja (X,Y) a variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte função densidade conjunta: >> = y e x de valoresoutros os para 0, 0 y 0, x para ,4xyey)f(x, 22 y--x Obtenha o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y. 20. Para a variável discreta bidimensional da questão 12, obtenha E(X|Y = 3) e E(Y|X = 2) 21. Seja (X,Y) uma variável aleatória contínua com função densidade conjunta dada por: f(x,y) = 64 yx + , 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 a) Obtenha E(X|y) e E(Y|x). b) Obtenha E(X| Y = 3) e E(Y | X = 2) 22. Admita que X e Y representem a duração da vida de duas lâmpadas fabricadas por processos diferentes. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com funções densidades respectivamente g e h dadas por: g(x) = e-x, x ≥ 0 h(y) = 2e-2y, y ≥ 0 Obtenha E(X|y) e E(Y|x) 6 Banco de Fórmulas Valor Esperado e Variância = = ∫ ∑ ∞ ∞− contínuafor X se ,xf(x)dx discretafor X se ,x)xP(X E(X)Var(X) = E(X2) – E2(X) onde = = ∫ ∑ ∞ ∞− contínuafor X se ,f(x)dxx discretafor X se ,x)P(Xx )E(X 2 2 2 Desigualdade de Tchebycheff 2 2 c)E(X ε 1 ε] |cXP[| −≤≥− Caso particular: c = µ 2 ε Var(X) ε] |μXP[| ≤≥− Coeficiente de Correlação Y)Var(X)Var( E(X)E(Y)E(XY) ρ − = Valor Esperado de uma Função de uma Variável Aleatória = ∫ ∑ ∞ ∞− contínuafor X se ,H(x)f(x)dx discretafor X se ,H(x)p(x) E[H(X)] Valor Esperado de uma de uma Variável Aleatória Bidimensional = ∫ ∫ ∑∑ ∞ ∞ ∞ ∞− ∞ = ∞ = contínuafor Y)(X, se ,y)dxdyy)f(x,H(x, discretafor Y)(X, se ,)y,)p(xy,H(x Y)]E[H(X, - 1i 1j jiji Valor Esperado Condicionado = ∫ ∑ ∞ ∞− ∞ = contínuafor X se ,y)dx|xg(x discretafor X se ,)y|p(xx y)|E(X 1i jii = ∫ ∑ ∞ ∞− ∞ = contínuafor Y se ,x)dy|yh(y discretafor Y se ,)x|q(yy x)|E(Y 1j ijj
Compartilhar